七年级数学平行线的概念和性质[人教版]
(新人教版)数学七年级下册：5.3.1《平行线的性质(第2课时)》教学设计(两套)
5.3.2平行线的性质(第2课时)平行线的性质(二)教学目标1.经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能力.2.理解两条平行线的距离的含义,了解命题的含义,会区分命题的题设和结论.3.能够综合运用平行线性质和判定解题. 重点、难点重点:平行线性质和判定综合应用,两条平行的距离,命题等概念. 难点:平行线性质和判定灵活运用. 教学过程 一、复习引入1.平行线的判定方法有哪些?(注意:平行线的判定方法三种,另外还有平行公理的推论)2.平行线的性质有哪些.3.完成下面填空.已知:如图,BE 是AB 的延长线,AD ∥BC,AB ∥CD,若∠D=100°,则∠C=_____, ∠A=______,∠CBE=________.4.a ⊥b,c ⊥b,那么a 与c 的位置关系如何?为什么?cb二、进行新课1.例1 已知:如上图,a ∥c,a ⊥b,直线b 与c 垂直吗?为什么?学生容易判断出直线b 与c 垂直.鉴于这一点,教师应引导学生思考:(1)要说明b ⊥c,根据两条直线互相垂直的意义, 需要从它们所成的角中说明某个角是90°,是哪一个角?通过什么途径得来?(2)已知a ⊥b,这个“形”通过哪个“数”来说理,即哪个角是90°.(3)上述两角应该有某种直接关系,如同位角关系、内错角关系、同旁内角关系,你能确定它们吗?让学生写出说理过程,师生共同评价三种不同的说理. 2.实践与探究(1)下列各图中,已知AB ∥EF,点C 任意选取(在AB 、EF 之间,又在BF 的左侧).请测量各图中∠B 、∠C 、∠F通过上述实践,试猜想∠B 、∠F 、∠C 之间的关系,写出这种关系,试加以说明.E D C B AFECBAFECBA(1) (2) 教师投影题目:学生依据题意,画出类似图(1)、图(2)的图形,测量并填表,并猜想:∠B+∠F=∠C.在进行说理前,教师让学生思考:平行线的性质对解题有什么帮助? 教师视学生情况进一步引导:①虽然AB ∥EF,但是∠B 与∠F 不是同位角,也不是内错角或同旁内角. 不能确定它们之间关系.②∠B 与∠C 是直线AB 、CF 被直线BC 所截而成的内错角,但是AB 与CF 不平行.能不能创造条件,应用平行线性质,学生自然想到过点C 作CD ∥AB,这样就能用上平行线的性质,得到∠B=∠BCD.③如果要说明∠F=∠FCD,只要说明CD 与EF 平行,你能做到这一点吗?以上分析后,学生先推理说明, 师生交流,教师给出说理过程.FEDCB A作CD ∥AB,因为AB ∥EF,CD ∥AB,所以CD ∥EF(两条直线都与第三条直线平行, 这两条直线也互相平行).所以∠F=∠FCD(两直线平行,内错角相等).因为CD ∥AB.所以∠B=∠BCD(两直线平行,内错角相等).所以∠B+∠F=∠BCF. (2)教师投影课本P23探究的图(图5.3-4)及文字.①学生读题思考:线段B 1C 1,B 2C 2……B 5C 5都与两条平行线的横线A 1B 5和A 2C 5垂直吗?它们的长度相等吗?②学生实践操作,得出结论:线段B 1C 1,B 2C 2……,B 5C 5同时垂直于两条平行直线A1B5和A 2C 5,并且它们的长度相等.③师生给两条平行线的距离下定义.学生分清线段B 1C 1的特征:第一点线段B 1C 1两端点分别在两条平行线上,即它是夹在这两条平行线间的线段,第二点线段B 1C 1同时垂直这两条平行线. 教师板书定义:(像线段B 1C 1)同时垂直于两条平行线, 并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.④利用点到直线的距离来定义两条平行线的距离.F EDCBA教师画AB ∥CD,在CD 上任取一点E,作EF ⊥AB,垂足为F.学生思考:EF 是否垂直直线CD?垂线段EF 的长度d 是平行线AB 、CD 的距离吗? 这两个问题学生不难回答,教师归纳:两条平行线间的距离可以理解为:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离.教师强调:两条平行线的距离处处相等,而不随垂线段的位置改变而改变. 3.了解命题和它的构成.(1)教师给出下列语句,学生分析语句的特点.①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行; ②等式两边都加同一个数,结果仍是等式; ③对顶角相等;④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断. (2)给出命题的定义.判断一件事情的语句,叫做命题.教师指出上述四个语句都是命题,而语句“画AB ∥CD”没有判断成分,不是命题.教师让学生举例说明是命题和不是命题的语句. (3)命题的组成.①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项. ②命题的形成.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.有的命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题判断了什么事情，有什么已知事项，再改写成“如果……，那么……”形式. 师生共同分析上述四个命题的题设和结论,重点分析第②、③语句. 第②命题中,“存在一个等式”而且“这等式两边加同一个数”是题设， “结果仍是等式”是结论。
人教版七年级下册数学教学课件 第五章 相交线与平行线 命题、定理、证明
课程讲授
2 真命题与假命题
归纳： 1.要判断一个命题为真命题，可以用演绎推理加以
论证； 2.要判断一个命题为假命题，只要举出一个例子，
说明该命题不成立.
课程讲授
3 定理与证明
定义：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中
总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始 依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也 称它为公理.
理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
证明几何命题的一般步骤：
1.明确命题中的_已__知___和__求__证__； 2.根据题意，_画__出__图__形__，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出_要__证__的__结__论_的途径，写出证明过程.
课程讲授
3 定理与证明
例 已知直线b∥c， a⊥b ．求证：
a⊥c．
b
c
证明：∵ a ⊥b（已知）， ∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
1
2
a
∵ b ∥ c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠2=∠1=90°（等量代换）， ∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
课程讲授
3 定理与证明
练一练：求证：内错角相等,两直线平行.
已知：如图，直线l3分别与l1，l2交于点A,点B，且∠1=∠2.
求证：l1∥l2. 证明：∵ ∠１=∠２ (已知)，
∠3=∠2 (对顶角相等)，
l3
1(
)3 B
l2
)2 A
l1
∴ ∠1=∠3 (等量代换).
∴ l１∥l２ (同位角相等,两直线平行).
随堂练习
１．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ ⑴对顶角相等； 是 ⑵画一个角等于已知角； 不是 ⑶两直线平行，同位角相等； 是 ⑷a，b两条直线平行吗？不是 ⑸温柔的李明明； 不是 ⑹玫瑰花是动物； 是 ⑺若a2＝4，求a的值； 不是 ⑻若a2＝ b2，则a＝b. 是
人教版七年级下册数学课件第5章5.2.1平行线及其基本事实
精彩一题 17．问题：两条直线可以将平面分成几部分？
解：如图 a，两条直线平行时，它们将平面分成三部分； 如图 b，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分．
【思路点拨】 根据三条直线的交点个数情况(0 个、1 个、2 个、 3 个)进行分类讨论．
精彩一题 根据上述内容，解答下面的问题． (1)上面问题的解题过程应用了__分__类____的数学思想(填“转 化”“分类”或“整体处理”)； (2)三条直线可以将平面分成几部分？ 解：如图所示．
【答案】A
课堂导练
4．如果线段 AB 与线段 CD 没有交点，则( C ) A．线段 AB 与线段 CD 一定平行 B．线段 AB 与线段 CD 一定不平行 C．线段 AB 与线段 CD 可能平行 D．以上说法都不正确
课堂导练 5．如图，将一张长方形纸对折三次，产生的折痕间的位置关系
是( C )
A．平行
B．垂直
C．平行和垂直 D．无法确定
课堂导练 6．如图，经过点 P 画一条直线使它与直线 l 平行．
画法：(1)一落：把三角尺的一边落在__直__线__l____上； (2)二____靠____：紧靠三角尺的另一边放一直尺 AB；
课堂导练
(3)三____移____：把三角尺沿直尺的边移到三角尺的第一边恰 好经过点 P 的位置；
经 (1)过直直线线l 外(2一)靠点，(3有)移且只(有4)画
D．不存在或者只有一条
提一示条： 直点线击与这条进直入线习平题行
【点拨】 当点 第一五条章 直线相与交这线条与直平线行平线行
(第1)1直课线时l 平(2行)靠线及(3其)移基本(事4)画实
P
在直线
AB
上时，这样的直线不存在；当点
人教版数学初一下册第五章 相交线与平行线 5.3.2：命题、定理、证明(1)课件
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
（5）对顶角相等．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
16
知识点一：命题
学以致用
2、改写成“如果……那么……”的形式。并指出下列各命题 的题设和结论，
①、内错角相等； ②、两条平行线被第三直线所截，同位角相等； ③、同角的余角相等； ④、同平行于一直线的两直线平行； ⑤、直角三角形的两个锐角互余； ⑥、等角的补角相等； ⑦、正数与负数的和为0。
①如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除。 ②如果两个角互补，那么它们是邻补角。
③相等的角是对顶角．
1
2
1 2
20
知识点二：真命题和假命题
归纳总结
判断一个命题真假的方法：
利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举 反例等方法。
判断一个命题是假命题的方法：
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子， 说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
,那么..."的形式,会区分命题的题设和结论。 2.知道真命题和假命题的概念，会通过举反例判 断一个命题是假命题.
重点难点 重点:命题的概念以及真命题和假命题的概念.
难点:区分命题的题设和结论.
3
知识点一：命题
新知探究
刚刚我们复习了平行线的性质与判定，这些语句都对某 一件事情作出判断，如：同位角相等，两条直线平行．
（2）题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”；
（3）题设是“两个角是邻补角”，结论是“这两个角互补”.
13
知识点一：命题
互动探究
先独立完成导学案互动探究2，再同桌相互交流， 最后小组交流；
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章介绍了平面内两条直线相交与平行的关系，重点探讨了两条直线相交时形成角的特征、两条直线互相垂直的特性、两条直线平行的条件和特征，以及有关图形平移变换的性质。
本文将对其中的重点知识点进行总结。
5.1 相交线1.邻补角与对顶角当两条直线相交时，所形成的四个角具有不同的关系。
其中，对顶角是具有特殊位置关系的两个角，它们的大小相等；邻补角则是互为反向延长线的两个角，它们的和为180度。
2.垂线垂线是指当两条直线相交时，其中一个角为直角的情况。
垂线具有两个性质：一是过一点只有一条直线与已知直线垂直；二是连接直线外一点与直线上各点的垂线段最短。
3.垂线的画法画垂线的方法有两种：一是过直线上一点画已知直线的垂线；二是过直线外一点画已知直线的垂线。
画法可采用“一靠二移三画”的方法。
4.点到直线的距离点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
记忆时应结合图形进行理解。
本章内容的重点是垂线和其性质、平行线的判定方法和性质、平移和其性质，以及这些知识点的组织运用。
在研究这些知识点时，需要注意记忆其定义和性质，掌握其画法和应用方法。
垂线是指从一个点垂直于一条直线或平面的线段，而垂线段则是垂线的长度。
它们都具有垂直的性质，可以用来计算点到直线的距离或两点间的距离。
点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离，而两点间的距离是点与点之间的长度。
线段和距离都是长度的概念，但线段是一种图形，不能等同于距离。
平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的位置关系只有两种：相交和平行。
判断两条直线的位置关系可以根据它们的公共点个数来确定，有且只有一个公共点时两直线相交，无公共点时两直线平行，两个或两个以上公共点时两直线重合。
平行公理指出，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
同时，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成的八个角，包括同位角、内错角和同旁内角。
第3课时平行线及其性质七年级数学下册考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第3课时——平行线及其性质（答案卷）知识点一：平行线：1.平行线的定义：在同一平面内，的两条直线叫做平行线。
若直线a平行于直线b，则记作，读作。
注意：一定要在同一平面内。
且一定要时直线。
2.平行线的画法：过直线外一点画直线与已知直线平行的具体步骤：①将直角三角板的一条直角边与已知直线重合。
②将直尺与三角尺的另一直角边紧靠在一起。
③固定直尺不变，平移三角尺，使三角尺原来与已知直线重合的直角边与已知点重合。
④沿着三角尺该直角边画直线。
【类型一：确定平行线】1．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．无法确定2．在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1【类型二：作图】4．如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？5．在下面的方格纸中经过点C 画与线段AB 互相平行的直线l 1，再经过点B 画一条与线段AB 垂直的直线l 2．知识点二：平行公理及其推论：1. 平行公理：经过直线外一点， 条直线与这条直线平行。
有且只有：存在且唯一。
2. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即若c b b a ∥，∥， 则a c 。
3. 垂直于同一直线的两直线平行：若c a b a ⊥⊥，，则b c 。
【类型一：对平行公理及其推论的判断理解】6．下列说法正确的是（ ）A ．垂直于同一条直线的两直线互相垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离7．下列说法正确的是（ ）A ．a 、b 、c 是直线，若a ⊥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．a 、b 、c 是直线，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cC ．a 、b 、c 是直线，若a ∥b ，b ⊥c ，则a ∥cD ．a 、b 、c 是直线，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c8．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（）A．互相垂直B．互相平行C．相交D．没有确定关系9．下列说法中，正确的个数为（）（1）过一点有无数条直线与已知直线平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果两线段不相交，那么它们就平行（4）如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列说法不正确的是（）A．过马路的斑马线是平行线B．100米跑道的跑道线是平行线C．若a∥b，b∥d，则a⊥dD．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行知识点三：平行线的性质：1.两直线平行，同位角相等：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
人教版七年级下册数学《平行线的性质》相交线与平行线研讨说课教学课件
5.3.1 平行线的性质
第2课时
课件
平行性质
平行线性质1: 两直线平行，同位角相等 平行线性质2: 两直线平行，内错角相等
同旁内角之间又有什么关系呢？
1
【相关概念】性质3：两直线平行，同旁内角互补
如图，已知：AB// CD ,那么∠ 3与∠ 2有什么关系？ 例如：∵AB//CD,
D. 100°
1 【例题讲解】性质3：两直线平行，同旁内角互补
【例2】如图, AB//CD，AD//BC.
求证:∠A=∠C.
证明：∵AB//CD(已知)， ∴∠A+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补). ∵AD//BC(已知)， ∴∠C+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补). ∴∠A=∠C(同角的补角相等).
答：∠2 =110º．因为AB∥CD， ∠1和∠2是内错角， 根据两直线平行，内错角相等， 得到∠1=∠2． 因为∠1=110º，所以∠2 =110º．
例题
如图，平行线AB，CD被直线AE所截.
（2）从∠1=110º．可以知道∠3是多少度吗？为什么？
答：∠3 =110º．因为AB∥CD， ∠1和∠3是同位角， 根据两直线平行，同位角相等， 得到∠1=∠3． 因为∠1=110º，所以∠3 =110º．
练习
已知：如图，∠AGD=∠ACB，∠1=∠2，CD与EF平行吗？为什 么？ 答：CD∥EF．
理由如下： ∵ ∠AGD =∠ACB ， ∴ GD∥BC. ∵∠1和∠3是内错角， ∴∠1=∠3（两直线平行,内错角相等）. ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3. ∵∠2和∠3是同位角， ∴ CD∥EF（同位角相等，两直线平行）.
1B 3
2
2022-2023学年七年级数学下册课件之平行线的性质 第三课时(人教版)
∴∠1 = ∠2 (两直线平行，同位角相等). ∴ ∠2= ∠1 = 90° (等量代换).
∴a⊥c (垂直的定义).
总结
证明是从条件出发，经过一步步推理，最后推出结论的过 程．证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据 可以是已知条件，也可以是定义、公理，已学过的定理．在初学 证明时要把根据写在每一步推理后面的括号里，如本例中的“已 知”“等量代换”等．
1 在下面的括号内，填上推理的根据.
如图，∠A＋∠B=180°，求证∠C＋∠D=180°. 证明：∵∠A＋∠B=180°， ∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）. ∴ ∠C＋∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补） .
B
C
2 命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由； 如果不是，请举出反例.
①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对
顶角；③等角的余角相等；④对顶角相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5 能说明命题“对于任何实数a，|a|>－a”是假
命题的一个反例可以是( A )
A．a＝－2
B．a＝ 1
3
C．a＝1
D．a＝2
把“同旁内角互补”改写为“如果……那么……”的形式． 解： 如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 易错点：改写命题时，语句不通顺，命题补充不完整.
(2)命题改写的方法：先搞清命题的题设(已知事项)部 分和结论部分；再将其改写为“如果……那么……” 的形式：“如果”后面跟的是已知事项，“那么” 后面跟的是由已知事项推出的事项(即结论)．
1 指出下列命题的题设和结论：
(1)如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°;
(人教版)七年级数学寒假精品课 第03讲 平行线及其判定-【寒假自学课】解析版
第03讲平行线及其判定【学习目标】1.掌握平行线的概念及表示方法.2.掌握平行公理及其推论，并能够灵活应用.3.会画已知直线的平行线.4.经历探索两直线平行的三种判定方法.5.掌握直线平行的三种判定方法，并能够灵活应用.【基础知识】1.平行线的定义及表示：(1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线.(2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”.2.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行(2)相交3.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”.【注意】平行线的画法四字诀一“落”：三角板的一边落在已知直线上；二“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边；三“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点；四“画”：沿三角板过已知点的边画直线.4.平行公理及推论：(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【注意】平行公理(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性.(2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线.【概念辨析】(1)不相交的两条直线是平行线.(×)(2)若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD.(×)(3)若a∥b，b∥c，则a与c不相交.(√)5.平行线的判定方法1：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，∴AB∥CD.平行线的判定方法2：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)，∴AB∥CD.平行线的判定方法3：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，∴AB∥CD.6.平行线的其他判定方法：(1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行.(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【概念辨析】(1)同旁内角相等，两直线平行.(×)(2)两条直线都与第三条直线垂直，这两条直线互相平行.(×)【注意】判定两直线平行的方法方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线.方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.方法三：同位角相等，两直线平行.方法四：内错角相等，两直线平行.方法五：同旁内角互补，两直线平行.方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【考点剖析】考点一：平行线及其画法例1．根据下列要求画图.(1)如图(1)所示，过点A画MN∥BC.(2)如图(2)所示，过点C画CE∥DA，交AB于点E，过点C画CF∥DB，与AB的延长线交于点F. 【答案】如图所示：考点二：平行公理及其推论例2．如图，直线a，点B，点C.(1)过点B画直线a的平行线，能画几条？(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？【分析】根据平行公理及其推论解答.【详解】(1)如图，过直线a外的一点B画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行.(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行.理由如下：如图，因为b∥a，c∥a，所以c∥b.考点三：平行线的判定例3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是()A.∠1=∠3B.∠2+∠4=180°C.∠1=∠4D.∠3=∠4【答案】D.【分析】根据平行线的判定条件进行判断即可.【详解】由同位角相等，两直线平行可知A可以判定直线a与b平行；由同角的补角相等，结合同位角相等，两直线平行可知B可以判定直线a与b平行；由对顶角相等，结合同位角相等，两直线平行可知C可以判定直线a与b平行；∠3与∠4是对顶角，与直线a与b平行无关.例4已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么____________．(____________，____________)(2)如果∠2＝∠5，那么____________．(____________，____________)(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．(____________，____________)(4)如果∠5＝∠3，那么____________．(____________，____________)【答案】（1）EF∥DG，内错角相等，两直线平行；（2）AB∥EF，同位角相等，两直线平行；（3）AD∥BC，同旁内角互补，两直线平行；（4）AB∥DG，内错角相等，两直线平行；考点四：平行线判定的应用例5．我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象.如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图.由于折射率相同，因此已知∠1=∠4，∠2=∠3.请你用所学知识来判断c与d是否平行？并说明理由.【答案】平行，理由如下：如图，∵∠1+∠5=∠4+∠6(邻补角的定义)，∠1=∠4(已知)，∴∠5=∠6(等角的补角相等)，∵∠2=∠3(已知)，∴∠2+∠5=∠3+∠6(等式的性质)，∴c∥d(内错角相等，两直线平行).【真题演练】一、单选题1．下列说法正确的个数是（）．（1）两条直线不相交就平行；（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行； （5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直． A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】B 【分析】（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可； （2），根据平行线的定义进行判断即可；（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可． 【详解】(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误； (2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误； (4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确； (5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误， 所以只有（4）一项正确， 故选：B ． 【点睛】本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键． 2．下列说法正确的是（ ）A ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，//b c ，则//a cB ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥C ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，b c ⊥，则//a cD ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，//b c ，则a c ⊥ 【答案】A 【分析】根据平行线的判定判断即可．解：A 、在同一平面内，a 、b 、c 是直线，如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，故正确； B 、在同一平面内，a 、b 、c 是直线，如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ，故错误； C 、在同一平面内，a 、b 、c 是直线，如果a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ，故错误； D 、在同一平面内，a 、b 、c 是直线，如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，故错误； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查的是平行线的判定，平行公理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图所示，给出了过直线l 外一点P 作已知直线l 的平行线的方法，其依据是（ ）．A ．同位角相等，两直线平行．B ．内错角相等，两直线平行．C ．同旁内角互补，两直线平行．D ．以上都不对．【答案】A 【分析】由作图可得同位角相等，根据平行线的判定可作答． 【详解】解：由图形得，有两个相等的同位角，所以依据为：同位角相等，两直线平行． 故选：A ． 【点睛】本题考查的是作平行线，熟知过直线外一点，作已知直线的平行线的方法和平行线的判定定理是解答此题的关键．4．如图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断//AB CD 的是（ ）A ．34∠=∠B ．12∠=∠C ．D DCE ∠=∠ D ．180D ACD ∠+∠=︒【分析】根据平行线的判定判断即可； 【详解】当34∠=∠时，BDAC ，故A 不符合题意；当12∠=∠时，//AB CD ，故B 符合题意； 当D DCE ∠=∠时，BDAE ，故C 不符合题意；当180D ACD ∠+∠=︒时，BD AE ，故D 不符合题意；故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，准确分析判断是解题的关键．5．如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD ，使其拐角∠ABC ＝150°，∠BCD ＝30°，则（ ）A ．AB //BC B ．BC //CD C ．AB //DC D ．AB 与CD 相交【答案】C 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行即可解答． 【详解】解：∵∠ABC ＝150°，∠BCD ＝30° ∴AB //DC ． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”成为解答本题的关键． 6．如图，下列能判定//AB CD 的条件有（ ）个．（1）180B BCD ∠+∠=︒；（2）12∠=∠；（3）34∠=∠；（4）5B ∠=∠．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可．【详解】解：当∠B+∠BCD=180°，AB∥CD，符合题意；当∠1=∠2时，AD∥BC，不符合题意；当∠3=∠4时，AB∥CD，符合题意；当∠B=∠5时，AB∥CD，符合题意．综上，符合题意的有3个，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．二、填空题7．同一平面内，两条相交直线不可能与第三条直线都平行，这是因为________________．【答案】平行公理的推论【分析】根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，进行求解即可．【详解】解：由平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，可以知道同一平面内，两条相交直线不可能与第三条直线都平行，故答案为：平行公理的推论．【点睛】本题主要考查了平行公理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）（1）14∠=∠（已知）∴__//____（__________________________________） （2）ABC ∠+∠_____180=︒（已知）//AB CD ∴（________________________） （3）∠_____=∠__（已知） //AD BC ∴（______________________________） （4）5∠=∠____（已知） //AB CD ∴（_______________________________）【答案】AB CD 内错角相等，两直线平行 BCD 同旁内角互补，两直线平行 3 2 内错角相等，两直线平行 ABC 同位角相等，两直线平行 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行得出即可； （2）根据同旁内角互补，两直线平行得出即可； （3）根据内错角相等，两直线平行得出即可； （4）根据同位角相等，两直线平行得出即可． 【详解】解：（1）14∠=∠（已知），//AB CD ∴（内错角相等，两直线平行），（2）ABC ∠+∠BCD 180=︒（已知），//AB CD ∴（同旁内角互补，两直线平行），（3）∠3=∠2（已知），//AD BC ∴（内错角相等，两直线平行）（4）5∠=∠ABC （已知），//AB CD ∴（同位角相等，两直线平行），故答案为：AB ；CD ；内错角相等，两直线平行；BCD ；同旁内角互补，两直线平行；3；2；内错角相等，两直线平行；ABC ；同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 9．两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：（1）两条直线被第三条直线所截，如果______________，那么____________．这个判定方法2可简述为：____________，____________．几何语言表述为：如图，∠_______=∠________ //AB CD ∴（2）两条直线被第三条直线所截，如果_______________，那么_____________．这个判定方法3可简述为：___________，_________________．几何语言表述为：∠______ +∠______180=︒ //AB CD ∴【答案】内错角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 2 8 同旁内角互补 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 2 5【分析】（1）根据“内错角相等，两直线平行”回答即可；（2）根据“同旁内角互补，两直线平行”回答即可．【详解】解：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．这个判定方法2可简述为：内错角相等，两直线平行．几何语言表述为：如图，∵∠2=∠8，∴AB //CD ；（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．这个判定方法3可简述为：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表述为：∵∠2+∠5=180°，∴AB //CD ． 故答案为：内错角相等；两直线平行；内错角相等；两直线平行；2；8；同旁内角互补；两直线平行；同旁内角互补；两直线平行；2；5．【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握“内错角相等，两直线平行”以及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．10．如图，AC 平分∠DAB ，∠1＝∠2，试说明AB ∥CD .证明：∵AC 平分∠DAB ( )，∴∠1＝∠____( )，又∵∠1＝∠2( )，∴∠2＝∠____( )，∴AB ∥____( )．【答案】已知 3 角平分线的定义 已知 3 等量代换 CD 内错角相等，两直线平行【解析】【分析】根据平行线证明对书写过程的要求和格式填写即可.【详解】证明：∵AC 平分∠DAB ( 已 知 )，∴∠1＝∠ 3 (角平分线的定义)，又∵∠1＝∠2( 已 知 )，∴∠2＝∠ 3 (等量代换)，∴AB ∥CD (内错角相等，两直线平行)．【点睛】本题主要考察平行线证明的书写，正确的逻辑推理和书写格式是解题的关键.三、解答题11．已知：如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，CD 平分ACB ∠，40DCB ∠=︒，80AED ∠=︒．求证：DE BC ∥．【答案】证明见解析．【分析】根据角平分线定义可求224080BCE DCB ∠=∠=⨯︒=︒，然后利用等量代换可得BCE AED ∠=∠，再利用平行线判定定理同位角相等，两直线平行可得//DE BC ．【详解】证明：∵CD 平分ACB ∠（已知），∴224080BCE DCB ∠=∠=⨯︒=︒（角平分线的定义）．∵80AED ∠=︒（已知），∴BCE AED ∠=∠（等量代换）．∴//DE BC （同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查角平分线定义，平行线判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．【过关检测】一、单选题1．三条直线a b c 、、，若 / / , / /a c b c ，则a 与b 的位置关系是( )A ．a b ⊥B ．a / / bC ．a b ⊥或a / / bD ．无法确定【答案】B【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行分析，得出正确答案．【详解】解：由于直线a 、b 都与直线c 平行，依据平行公理的推论，可推出a ∥b ．故选B ．【点睛】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 2．若直线a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 的依据是( )A ．平行公理B ．等量代换C ．等式的性质D ．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D【详解】因为直线a ∥b ,b ∥c ,所以a ∥c 的依据是平行于同一条直线的两条直线互相平行,故选D.3．下列说法中正确的个数有( )①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内不重合的两条直线有平行、相交和垂直三种位置关系；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】分别根据直线的位置关系、点到直线的距离、平行线的判定方法即可解答.【详解】解：两直线平行内错角相等，故①错误；在同一平面内不重合的两条直线有平行和相交两种位置关系，故②错误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故③正确；在同一平面内，根据同位角相等两直线平行可知④正确；故选B ．【点睛】本题考查了平行线定理、两直线位置关系和点到直线的距离等知识，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键.4．如图，1,2,,8∠∠∠是两条直线,a b 被直线c 所截后形成的八个角，则能够判定直线//a b 的是（ ）A ．34180∠+∠=B ．18180∠+∠=C ．57180∠+∠=D ．26180∠+∠=【答案】B【分析】 根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】A. ∠3+∠4=180°不能判定任何直线平行，故本选项错误；B. ∵∠1=∠3,∠1+∠8=180°,∴∠3+∠8=180°,∴a ∥b ，故本选项正确；C. ∠5+∠7=180°不能判定任何直线平行，故本选项错误；D. ∠2+∠6=180°不能判定任何直线平行，故本选项错误．故选B.【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握其判定定理.5．如图所示，下列推理中，错误的是（ ）A ．∵12∠=∠（已知），∴12l l //（同位角相等，两直线平行）B ．∵45180︒∠+∠=（已知），∴12l l //（同旁内角互补，两直线平行）C ．∵42∠=∠（已知），∴34//l l （内错角相等，两直线平行）D ．∵14∠=∠（已知），∴12l l //（内对角相等，两直线平行）【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可.【详解】A. ∵12∠=∠（已知），∴12l l //（同位角相等，两直线平行），正确；B. ∵45180︒∠+∠=（已知），∴12l l //（同旁内角互补，两直线平行），正确；C. ∵42∠=∠（已知），∴34//l l （内错角相等，两直线平行），正确；D. ∵∠1与∠4不具备特殊位置关系，∴由14∠=∠不能判断12l l //，故不正确；故选D.【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.6．如图，不能说明AB//CD 的有（ ）①∠DAC=∠BCA ；②∠BAD=∠CDE ；③∠DAB+∠ABC=180°；④∠DAB=∠DCBA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】选项①∠DAC 和∠BCA 属于内错角，选项②∠BAD 和∠CDE 属于同位角，选项③∠DAB 和∠ABC 属于同旁内角，根据两直线平行的三大定理进行判断，选项④不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．【详解】选项①∵∠DAC=∠BCA ∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；选项②∵∠BAD=∠CDE ∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）；选项③∵∠DAB+∠ABC=180°∴AD ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）；选项④不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．故选C ．【点睛】本题考查了两直线平行的判定定理：（一）同位角相等，两直线平行；（二）内错角相等，两直线平行；（三）同旁内角互补，两直线平行．找准两个角是同位角，内错角还是同旁内角，然后再进行判断．7．如图，下列条件中，不能判定//AD BC 的是( )A ．12∠=∠B ．180BAD ADC ︒∠+∠= C ．34∠=∠D ．180ADC DCB ︒∠+∠=【答案】B【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．【详解】A. ∠1=∠2,AD ∥BC(同位角相等,两直线平行)，此选项不符合题意；B. ∠BAD+∠ABC=180°,AB ∥DC(同旁内角互补,两直线平行)，但此选项符合题意；C. ∠3=∠4,AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)，此选项不符合题意；D. ∵∠ADC+∠DCB=180°，∴AD ∥BC,(同旁内角互补,两直线平行)此选项不符合题意；故选B.【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握判定定理.8．如图所示，AE 平分BAC ∠，CE 平分ACD ∠，不能判定//AB CD 的条件是（ ）A ．12∠=∠B ．1290︒∠+∠=C ．3490︒∠+∠=D ．2390︒∠+∠=【答案】A【解析】【分析】 根据平行线的判定方法逐项分析即可.【详解】∵AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，21,22BAC ACD ∴∠=∠∠=∠.若∠1=∠2，则BAC ACD ∠=∠，不能判定//AB CD ，故A 符合题意；若∠1＋∠2＝90°，则2(12)180BAC ACD ︒∠+∠=∠+∠=，∴AB ∥CD ，故B 不符合题意；若∠3＋∠4＝90°；则2(12)180BAC ACD ︒∠+∠=∠+∠=，∴AB ∥CD ，故C 不符合题意；若∠2＋∠3＝90°．则2(12)180BAC ACD ︒∠+∠=∠+∠=，∴AB ∥CD ，故D 不符合题意；故选A.【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.二、填空题9．如图所示，直线,a b 被直线l 所截，158︒∠=，当2∠=________时，直线//a b ．【答案】58°【解析】【分析】根据∠3与∠1相等时，a 与b 平行解答即可.【详解】当2∠=58°时，直线//a b ．∵∠2=∠3，2∠=58°，∴∠3=58°. ∵158︒∠=，∴∠1=∠3，∴//a b .故答案为58°.【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.10．如图，E 在AD 的延长线上，下列四个条件：①∠3=∠4；②∠C +∠ABC =180°；③∠A=∠CDE ；④∠1=∠2，其中能判定AB ∥CD 的是________．（填序号）【答案】②③④【分析】根据平行线的判定定理，逐一判断，即可得到答案．【详解】∠=∠，∵34BC AD，∴//∴①不符合题意；∵∠C+∠ABC=180°，∴AB∥CD；∴②符合题意；∵∠A=∠CDE，∴AB∥CD；∴③符合题意；∵∠1=∠2，∴AB∥CD．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．11．如图所示，若12∠=∠，则______//________，根据是_____________．∠=∠，则___//__，根据是_______________________________．若13【答案】AB CE 内错角相等，两直线平行 AC DE 内错角相等，两直线平行【分析】根据内错角相等两直线平行解题．【详解】解：若12∠=∠，则AB // CE ，根据是内错角相等两直线平行；若13∠=∠，则AC //DE ，根据是内错角相等两直线平行，故答案为：AB ，CE ，内错角相等，两直线平行，AC ，DE ，内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查平行线的判断：内错角相等，两直线平行，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 12．已知：如图，直线AB 、CD 被直线GH 所截，1112,268∠=︒∠=︒，求证： AB // CD . 完成下面的证明：证明：∵AB 被直线GH 所截，1112,∠=︒∴1∠=∠ 112,︒＝ ∵268∠=︒∴13∠+∠=∴ // （ ）（填推理的依据）.【答案】见解析.【分析】先根据对顶角相等求得∠3的度数，进而得到∠2+∠3=180°，即可判定AB ∥CD ．【详解】证明：∵AB 被直线GH 所截，∠1=112°，∴∠1=∠3=112°∵∠2=68°，∴∠2+∠3=180°，∴AB ∥CD ，（同旁内角互补，两直线平行）故答案为∠3，180°，AB ，CD ，同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 13．已知：如图，在三角形ABC 中，CD AB ⊥于点D ，连接DE ，当1290∠+∠=时，求证：DE //BC ． 证明：∵CD AB ⊥（已知），∴90ADC ∠=︒（垂直的定义）．∴1∠+________90=︒，∵1290∠+∠=︒（已知），∴________2=∠（依据1：________），∴//DE BC （依据2：________）．【答案】EDC ∠；EDC ∠；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行【分析】根据垂直的定义及平行线的判定定理即可填空．【详解】∵CD AB ⊥（已知），∴90ADC ∠=︒（垂直的定义）．∴1∠+EDC ∠90=︒，∵1290∠+∠=︒（已知），∴EDC ∠2=∠（同角的余角相等），∴//DE BC （内错角相等，两直线平行）．故答案为：EDC ∠；EDC ∠；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记 “内错角相等，两直线平行”是解题的关键．三、解答题14．如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，∠1=∠2，求证：AB ∥CD;【答案】证明见解析【分析】根据对顶角的性质以及平行线的判定方法进行证明即可.【详解】解： ∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴AB ∥CD ．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质以及平行线的判定定理，熟练掌握对顶角相等与判定线段平行的判定定理是解题的关键.15．已知：如图，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，1∠和D ∠互余，求证：//AB CD ．【答案】证明见详解【分析】根据题意先由∠1和∠D 互余，∠2和∠D 互余，得到∠1=∠2，再由已知∠C=∠1，所以得∠C=∠2，从而证得AB ∥CD ．【详解】解：证明：∵∠1和∠D 互余，∠2和∠D 互余，∴∠1=∠2，∵∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB ∥CD ．【点睛】本题考查的知识点是平行线的判定，解题的关键是利用内错角相等两直线平行进行求证． 16．填写理由：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，4BAE ∠=∠，试说明//AD BE ．解：∵∠1=∠2（已知）∴12CAF CAF ∠+∠=∠+∠（______）即BAF ∠=∠______∵∠3=∠4，4BAE ∠=∠（已知）∴∠3=∠______（______）∴∠3=∠______∴//AD BE （______）【答案】见解析【分析】由∠1=∠2易得BAF ∠=DAC ∠，由等量代换可得∠3=∠DAC ，再根据内错角相等判定//AD BE ．【详解】∵∠1=∠2（已知）∴12CAF CAF ∠+∠=∠+∠（等式的性质）即BAF ∠=∠ DAC∵∠3=∠4，4BAE ∠=∠（已知）∴∠3=∠BAE （等量代换）∴∠3=∠DAC∴//AD BE （内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查平行线的判定，灵活运用等量代换得到内错角相等是解题的关键．。
人教版七年级数学教案：5.2平行线及其判定
在今天的课堂中，我尝试了多种教学方法，希望让学生更好地理解和掌握平行线及其判定的知识。首先，通过日常生活中的实例导入新课，我发现同学们对此产生了浓厚的兴趣，这为后续的学习奠定了良好的基础。但在讲授过程中，我也发角、内错角等概念上存在一定的困惑。
此外，在学生小组讨论环节，我注意到有些小组在讨论主题上稍显偏离，没有完全聚焦在平行线的实际应用上。在今后的教学中，我应更加注重引导学生围绕主题展开讨论，提高讨论的针对性和实效性。
在总结回顾环节，我发现同学们对本节课的知识点有了较为全面的掌握，但仍有个别同学存在疑问。为此，我计划在课后进行个别辅导，帮助他们消除困惑，确保每个人都能跟上教学进度。
2.教学难点
a.平行线判定方法的推理过程；
-对于同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等判定方法，学生可能难以理解其中的逻辑关系，需要教师通过具体实例和图示进行详细讲解。
b.画平行线的实际操作；
-在实际操作过程中，学生可能会出现画线不准确、方法不熟练等问题，需要教师耐心指导，反复练习，帮助学生掌握正确的方法。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行线的基本概念、判定方法和在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对平行线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平行线的判定方法和画法这两个重点。对于难点部分，如同位角、内错角等概念，我会通过图示和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平行线相关的实际问题。
5.3.1 平行线的性质(第2课时)平行线的性质和判定的综合运七年级数学下册同步备课系列(人教版)
又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）,
∴∠ 1 = 80 °，∠ 2 = 70 °（等量代换）.
∴∠AEC=∠1+∠2= 80 °+ 70 ° = 150 °.
当堂巩固
1. 填空：如图，
A
(1)∠1=∠2 时，AB∥CD.
1
(2)∠3= ∠5 或∠4 时，AD∥BC. B
D
5 2
3 C
4 F
解：过点C作CF∥AB，
A
则 _∠__B_=_∠__1（ 两直线平行，内错角相等 ）
C
又∵AB∥DE，AB∥CF，
D
∴___C_F__∥__D_E___（平行于同一直线的两条直线互相平行 ）
∴∠E＝∠__2__（ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2
即∠B＋∠E＝∠BCE．
B 1F 2
感受中考
2.（3分）（2021•包头8/26）如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B， 过点B的直线l4交l1于点C．若∠3=50°，∠1+∠2+∠3=240°，则∠4等于（ ）
A．80°
B．70°
C．60°
D．50°
【 分 析 】 由 题 意 得 ， ∠ 2=60° ， 由 平 角 的 定 义 可 得 ∠5=70°，再根据平行线的性质即可求解．
c 图1
b
c
a 图2
3. 运用平行线的性质填一填
图形
同a 位 角b
1 2 c
内 错 角
a 3
b
2
c
同 旁
a
内 角
b
42 c
已知 a//b
结果 ∠1 = ∠2
人教版数学第5章平行线的性质与判定及辅助线模型
平行线判定和性质以及四大模型汇总第一部分平行线的判定判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．第二部分平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补第三部分平行线的四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.第四部分平行线的四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.第五部分平行线的四大模型的应用案例1如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．2如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．3如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .4如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．5如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为 ．6 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C = .7如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.8如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.9如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .10如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.11如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．12如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°133如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .14如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .15 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．16已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.17如图(l )，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n ，∠B 1、∠B 2…∠B n -1之间的 关系．(2)如图(2)，己知MA 1∥NA 4，探索∠A 1、∠A 2、∠A 3、∠A 4，∠B 1、∠B 2之间的关系． (3)如图(3)，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n 之间的关系．如图所示，两直线AB ∥CD 平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．18如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第六部分 平行线的四大模型实战演练1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5． 6． 7．8．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .9．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .10．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .11．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.第七部分平行线的性质和判定综合应用1．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD ＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°2．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，AE∥BF，∠1＝110°，∠2＝130°，求∠3的度数为（）4．如图，∠B+∠C＝180°，∠A＝50°，∠D＝40°，则∠AED＝．5．如图，如果∠C＝70°，∠B＝135°，∠D＝110°，那么∠1+∠2＝6．如图，AB∥CD，求∠1+∠2+∠3+∠4＝7．如图，AB∥CD，试找出∠B、∠C、∠BEC三者之间的数量关系．8．如图，三角形ABC中，点E为BC上一点（1）作图：过点E作EM∥AC交AB于M，过点E作EN∥AB交AC于N；（2）求∠A+∠B+∠C的度数，写出推理过程．9．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°，求∠BED．10．如图，AC∥BD．（1）作图，过点B作BM∥AP交AC于M；（2）求证：∠PBD﹣∠P AC＝∠P．11．如图，AB∥CD，∠B＝∠C，求证：BE∥CF．12．如图①，木杆EB与FC平行，木杆的两端B，C用一橡皮筋连接，现将图①中的橡皮筋拉成下列各图②③的形状，请问∠A、∠B、∠C之间的数量关系?。
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结
人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结本章使生了解在平面不重合的直相交平行的位置系，究了直相交的形成的角的学内两条线与两种关研两条线时特征，直互相垂直所具有的特性，直平行的期共存件和所有的特征以及有形平移的两条线两条线长条它关图变换性，利用平移一些美的案质设计优图.。
重点：垂和的性线它质,平行的判定方法和的性，平移和的性，线它质它质以及些的用这组织运.5.1相交线1、邻补角与对顶角直相交所成的四角中存在几不同系的角，的念及性如下表：两线个种关它们概质形图点顶的系边关大小系关角对顶∠1∠与2有公共点顶∠1的两边与∠2的互两边为反向延长线角相等对顶即∠1=∠2角邻补 ∠3∠与4有公共点顶∠3∠与4有一公共，另一条边互反向延边为长。
线∠3+∠4=180°注意点：⑴角是成出的，角是具有特殊位置系的角；对顶对现对顶关两个⑵如果∠α∠与β是角，那一定有∠对顶么α=∠β；反之如果∠α=∠β，那∠么α∠与β不一定是角对顶⑶如果∠α∠与β互角，一定有∠为邻补则α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，∠则α∠与β不一定是角邻补。
⑶直相交形成的四角中，每一角的角有，而角只有一。
两线个个邻补两个对顶个2、垂线⑴定，直相交所成的四角中，有一角是直角，就直互相垂直，其中的一直叫做义当两条线个个时说这两条线条线另一直的垂，的交点叫做垂足。
条线线它们符言作：号语记 第1页共7页1243A BCDO如所示：图AB⊥CD ，垂足为O⑵垂性线质1：一点有且只有一直已知直垂直 过条线与线(平行公理相比与较记)⑶垂性线质2：接直外一点直上各点的所有段中，垂段最短。
：垂段最短。
连线与线线线简称线3、垂线的画法：⑴直上一点已知直的垂；⑵直外一点已知直的垂。
过线画线线过线画线线注意：①一段或射的垂，就是所在直的垂；②一点作段的垂，垂足可在段上，也画条线线线画它们线线过线线线可以在段的延上。
线长线法：⑴一靠：用三角尺一直角靠在已知直上，⑵二移：移三角尺使一点落在的另一直角上，⑶画条边线动它边边三：沿着直角，不要成人的印象是段的。
人教版七年级下册数学《平行线及其判定》期末复习讲义(含知识点和习题)
第五章《相交线与平行线》期末复习讲义5.2平行线及其判定【知识回顾】一．平行线1.定义：在同一平面内，__________的两条直线叫做平行线2.要点剖析（1）：平行线的特征：在同一平面内；是直线；没有公共点。
（2）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，重合的直线视为一条直线。
（3）平行线是指的两条直线的位置关系，两条射线或线段平行，是指的它们所在的直线平行。
二．平行线的画法1.“一落”把三角尺的一边落在已知直线上2.“二靠”用直尺紧靠三角尺的另一边3.“三推”把三角尺沿着直尺推到三角尺的一边刚好过已知点的位置4.“四画”沿三角尺过已知点的边画直线三．平行公理及其推论1.平行公理：经过直线外一点，_________一条直线与这条直线平行2.平行公理的推论：如果两条直线都与_________直线平行，那么这两条直线也互相平行四．平行线的判定1.同位角相等，两直线_________2.内错角相等，两直线_________3.同旁内角互补，两直线___________4.在同一平面内，垂直于_______________的两条直线互相平行题型拓展题型1 平行公理及其推论的应用例1：1．如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF 为折痕．把长方形ABEF平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置，总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？例2：2．如图，取一张长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，把ABNM平摊在桌面上，另一个面CDMN不论怎样改变位置，总有MN∥∥．因此∥．题型2 综合运用各种判定方法判定两条直线平行例1：3．如图，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么BC与DE平行吗？AB与CD呢？为什么？例2：4．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知）所以∠1＝∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（）所以∠2+∠6＝180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）题型3 平行线判定的开放探究题例1：5．如图，∠A＝60°，∠1＝60°，∠2＝120°，猜想图中哪些直线平行，并证明．例2：6．如图，直线a，b被c所截，∠1＝50°，若要a∥b，则需增加条件（填图中某角的度数）；依据是．题型4 平行线的判定在实际生活中的应用例1：7．如图所示，给你两块同样的三角板和一根直尺（直尺比桌子长），请你设计一个方案，检验桌子的相对边缘线是否平行？例2：8．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直线是否平行？为什么？课后提高训练9．下列说法错误的是（）A．平行于同一条直线的两直线平行B．两直线平行，同旁内角互补C．对顶角相等D．同位角相等10．如图，下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（）A．∠1＝∠2B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°11．如图，平面内有五条直线l1、l2、l3、l4、l5，根据所标角度，下列说法正确的是（）A．l1∥l2B．l2∥l3C．l1∥l3D．l4∥l512．如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4B．∠BAD＝∠BCDC．∠BAD+∠ADC＝180°D．∠2＝∠313．如图所示，下列推理正确的是（）A．∵∠1＝∠4（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵∠2＝∠3（已知）∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）C．∵∠1＝∠3（已知）∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）D．∵∠2＝∠2（已知）∴AE∥DC（内错角相等，两直线平行）14．下列说法中正确的个数为（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线被第三条直线所截，同位角相等③经过两点有一条直线，并且只有一条直线④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交A．1个B．2个C．3个D．4个15．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（填序号）①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠D＝∠5．16．如图，要使BE∥DF，需补充一个条件，你认为这个条件应该是（填一个条件即可）．17．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点C、D重合，若固三角板定ABC，改变三角板AED的位置（其中A点位置始终不变），当∠CAD＝时，ED∥AC．18．如图，直线a、b被直线c所截，现给出的下列四个条件：①∠4＝∠7；②∠2＝∠5；③∠2+∠3＝180°；④∠2＝∠7．其中能判定a∥b的条件的序号是．19．已知：∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，求证：AB∥CD．20．如图，若∠1＝42°，∠2＝53°，∠3＝85°，则直线l1与l2平行吗？判断并说明理由．21．如图，已知CD⊥AD于点D，DA⊥AB于点A，∠1＝∠2，试说明DF∥AE．解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（）．同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（）．即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（）．所以DF∥AE（）．22．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（），∴∠2＝∠4（等量代换），∴（）．∴∠3＝∠C（）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（）．参考答案与解析1.解：∵四边形FECD是矩形，∴CD∥EF；又∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥EF，∴CD∥AB．2.解：∵长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，∴MN∥AB，MN∥CD，即MN∥AB∥CD，∴AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．故各空依次填AB、CD、AB、CD．3.解：BC∥DE，AB∥CD．理由如下：∵∠1＝47°，∠2＝133°，而∠ABC＝∠1＝47°，∴∠ABC+∠2＝180°，∴AB∥CD；∵∠2＝133°，∴∠BCD＝180°﹣133°＝47°，而∠D＝47°，∴∠BCD＝∠D，∴BC∥DE．4.解：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知），所以∠1＝∠4，（同角的补角相等）所以a∥c．（内错角相等，两直线平行）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（对顶角相等）所以∠2+∠6＝180°，（等量代换）所以a∥b．（同旁内角互补，两直线平行）所以b∥c．（平行于同一条直线的两条直线平行）．故答案为：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．5.解：如图，∵∠A＝60°，∠1＝60°，∴∠A＝∠1，∴DE∥AC．又∵∠A＝60°，∠2＝120°，∴∠A+∠2＝180°，∴EF∥AB．6.解：∵∠3＝50°，1＝50°，∴∠1＝∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠3＝50°；同位角相等；两直线平行．7.解：（1）将直尺放在桌面上，使其与桌面一组对边相交；（2）将三角板一边贴近直尺，斜边贴近桌面边缘；（3）使另一个三角形同样方法放置，如果相符合说明对边平行，原理如图所示，若∠1＝∠2则a∥b，再检查另一组对边是否平行．8.解：①通过度量∠3的度数，若满足∠2+∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；②通过度量∠4的度数，若满足∠2＝∠4，根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；③通过度量∠5的度数，若满足∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论．9. D10.C11.D12.C13.B14.B15.解：选项①中∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；选项②中，∵∠2＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；选项③中，∵∠1＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项④中，∵∠B＝∠5，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以正确；选项⑤中，∠D＝∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；故答案为：①③④．16.解：添加条件为：∠D＝∠COE．理由如下：∵∠D＝∠COE，∴BE∥DE（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠D＝∠COE（答案不唯一）．17.解：如图所示：当ED∥AC时，∠CAD＝∠D＝30°；如图所示，当ED∥AC时，∠E＝∠EAC＝60°，∴∠CAD＝60°+90°＝150°；故答案为：30°或150°．18.解：当∠4＝∠7时，a∥b，故①正确；当∠2＝∠5时，无法证明a∥b，故②错误；当∠2+∠3＝180°时，无法证明a∥b，故③错误；当∠2＝∠7时，a∥b，故④正确；故答案为：①④．19.证明：∵∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD．20.解：直线l1与l2平行，理由：∵∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠1＝42°，∠2＝53°，∴∠4＝42°，∠5＝53°，又∵∠3＝85°，∴∠3+∠5＝85°+53°＝138°，∴∠3+∠5+∠4＝138°+42°＝180°，∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）．21.解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（垂直的定义），同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（等量代换），即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（等式的性质1），所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）．22.证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），∴∠2＝∠4（等量代换），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．。
人教版七年级数学下册精品教学课件 第五章 相交线与平行线 平行线的判定
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
∵∠3=∠4，∠2=∠5，∠2+∠3=180°， ∴∠4+∠5=180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
课堂小结
判定两条直线是否平行的方法有： 1.平行线的定义. 2.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 3.平行线的判定方法： （1）同位角相等, 两直线平行. （2）内错角相等, 两直线平行. （3）同旁内角互补, 两直线平行 4.如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行.
知识点四 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么
两条直线平行吗？为什么？
已知条件：直线 b 与直线 c 都垂直于直线 a .要说明的
结论：直线 b 与直线 c 平行吗？ 解法一：如图，∵ b⊥a，∴ ∠1= 90°.
同理∠2= 90°.∴ ∠1=∠2.
A
明，如果同位角相等，那么AB∥CD.
E
P
H1
D
G2 B F
一般地，有如下利用同位角判定两条直线平行的方法：
判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
A
几何语言：
1
∵∠1=∠2(已知)
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行）
l2
2
l1
c
a
2
43
b
1
2.如图，直线AE ，CD 相交于点O ，如果∠A＝110°，∠1＝ 70°，就可以说明AB∥CD，这是为什么？
解：因为∠1＝∠AOD(对顶角相等)，∠1＝ 70°，所以∠AOD＝70°. 又因为∠A＝110°，所以∠A＋∠AOD＝
平行线的性质(知识讲解)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.12平行线的性质（知识讲解）【学习目标】1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.特别说明：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．特别说明：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．（2）两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．【典型例题】类型一、平行线的性质➽➼同位（内错）相等✮✮同旁内角互补➻➸两直线平行1．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．如图，已知AD BC ⊥，EF BC ⊥，12∠=∠，试证明：∥DG BA ．解：AD BC ⊥ ，EF BC ⊥（已知），90EFB ADB ∴∠=∠=︒（______）∴______∥______（______）1BAD ∴∠=∠（______）又12∠=∠ （已知），∴______（______）∴∥DG BA （______）【答案】垂直的定义；EF AD ；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；2BAD ∠=∠；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．解：AD BC ⊥ ，EF BC ⊥（已知），∴90EFB ADB ∠=∠=︒（垂直的定义），∴EF AD ∥（同位角相等，两直线平行），∴1BAD ∠=∠（两直线平行，同位角相等），又12∠=∠ （已知），∴2BAD ∠=∠（等量代换），∴∥DG BA （内错角相等，两直线平行），故答案为：垂直的定义；EF ；AD ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；2BAD ∠=∠；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】将下列证明过程及依据补充完整．如图，在ABC 中，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，E ，F 分别为BC ，AB 上的点，且AC DE ∥，CD EF ∥，求证：EF 平分DEB∠证明：∵CD 平分ACB ∠（已知），∴DCA DCE ∠=∠（角平分线的定义）．∵AC DE ∥（已知），∴DCA CDE ∠=∠（）∴DCE CDE ∠=∠（等量代换），∵CD EF ∥（已知），∠=∠（）∴DEF CDE∠=∠（）DCE BEF∴_____=______（等量代换），∴EF平分DEB∠（）【答案】两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；DEF∠；BEF∠；角平分线的定义．【分析】根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．∠（已知），证明：∵CD平分ACB∠=∠（角平分线的定义）．∴DCA DCE∥（已知），∵AC DE∴DCA CDE∠=∠（两直线平行，内错角相等）∠=∠（等量代换），∴DCE CDE∵CD EF∥（已知），∠=∠（两直线平行，内错角相等）∴DEF CDEDCE BEF∠=∠（两直线平行，同位角相等）∴DEF∠=BEF∠（等量代换），∴EF平分DEB∠（角平分线的定义）故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；DEF∠；BEF∠；角平分线的定义．【点拨】本题考查了平行线的性质和平行线的判定在几何证明中的应用，明确相关性质及定理是解题的关键．【变式2】填空，将本题补充完整．如图，已知EF AD，∠1＝∠2，∠BAC＝65°．将求∠AGD的过程填写完整．解：∵EF AD （已知）∴∠2＝（）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝（等量代换）∴AB GD （）∴∠BAC +＝180°（）∵∠BAC ＝65°（已知）∴∠AGD ＝°【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；∠3；内错角相等，两直线平行；∠AGD ；两直线平行，同旁内角互补；115°【分析】由EF AD ，可得∠2＝∠3，由等量代换可得∠1＝∠3，从而得到DG BA ，根据平行线的性质可得∠BAC ＋∠AGD ＝180°，即可求解．解：∵EF AD （已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝∠3（等量代换）∴AB GD （内错角相等，两直线平行）∴∠BAC ＋∠AGD ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC ＝65°（已知）∴∠AGD ＝115°．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补定理；内错角相等，两直线平行的应用．2．如图，已知AD BC ⊥，EF BC ⊥，12∠=∠．(1)求证：EF AD ∥；(2)求证：180BAC AGD ∠+∠=︒．【分析】（1）根据垂直得出90EFB ADB ∠=∠=︒，根据平行线的判定得出EF AD ∥；（2）根据平行线的性质得出1BAD ∠=∠，由12∠=∠得出2BAD ∠=∠，根据平行线的判定得出DG BA ∥，再根据平行线的性质即可得解．（1）证明：∵AD BC ⊥，EF BC ⊥，∴90EFB ∠=︒，90ADB ∠=︒（垂直的定义），∴∠=∠EFB ADB （等量代换），∴EF AD ∥（同位角相等，两直线平行）；（2）证明：∵EF AD ∥，∴1BAD ∠=∠（两直线平行，同位角相等），又12∠=∠ （已知），∴2BAD ∠=∠（等量代换），∴DG BA ∥（内错角相等，两直线平行），∴180BAC AGD ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知AB ∥CD ，BC 平分∠ABD 交AD 于点E ．(1)证明：∠1=∠3；(2)若AD ⊥BD 于点D ，∠CDA =34°，求∠3的度数．【答案】(1)见解析；(2)∠3=28°．，根据等量代【变式2】P是∠BAC内一点，射线PD//AB，射线PE//AC，连接BC，当点D在线段BC上，点E在射线AB上时，(1)补全图形；(2)猜想∠DPE与∠A的数量关系，并证明．【答案】(1)补全图形见解析；(2)∠DPE +∠A =180°，证明见解析【分析】（1）根据题中的要求直接补全图形即可；（2）根据平行线的性质得到BEP A ∠=∠，180BEP DPE ∠+∠=︒，等量代换即可证得结论．（1）解：补全图形，如下图所示：（2）解：180DPE A ∠+∠=︒．理由如下：PE AC ∥ ，BEP A ∴∠=∠，PD AB ∥ ,180BEP DPE ∴∠+∠=︒，即180DPE A ∠+∠=︒．【点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．类型二、平行线的性质➽➼由平行线性质探索角的关系3．如图：(1)若AB EF ∥，猜想图①中，B ∠、BDF ∠与F ∠之间的数量关系并加以证明；(2)若AB EF ∥，如图②，直接写出B ∠、BDF ∠与F ∠之间的数量关系：．(3)学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，BA 垂直地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，若150BCD ∠=︒，则ABC ∠=．【答案】(1)BDF B F ∠=∠+∠，证明见解析；(2)360B BDF F ∠+∠+∠=︒；(3)120︒【分析】（1）过点D 作CD AB ∥；通过平行线的性质倒角即可；（2）过点D 作CD AB ∥；根据两直线平行同旁内角互补列出等式求解；（3）由（2）中的结论计算即可；（1）解：BDF B F ∠=∠+∠；理由如下：如图，过点D 作CD AB ∥；∴B BDC∠=∠∵AB EF∥∴CD EF∥∴CDF F∠=∠∵BDF BDC CDF∠=∠+∠∴BDF B F∠=∠+∠（2）解：360B BDF F ∠+∠+∠=︒；理由如下：如图，过点D 作CD AB ∥；∵AB EF∥∴AB CD EF∥∥∴180B BDC =∠+∠︒，180CDF F ∠+∠=︒∴360B BDF F B BDC CDF F ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒（3）解：由（2）可知：BCD ABC BAE ∠+∠+∠=︒360∴90BAE ∠=︒∴ABC BAE BCD ∠=︒-∠-∠=︒360120【点拨】本题考查了平行线的性质以及传递性；熟练运用平行线的性质转化角是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知三角形EFG 的顶点E ，F 分别在直线AB 和CD 上，且AB CD ．若90EFG ∠=︒，30FEG ∠=︒．(1)当221∠=∠时，求1∠的度数．(2)设AEG α∠=，CFG β∠=，求α和β的数量关系（用含α，β的等式表示）．∴180AEG EGM ∠+∠=︒，∴∥GM CD ，∴180MGF CFG ∠+∠=︒，∴360AEG EGM MGF CFG ∠+∠+∠+∠=︒，即360AEG EGF CFG ∠+∠+∠=︒，∵在Rt EGF 中，90EFG ∠=︒，30FEG ∠=︒，∴60EGF ∠=︒，∴36036060300AEG CFG EGF ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵AEG α∠=，CFG β∠=，∴300αβ+=︒．【点拨】本题主要考查平行线与三角形的综合运用，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．【变式2】请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB CD ∥，E 为AB 、CD 之间一点，连接AE ，CE 得到AEC ∠．求证：AEC A C ∠=∠+∠，小明笔记上写出的证明过程如下：证明：过点E 作EF AB ∥，∴1B ∠=∠，∵AB CD ∥，EF AB ∥，∴EF CD∥∴2C ∠=∠，∵12AEC ∠=∠+∠，∴AEC A C ∠=∠+∠，请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图2，若AB CD ∥，60E ∠=︒，求B C F ∠+∠+∠的度数；(2)灵活应用：如图3，一条河流的两岸AB CD ∥当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 所形成的夹角为64︒（即64BED ∠=︒），当小船行驶到河中点F 时，恰好满足ABF EBF =∠∠，EDF CDF ∠=∠，请你直接写出此时点F 与码头B 、D 所形成的夹角BFD ∠＝_________．∵EN AB ∥，FM AB ∥，DC ∥∴EN CD ∥，FM CD ∥，EN ∴∠B =∠BEN ，∠NEF =∠EFM ∵∠BEN +∠NEF =∠BEF ，∠EFM类型三、平行线的性质➽➼由平行线性质求角度4．（1）如图AD 平分CAB ∠，DE AC ∥，28CAD ∠=︒．求1∠的度数．（2）如图已知1180C ∠+∠=︒，CF BE ∥．求证：B C ∠=∠．【答案】（1）1∠的度数为56︒；（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的定义得到256CAB CAD ∠=∠=︒，由平行线的性质即可得到结论．（2）先证明AB CD ∥，再利用平行线的性质证明B CHE ∠=∠，C CHE ∠=∠，即可证明B C ∠=∠．解：（1）∵AD 平分CAB ∠，28CAD ∠=︒，∴256CAB CAD ∠=∠=︒，∵DE AC ∥，∴156CAB ∠=∠=︒；（2）证明：∵1180C ∠+∠=︒，1180AGC ∠+∠=︒，∴AGC C ∠=∠，∴AB CD ∥，∴B CHE ∠=∠，∵CF BE ∥，∴C CHE ∠=∠，∴B C ∠=∠．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“同旁内角互补，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解答此题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知点B 、C 在线段AD 的异侧，连接、AB CD ，点E 、F 分别是线段、AB CD 上的点，连接CE BF 、，分别与AD 交于点G ，H ，且AEG AGE ∠=∠，C DGC ∠=∠．(1)求证：AB CD ∥；(2)若180AGE AHF ︒∠+∠=，求证：B C ∠=∠；(3)在（2）的条件下，若117BFC C ∠=∠，求AHB ∠的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)70︒【分析】（1）只需要证明AEG C ∠=∠即可证明AB CD ∥；（2）先证明HGE AHF =∠∠得到BF CE 则B AEG =∠∠，再由AEG C ∠=∠即可证明B C ∠=∠；（3）根据平行线的性质得到180BFC C ∠+∠=︒，AHB DGC ∠=∠，再结合已知条件求出C ∠的度数即可得到答案．（1）证明：∵AEG AGE ∠=∠，C DGC ∠=∠，AGE DGC ∠=∠，∴AEG C ∠=∠，【变式2】类型四、平行线的性质➽➼平行线性质的应用5．如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐75°，第二次拐弯形成的拐角∠B ＝135°，第三次拐弯后道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐弯的？【答案】向左拐30°【分析】过点B 作BM OA ∥，延长BC 到点P ．可得BM CN ∥．从而得到∠ABM ＝∠A ＝105°．再由∠ABC ＝135°，可得∠MBC ＝30°即可求解．解：过点B 作BM OA ∥，延长BC 到点P ．∵BM OA ∥，OA CN ∥，∴BM CN ∥．∵第一次向右拐75°，即∠A ＝105°，∴∠ABM ＝∠A ＝105°．∵∠ABC ＝135°，∴∠MBC ＝30°又∵BM CN ∥，∴∠NCP ＝∠MBC ＝30°．答：第三次应向左拐30°．【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．举一反三：【变式1】ABC ∠和BCD ∠，量得63ABC ∠=︒，要保持两次拐弯前后的路线平行，BCD ∠的度数应为多少？为什么？【答案】117°，理由：同旁内角互补，两直线平行【分析】根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠BCD 的度数．【详解】解：根据题意得，AB ∥CD ，∠ABC =63°∴∠BCD =180°-∠ABC =117°，∴要保持两次拐弯前后的路线平行，∠BCD 为117°，理由是同旁内角互补，两直线平行．【点拨】题目主要考查平行线的性质，理解题意是解题的关键．【变式2】潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图1，光线经过镜子反射时，12∠=∠，3=4∠∠，那么2∠和3∠有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？先画几何图形，如图2，再写已知未知．如图，//,12,34AB CD ∠=∠∠=∠，（1）猜想2∠和3∠有什么关系，并进行证明；（2）求证：//PM NQ ．【答案】（1）23∠∠=，证明见解析；（2）见解析【分析】（1）根据两面镜子是互相平行放置的可知//AB CD ，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可直接证明23∠∠=．（2）结合题意可证明1234∠=∠=∠=∠，再由125180∠+∠+∠=︒，346180∠+∠+∠=︒，即可证明56∠=∠，最后由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），即可证明//P M N Q ．解：（1）根据题意可知//AB CD ，∴23∠∠=（两直线平行，内错角相等）.（2）∵23∠∠=，∴1234∠=∠=∠=∠；∵125180∠+∠+∠=︒，346180∠+∠+∠=︒，∴56∠=∠，∴//P M N Q （内错角相等，两直线平行）．【点拨】本题考查平行线的判定与性质在生活中的应用．掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．类型五、平行线的性质➽➼平行线间的距离✮✮应用6．探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．例如：如图1，两直线//m n ，两点H 、T 在m 上，HE n ⊥于E ，TF n ⊥于F ，则HE TF =．如图2，已知直线//m n ，A 、B 为直线n 上的两点，C 、D 为直线m 上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：__________．（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置总有：_______与ABC 的面积相等；理由是：___________．【答案】（1）ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO ；（2）ABD △，同底等高的两个三角形的面积相等【分析】（1）写出面积相等的各对三角形，我们拿ABC 与ABD △为例：两个三角形用公共边AB 为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等，其它对分析类似；（2）根据同底等高的两个三角形的面积相等，可以得出结论．解：（1）有三对分别是：ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO ，分析如下：ABC 和ABD △，两个三角形用公共边AB 为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等；DCA △和DCB △，两个三角形以CD 为底，高相等，即面积相等；ACO △和DBO ，根据DCA △和DCB △面积相等，两个三角形同时减去CDO ，得ACO △和DBO 面积相等．故答案为：ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO ，（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置总有：ABD △与ABC 的面积相等，分析如下：ABD △与ABC 同底，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置，点D 到另一条直线的距离相等，使得这两个三角形是：同底等高的两个三角形，即面积相等．故答案为：同底等高的两个三角形的面积相等【点拨】本题考查了两条平行直线间的距离和两个三角形面积相等问题，解题的关键是：理解两直线平行距离为定值及同底等高的两个三角形面积相等．举一反三：【变式1】如图，已知直线m//n ，A ，B 为直线m 上的两点，C ，P 为直线n 上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：；（2）如果A ，B ，C 为三个定点，点P 在直线n 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有．理由是：．【答案】（1）ACP △与BCP 、ABC 与ABP 、AOC 与BOP △；（2）题（1）中三对面积相等的三角形，理由见解析．【分析】（1）根据两平行线之间的距离处处相等、三角形的面积公式即可得；（2）根据两平行线之间的距离处处相等即可得．【详解】（1）设平行线m 与n 之间的距离为h则ACP △和BCP 的边CP 上高均为h ，ABC 和ABP 的边AB 上高均为h由同底等高得：ACP △与BCP 的面积相等，ABC 与ABP 的面积相等又AOC ACP COP S S S =- ，BOP BCP COPS S S =- AOC BOPS S ∴= 即AOC 与BOP △的面积相等故答案为：ACP △与BCP 、ABC 与ABP 、AOC 与BOP △；（2）总有题（1）中三对面积相等的三角形理由：两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等．【点拨】本题考查了平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离是解题关键．【变式2】作图并写出结论：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图.(1)过点P作PR⊥CD，垂足为R.(2)过点P作PQ∥CD，交AB于点Q.(3)若∠DCB=135°，则∠PQC度．(4)点Q到直线PR的距离是线段的长度．）∵PQ∥CD（已作），）∴∠DCB+∠PQC=180°，∵∠DCB=135）因为PR⊥CD，所以点Q到直线【点拨】本题的关键是掌握基本作图，并能运用平行线的性质知识解决问题类型六、平行线的性质➽➼平行线性质与判定综合➽➼证明✮✮计算7．如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，∠=∠．已知12∠=∠，3C(1)求证：AB CD ∥；(2)若24180∠+∠=︒，求证：180BFC C ∠+∠=︒；(3)在（2）的条件下，若3021BFC ∠-︒=∠，求B ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)50B ∠=︒【分析】（1）已知12∠=∠，所以32∠=∠，又因为3C ∠=∠，可以得出1C ∠=∠即可判定AB CD ∥；（2）已知23∠∠=，24180∠+∠=︒，可以得出//BF EC ，即可得出180BFC C ∠+∠=︒；（3）由（1）（2）可知AB CD ∥，//BF EC ，可以得出1C ∠=∠，180BFC C ∠+∠=︒；可以得出30212BFC C ∠-︒=∠=∠，可以得出C ∠，又因为1C B ∠=∠=∠，即可求出B ∠的度数．（1）证明：12∠=∠ ，3C ∠=∠，23∠∠=，1C ∴∠=∠，//AB CD ∴；（2）证明：24180∠+∠=︒ ，23∠∠=，34180∴∠+∠=︒，//BF EC ∴，180BFC C ∴∠+∠=︒；（3）180BFC C ∠+∠=︒ ，30212BFC C ∠-︒=∠=∠ ，230BFC C ∴∠=∠+︒，230180C C ∴∠+︒+∠=︒，50C ∴∠=︒，130BFC ∴∠=︒，//AB CD ，180B BFC ∴∠+∠=︒，50B ∴∠=︒．【点拨】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知点E ，F 在直线上AB 上，点G 在线段CD 上，ED 与FG 交于点H ，180C EFG CED GHE ︒∠=∠∠+∠=，．(1)试判断AED ∠与D ∠之间的数量关系，并说明理由．(2)若7030EHF D ∠︒=︒∠=，，求AEM ∠的度数．【答案】(1)180AED D ∠+∠=︒，理由见解析；(2)100︒．【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行可得CE ∥GF ，根据平行线的性质等量代换可得∠FGD ＝∠EFG ，进而判定AB ∥CD ，即可得出∠AED ＋∠D ＝180°；（2）根据平行线的性质可得∠CED ＝70EHF ∠=︒，∠DEF ＝∠D ＝30°，求出∠CEF ，依据对顶角相等即可得到∠AEM 的度数．（1）解：∠AED ＋∠D ＝180°；理由：∵180CED GHE ∠+∠=︒，∴CE ∥GF ，∴∠C ＝∠FGD ，∵∠C ＝∠EFG ，∴∠FGD ＝∠EFG ，∴AB ∥CD ，∴∠AED ＋∠D ＝180°；（2）解：∵CE ∥GF ，70EHF ∠=︒，∴∠CED ＝70EHF ∠=︒，∵∠D ＝30°，AB ∥CD ，∴∠DEF ＝∠D ＝30°，∴∠CEF ＝∠CED ＋∠DEF ＝70°＋30°＝100°，∴∠AEM ＝∠CEF ＝100°．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．如图，1245EF BD BAC ∠=∠∠=︒，，∥．求ADG ∠的度数．【答案】135ADG ∠=︒【分析】根据两直线平行，同位角相等，得出23∠∠=，，再根据等量代换，得出13∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行，得到DG AB ∥，最后再根据两直线平行，同旁内角互补，计算即可得出答案．解：∵EF BD ∥，∴23∠∠=，∵12∠=∠，∴13∠=∠，∴DG AB ∥，∴180ADG BAC ∠+∠=︒，∵45BAC ∠=︒，∴18045135AGD ∠=︒-︒=︒．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．【变式2】完成下面的证明：如图，点B 在AG 上，AG CD ∥，连接BC ，CF 平分BCD ∠，ABE FCB ∠=∠，BE AF ⊥于点E ．求证：90F ∠=︒．证明：∵AG CD ∥，∴ABC BCD ∠=∠（_____________________）．∵ABE FCB ∠=∠，∴ABC ABE BCD FCB ∠-∠=∠-∠，即EBC FCD ∠=∠．∵CF 平分BCD ∠，∴FCB ∠=______（__________________）．∴EBC FCB ∠=∠，∴BE CF ∥（________________________）∴__________________F =∠（________________________）．∵BE AF ⊥，∴BEF ∠=______︒（______________________）．∴90F ∠=︒．∴90BEF ∠=︒（垂直的定义）．∴90F ∠=︒．故答案为：两直线平行，内错角相等；FCD ∠；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；BEF ∠；两直线平行，内错角相等；90；垂直的定义．【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，熟知相关知识是解题的关键．中考真题专练一、单选题1．（2022·山东东营·中考真题）如图，直线a b ，一个三角板的直角顶点在直线a 上，两直角边均与直线b 相交，140∠=︒，则2∠=（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．65︒【点拨】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知平行线的性质是解题的关键．2．（2022·湖北襄阳·中考真题）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC ＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°故选：B．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．∥，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若3．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，a b∠=︒，则2∠的大小是（）115A．20︒B．25︒C．30︒D．45︒【答案】C∥，根据平行线的性质，可得【分析】如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线c a23,14∠=∠∠=∠，根据三角板可知3445∠+∠=︒，进而等量代换结合已知条件即可求解．∥解：如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线c a∵a∥b，∴∥∥，a b c∴∠=∠∠=∠，23,14，∠+∠=︒3445\Ð+Ð=°，1245Q，Ð=°115∴∠=︒．230故选：C．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．二、填空题，则α∠的度数是______．4．（2022·辽宁阜新·中考真题）一副三角板如图摆放，直线AB CD【答案】15︒##15度【分析】根据题意可得：90EBD ∠=︒，45BDE ∠=︒，30EDC ∠=︒，然后利用平行线的性质可得180ABD BDC ∠∠+=︒，从而进行计算即可解答．解：如图：由题意得：90EBD ∠=︒，45BDE ∠=︒，30EDC ∠=︒，//AB CD ，180ABD BDC ∠∠∴+=︒，180EBD BDE EDC∠α∠∠∠∴=︒---180904530=︒-︒-︒-︒15=︒，故答案为：15︒．【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，则ACB ∠的大小是_____．【答案】85︒##85度【分析】过C 作CF DA ∥交AB 于F ，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．解： C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，50DAC ∴∠=︒，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，35CBE ∴∠=︒，过C 作CF DA ∥交AB 于F ，如图所示：DA CF EB ∴∥∥，50,35FCA DAC FCB CBE ∴∠=∠=︒∠=∠=︒，85ACB FCA FCB ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：85︒．【点拨】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．三、解答题6．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，80B ∠=︒．(1)求BAD ∠的度数；(2)AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，50BCD ∠=︒．求证：AE DC ∥．【答案】(1)100BAD ∠=︒；(2)详见解析【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；（2）根据AE 平分BAD ∠，可得50DAE ∠=︒．再由AD BC ∥，可得50AEB DAE ∠=∠=︒．即可求证．（1）解：∵AD BC ∥，∴180B BAD ∠+∠=°，∵80B ∠=︒，∴100BAD ∠=︒．（2）证明：∵AE 平分BAD ∠，∴50DAE ∠=︒．∵AD BC ∥，∴50AEB DAE ∠=∠=︒．∵50BCD ∠=︒，∴BCD AEB ∠=∠．∴AE DC ∥．【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键。
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对急救患者的处理中以下哪项错误()A．迅速办理就诊手续然后抢救B．病情危重者可进入 抢救室紧急抢救C．转送危重患者时应有护士护送D．在抢救病情平稳后方可转入病房E．危 急重患者送入绿色通道 [,A2型题,A1/A2型题]《医疗机构从业人员行为规范》适用于哪些人员？（）A. 医疗机构的医生、护士、药剂、医技人员B.医疗机构的医护及后勤人员C.医疗机构的管理 、财务、后勤等人员D.药学技术人员E.医疗机构内所有从业人员 肺动脉高压常规检查项目包括（）A.超声心动图B.胸部X线检查C.CT肺动脉造影（C TPA.检查D.运动平板试验E.肺功能检查 [,A2型题,A1/A2型题]肺癌患者出现声音嘶哑，常表示肿瘤压迫（）A.喉返神经 B.膈神经C.颈交感神经D.臂丛神经E.喉上神经 弗洛姆认为人的五大社会性心理需要是：（）；超越的需要；寻根的需要；同一感的需要；定 向和献身的需要。 [,A2型题,A1/A2型题]称为"髓海"的是（）A.骨B.胆C.髓D.脑E.女子 胞 患者，男性，50岁，近日出现尿痛、肉眼血尿，经检查为初血尿，考虑病变部位在（）。A .输尿管B.肾C.膀胱D.前尿道E.后尿道 干货原料可以长久储存的条件是（） 沟通能力概述。 [,A2型题,A1/A2型题]胆道蛔虫引起腹痛的性质是（）A.烧灼样痛B.绞痛C. 钻顶样疼痛D.刀割样剧痛E.隐痛 财政分配 DMAIC过程改进流程包括（）。A.界定DefineB.设计DesignC.测量M easureD.分析AnalyzeE.改进Improve 关于车船税的说法，正确的有（）。A.外国车船和香港特别行政区、澳门特别行政区、台湾 地区的车船，不征收车船税。B.车船税按年申报缴纳，具体申报纳税期限由省级税务机关确 定。C.从事机动车第三者责任强制保险业务的保险机构为机动车车船税的扣缴义务人，应当 在收取保险费时依法代收车船税，并出具代收税款凭证。D.非机动驳船、拖拉机、捕捞和养 殖渔船属于免税车船范围。 关于麻疹的叙述，不正确的是（）A.主要通过飞沫传播B.患者是唯一传染源C.感染后可 终身免疫D.前驱期无传染性E.出疹后5天无传染性 [,A2型题,A1/A2型题]ACTH是指（）A.促肾上腺皮质激素释放激素B.促肾
microbody（微体） 大量生产类型的优点是（）。A.适应品种变化的能力强B.设备利用率高C.产品成本较低 D.对工人生产技术水平的要求高E.生产的经济效益好 法定节假日安排劳动者加班工作的，用人单位应当支付（）。的报酬。A．不低于工资的15 0%B．工资的200%C．工资的200%-300%D．低于工资的300% 对班主任的素质有哪些要求？ 关于烧伤补液哪项措施不合适（）A.每日补给水分量成人2000～3000mlB.每日 补给水分量儿童70～100ml/kgC.第二个24小时所给水分量不变D.每日补给水 分量婴儿100～150ml/kgE.第二个24小时所给水分量是第一个24小时之半量 冬季空调室外计算温度是否与采暖室外计算温度相同？为什么？ 工单流转系统中，处理时限可依据（）和（）进行设定。 分泌促胃液素的主要部位是（）A.胃体B.胃窦和十二指肠C.十二指肠D.空肠E.回肠 Cushing病是指下列哪种病因引起的皮质醇增多症（）A.原发于肾上腺本身的肿瘤B .垂体分泌ACTH过多C.垂体外癌瘤产生ACTHD.不依赖ACTH的双侧肾上腺结节 性增生E.大剂量应用糖皮质激素 咯血是指（）A.鼻咽部的血经口排出B.牙齿大量出血，成口咳出C.消化道内出血，经口 吐出D.气管、支气管、肺出血经口咳出E.以上都对 辅助检查时医生应遵循的道德要求不包括的是（）。A.综合分析、切忌片面B.知情同意、 尽职尽责C.服从病人、认真负责D.需要出发、目的纯正E.密切联系、加强协作 别人要查看您的信用报告的条件是（）。A、金融机构同意B、地方政府批准C、经过本人授 权D、不需要 [,A2型题,A1/A2型题]不属于"阴盛则内寒"机理的是？（）A.厥气上逆B.寒 气积于胸中C.血凝泣D.脉不通E.卫气不得泄越 按照现行规定，缴费年限(含视同缴费年限，下同)累计满()年的人员，退休后按月发给基 本养老金。A.10B.11C.12D.15 189免费邮箱容量是2G，支持附件最大为20M.，网络硬盘为（）A、300MB、4 00MC、500MD、800M 测量膀胱压时，注入0.9%氯化钠溶液的体积是（）。A.25mlB.50mlC.10 0mlD.200mlE.250ml 32岁女性，右侧偏瘫，Babinski征阳性，能遵嘱伸舌和活动左侧肢体，但不能谈话 。其常见于以下哪个部位病损（）A.左侧后顶叶B.左侧额叶C.左侧顶叶D.左侧颞叶E