最短路问题(整理版)
§6.2 最短路问题
§6.2最短路问题2.1 两个指定顶点之间的最短路径问题如下：给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。
以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为图G 相应两顶点间的边，得图G 。
对G 的每一边e ，赋以一个实数)(e w —直通铁路的长度，称为e 的权，得到赋权图G 。
G 的子图的权是指子图的各边的权和。
问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点00,v u 间的具最小权的轨。
这条轨叫做00,v u 间的最短路，它的权叫做00,v u 间的距离，亦记作),(00v u d 。
求最短路已有成熟的算法：迪克斯特拉（Dijkstra ）算法，其基本思想是按距0u 从近到远为顺序，依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离，直至0v （或直至G 的所有顶点），算法结束。
为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。
下面是该算法。
(i) 令0)(0=u l ，对0u v ≠，令∞=)(v l ，}{00u S =，0=i 。
(ii) 对每个i S v ∈（i i S V S \=），用)}()(),({min uv w u l v l iS u +∈ 代替)(v l 。
计算)}({min v l iS v ∈，把达到这个最小值的一个顶点记为1+i u ，令}{11++=i i i u S S 。
(iii). 若1||-=V i ，停止；若1||-<V i ，用1+i 代替i ，转(ii)。
算法结束时，从0u 到各顶点v 的距离由v 的最后一次的标号)(v l 给出。
在v 进入i S 之前的标号)(v l 叫T 标号，v 进入i S 时的标号)(v l 叫P 标号。
算法就是不断修改各项点的T 标号，直至获得P 标号。
若在算法运行过程中，将每一顶点获得P 标号所由来的边在图上标明，则算法结束时，0u 至各项点的最短路也在图上标示出来了。
例9 某公司在六个城市621,,,c c c 中有分公司，从i c 到j c 的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。
3第三章最短路问题
现在我们就来构造一个图G，它的顶点就是这10 种情况，G中的边是按照下述原则来连的；如果情况 甲经过一次渡河可以变成情况乙，那么就在情况甲与 乙之间连一条边.
MWSV MWS MWV WSV MS
WV
W
S
V
Ø
例如，MWSV经过一次渡河可以变成WV(人带着羊 过河，左岸留下狼和白菜)，又例如MWV经过一次渡河 可以变为W(人带着白菜过河，留下狼)，或变为V.当 然反过来，W也可以变为MWV(人带着白菜从右岸返回 左岸).
§3.2 求最短有向路的标号法
这一节介绍一种求有向图上最短有向路的方法 ，叫做标号法。
所谓标号,我们是指与图的每一个顶点对应的一个 数(或几个数)．例如设G=(V,A)的顶点集合是V={v1,v2, …,vn}，如果我们能使v1对应一个数b(1)，v2对应数 b(2)，…，vn对应数b(n)，那么，这些数b(i)就称为vi的 标号，当然，在不同的问题中，标号b(i)一般代表不同 的意义.
从上面的简单比较久可以看出，为什么说计算 次数是n的多项式的方法是有效的，而计算次数是 n的指数函数的方法是无效的.另外，也可以看出， 单靠提高计算机的速度还不够，还必须从数学上寻 求有效的计算方法.
现在再回过头来看看标号法好不好.回想一下标 号法的各轮计算，可以看出，它只包含两种运算： 加法与比较大小(比较大小也需要花费时间，所以 也要考虑).加法用于计算k(i,j)，每计算一个k(i,j)进 行一次加法，而且每一条弧最多只计算一次.因此, 如果图中有m条弧，那么至多进行m次加法.对于一 个有n个顶点的简单有向图来说，最多有n(n-1)条 弧(假设从每一个顶点vi出发，都有n-1条弧指向其 他的n-1个顶点)，因此，最多进行n(n-1)次加法， 放宽一点，也可以说，至多进行n2次加法.
最短路问题
§ 3最短路问题在实践中常遇到的一类网络问题是最短路问题。
给定一个有向赋权图D=（V，A），对每一个弧a =（ ,），相应有权≥0，指定D中的为发点，为终点。
最短路问题就是要在所有到的路中，求出一条总权数最小的路。
这里权数可以是距离，也可以是时间，或者是费用等等。
最短路问题是最重要的优化问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化问题。
3.1 狄克斯拉（Dijkstra）算法最短路问题可以化为线性规划问题求解，也可以用动态规划方法求解，这里介绍一种有效算法—狄克斯拉（Dijkstra）算法，这一算法是1959年首次被提出来的。
该算法适用于每条弧的权数≥0情形。
算法的基本思路：从发点出发，有一个假想的流沿网络一切可能的方向等速前进，遇到新节点后，再继续沿一切可能的方向继续前进，则最先到达终点的流所走过的路径一定是最短的。
为了实现这一想法，对假想流依次到达的点，依次给予p标号，表示到这些点的最短距离。
对于假想流尚未到达的点给予T标号，表示到这些点的最短距离的估计值。
具体作法如下：1°标p（）=0，其余点标T（）=+∞;2°由刚刚获得p标号的点出发，改善它的相邻点的T标号,即新的T（）=min{老的T（），p（）+ }若T（）= p（）+ ωij ，则记k（）=（前点标记）;3°找出具有最小T标号的点，将其标号改为p标号。
若已获得p标号，则已找到最短路，由k （）反向追踪，就可找出到的最短路径，p（）就是到的最短距离。
否则，转2°。
例2 求图下中v1 到v8 的最短路。
解：标p（）=0，其余点标将具有最小T标号的点的标号改为p标号：p（）=3；目前，点具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（）=4；目前，点具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（）=5；目前，点具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（）=6；目前，点具有最小T标号，将其标号改为p标号：最短路径为：因p（）=12，所以→的最短距离为12。
最短路问题——精选推荐
最短路问题可以分为两类：单元最短路求从⼀个点到其他所有点的最短距离，如从1号点到n号点的最短路多源汇最短路起点和终点数量不确定n表⽰图中点的数量，m表⽰图中边的数量，⼀般m~n2是稠密图朴素Dijkstra适合稠密图，如边数⽐较多和n2⼀个级别⽤朴素Dijkstram和n是⼀个级别，堆优化版⽐较好SPFA是Bellman-Ford算法的⼀个优化，但是在某些时候SPFA是不能使⽤的，如对边数进⾏⼀个限制，经过不超过k条边就只能⽤Bellman-Ford最短路不会让你去证明算法的正确性，最短路的难点在于如何把原问题抽象成最短路问题，如何定义我们的点和边使得这个问题变成⼀个最短路问题，从⽽套⽤公式去解决。
难点在于建图。
Dijkstra基于贪⼼，Floyd基于动态规划，Bellman-Ford基于离散数学。
1、Dijkstra算法⼀定不能存在负权边。
伪代码：1. 初始化距离：dis[1] = 0,dis[others] = +∞。
2. 集合s：存储当前已经确定最短路的点3. for(int i = 0;i < n; i++) {t←找到不在s中的距离最近的点s←to⽤t更新其他点的距离。
更新⽅式：看从t出去的所有的边，组成的路径能不能更新其他点的距离。
如下图：如果从1到x的距离⼤于从1到t再到x的距离，就⽤dis[t]+w代替1到x的距离。
如下图：初始状态：①②③上的数字表⽰距离起点的距离，红⾊表⽰待定，绿⾊表⽰确定已经放⼊了集合s。
第⼀个点更新：第⼆个点更新：第三个点更新：}1.1 Dijkstra练习1.2 朴素Dijkstra算法解答存在重边只保留最短的那条边就可以了解答：if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int N = 510;int n, m;int g[N][N];int dist[N]; // 从1号点⾛到其他每个点当前最短距离bool st[N];int dijkstra(){memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ){int t = -1; // 初始还没有确定点的时候for (int j = 1; j <= n; j ++ )// 这个循环找的就是所有st[j]=false即距离还没确定的点 // 在这些点中找到距离最⼩的点if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))t = j;for (int j = 1; j <= n; j ++ )dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);st[t] = true;}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];}int main(){scanf("%d%d", &n, &m);memset(g, 0x3f, sizeof g);while (m -- ){int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);g[a][b] = min(g[a][b], c); // 取min是可能存在重边}printf("%d\n", dijkstra());return 0;}1.3堆优化Dijkstra算法解答考虑如何优化：因为t从1~n每次都是不同的点，所以⽤t更新其他点的距离这个操作就是遍历从t出去所有边，遍历n次即遍历所有点以后就是遍历了所有边，所以计算了m次可以发现最慢的就是找最⼩距离这步，复杂度O(n2)。
最短路问题
最短路问题何谓最短路？最短路问题考虑的是有向网络N=（V，A，W），其中弧（i,j）∈A 对应的权又称为弧长或费用。
对于其中的两个顶点s，t∈V,以s 为起点，t 为终点的有向路称为s-t 有向路，其所经过的所有弧上的权（或弧长、费用）之和称为该有向路的权（或弧长、费用）。
所有s-t 有向路中权最小的一条称为s-t 最短路。
ij w 如何得到最短路？最短路问题的线性规划描述如下：(,)m i ni j i j i j A w x ∈∑ (1):(,):(,)1,,..1,,0,,ij ji j i j A j j i A i s s t x x s i s t ∈∈=⎧⎪t −=−=⎨⎪≠⎩∑∑ (2) 0ij x ≥ (3) 其中决策变量表示弧（i,j）是否位于s-t 路上：当=1时，表示弧（i,j）位于s-t 路上，当=0时，表示弧（i,j）不在s-t 路上。
本来，应当是0-1变量，但由于约束（2）的约束矩阵就是网络的关联矩阵，它是全幺模矩阵，因此0-1变量可以松弛为区间[0，1]中的实数（当用单纯形法求解时，将得到0-1整数解）。
ij x ij x ij x ij x 值得注意的是，我们这里将变量直接松弛为所有非负实数。
实际上，如果可以取0-1以外的整数，则约束条件并不能保证对应于非零的弧所构成的结构（记为P）一定是一条路，因为这一结构可能含有圈。
进一步分析，我们总是假设网络本身不含有负圈，而任何正圈不可能使目标函数最小，因此上面的约束条件（2），（3）可以保证当达到最优解时，P 如果包含圈，该圈一定是零圈，我们从P 中去掉所有的零圈，就可以得到最短路。
ij x ij x ij x 无圈网络与正费用网络一般采用标号设定算法。
Bellman 方程（最短路方程）将约束条件（2）两边同时乘以-1，得到其对偶问题为：m ax()t s u u − （4）..,(,)j i ij s t u u w i j A −≤∀∈ （5）根据互补松弛条件，当x 和u 分别为原问题和对偶问题的最优解时：()0,(,i j j i i j )x u u w i j −−=∀∈A （6） 因此,当某弧（i，j）位于最短路上时，即对应的变量＞0时，一定有ij x j i i u u w −=j 。
3第三章 最短路问题
在这一章中，我们假设遇到的图G都是简单图.这 样假设是合理的，因为如果G有平行弧或平行边，例 如有好几条从vi到vj的弧，那么很显然，可以把这些 弧中最短的一条留下，其余的都去掉，然后在剩下的 简单图上再来求从vs到vt的最短有向路.因为G是简单 图，所以每一条弧ak被它的起点vi与终点vj唯一决定， 因此，下面我们就用<vi,vj>或<i,j>来表示一条弧， 用(vi,vj)或(i,j)来表示边，而用l(i,j)来表示弧或 边的长度.
大家也许会认为，这两个例子本来就不很难，把 它转化成图论问题，倒相当麻烦，有什么好处呢？其 实这种做法还是很有好处的.因为在转化前，想解决 这些问题，只能用凑的办法，或者最多是凭经验.而 转化成图论问题以后，就可以用一种系统的方法解决 了.
最后，还要指出一下，求最短有向路和求最短无 向路这两个问题是密切关联的.下面将看到，求最短有 向路的计算方法也可以用来求最短无向路.
例1 渡河问题：一个人带了一只狼、一只羊和一 棵白菜想要过河,河上有一只独木船,每次除了人以外, 只能带一样东西.另外,如果人不在旁时,狼就要吃羊, 羊就要吃白菜.问应该怎样安排渡河,才能做到把所有 东西都带过河去,而且在河上来回的次数又最少.
当然，这个问题不用图论也能解决．大家一眼就 能看出，第一次应该带着羊过河，让狼和白菜留下, 以下怎么渡法呢？ 下面就来讲一下怎样把这个问题转化成最短路问 题． 我们用M代表人，W代表狼，S代表羊，V代表白菜. 开始时，设人和其他三样东西都在河的左岸，这种情 况，我们用MWSV来表示.又例如人带了羊渡到河的右 岸去了，这时左岸留下了狼和白菜，这种情况就用WV 来表示.例如MWS表示人(M)狼(W)羊(S)在左岸而白菜 (V)在右岸这种情况.那么总共可能有几种允许的情况 呢
最短路问题
v6
9
7
4
1 1 1
1 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2
3
10 8
8 6
9
7
5 3 4
0 4 3
4 0 1
3
1
0
1 11
2 2 2
3 3 3
4 4 4
4 5 5
4
5 6
由于D(2) =D(3)，故D(3)中的元素就是vi到vj的 最短距离,D(3)称为最短距离矩阵。
1 1 2 2 3
到其他不直接邻接的节点的最短 距离不会发ห้องสมุดไป่ตู้变化。
②在v1到所有其他节点的最短距离中选择最小的距 离，找到节点 vk，使下式满足：
求 min{T (v j )}
vk
满足
T (vk
)
min{T
v jS
(v
j
)}
令：P(vk ) T (vk )
比较v1到所有其它节点的最短距离，找到 节点vk,并将最小的距离记录在P(vk)中。
的最短路。
（1）使用条件—没有负回路
（2）步骤：
①
令
d 1 j
w1 j，j
2,3,, N，其中
w1 j为起点v1
到 v j 的弧（v1, v j ）的权；
②用下列递推公式进行迭代：
d d k min
j
i
k 1
j
wij
j 2,3,, N
其中，
d k j
表示从起点 v1 到点 v j 走k步
的最短距离；
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数为最小的通路。（注意：在有向 图中，通路——开的初等链中所有的弧 应是首尾相连的。）
图与网络优化---最短路问题
最短路问题
最短路问题按其不同的要求，可分成下列三种类型： 1、求两个定点之间的最短路； 2、求一个定点到其他各点的最短路； 3、求各点对之间的最短路。 不失一般性，总假定图中无环，以及多重弧只是由 两条互为反向的弧组成的二重弧。
最短路问题
2. 最短路算法 --- Dijkstra 算法 (wij 0)
(2) i=1
转入第2步，令 T(v6)= P(v4)+w46 =11, (v6)=4。 转入第3步，在所有的T标号中, T(v3)=3最小，故令P(v3)=3，S2= S1 {v3}= {v1, v4, v3}, k=3。
最短路问题
v2 v1
6 3 1 1 v5 10 v6 2 3 v7 4 2 6 v9 2 v8 2 v3 6 2 4 v4 10
Dijkstra算法中的标号：T(v), P(v), λ(v),Si
(v ) m
(v ) M (v ) 0
在“已找到的从始点 vs到点 v 的最短路”上， v 的前 一个点是 vm . D 中未找到（不存在）从点 vs到点 v 的路. v = vs.
最短路问题
算 法 步 骤
故对于i=1, 2, …, 6, 有 d(v1, vi)= P(vi), 根据值可以求出从v1到 vi
的最短路 (i=1, 2, …, 6).
故从v1到 v6 的最短路是(v1, v3, v5, v6)或(v1, v2, v5, v6), 长度为8.
最短路问题
例10 已知如图3所示的单行线交
通网，每弧旁的数字表示通过这 条单行线所需要的费用.现在某 人要从v1 出发，通过这个交通网到
v8 去，求使总费用最小的旅行路线。
v2
最短路问题
•
现考查从v4指向其余点的弧 – 由上已知，从v1出发，分别沿(v1，v2)、(v1，v3)到达v2，v3，需要6 单位或3单位的费用，而从v4出发沿(v4，v6)到达v6，所需要的费用 是d(v1，v4)+ w46=1+10=11单位，因为 min｛d(v1，v1)+w12，d(v1，v1)+w13，d(v1，v4)+w46｝=d(v1，v1)+w13=3 可以断言，从v1到v3的最短路是(v1，v3)，d(v1，v3)=3。这样又可以 使点v3变成具P标号的点。
1 P 0 0
2 5 3
3 3 1
4 1 1
5 6 2
6 10 5
7 9 5
8 12 5
9 M ∞
λ
T •
根据λ值可以求出从v1到vi的最短路(i=1，2，…，8)。 例如，为求v1到v8的最短路，考查λ(v8)，因λ(v8)=5，故最短 路包含弧(v5，v8)；再考查λ(v5)，因λ(v5)=2，故最短路包含弧 (v2，v5)；类推，λ(v2)=3，λ(v3)=1，于是最短路包含弧(v3， v2)，及(v1，v3)，这样从v1到v8的最短路是(v1，v3，v2，v5，v8)。
• 在Dijkstra方法中
– P，T分别表示某个点的P标号、T标号， – Si表示第i步时，具P标号点的集合。 – 为了在求出从vs到各点的距离的同时，也求出从vs 到各点的最短路，给每个点v以一个λ值。算法终 止时，如果λ(v)=m，表示在从vs到v的最短路上，v 的前一个点是vm；如果λ(v)=M，则表示D中不含 从vs到v的路；λ(v) = 0, 表示v = vs。
i
i i
i
• 用Dijkstra方法求上例中从v1到各个顶点的最短路
最短路问题
v5
− 6 − 4 0 − 1
v6
− − 3 1 − 0 2
v7
− − − 4 1 2 0
考察点 T标号点集 标号点集
v1 v2 v3 v4 v6 v5
{v2，…，v7} ， {v3，…，v7} ， {v4，…，v7} ， {v5，v6，v7} {v5，v7} {v7}
8
8
反向追踪，得到相同的最优路线。 反向追踪，得到相同的最优路线。 在得到从起点到终点的最短路长的同时， 在得到从起点到终点的最短路长的同时，还 能得到什麽附加信息
？
6、 特点
D氏标号法（Dijkstra）的特点 氏标号法（Dijkstra） （获得的附加信息）： 获得的附加信息）：
能得到从 1 （起点）到各点的最短 起点）到各点的最短 路线和最短路长。 路线和最短路长。
Key Steps • 始点标上固定标号 p (v1 ) = 0,其余 其余 各点标临时性标号 T(vj)=∞, j≠1; ∞ ≠ • 考虑满足条件： 考虑满足条件： ① (v1 , v j ) ∈ A 的所有点 v j ； 具有T 标号， ② v j 具有 标号，即 v j ∈ s s 为T ， 标号点集。 标号点集。 • 修改 v j 的T标号为 min T (v j ), p(v1 ) + l1 j 标号为 并将结果仍记为T(vj) 并将结果仍记为
标 v1 0
号（ v2 v3
v4
标号） 表P标号） 标号 v5 v6 v7
2
5 2+2 4
2+4 6 4+1 5
2+6 8
4+3
-
0+2 0+5
8 7 5+4 5+1 5+4 8 6 9 8 6+2 8 8+1 8
初中数学八年级上册最短路径基本问题整理汇总(共12个-考试必考)
八年级数学上册最短路径基本问题汇总
经典例子解析
例一、在解决最短路径问题时, 我们通常利用_____、_____等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择。
例二、已知，如图,在直线l的同侧有两点A、 B
例三图例四图
(1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；(2)在图2的直线上找一点P,使PA-PB最长
例三、如上图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB 的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( )
A.7 cm
B.5 cm
C.8 cm
D.10 cm
例四、如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置例五、如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？
参考答案
例一：轴对称平移
例二：(1)作点B关于直线l的对称点C,连接AC交直线l于点P,连接BP；点P即为所求(2)连接AB并延长,交直线l于点P
例三：C
例四：作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB的交点为E点
例五：①过点A作AP⊥a,并在AP上向下截取AA′,使AA′=河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D 作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置。
最短路问题详解+题目
最短路问题详解+题⽬概念若⽹络中的每条边都有⼀个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最⼩的路径就是最短路问题算法1. Floyd-warshall算法（1）介绍：⾮常的好⽤，通常可以在任何图中使⽤，包括有向图、带负权边的图。
（2）算法讲解：Floyd算法从第⼀个顶点开始，依次将每个顶点作为媒介k，然后对于每⼀对顶点u和v，查看其是否存在⼀条经过k的，距离⽐已知路径更短的路径，如果存在则更新它。
2. Dijkstra算法（1）介绍：是典型的单源最短路径算法，⽤于计算⼀个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中⼼向外层层扩展，直到扩展到终点为⽌。
注意该算法要求图中不存在负权边。
（2）算法讲解：⽤贪⼼实现，先把起点到所有点的距离存下来找个最短的，进⾏松弛操作再找出最短的，把所有的点找遍之后就存下了起点到其他所有点的最短距离。
> 松弛操作：遍历⼀遍看通过刚刚找到的距离最短的点作为中转站会不会更近，如果更近了就更新距离> 注意：除了距离起点的距离为0外，其他距离均设为⽆穷⼤。
3. Bellman-Ford算法（1）介绍：Bellman-ford算法适⽤于单源最短路径，图中边的权重可为负数即负权边，但不可以出现负权环。
> 负权边：为负数的边。
> 负权环：源点到源点的⼀个环，环上权重和为负数。
（2）算法讲解：1.初始化：除了起点的距离为0外，其他均设为⽆穷⼤。
2.迭代求解：循环对边集合E的每条边进⾏松弛操作，使得顶点集合V中的每个顶点v的距离长逐步逼近最终等于其最短距离长；3.验证是否负权环：再对每条边进⾏松弛操作。
如果还能有⼀条边能进⾏松弛，那么就返回False，否则算法返回True题⽬输⼊:第⼀⾏n表⽰边的个数，接下来n⾏a,b,len，最后⼀⾏s，t求点s到点t的距离输⼊样例：71 2 22 5 21 3 42 3 13 5 61 4 73 4 1Dijkstra打法#include <bits/stdc++.h>#define maxx 0x7fusing namespace std;int u[105][105]={0x7f},dis[105];bool vis[105]={false};int main(){int n,s,t,x,y,minn,k;cin>>n;for (int i=1;i<=n;i++){dis[i]=maxx;vis[i]=false;}for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=n;j++)u[i][j]=maxx;for (int i=1;i<=n;i++){cin>>x>>y;cin>>u[x][y];}cin>>s>>t;for (int i=1;i<=n;i++)dis[i]=u[s][i];dis[s]=0;vis[s]=true;for (int i=1;i<=n;i++){minn=maxx;k=0;for (int j=1;j<=n;j++)if (vis[j]==false&&dis[j]<minn){minn=dis[j];k=j;}if (k==0) break;vis[k]=true;for (int j=1;j<=n;j++)if (dis[k]+u[k][j]<dis[j])dis[j]=dis[k]+u[k][j];}cout<<dis[t];return 0;}floyd打法#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxx=0x7f;int u[105][105];int main(){int s,t,n,x,y;cin>>n;for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=n;j++)u[i][j]=0x7f;for (int i=1;i<=n;i++){cin>>x>>y;cin>>u[x][y];}cin>>s>>t;for (int k=1;k<=n;k++)for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=n;j++){if (i!=j&&i!=k&&j!=k&&u[i][j]>u[i][k]+u[k][j])u[i][j]=u[i][k]+u[k][j];}cout<<u[s][t];return 0;}题⽬⼤意找⼀个点使得到其他点的距离总和最⼩Floyed穷举出答案#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int inf=100000007;int p[105],dis[105][105],sum;int n,lch,rch;int main(){cin>>n;memset(dis,inf,sizeof(dis));for(int i=1;i<=n;i++){dis[i][i]=0;cin>>p[i];cin>>lch>>rch;if(lch>=0) dis[i][lch]=1;dis[lch][i]=1;if(rch>=0) dis[i][rch]=1;dis[rch][i]=1;}for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j]) dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j]; int minn=inf;for(int i=1;i<=n;i++){sum=0;for(int j=1;j<=n;j++)sum+=p[j]*dis[i][j];if(minn>sum) minn=sum;}cout<<minn<<endl;return 0;}。
运筹学最短路题目功课[整理版]
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作业：课堂作业：书本P182第5题第(1)题()⎩⎨⎧=）这条弧，未经过（这条弧，经过（j i j ij V V V V f 0)(1i 6714131220...81510min f f f f z ++++=()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===-=+-=-+++=+-+=++-=+++-=-+=++7,6,5,4,3,2;6,5,4,3,2,1101000000001675767656463652557536434146353231334122523141312j i f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ij，或 最短路径为7521v v v v ---课后作业：1、 求下列赋权无向网络图s 到t 的最短路径P:∑∈=Av v ijijj i f wz ),(min()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-≠=-==-∈=∑∑∑∑∑∑t i f f t s i f f si f f A v v f ji ij jiij ji ij j i ij ,1,,0,110,，或 最短路径为S-3-5-T2、某公司正在研制一种有极好销售潜力的新产品。
当研究工作接近完成时，公司获悉一家竞争者正计划生产这种产品。
要突击赶制出这种产品以参与竞争，还有四个互不重叠的阶段。
为了加快进度，每个阶段都可采取“优先”或“应急”的措施。
不同的措施下每段工作所需要的时间（月）和费用（百万元）如小下表示。
现有一千万元资金供这四个阶段使用，则每段应采取什么措施能使这种产品尽早上市。
试将此问题化成最短路问题并求解。
43131211...245min f f f f Z ++++=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====++=++=++=++3,2,1;4,3,2,1100,,1111413121434241333231232221131211j i f f f f f f f f f f f f f f f f ij ，或 解得在一千万元资金供应的条件下最短时间为10个月。
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最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
思考：在实现步骤时，效率较低需要O(n)，使总复杂度达到O(n^2)。
对此可以考虑用堆这种数据结构进行优化，使此步骤复杂度降为O(log(n))(总复杂度降为O(n log(n))。
实现：1. 将与源点相连的点加入堆（小根堆），并调整堆。
2. 选出堆顶元素u（即代价最小的元素），从堆中删除，并对堆进行调整。
3. 处理与u相邻（即下一个）未被访问过的，满足三角不等式的顶点1):若该点在堆里，更新距离，并调整该元素在堆中的位置。
2):若该点不在堆里，加入堆，更新堆。
4. 若取到的u为终点，结束算法；否则重复步骤2、3。
**优化代码：(DIJKSTRA+HEAP)program SSSP;{single source shortest path}{假设一个图的最大节点数为1000，所有运算在integer范围内}{程序目标：给定有向图的邻接表，求出节点1到节点n的最短路径长度}const maxn=1000;{最大节点数}varn:integer;{节点个数}list:array[1..maxn,1..maxn] of integer;{邻接矩阵，表示边的长度}count:integer;{堆内元素个数计数器}heap:array[1..maxn] of integer;{heap[i]表示堆内的第i的元素的节点编号} pos:array[1..maxn] of integer;{表示编号为i的元素在堆内的位置}key:array[1..maxn] of integer;{表示节点1到节点i的最短距离}exist:array[1..maxn] of boolean;{表示节点i是否存在于堆中}i,j,now:integer;procedure swap(var i,j:integer);{交换整数i和j}//省略procedure heapify(p:integer);{向下调整堆的过程}var best:integer;beginbest:=p;//下面两个if是分别判断根和左、右孩子最短距离的大小if (p*2<=count) and (key[heap[p*2]]<key[heap[best]]) then best:=p*2;if (p*2+1<=count) and (key[heap[p*2+1]]<key[heap[best]]) then best:=p*2+1; if best<>p then//若根有所变动，即跟比左右孩子都大（最短距离）beginswap(pos[heap[p]],pos[heap[best]]);//互换节点heap[p]、heap[best]在堆的位置swap(heap[p],heap[best]);//互换堆中元素p、bestheapify(best);//继续调整互换后的元素bestend;end;procedure modify(id,new_key:integer);{判断new_key与key[id]大小，并修改key[id]大小}var p:integer;beginif (new_key<key[id]) thenbegin//修改key[id]:=new_key;//更新最短距离p:=pos[id];//结点id在堆中的位置while (p>1) and (key[heap[p]]<key[heap[p div 2]｛父｝]) do//向上调整beginswap(pos[heap[p]],pos[heap[p div 2]]);swap(heap[p],heap[p div 2]);p:=p div 2;//更上一层end;end;end;procedure extract（抽出）(var id,dis:integer);{读取堆中最小元素的节点编号和节点1到该节点的距离}beginid:=heap[1];//堆顶dis:=key[id];dec(count);//出堆if (count>0) then//堆里还有元素beginswap(pos[heap[1]],pos[heap[count+1]]);// 堆顶的元素和第count+1个元素换位置swap(heap[1],heap[count+1]);//把堆顶的元素扔到count后面去，heapify(1);//此时堆顶不一定是最小的~扔到下面去，把最小的搞上来。
end;end;beginreadln(n);init；//读入邻接矩阵，没有连线的为maxint；省略for i:=1 to n do{初始化}beginexist[i]:=true;//所有元素入堆pos[i]:=i; heap[i]:=i; key[i]:=maxint;end;count:=n; key[1]:=0;{dijkstra算法的主要操作}while (count>0) dobeginextract(i,now); exist[i]:=false;if now=maxint then break;//无路可走了，overfor j:=1 to n doif (exist[j]) then modify(j,now+list[i,j]);end;{输出}if key[n]=maxint then writeln('Not Connected!'){节点1和节点n不连通}else writeln(key[n]);{连通}end.SPFA+(前向星、循环队列、邻接表、链表）2、SPFA算法（Shortest Path Faster Algorithm）：spfa算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的.简介：给定的图存在负权边时，dijkstra等便无用武之地，spfa算法便派上用场了。
若有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在，用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。
采取方法是动态逼近法：设立一个队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，且用到达u点当前的最短路径估计值d[u]对点u所指向的结点v进行松弛操作，若v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾（已在队列里就不用放到队尾）。
这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
若某点入队的次数超过n次，则存在负环，spfa无法处理这样的图。
定理: 只要最短路径存在，spfa算法必定能求出最小值。
证明：松弛操作原理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中称三角不等式。
每次将点放入队尾，都是经松弛操作达到的。
所谓对i,j进行松弛，即if (d[j]>d[i]+w[i,j]）then d[j]:=d[i]+w[i,j]，每次优化都可能将某个点v的最短路径估计值d[v]变小，d数组将会越来越小。
由于图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，到最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。
时间复杂度：O(ke)， k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。
* 实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点，用d数组记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。
然后执行松弛操作，用队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。
重复执行直到队列为空求路径方案：若这幅图是地图的模型，除了算出最短路径长度，还要知道路径方案。
设path数组，path[i]表示从起点到i的最短路径中，结点i之前一个结点的编号，我们只需在结点u对结点v进行松弛时，标记下path[v]=u即可。
spfa算法采用邻接表来存储图，方法是动态优化逼近法。
算法中用队列queue用来保存待优化的结点，优化时从队首取出一个点w，并且用w点的当前路径d[w]去调整相连各点的路径值d[j]，若有调整，即d[j]的值改小，就将j点放入queue队列以待进一步优化。
重复执行，直至队空。
此时d数组便保存了从起点到各点的最短路径值。
实例：设有向图g={v，e}，e={<v0,v1>,<v0,v4>,<v1,v2>,<v1,v4>,<v2,v3>,<v3,v4>,<v4,v2>}={2,10,3,7,4,5,6}，v={v0,v1,v2,v3,v4}，见上图：算法执行时各步的queue队的值和d数组的值由下表所示。