七年级下册《平行线的性质》

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浙教版数学七年级下册1.4《平行线的性质》教学设计1

浙教版数学七年级下册1.4《平行线的性质》教学设计1一. 教材分析《平行线的性质》是浙教版数学七年级下册1.4节的内容，主要包括平行线的传递性质、同位角、内错角和同旁内角的概念及它们之间的关系。

本节内容是学生学习几何的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了平行线的概念，但对平行线的性质和角度关系还不够了解。

学生的空间想象力有所不同，逻辑思维能力也各有差异。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导学生通过观察、操作、思考、交流和总结，逐步掌握平行线的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行线的传递性质，理解同位角、内错角和同旁内角的概念及它们之间的关系。

2.过程与方法：培养学生观察、操作、思考、交流和总结的能力，提高空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.教学重点：平行线的传递性质，同位角、内错角和同旁内角的概念及它们之间的关系。

2.教学难点：平行线性质的灵活运用，角度关系的推导和证明。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和几何图形，引导学生发现平行线的性质，激发学生的学习兴趣。

2.动手操作法：让学生通过折纸、拼图等动手操作活动，观察和体验平行线的性质，培养学生的空间想象能力。

3.合作交流法：鼓励学生分组讨论，共同探讨平行线的性质，提高学生的团队协作能力。

4.引导发现法：教师引导学生发现问题，引导学生通过思考和总结，得出平行线的性质，培养学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.教学素材：准备相关的图片、图形和实例，制作PPT。

2.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺、圆规等。

3.学生活动材料：准备折纸、拼图等动手操作材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中常见的平行线现象，如楼梯、铁路等，引导学生回顾平行线的概念，激发学生的学习兴趣。

人教版七年级数学下册《平行线的性质》PPT教学课件

c
1
a
2 b
∵ a∥b， ∴ ∠1 = ∠2.
例1 如图，a∥b，∠1 = 60°，则∠2 的度数为 ( D)
A.90°
B.100°
C.110°
D.120°
分析：
a∥b
∠1 = ∠3 ∠2+∠3 = 180°
∠2 = 120°
1a 23
b
能否利用两条直线平行来证明内错角、同旁内角之间的数量关系呢？
交，标出如图所示的角. 任选一组同位角度量，把结果
填入下表：
c
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数
21 a 34
65 b 78
如果改变截线位置，你发现的结论是否还成立？
c 21 a 34 65 b 78
总结性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等.
1. 如图，如果 AB∥CD∥EF ，那么 ∠BAC +
∠ACE + ∠CEF ＝ ( C )
A. 180°
B. 270°
C. 360°
D. 540°
2. 如图，一条公路两次拐弯的前后两条路互相平行. 若第一次拐弯时∠B 是 142°，则第二次拐弯时∠C 是多少度？为什么？ C B
解：∠C = 142°. 两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
3
4 2
a b
所以∠2+∠4 =
180°.
总结性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角
互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
c 1
3 42
a
b
请尝试转化成几何语言.

七年级数学下《平行线的性质》知识点总结归纳

七年级数学下《平行线的性质》知识点总结归纳一、平行线的性质1.同位角相等：两条平行线被一条横截线所截，形成的同位角相等。

2.内错角相等：两条平行线被一条横截线所截，形成的内错角相等。

3.同旁内角互补：两条平行线被一条横截线所截，形成的同旁内角互补，即角度和为180°。

二、性质的应用1.计算平行线的距离：利用平行线的性质，可以计算两条平行线之间的距离。

2.判断角度大小：利用平行线的性质，可以判断两条直线之间的角度大小。

3.解决实际问题：平行线的性质在实际生活中有广泛的应用，如建筑、机械制造等领域。

三、注意事项1.平行线的性质是在同一平面内，两条不相交的直线所具备的属性。

因此，确定两条线是否平行，首先需要确定它们是否在同一平面内。

2.平行线的性质需要通过横截线来体现，因此在证明或应用性质时，需要明确横截线的位置。

3.在实际应用中，需要根据具体情境判断两条线是否平行，并选择适当的方法来解决问题。

四、相关定理与概念1.平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。

2.垂直线的性质：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

3.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

五、易错点提醒1.学生在应用性质时，容易出现混淆，将判定定理和性质混淆使用。

需要明确的是，判定定理用于判断两条直线是否平行，而性质用于说明平行线之间的关系或推导其他结论。

2.对于同旁内角互补的理解，学生容易出现误区，认为同旁内角之和为90°而非180°。

需要强调的是，同旁内角互补是指它们的角度和为180°，不是90°。

3.在实际解决问题时，学生容易忽略题目中的限制条件或隐藏条件，导致解题错误。

需要提醒学生认真审题，注意细节，以免出现不必要的错误。

七年级数学下册平行线的性质【十大题型】(举一反三)(人教版)

专题5.2 平行线的性质【十大题型】【人教版】【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】 (1)【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】 (5)【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】 (9)【题型4 平行线与三角尺（直角顶点不在平行线上）】 (11)【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】 (16)【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】 (21)【题型7 平行线的判定与性质综合（规律问题）】 (31)【题型8 平行线的性质（折叠问题）】 (36)【题型9 平行线的应用（转角问题）】 (41)【题型10 平行线的判定与性质综合（旋转）】 (46)【知识点平行线的性质】【例1】（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且DG∥BC，∠1＝∠2．(1)求证：DB∥EF；(2)若EF∠AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADG＝40°【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；（2）先求出∠C，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解．（1）证明：∠DG∥BC，∠∠1＝∠DBC．又∠∠1＝∠2，∠∠2＝∠DBC，∠DB∥EF．（2）∠EF∠AC，∠∠CEF＝90°．∠∠2＝∠1＝50°，∠∠C＝90°－50°＝40°．∠DG∥BC，∠∠ADG＝∠C＝40°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．【变式1-1】（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心七年级期末）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．(1)求证：AB∥CD；(2)求∠C的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠C=30°【分析】（1）先证明AE∥GF，可得∠EAB=∠FGB，再证明∠CEA=∠EAB，从而可得答案；（2）由AB∥CD，可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°，再把∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°代入进行计算即可.（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∠AE∥GF，∴∠EAB=∠FGB，∵∠CEA=∠FGB，∴∠CEA=∠EAB，∠AB∥CD；（2）解：由（1）得，AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°，∵∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°，∠∠ABC+70°+∠ABC+50°=180°∴∠ABC=30°，∴∠C=∠ABC=30°．【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键.【变式1-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如图，∠ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，且∠BDA+∠CEG=180°．(1)求证：AD∥EF；(2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗？请说明理由．【答案】(1)见详解(2)∠F=∠H，说明见详解【分析】（1）根据∠BDA+∠CEG=180°，∠DEF+∠CEG=180°，可得∠BDA=∠DEF，根据同位角相等，两直线平行可判定AD∥EF；（2）根据∠EDH=∠C，可得DH∥AC，继而得到∠H=∠EGC，由对顶角∠AGF=∠EGC，可得∠H=∠AGF，由（1）AD∥EF可得∠DAG=∠AGF，∠BAD=∠F，再因为AD是∠BAC的角平分线，有∠DAG=∠BAD，即可证明∠F=∠H．（1）证明：∠∠BDA+∠CEG=180°，∠DEF+∠CEG=180°，∠∠BDA=∠DEF，∠AD∥EF．（2）解：∠F=∠H，理由如下：∠∠EDH=∠C，∠DH∥AC，∠∠H=∠EGC，∠∠AGF=∠EGC，∠∠H=∠AGF，∠AD∥EF，∠∠DAG=∠AGF，∠BAD=∠F，又∠AD是∠BAC的角平分线，∠∠DAG=∠BAD，∠∠F=∠H．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握并应用平行线的判定与性质是解答本题的关键．【变式1-3】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．(1)求证：EF∥AD；(2)求证：∠BAC+∠AGD=180°．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据垂直得出∠EFB=∠ADB=90°，根据平行线的判定得出EF∥AD；（2）根据平行线的性质得出∠1=∠BAD，由∠1=∠2得出∠2=∠BAD，根据平行线的判定得出DG∥BA，再根据平行线的性质即可得解．【详解】（1）证明：∠AD⊥BC，EF⊥BC，∠∠EFB=90°，∠ADB=90°（垂直的定义），∠∠EFB=∠ADB（等量代换），∠EF∥AD（同位角相等，两直线平行）；（2）证明：∠EF∥AD，∠∠1=∠BAD（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠2（已知），∠∠2=∠BAD（等量代换），∠DG∥BA（内错角相等，两直线平行），∠∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．（请把下面证明过程补充完整）证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（____________）∴∠2=∠3（____________）∴AE∥FD（_____________）∴∠A=∠_____（______________）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代换）∠_____∥CD（__________________）∴∠B=∠C（____________）【答案】对顶角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；BFD；两直线平行，内错角相等；AB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【分析】先利用对顶角的性质证明∠2=∠3，再证明AE∥FD，可证明∠A=∠BFD，可得∠D=∠BFD，再证明AB∥CD，从而可得答案．【详解】证明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（对顶角相等）∴∠2=∠3（等量代换）∴AE∥FD（内错角相等，两直线平行）∴∠A=∠BFD（两直线平行，内错角相等）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代换）∠AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）【点睛】本题考查的是对顶角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用平行线的判定与性质进行证明是解本题的关键．【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）阅读并完成下面的证明过程：已知：如图，AB∥EF，∠1=∠2，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，求证：BE⊥CE．证明：∠BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD．∠ABC∠∠ABE=∠EBC=12∠2=________=1∠BCD（角平分线定义）2又∠∠1=∠2，∠∠1=∠ECD（）∠EF∥CD（）又∠AB∥EF（已知）∠________________（）∠∠ABC+∠BCD=180°（）(∠ABC+∠BCD)=90°，∠∠ABE+∠2=12又∠AB∥EF，∠∠ABE=∠BEF（）∠∠BEF+∠1=90°，∠∠BEC=90°，∠BE⊥CE（）【答案】∠ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行；AB∥CD；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；垂直定义．【分析】根据平行线的性质、平行线的判定以及垂直的定义进行分析即可解答．【详解】证明：∠BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD．∠ABC∠∠ABE=∠EBC=12∠BCD（角平分线定义）∠2=∠ECD=12又∠∠1=∠2，∠∠1=∠ECD（等量代换）∠EF∥CD（内错角相等，两直线平行）又∠AB∥EF（已知）∠AB∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∠∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）(∠ABC+∠BCD)=90°，∠∠ABE+∠2=12又∠AB∥EF，∠∠ABE=∠BEF（两直线平行，内错角相等）∠∠BEF+∠1=90°，∠∠BEC=90°，∠BE⊥CE（垂直定义）．故答案为：∠ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行；AB∥CD；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；垂直定义．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解答本题的关键．【变式2-2】（2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中）完成下面证明过程并写出推理根据：已知：如图所示，∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2．求证：∠E=∠F．证明：∠∠BAP与∠APD互补（已知），即∠BAP+∠APD=180°，∠____________∥_____________（_____________________），∠∠BAP=∠APC（_____________________）．又∠∠1=∠2，∠∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式的性质），即∠3=∠4，∠____________∥_____________（_____________________），∠∠E=∠F（_____________________）．【答案】AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；AE；FP；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等【分析】根据平行线的判定与性质，结合图形完成填空即可求解．【详解】∠∠BAP与∠APD互补（已知），即∠BAP+∠APD=180°，∠AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∠∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等）．又∠∠1=∠2，∠∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式的性质），即∠3=∠4，∠AE∥FP（内错角相等，两直线平行），∠∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）故答案为：AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；AE；FP；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定进行证明，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式2-3】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）推理填空：完成下面的证明过程.如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求证：.DE∠BC证明：∠∠1+∠2=180°（）∠2=∠3（_______________________________）∠∠1+∠3=180°∠______∥______（_____________________________）∠∠B=______（________________________________）∠∠B=∠DEF（已知）∠∠DEF=_______ （_______________________）∠DE∠BC（）【答案】已知；对顶角相等；AB；EF；同旁内角互补，两直线平行；∠EFC；两直线平行，同位角相等；∠EFC；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】由于∠1＋∠2＝180°，∠2＝∠3，则∠1＋∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得到AB∥EF，则利用平行线的性质得∠B＝∠CFE，由于∠B＝∠DEF，所以∠DEF＝∠CFE，于是根据平行线的判定得到DE∥BC.【详解】证明：∠∠1＋∠2＝180°（已知）∠2＝∠3（对顶角相等）∠∠1＋∠3＝180°∠AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∠∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）∠∠B＝∠DEF（已知）∠∠DEF＝∠EFC（等量代换）∠DE∥BC（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．掌握平行线的判定与性质是解题的关键.【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】【例3】（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期末）如图，含有30°角的直角三角板的两个顶点E、F放在一个长方形的对边上，点E为直角顶点，∠EFG=30°，延长EG交CD于点P，如果∠3=65°，那么∠2的度数是（）A．100°B．105°C．115°D．120°【答案】C【分析】根据直角三角形两锐角互余得到∠1=25°，根据平角的定义得到∠AEF=90°-∠1=65°，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∠∠D=90°，∠3=65°，∠∠1=25°，∠∠FEG=90°，∠∠AEF=90°-∠1=65°，∠AD∥BC，∠∠2=180°-∠AEF=115°，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余和平行线的性质，关键是得出∠AEF与∠2互补．【变式3-1】（2022·浙江·金华市第四中学九年级阶段练习）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠2；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性解答．【详解】解：∠纸条的两边平行，∠（1）∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）；（2）∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）；（4）∠4+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）均正确；又∠直角三角板与纸条下线相交的角为90°，∠（3）∠2+∠4=90°，正确．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．【变式3-2】（2022·山东青岛·七年级期中）将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC=30°，A，B两点分别落在直线m、n上，∠1=20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n （）A．∠2=20°B．∠2=30°C．∠2=45°D．∠2=50°【答案】D【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【详解】解：由平行线的判定可知，当∠2＝∠ABC＋∠1时，m∥n，即∠2＝∠ABC＋∠1＝30°＋20°＝50°，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式3-3】（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边DE∥BC，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（）A．95°B．115°C．105°D．125°【例4】（2022·全国·八年级专题练习）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1=58°54′，则∠2的度数为（）A．103°6′B．104°6′C．103°54′D．104°54′【答案】C【分析】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，根据等腰三角板的特点可求出∠4，根据三角形内角和即可求出∠5，再根据平角的性质即可求出∠3，进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2．【详解】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，如图，∠直角三角板含一个45°的锐角，∠该三角板为等腰三角形，∠∠4=45°，∠∠1=58°54′，又∠在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，∠∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，∠∠3+∠5=180°，∠∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，∠a∥b，∠∠2=∠3，∠∠2=103°54′，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识，掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键．【变式4-1】（2022·山西晋中·七年级期末）用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若∠1=50°，则∠2的度数为（）A．25°B．22.5°C．20°D．15°【答案】C【分析】如图，根据题意得到∠C=90°，AB∠DE，∠CDF=60°．先根据三角形内角和求出∠ABC=40°，再根据平行的性质求出∠CDE=40°，即可求出∠2=20°．【详解】解：如图，由题意得∠C=90°，AB∠DE，∠CDF=60°．∠∠C=90°，∠1=50°，∠∠ABC=180°-∠C-∠1=40°，∠AB∠DE，∠∠CDE=∠CBA=40°，∠∠CDF=60°∠∠2=∠CDF-∠CDE=20°．故选：C【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，熟知两个定理并理解题意得到已知条件是解题的关键．【变式4-2】（2022·福建·莆田市城厢区南门学校七年级阶段练习）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是_______．【答案】①②③④【分析】①由题意得∠G=∠MPN=∠MPG=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；②由题意得∠EFG=30°，利用邻补角即可求出∠EFN的度数；③过点F作FH⊥AB，可得FH∥CD，从而得到∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFN=105°，再利用平行线的性质即可求出∠BEF；④利用角的计算可求出∠AEG=45°，从而可判断．【详解】解：①∵∠G=∠MPN=∠MPG=90°，∴GE∥MP，故①正确；②∵∠EFG=30°，∴∠EFN=180°−30°=150°，故②正确；③过点F作EH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠HFN=∠MNP=45°，∴∠EFN=150°−45°=105°，∵FH∥AB，∴∠BEF=180°−105°=75°；故③正确；④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，∴∠AEG=180°−60°−75°=45°，∴∠AEG=∠PMN=45°，故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．【变式4-3】（2022·山东淄博·期末）如图所示，将一直角三角板放在AB，CD两条平行线之间：(1)图甲中，容易求得∠1+∠2=90°，请直接写出图乙中∠1，∠2的数量关系；(2)请问图丙中∠1，∠2的数量关系是什么？并加以说明；(3)请直接写出图丁中∠1，∠2的数量关系．【答案】(1)∠1＋∠2＝270°(2)∠2－∠1＝90°；见解析(3)∠1＝∠2＋90°【分析】（1）过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD．根据两直线平行，同旁内角互补，即可得∠1，∠2的关系．（2）过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD．根据两直线平行，内错角相等，平角互补，即可得∠1，∠2的关系．（3）过点O作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD，据两直线平行，内错角相等，即可得∠1，∠2的关系．（1）如图，过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD∠∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°又∠∠3+∠4=90°∠∠1+∠3+∠2+∠4=180°+180°∠∠1+∠2=360°−90°=270°∠∠1+∠2=270°．（2）如图，过三角板的直角顶点作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD∠∠1=∠3，∠2+∠4=180°又∠∠3+∠4=90°∠∠1+180°−∠2=90°∠∠2−∠1=90°．（3）如图，过点O作AB的平行线MN，得AB∥MN∥CD∠∠MOC=∠2∠∠1=90°+∠MOC∠∠1=90°+∠2．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补；平角互补．【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】【例5】（2022·黑龙江鹤岗·七年级期末）如图①，AB∥CD，M为平面内一点，若BM∠MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．(1)如图②，AB∥CD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．(2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．又∠AB∥CD，∠MF∥CD，∠∠DCM=∠FMC，∠∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC；（2）解：当点M在E、A两点之间时，如图3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；过M作MF∥AB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，又∠AB∥CD，∠MF∥CD，∠∠DCM=∠FMC，∠∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM；当点M在AD的延长线上时，如图4，∠BMC=∠ABM-∠DCM．过M作MF∥AB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，又∠AB∥CD，∠MF∥CD，∠∠DCM=∠FMC，∠∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，关键是构建平行线，利用平行线的性质进行解答．解题时注意分类思想的运用．【变式5-1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．(1)如图1，求证：MN∥PQ；(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB 的度数．（直接写出答案）【答案】(1)见解析(2)∠CFB−∠BEG=90°，证明见解析(3)∠CFB=130°【分析】（1）过C作CE∥MN，根据平行线的判定和性质即可得到结论；（2）过B作BR∥AG，根据平行线的性质得到∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，等量代换即可得到结论；（3）过E作ES∥MN，根据平行线的性质得到∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，根据角平分线的定义得到∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，根据四边形的内角和即可得到结论．（1）解：如图，过C作CE∥MN，∠∠1=∠MAC，∠∠2=∠ACB-∠1，∠∠2=∠ACB-∠MAC，∠∠ACB-∠MAC=∠CBP，∠∠2=∠CBP，∠CE∥PQ，∠MN∥PQ；（2）如图，过B作BR∥AG，∠AG∥CH，∠BR∥HF，∠∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，∠∠EBF=90°，∠∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF，∠∠BEG=90°-∠RBF=90°-（180°-∠CFB），∠∠CFB-∠BEG=90°；（3）如图，过E作ES∥MN，∠MN∥PQ，∠ES∥PQ，∠∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，∠BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN，∠∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，∠∠CAE=∠AES，∠∠EBD=90°，∠∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°，∠∠QBE=∠EBC，∠∠EBC=∠BES，(360°−∠ACB)，∠∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=12∠∠ACB=80°，∠∠AEB=140°，∠∠BEG=40°，∠∠CFB-∠BEG=90°，∠∠CFB=130°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，余角的性质，四边形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．(1)求证：AD∥NG；(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．【答案】(1)见解析(2)∠NBG+∠1−∠ANB=180°(3)∠A=105°【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根据平行线的性质得到∠D=∠ACM，等量代换得到∠CMG=∠ACM，于是得到结论．（2）过B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代换得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根据平行线的判定得到BP∥CM，由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°，等量代换即可得到结论；（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根据已知条件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到结论．（1）证明：∠∠1=∠2，∠1=∠GFC，∠∠2=∠CFG，∠CM∥DE，∠∠D=∠ACM，∠∠D=∠CMG，∠∠CMG=∠ACM，∠AD∥NG；（2）解：∠NBG−∠ANB+∠1=180°；理由如下：过B作BP∥AN交NG于P，∠∠ANB=∠NBP，∠AD∥NG，∠∠D=∠DHG，∠∠A+∠DHG=180°，∠∠A+∠D=180°，∠AN∥DH，又∠CM∠DH，∠BP∥CM，∠∠PBG+∠1=180°，∠∠PBG=∠NBG−∠NBP=∠NBG−∠ANB，∠∠NBG−∠ANB+∠1=180°；（3）解：∠∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，∠∠PBG=80°，∠∠NBG=130°，∠∠ANB=∠NBP=50°，∠∠ANB：∠BNG=2：1，∠∠BNP=25°，∠∠ANG=75°，∠∠A=105°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式5-3】（2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中）如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．(1)若点F是线段AE上一点，且BF∠AE，求∠P的度数；(2)若点F 是直线AE 上一动点(点F 与点A 不重合)，请写出∠P 与∠AFB 之间的数量关系并证明．【答案】(1)45°(2)当F 点在A 点上方时，∠BPE ＝12∠AFB ，当F 点在A 点下方时，∠BPE ＝90°﹣12∠AFB【分析】（1）过点P 作PQ ∥AB ，过点F 作FH ∥AB ，由平行线的性质得∠ABP +∠CEP ＝∠BPE ，∠ABF +∠CEF ＝∠BFE ，再由垂直定义和角平分线定义求得结果；（2）分三种情况：点F 在EA 的延长线上时，点F 在线段AE 上时，点F 在AE 的延长线上时，分别进行探究便可．（1）解：过点P 作PQ ∥AB ，过点F 作FH ∥AB ，∠AB ∥CD ，∠AB ∥CD ∥PQ ∥FH ，∠∠ABP ＝∠BPQ ，∠CEP ＝∠EPQ ，∠ABF ＝∠BFH ，∠CEF ＝∠EFH ，∠∠ABP +∠CEP ＝∠BPQ +∠EPQ ＝∠BPE ，∠ABF +∠CEF ＝∠BFH +∠EFH ＝∠BFE ，∠BF ∠AE ，∠∠ABF +∠CEF ＝∠BFE ＝90°，∠BP 平分∠ABF ，EP 平分∠AEC ，∠∠ABP +∠CEP ＝12（∠ABF +∠CEF ）＝45°， ∠∠BPE ＝45°；（2）①当点F 在EA 的延长线上时，∠BPE ＝12∠AFB ，理由如下：如备用图1，过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，过点P 作PQ ∥AB ，过点F 作FH ∥AB ，∠AB ∥CD ，∠AB ∥CD ∥PQ ∥FH ，∠∠ABP ＝∠BPQ ，∠CEP ＝∠EPQ ，180°﹣∠ABF ＝∠BFH ，∠AEC ＝∠EFH ，∠∠CEP +∠ABP ＝∠EPQ +∠BPQ ＝∠BPE ，∠BFH ﹣∠EFH ＝180°﹣∠ABF ﹣∠AEC ＝∠AFB ， ∠BP 平分∠ABF ，EP 平分∠AEC ，∠∠CEP +∠ABP ＝12（∠AEC +∠ABF ）＝12（180°﹣∠AFB ）， ∠∠BPE ＝90°﹣12∠AFB ；综上，当E 点在A 点上方时，∠BPE ＝12∠AFB ，当E 点在A 点下方时，∠BPE ＝90°﹣12∠AFB ．【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，以及角平分线的性质，在相交线问题中通常作平行线利用平行线的性质解答，将角度转化由此求出答案．解题中运用分类思想解答问题．【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】【例6】（2022·湖南·株洲二中七年级期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射后的光线为n ，则入射光线m 、反射光线n 与平面镜a 所夹的锐角∠1＝∠2．(1)如图2，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射．若被b 反射出的光线n 与光线m 平行，且∠1＝50°，则∠2＝ °，∠3＝ °．(2)请你猜想：当射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a 、b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 平行时，两平面镜a 、b 间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，请求出∠3，若不是定值，请说明理由．(3)如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90），进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系，并说明理由．【答案】(1)100；90；(2)90°(3)2α+β=180°【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠4=50°，再利用平角的定义得∠5=80°，然后利用平行线的性质计算出∠2=100°，则∠6=40°，再利用三角形内角和定理计算∠3；（2）当∠3=90°时，根据三角形内角和定理得∠4+∠6=90°，则2∠4+2∠6=180°，利用平角的定义得到∠2+∠5=180°，然后根据平行线的判定得到m∥n；（3）由（1）可得，∠5=180°-2∠2，∠6=180°-2∠3，再根据∠2+∠3=180°-∠α，即可得出∠β=180°-∠5-∠6=2（∠2+∠3）-180°=2（180°-∠α）-180°=180°-2∠α．（1）解：如图：∠∠1=∠4=50°，∠∠5=180°-2×50°=80°，∠m∥n∠∠2+∠5=180°，∠∠2=100°，（180°-∠2）=40°，∠∠6=12∠∠3=180°-∠4-∠6=90°；故答案为：100，90；（2）当∠3=90°时，m∥n理由如下：∠∠3=90°，∠∠4+∠6=90°，∠2∠4+2∠6=180°，∠∠2+∠5=180°，∠m∥n；（3）解：如图3，由（1）可得，∠5=180°-2∠2，∠6=180°-2∠3，∠∠2+∠3=180°-∠α，∠∠β=180°-∠5-∠6=2（∠2+∠3）-180°=2（180°-∠α）-180°=180°-2∠α，∠α与β的数量关系为：2α+β=180°，故答案为：2α+β=180°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【变式6-1】（2022·河北保定·七年级阶段练习）如图，直线AB∠CD，点M，N分别在直线AB,CD 上，H为直线CD下方一点．(1)如图1，MH和NH相交于点H，求证：∠MHN=∠AMH−∠CNH．（温馨提示：可过点H 作AB的平行线）(2)延长HN至点G，∠BMH的平分线ME和∠GND的平分线NE相交于点E，HM与CD相交于点F．①如图2，若∠BME=50°,∠END=30°，求∠MHN的度数；②如图2，当点F在点N左侧时，若∠BME的度数为x°，∠END的度数为y°，且x+y的值是一个定值，请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，求出∠MHN的度数；若变化，请说明理由．③如图3，当点N在点F左侧时，②中其他条件不变，请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，直接写出．．．．∠MHN的度数；若变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①20°；②不变，180°−2(x°+y°)；③不变，2(x°+y°)−180°【分析】（1）过点H作HQ∥AB．可得HQ∥CD，从而得到∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ，即可求证；（2）①根据∠BME=50°,∠END=30°，可得∠BMH=100°，∠GND=60°，从而得到∠AMH=180°−∠BMH=80°，∠CNH=60°．再由∠MHN=∠AMH−∠CNH，即可求解；②根据题意可得∠AMH=180°−2x°，∠CNH=2y°，再由∠MHN=∠AMH−∠CNH，即可求解；③过点H作OH∠AB，根据平行线的性质，可证得∠MHN=∠OHM−∠OHN=∠BMH−∠DNH．从而得到∠MHN=2x°+2y°−180°=2(x°+y°)−180°，即可求解．（1）证明：如图，过点H作HQ∥AB．∠HQ∥AB且AB∥CD，∠HQ∥CD，∠∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ，∠∠MHN=∠MHQ−∠NHQ=∠AMH−∠CNH；（2）解：①ME平分∠BMH,∠BME=50°，∠∠BMH=100°，∠NE平分∠DNG，∠DNE=30°，∠∠GND=60°，∠∠AMH=180°−∠BMH=80°，∠CNH=60°．由（1）可知：∠MHN=∠AMH−∠CNH=80°−60°=20°．∠∠MHN=20°；②∠ME平分∠BMH，∠BME=x°，∠∠BMH=2x°，∠NE平分∠DNG，∠DNE=y°，∠∠GND=2y°，∠∠AMH=180°−2x°，∠CNH=2y°，∠∠MHN=180°−2x°−2y°=180°−2(x°+y°)．∠x+y为一个定值，∠∠MHN不会随x的变化而发生改变，度数为180°−2(x°+y°)；③不变，∠MHN的度数为2(x°+y°)−180°．理由如下：如图，过点H作OH∥AB，∠∠BMH=∠OHM，∠AB∥CD，∠OH∥CD，∠∠DNH=∠OHN，∠∠MHN=∠OHM−∠OHN=∠BMH−∠DNH．∠ME平分∠BMH,∠BME=x°，∠∠BMH=2x°∠NE平分∠DNG，∠DNE=y°，∠∠GND=2y°，∠∠DNH=180°−2y°，∠∠MHN=2x°−(180°−2y°)，∠∠MHN=2x°+2y°−180°=2(x°+y°)−180°．∠x+y为一个定值，∠∠MHN不会随x的变化而改变．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质和判定，利用类比思想解答是解题的关键．【变式6-2】（2022·福建龙岩·七年级期末）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM∠BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．(1)求证：AE∠ED；(2)求证：DE平分∠ADC；(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．【答案】(1)见解析（1）证明：如图1，过点E作EG∥BM，则∠1=∠3，∠BM∥CN，∠EG∥CN，∠∠4=∠2，∠∠3+∠4=∠1+∠2=90°，∠∠AED=90°，∠AE∠ED．（2）证明：∠ AE平分∠BAD，∠∠BAD=2∠1，∠BM∥CN，∠∠BAD+∠CDA=180°，∠2∠1+∠CDA，（3）∠F为定值．证明：如图2，过点F作FH∥BM，设∠AFH=α，∠DFH=β，∠BM∥CN，∠FH∥CN，∠∠α+∠β=∠6+∠7，∠∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠∠α+∠β=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)=180°−45°=135°，∠∠F=∠α+∠β=135°，∠∠F为定值，∠F=135°，故答案为：∠F=135°．【点睛】本题主要考查垂线、角平分线的性质，解题的关键是掌握垂垂线的概念和角平分线与∠CFM互补(1)如图1，试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由．(2)如图2，∠BEF与∠EFD的平分线交于点P，EP的延长线与CD交于点G，H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH．(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求证：∠HPQ的大小是定值．【答案】(1)平行；理由见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行，即可判断直线AB与直线CD平行；（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF=90°，进而证明PF∥GH；（3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数．（1）解：结论：AB∥CD；理由如下：∠∠MEB与∠CFM互补，∠MEB=∠AEF，∠∠AEF与∠CFM互补，∠AB∥CD．（2）∠EG平分∠BEF，∠∠PEF=1∠BEF，2又∠FP平分∠EFD，∠∠EFP=1∠EFD，2由（1）知AB∥CD，∠∠BEF+∠EFD=180°，∠∠PEF+∠EFP=90°，∠∠EPF=90°，【例7】（2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习）如图，已知AB//CD，若按图中规律继续划分下去，则∠1+∠2+⋯+∠n等于（）A．n•1800B．2n•1800C．(n−1)•1800D．(n−1)2•1800【答案】C【分析】根据第1个图形∠1+∠2=180°，第2个图形∠1+∠2+∠3=2×180°，第，3个图形∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°…，进而得出答案．【详解】（1）∠AB∠CD，∠∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点E作一条直线EF平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠EF，CD∠EF，∠∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∠∠1+∠2+∠3=360°；（3）过点E、F作EM、FN平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠EM∠FN∠CD，∠∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°；∠∠1+∠2+3+∠4=540°；（4）中，根据上述规律，显然作（n-1）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n-1）．故选：C．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出图中变化规律是解题关键．【变式7-1】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）如图，已知直线AE，BF被直线AB所截，且AE//BF，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA；AC2，BC2分别平分∠BAC1和∠ABC1；AC3，BC3分别平分∠BAC2，∠ABC2…依次规律，得点C n，则∠C n的度数为（）A．90−902n B．180−902n−1C．902n−1D．1802nAB∠CD．试求：（1）图（1）中∠A＋∠C的度数，并说明理由．（2）图（2）中∠A＋∠APC＋∠C的度数，并说明理由．（3）图（3）中∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C的度数，并简要说明理由．（4）按上述规律，∠A＋……＋∠C（共有n个角相加）的和为【答案】（1）180°，理由见解析；（2）360°，理由见解析；（3）540°，理由见解析；（4）180°（n-1）【分析】（1）据两直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠C=180°；（2）沿P作一条平行A B、CD的平行线PM，由两直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠APM=180°，∠MPC+∠C=180°，故∠A+∠APC+∠C=360°；（3）根据第二题，同理可得∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°；（4）由以上规律，有两个角时，和为180°；有三个角时和为360°；有四个角时和为540°…故可得有n个角时，和为180°（n-1）．【详解】解：（1）∠AB∠CD，∠∠A+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点P作一条直线PM平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠PM，∠CD∠PM∠AB，∠∠A+∠APM=180°，∠MPC+∠C=180°，∠∠A+∠APC+∠C=360°；（3）分别过点E、F作EM、FN平行于AB，∠AB∠CD，∠AB∠EM∠FN∠CD，∠∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°；∠∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°；（4）由以上规律，有两个角时，和为180°；有三个角时和为360°；有四个角时和为540°…故可得有n个角时，和为180°（n-1）．【点睛】本题主要考查两直线平行，同旁内角互补的性质，并考查学生通过计算总结规律的能力，是一道好题．【变式7-3】（2022·浙江·七年级阶段练习）阅读并探究下列问题.（1）如图①，将长方形纸片剪两刀，其中AB∥CD，则∠2与∠1、∠3有何关系？请进行证明.（2）如图②，将长方形纸片剪四刀，其中AB∥CD，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系为.（3）如图③，将长方形纸片剪2016刀，其中AB∥CD，则共剪出个角.若将剪出的角（∠A、∠C除外）分别用∠E1、∠E2、∠E3…表示，则被剪出的这些角的关系为.（4）如图④，直线AB∥CD，∠EF A=∠HMN=x°，∠FGH=3x°，∠CNP=y°|2x+y−102|+√x+y−72=0由上述结论求∠GHM的度数.【答案】（1）∠1+∠3=∠2，证明见解析；（2）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；（3）2017，∠A+∠C+∠E2+∠E4+…+∠E2014=∠E1+∠E3+…+∠E2015．（4）48°．【分析】（1）过E点作EF∠AB，则EF∠CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠AEF=∠1，∠CEF=∠3，即有∠2=∠1+∠3；（2）分别过E、G、F分别作EM∠AB，GN∠AB，FP∠AB，根据两直线平行，内错角相等，同（1）一样易得到∠2+∠4=∠1+∠3+∠5；（3）综合（1）（2）易得开口向左的角的度数的和等于开口向右的角的度数的和．（4）利用（3）的结论得到∠BFG+∠GHM+∠MND=∠FGH+∠HMN，易计算出∠GHM．。

2022-2023学年七年级数学下册《平行线的性质》精讲与精练高分突破含答案解析

5.3平行线的性质考点一：平行线的性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单地说:两直线平行，同位角相等.2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单地说:两直线平行，内错角相等.3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单地说:两直线平行，同旁内角互补.注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。

一个结论：平行线间的距离处处相等。

例如：应用于说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等，还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形，或以下底为底的两等面积的三角形。

（因为梯形的上底与下底平行，平行线间的高相等，所以，就有等底等高的三角形。

）考点二、命题判断一件事情的语句叫命题。

命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。

例如：“明天可能下雨。

”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。

”这句语句_____命题。

(填“是”或“不是”)①命题分为真命题与假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。

假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。

②逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。

注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。

题型一：平行线的性质1．（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，AF 是BAC ∠的平分线，DF AC ∥，若135∠=︒，则BAF ∠的度数为（）A ．17.5°B ．35°C ．55°D ．70°2．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末）如图，直线a b P ，一块含60︒角的直角三角板如图放置，若113∠=︒，则2∠的度数为（）．A ．45︒B ．47︒C ．55︒D ．57︒3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB CD P ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EG 平分BEF ∠，交CD 于点G ，150∠=︒，则2∠等于（）A ．50︒B ．60︒C ．65︒D ．90︒题型二：根据平行线性质探究角的关系4．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）12∠=∠；（2）34∠=∠；（3）2490∠+∠=︒；（4）45180∠+∠=︒．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2023春·七年级单元测试）如图，平面内直线a b c ∥∥，点A ，B ，C 分别在直线a ，b ，c 上，BD 平分ABC ∠，并且满足αβ∠>∠，则α∠，∠β，γ∠关系正确的是（）A ．2αβγ∠=∠+∠B ．αβγ∠=∠+∠C ．22αβγ∠=∠-∠D ．2αβγ∠=∠+∠6．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）23∠∠=；（2）34∠∠=；（3）2+4=90∠∠︒；（4）5290∠-∠=︒，其中正确的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．4题型三：根据平行线性质求角的大小7．（2022秋·重庆江北·七年级校考期末）如图，已知OP 平分AOB ∠，30AOB ∠=︒，PC OA ∥，则CPO ∠为（）A ．30︒B ．10︒C ．15︒D ．5︒8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线m n ∥，AC BC ⊥于点C ，125∠=︒，则2∠的度数为（）A ．125︒B ．115︒C ．110︒D ．105︒9．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，12l l ∥，将一副直角三角板作如下摆成，图中点A 、B 、C 在同一直线上，则1∠的度数为（）A ．80︒B ．85︒C ．75︒D ．70︒题型四：平行线性质在生活应用问题10．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与原来的方向恰好相反，那么两次拐弯的角度是（）A ．第一次右拐50°，第二次左拐130°B ．第一次左拐50°，第二次右拐50°C ．第一次左拐50°，第二次左拐130°D ．第一次右拐50°，第二次右拐50°11．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，木条a 、b 、c 通过B 、E 两处螺丝固定在一起，且40ABM ∠=︒，77BEF ∠=︒，将木条a 、木条b 、木条c 看作是在同一平面内的三条直线AC 、DF 、MN ，若使直线AC 、直线DF 达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（）A ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 顺时针旋转23B ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 逆时针旋转103C ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 逆时针旋转37D ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 顺时针旋转15812．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转，B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动30°，B 灯每秒转动10°，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是（）A ．1或6秒B ．8.5秒C ．1或8.5秒D ．2或6秒题型五：平行线之间的距离13．（2023春·七年级单元测试）在同一平面内，设a 、b 、c 是三条互相平行的直线，已知a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，则a 与c 的距离为（）A ．1cmB ．3cmC ．5cm 或3cmD ．1cm 或3cm14．（2023春·七年级课时练习）如图，12l l ∥，AB CD ∥，2CE l ⊥，2FG l ⊥．则下列结论正确的是（）．A ．A 与B 之间的距离就是线段ABB ．AB 与CD 之间的距离就是线段AC 的长度C ．1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度D ．1l 与2l 之间的距离就是线段CD 的长度15．（2020春·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，已知直线a // b // c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，若AB=2，AC=6，则平行线b 、c 之间的距离是（）A ．2B ．4C ．6D ．8题型六：与命题有关的问题16．（2023春·广东江门·七年级统考期末）下列命题中，是假命题的是（）A ．直角的补角是直角B ．内错角相等，两直线平行C ．一条直线有且只有一条垂线D ．垂线段最短17．（2023春·七年级课时练习）关于原命题“如果a b =，那么22a b =”和它的逆命题“如果22a b =，那么a b =”，下列说法正确的是（）A ．原命题是真命题，逆命题是假命题B ．原命题、逆命题都是真命题C ．原命题是假命题，逆命题是真命题D ．原命题，逆命题都是假命题18．（2023春·全国·七年级专题练习）一栋公寓楼有5层，每层有一或两套公寓．楼内共有8套公寓．住户J 、K 、L 、M 、N 、O 、P 、Q 共8人住在不同公寓里．已知：（1）J 住在两套公寓的楼层．（2）K 住在P 的上一层．（3）二层只有一套公寓．（4）M 、N 住在同一层．（5）O 、Q 不同层．（6）Q 不住在一层或二层．（7）L 住在她所在层仅有的公寓里，且不在第一次或第五层．（8）M 在第四层；那么，J 住在第（）层．A ．1B ．2C ．3D ．5题型七：平行线的判定和性质的综合问题19．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级校考期末）如图，AB CD ∥，连接CA 并延长至点H ，CF 平分ACD ∠，CE CF ⊥，90GAH AFC ∠∠=+︒．(1)求证AG CE ∥；(2)若120GAF ∠=︒，求AFC ∠的度数．20．（2023春·七年级单元测试）如图，180ADE BCF ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，2ABC E ∠=∠．(1)求证：AD BC ∥；(2)求证：AB EF ∥；(3)若AF 平分BAD ∠，求证：90E F ∠+∠=︒．21．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 AM CN ∥，点B 在直线AM CN 、之间，88ABC ∠=︒．(1)如图1，请直接写出A ∠和C ∠之间的数量关系：_________．(2)如图2，A ∠和C ∠满足怎样的数量关系？请说明理由．(3)如图3，AE 平分MAB ∠，CH 平分NCB ∠，AE 与CH 交于点G ，则AGH ∠的度数为_________．一：选择题22．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图，若a b ∥，211933'∠=︒，则1∠等于（）A ．6027'︒B ．6073'︒C ．11933'︒D ．11973'︒23．（2023春·七年级课时练习）如图，直线l 、n 分别截A ∠的两边，且l n ∥．根据图中标示的角，判断下列各角的度数关系，正确的是（）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．46180∠+∠=︒D ．34180∠+∠=︒24．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB CD P ，BC 是ABD ∠的平分线，若3100∠=︒，则2∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．80︒25．（2023秋·吉林长春·七年级校联考期末）如图，AB CD P ，155FGB ∠︒＝，FG 平分EFD ∠，则BEF ∠的大小为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒26．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知AB CD EF ∥∥，160∠=︒，320∠=︒，则2∠的度数是（）A ．105︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒27．（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）如图，1260∠=∠=︒，376∠=︒，则4∠的度数为（）A ．102︒B ．103︒C ．104︒D ．105︒28．（2022春·全国·七年级专题练习）如图，点E 在AB 的延长线上，下列条件中能够判定AB CD P 的条件有（）①180BAD ABC ∠+∠=︒；②12∠=∠；③3=4∠∠；④5E ADC ∠+∠=∠．A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④29．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知180AEF EFC ∠+∠=︒，M N ∠=∠，求证12∠=∠；30．（2023秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，已知12∠=∠，3=4∠∠，5A ∠=∠，试说明：BE CF ∥．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：∵3=4∠∠（已知）∴AE ∥______（______）∴5EDC ∠=∠（______）∵5A ∠=∠（已知）∴EDC ∠=______（等量代换）∴DC AB ∥（______）∴5180ABC ∠+∠=︒（______）即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠（已知）∴513180∠+∠+∠=︒（______）即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥（______）．一、单选题31．（2023春·七年级课时练习）如图，已知直线AB CD ∥，130GEF ∠=︒，135EFH ∠=︒，则12∠+∠的度数为（）A ．35︒B ．45︒C ．65︒D ．85︒32．（2023春·七年级单元测试）如图，直线EF 分别与直线AB CD 、相交于点G H 、，已知1250∠=∠=︒，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ，则GMD ∠的度数为（）A ．115︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒33．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB EF ∥，90BCD ∠︒＝，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（）A ．360αβγ++︒＝B ．90αβγ++︒＝C ．αγβ+＝D ．180αβγ++︒＝ 34．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB CD EF ∥∥，则下列各式中正确的是（）A．①②④B．②③④C．①②③二、填空题37．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当的度数为________．38．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知AB CD ∥，点M ，N 分别在直线AB 、CD 上，90MEN ∠=︒，CNE ENF ∠=∠，则α∠与∠β的数量关系________．39．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，AB CD ABD ∠P ，和BDC ∠的角平分线交于点E ，延长BE 交CD 于点F ，232∠=︒，则3∠=_________．40．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线12l l ，被直线3l 所截，3l 分别交12l l ，于点A 和点B ，过点B 的直线4l 交1l 于点C ．若1130260350∠∠∠=︒=︒=︒，，，则4∠=_________．41．（2022春·四川成都·七年级校考阶段练习）有一副直角三角板ABC 和DEC ，其中45B ∠=︒，60D ∠=︒，如图所示叠放，边CD 与边AB 交于点G ，过点G 作GH 平分AGC ∠，若GH BC ∥，则ECA ∠=______度．三、解答题42．（2023春·广东江门·七年级统考期末）如图，已知点A 、D 在直线EF 上，12180∠+∠=︒，DB 平分ADC ∠，AD BC ∥．(1)求证： AB DC ∥；(2)若128DAB ∠=︒，求DBC ∠的度数．43．（2023春·七年级单元测试）如图，已知123180BDC ∠=∠∠+∠=︒，．(1)求证：AD CE ∥；(2)若DA 平分BDC ∠，DA FE ⊥于点A ，55FAB ∠=︒，求ABD ∠的度数．44．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线a b ⊥r r ，垂足为O ，ABC V 与直线a 、b 分别交于点E 、F ，且90C ∠=︒，EG FH ，分别平分MEC ∠和NFC ∠．(1)当PD 平分ODF ∠时，(2)当DP OB ∥时，求PDE ∠(3)当DP FD ⊥时，∠ADP 2(1)如图1，若BAP ∠，PAG ∠，ACE ∠的数量关系为___________．(2)如图2，在（1）的条件下，若5DBA ACE ∠=∠，30PAG ∠=︒，求证AB AC ⊥；(3)点B 、C 分别在点D 、E 的下方，若AB AC ⊥，PAG FAC ∠=∠，请在备用图中画出相应的图形，并求出DBA ∠的度数．1．B【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得1FAC ∠=∠，再根据角平分线的定义可得BAF FAC ∠=∠，从而可得结果．【详解】解：∵DF AC ∥，∴135FAC ∠=∠=︒，∵AF 是BAC ∠的平分线，∴35BAF FAC ∠=∠=︒，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．2．B【分析】由平行线的性质，已知113ABD ∠=∠=︒，再根据角的和差，平行公理推论，平行线的性质解得∠2度数，进而得出答案．【详解】过点B 作BD a ∥,∴2CBD ∠=∠，∵a b ∥,∴BD b ∥,又∵113∠=︒，∴113ABD ∠=∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴601347DBC ∠=︒-︒=︒，∴247∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差，对顶角的性质，等量代换等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点过一点作已知直线的平行线辅助线．3．C【分析】由AB CD P ，1=50∠︒，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得BEF ∠的度数，又由EG 平分BEF ∠，求得BEG ∠的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得2∠的度数．【详解】解：∥ AB CD ，1180BEF ∴∠+∠=︒，1=50∠︒ ，130BEF ∴∠=︒，EG 平分BEF ∠，1652BEG BEF ∴∠=∠=︒，265BEG ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．4．D【分析】根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，可判断（1），（2）,（4），由平角的定义可判断（3），逐一进行解答即可．【详解】解：∵纸条的两边互相平行，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5=180︒，故（1）（2）（4）正确；∵三角板是直角三角板，∴∠2+∠4=1809090︒-︒=︒，故（3）正确；综上所述，正确的个数是4．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．5．A【分析】先根据平行线的性质可得1γα∠+∠=∠，2β∠=∠，从而可得ABC αβ∠=∠+∠，再根据角平分线的定义可得11212αβ∠=∠+∠，代入1γα∠+∠=∠即可得出答案．【详解】解：如图，a b c ∥∥，1γα∴∠+∠=∠①，2β∠=∠，12ABC γαβ∠∴∠+∠+∠=∠+∠=，BD Q 平分ABC ∠，1112212ABC αβ∠=∴∠=∠+∠，代入①得：1212αβγα∠+∠+∠=∠，2αβγ∴∠=∠+∠，【详解】解：AC BC ⊥Q 于点C ，90ACB ∴∠=︒，190ABC ∴∠+∠=︒，902565ABC ∴∠=︒-︒=︒，m n ∥，2180115ABC ∴∠=︒-∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．9．C【分析】如图，过点C 作CM 1l ∥，则12l l CM ∥∥，根据平行线的性质可得∠1＋∠ECM ＝180°，∠2＝∠ACM ，再根据三角板的特点求解即可．【详解】解：如图，过点C 作CM 1l ∥，∵12l l ∥，∴12l l CM ∥∥，∴∠1＋∠ECM ＝180°，∠2＝∠ACM ，∵∠2＝180°−45°＝135°，∴∠ACM ＝135°，∴∠ECM ＝135°−30°＝105°，∴∠1＝180°−105°＝75°，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等”及作平行线是解题的关键．10．C【分析】根据两直线平行，同旁内角互补判断即可．【详解】解：因为两次拐弯后，与原来的方向恰好相反，所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补．故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．11．C【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．【详解】解：A ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 顺时针旋转23°，∴∠ABE =40°+23°=63°≠∠DEM ，∴AC 与DF 不平行，故A 不符合题意；B ．木条b 、c 固定不动，木条a 绕点B 逆时针旋转103°，∴∠CBE =180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM ，∴AC 与DF 不平行，故B 不符合题意；C ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 逆时针旋转37°，∴∠DEM =77°-37°=40°=∠ABE ，∴AC //DF ，故C 符合题意；D ．木条a 、c 固定不动，木条b 绕点E 顺时针旋转158°，∴∠DEM =360°-77°-158°=125°≠∠CBE ，∴AC 与DF 不平行，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．12．C【分析】设A 灯旋转的时间为t 秒，求出t 的取值范围为016t <≤，再分①06t <≤，②612t <≤和③1216t <≤三种情况，先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数，再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：设A 灯旋转的时间为t 秒，A 灯光束第一次到达AN 所需时间为180630︒=︒秒，B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒，B 灯先转动2秒，A 灯才开始转动，0182t ∴<≤-，即016t <≤，由题意，分以下三种情况：①如图，当06t <≤时，//AM BP ''，30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP '' ，1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠，MAM PBP ''∴∠=∠，即3010(2)t t ︒=︒+，解得1t =，符合题设；②如图，当612t <≤时，//AM BP ''，18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+，//,//MN PQ AM BP '' ，2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒，MAM PBP ''∴∠=∠，即3603010(2)t t ︒-︒=︒+，解得8.5t =符合题设；③如图，当1216t <≤时，//AM BP ''，30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+，同理可得：MAM PBP ''∠=∠，即3036010(2)t t ︒-︒=︒+，解得1916t =>，不符题设，舍去；综上，A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间t 的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．13．C【分析】分①直线b 在直线a 、c 的之间和②直线c 在直线a 、b 的之间两种情况，根据平行线间的距离求解即可得．【详解】解：①如图，当直线b 在直线a 、c 的中间时，a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，a ∴与c 的距离为()415cm +=；②如图，当直线c 在直线a 、b 的中间时，a 与b 的距离为4cm ，b 与c 的距离为1cm ，a ∴与c 的距离为()413cm -=；综上，a 与c 的距离为5cm 或3cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线间的距离，正确分两种情况讨论是解题关键．14．C【分析】根据两点间的距离和平行线间的距离的性质逐项判断即可．【详解】解：A 、A 与B 之间的距离就是线段AB 的长度，不符合题意，故本项错误；B 、AB 与CD 之间的距离就是线段HI 的长度，不符合题意，故本项错误；C 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度，符合题意，故本项正确；D 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 或GF 的长度，不符合题意，故本项错误．故答案为：C ．【点睛】本题考查了两点间的距离和平行线间的距离的性质，解决本题的关键是掌握以上基本的性质．15．B【分析】依据直线a ∥b ∥c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，即可得到AB 长为直线a 和b 之间的距离，BC 长为直线b 和c 之间的距离，AC 长为直线a 和c 之间的距离，再根据AB=2，AC=6，即可得出直线b 与直线c 之间的距离为4．【详解】解：∵直线a ∥b ∥c ，直线d 与它们分别垂直且相交于A ，B ，C 三点，∴AB 长为直线a 和b 之间的距离，BC 长为直线b 和c 之间的距离，AC 长为直线a 和c 之间的距离，又∵AB=2，AC=6，∴BC=6-2=4，即直线b 与直线c 之间的距离为4．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．16．C【分析】根据补角的定义，平行线的判定，垂线的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 直角的补角是直角，是真命题，故该选项不符合题意；B. 内错角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意；C. 同一平面内过直线上的一点有且只有一条垂线，原命题是假命题，符合题意；D. 垂线段最短，是真命题，故该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握补角的定义，平行线的判定，垂线的性质是解题的关键．17．A【分析】根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案．【详解】解：如果a b =，那么22a b =，所以原命题是真命题；命题“如果a b =，那么22a b =”的逆命题是如果22a b =，那么a b =，不一定成立，是假命题；故原命题是真命题，逆命题是假命题故选：A ．【点睛】此题考查了互逆命题，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键．18．D【分析】首先根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选，就能确定答案．【详解】解：由（4）和（8）得出M 和N 住在第四层．由（2）得K 只能在2或3层，又由（7）得出L 在3层且只有一户，K 在二层只有一户，P 则在一层．又由（5）和（6）知道O 只能在一层，Q 在五层．这时只有五层还有一套公寓，所以J 只能住在五层．故选：D ．【点睛】用到的知识点是推理和论证，能根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选是解此题的关键．19．(1)见解析(2)30AFC ∠=︒【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义推出AFC ACF ∠=∠，得到90ACF GAH ∠∠=+︒，根据垂直的定义求出90ACF ECH ∠∠+=︒，由此得到GAH ECH ∠=∠，即可推出结论；（2）根据平行线的性质推出2HAF ACD ACF =∠∠=∠，由90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠，得到902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒，求出30ACF ∠=︒即可．【详解】（1）证明：∵AB CD ∥，∴AFC DCF ∠=∠，∵CF 平分ACD ∠，∴DCF ACF ∠=∠，∴AFC ACF ∠=∠，∵90GAH AFC ∠∠=+︒，∴90ACF GAH ∠∠=+︒，∵CE CF ⊥，∴90ECF ∠=︒，∴90ACF ECH ∠∠+=︒，∴GAH ECH ∠=∠，∴AG CE ∥；（2）∵AB CD ∥，∴2HAF ACD ACF =∠∠=∠，∵90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠，∴902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒，∴30ACF ∠=︒，∴30AFC ∠=︒．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，正确掌握平行线的判定和性质是解题的关键．20．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）求出ADF BCF Ð=Ð，根据平行线的判定得出即可；（2）根据角平分线的定义得出2ABC ABE ∠=∠，求出ABE E ∠=∠，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质得出180ADE BCF ∠+∠=︒，根据角平分线的定义得出12ABE ABC ∠=∠， 12BAF BAD ∠=∠，求出90ABE BAF ∠+∠=︒，根据三角形的内角和定理得出即可．【详解】（1）∵180ADE BCF ∠+∠=︒，180ADE ADF ∠+∠=︒，∴ADF BCF ∠=∠，∴AD BC ∥；（2）∵BE 平分ABC ∠，∴2ABC ABE ∠=∠，∵2ABC E ∠=∠，∴ABE E ∠=∠，∴AB EF ∥；（3）∵AD BC ∥，∴180DAB ABC ∠+∠=︒，∵BE 平分ABC ∠，AF 平分BAD ∠，∴12ABE ABC ∠=∠，12BAF BAD ∠=∠，∴90ABE BAF ∠+∠=︒，∴1809090AOB EOF Ð=°-°=°=Ð，∴18090E F EOF Ð+Ð=°-Ð=°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．21．(1)88A C ∠+∠=︒(2)92C A ∠-∠=︒，见解析(3)46︒【分析】（1）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；（2）过点B 作BE AM ∥，利用平行线的性质即可求得结论；（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．【详解】（1）解：过点B 作BE AM ∥，如图，∴A ABE ∠=∠．∵BE AM ∥，AM CN ∥，∴BE AM CN ∥∥．∴C CBE ∠=∠．∵88ABC ∠=︒．∴88A C ABE CBE ABC ∠+∠=∠+∠=∠=︒．故答案为：88A C ∠+∠=︒；（2）解：A ∠和C ∠满足：92C A ∠-∠=︒．理由：过点B 作BE AM ∥，如图，∴A ABE ∠=∠．∵BE AM ∥，AM CN ∥，∴BE AM CN ∥∥．∴180C CBE ∠+∠=︒．∴180CBE C ∠=︒-∠．∵88ABC ∠=︒．∴88ABE CBE ∠+∠=︒．∴18088A C ∠+︒-∠=︒．∴92C A ∠-∠=︒；（3）解：设CH 与AB 交于点F ，如图，∵AE 平分MAB ∠，CH 平分NCB ∠，∥，∵a b24．B【分析】根据平行线的性质可求ABD ∠的度数，然后根据角平分线定义求解即可．【详解】解：AB CD P ，3100∠=︒，3100ABD ∴∠=∠=︒，BC 是ABD ∠的平分线，121502ABD ∴∠=∠=∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质求出ABD ∠的度数是解题的关键．25．D【分析】利用平行线的性质，角平分线的性质计算．【详解】解：155AB CD FGB ∠=︒ ∥，，180BEF EFD ∴∠+∠=︒，180********GFD FGB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，FG 平分EFD ∠，222550EFD GFD ∴∠=∠=⨯︒=︒，180********BEF EFD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．26．D【分析】由AB EF ∥，根据据两直线平行，内错角相等，可求出CDE ∠的度数，从而由3CEF AEF ∠=∠-∠可求得出CEF ∠的度数，再由CD EF ∥，根据两直线平行，同旁内角互补，求得2∠的度数即可．【详解】解：∵AB EF ∥，160∠=︒，∴160AEF ∠=∠=︒，∵320∠=︒，∴602040CEF ∠=︒-︒=︒，∵CD EF ∥，∴2180CEF ∠+∠=︒，∴218040140∠=︒-︒=︒．故选D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．27．C【分析】先根据对顶角相等可得5260∠=∠=︒，再根据平行线的判定可得a b P ，然后根据平行线的性质即可得．【详解】解：如图，260∠=︒ ，5260∴∠=∠=︒，160∠=︒ ，51∴∠=∠，a b ∴P ，4180180104376∠=︒-︒-︒=∴∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．28．B【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行三种判定方法进行判定即可．【详解】解：∵∠180BAD ABC ∠+∠=︒，∴BC AD ∥，故①不合题意；∵12∠=∠，∴AB CD P ，故②符合题意；∵3=4∠∠，∴BC AD ∥，故③不合题意；∵5E ADC ∠+∠=∠，5EDC ADC ∠+∠=∠，∴E EDC ∠=∠，∴AB CD P ，故④符合题意．故本题选：B ．【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握三种判定方法是解题关键．29．证明见解析【分析】先证明AB CD P ，再证明ME FN ∥，得到MEF EFN ∠=∠，利用等式的性质即可求解．【详解】证明：∵180AEF EFC ∠+∠=︒，∴AB CD P ，∴AEF DFE ∠=∠．∵M N ∠=∠，∴ME FN ∥，∴MEF EFN ∠=∠，∴AEF MEF EFD EFN ∠-∠=∠-∠，即12∠=∠．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是牢记平行线的判定与性质．30．BC ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；A ∠；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可．【详解】解：∵3=4∠∠（已知）∴AE BC ∥（内错角相等，两直线平行）∴5EDC ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∵5A ∠=∠（已知）∴EDC A ∠=∠（等量代换）∴DC AB ∥（同位角相等，两直线平行）∴5180ABC ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠（已知）∴513180∠+∠+∠=︒（等量代换）即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：BC ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；A ∠；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键．31．D【分析】由130GEF ∠=︒，135EFH ∠=︒可得1324265︒∠+∠+∠+∠=，由AB CD P 得34180∠+∠=︒，进而可求出12∠+∠的度数．【详解】解：如下图所示，∵130GEF ∠=︒，∴13130︒∠+∠=，∵135EFH ∠=︒，∵AB EF ∥，∴AB CM DN EF ∥∥∥，∴BCM DCM CDN EDN αγ∠∠∠∠＝，＝，＝，∵CDN EDN CDN βγ∠+∠∠+＝＝①，90BCD CDN α∠+∠︒＝＝②，由①②得：90αβγ+-︒＝．即90αβγ++︒＝故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解题的关键．34．D【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补）即可得到结论．【详解】∵AB CD EF ∥∥，∴31BDC ∠=∠+∠，=1802BDC ∠︒-∠，∴311802∠=∠+︒-∠，∴231801∠+∠=︒+∠，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题关键．35．C【分析】分别过E 、F 作GE AB ∥，FH CD ∥，再根据平行线的性质可以得到解答．【详解】解：分别过E 、F 作GE AB ∥，FH CD ∥，∵AB CD ∥，∴AB GE FH CD ∥∥∥，∴180ABE BEG ∠+∠=︒，180CDE DEG ∠+∠=︒，∴360ABE BEG CDE DEG ∠+∠+∠+∠=︒，即360ABE BED CDE ∠+∠+∠=︒，①正确；∴1β∠= EF CD ∥，CNE ENF ∠=∠()121802ENC α∴∠=∠=︒-∠∵1130350∠∠=︒=︒，，∴12l l ∥，∴45∠=∠，∵260350∠∠=︒=︒，，∴5180605070∠=︒-︒-︒=︒，在BCG V 中，180180904545BCG BGC B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，30DCE ∠=︒ ，90453015ECA ACB BCG DCE ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，关键是理解平行线性质，灵活运用角的和差关系计算．42．(1)见解析(2)26DBC ∠=︒【分析】（1）由已知条件得出180BAD CDA ∠+∠=︒，根据同旁内角互补两直线平行，即可得证；（2）根据已知条件得出18012852ADC ∠=︒-︒=︒，根据角平分线的定义得出1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，根据平行线的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵12180∠+∠=︒，1180,2180DAB ADC ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴180BAD CDA ∠+∠=︒，∴AB DC ∥；（2）解：∵180BAD CDA ∠+∠=︒，128DAB ∠=︒，∴18012852ADC ∠=︒-︒=︒，∵DB 平分ADC ∠，∴1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴26DBC ADB ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．43．(1)见解析(2)110︒【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB CD ∥，得到2ADC ∠=∠，等量代换得出3180ADC ∠+∠=︒，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；（2）由CE AE ⊥，AD CE ∥得出90CEF DAF ∠∠==︒，再根据平行线的性质即可求出235ADC ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义即可得解．【详解】（1）证明：∵1BDC ∠=∠，∴AB CD ∥，∴2ADC ∠=∠，∵23180∠+∠=︒，∴3180ADC ∠+∠=︒，∴AD CE ∥；（2）解：∵CE AE ⊥于E ，∴90CEF ∠=︒，由（1）知AD CE ∥，∴90CEF DAF ∠∠==︒，∴2ADC DAF FAB ∠=∠=∠-∠，∵55FAB ∠=︒，∴35ADC ∠=︒，∵DA 平分BDC ∠，1BDC ∠=∠，∴1270BDC ADC ∠=∠=∠=︒，∴18070110ABD ∠=︒-︒=︒．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．44．(1)180°(2)见解析【分析】（1）根据四边形的内角和解答即可；（2）根据四边形的内角和得出180OEC OFC ∠+∠=︒，由角平分线的定义得出()111809022CEG CFH MEC NFC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，过C 点作CD EG ∥，由平行线的性质与判定即可得出结论．【详解】（1）解：在四边形OECF 中由90C ∠=︒，a b ⊥r r ，得180OEC OFC ∠+∠=︒，故答案为：180°；（2）证明：在四边形OECF 中∵90C ∠=︒，a b ⊥r r ，得180OEC OFC ∠+∠=︒，∵180MEC OEC ∠=︒-∠，180NFC OFC ∠=︒-∠，∴()()180180MEC NFC OEC OFC ∠+∠=︒-∠+︒-∠∵90ODE ∠=︒，∴1409050PDE ∠=︒-︒=︒．（3）如图，∵DP FD ⊥，（4）如图，当PD 在EDF ∠的外部时，∵45EDF ∠=︒，23PDF ∠=∠同理可得：2453 PDF∠=⨯∴PDE EDF PDF∠=∠-∠【点睛】本题考查的是垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的,BAP PAC∴∠=∠∠BAP PAC∴∠=∠=∠故答案为：BAP∠=（2）证明：如图2，DBA BAG ∴∠=∠AP 平分BAC∠BAP PAC ∴∠=∠DBA BAG ∴∠=∠5DBA ACE ∠=∠ 在图3中，∵AB AC ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵AP 平分BAC ∠，∴1452PAB PAC BAC ∠=∠=∠=︒，∵DM FG ∥，BAG DBA x∴∠=∠=45PAG PAB BAG x∴∠=∠+∠=︒+90BAC ∠=︒9090FAC BAG x∴∠=︒-∠=︒-PAG FAC∠=∠ 4590x x∴︒+=︒-解得：22.5x =︒，22.5DBA ∴∠=︒；在图4中，∵AB AC ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵AP 平分BAC ∠，∴1452P AB P AC BAC ∠=∠=∠=''︒，∵DM FG ∥，BAG DBA x∴∠=∠=45P AG BAG P AB x ∴∠=∠-='∠-'︒()180********PAG P AG x x∴∠=︒-∠=︒--︒=︒-'90CAG x∠=︒- ()1801809090FAC CAG x x∴∠=︒∠=︒-︒-=︒+PAG FAC∠=∠ 22590x x∴︒-=︒+解得：67.5x =︒，67.5DBA ∴∠=︒；综上所述，DBA ∠的度数为22.5︒或67.5︒．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义综合题；熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是解决本题的关键．。

5.4平行线的性质定理和判定定理

证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形．先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. 把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤, 书写格式以及注意事项内化为一种方法.
借助“同位角相等,两直线平行”这一基本事实,你还能证明哪些熟悉的结论?
☞ 几何的三种语言
基本事实: 同位角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理1: 内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理2: 同旁内角互补,两直线平行. ∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b. a b a b a b
5.4平行线的性质定理和判定定理
在七年级下册我们探索了哪些平行线的性质和判定方法？其中“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”作为基本事实、
言必有“据”
基本事实：两条直线被第三条直线所截, 如果同位角相等,那么这两条直线平行. 这一基本事实可以简单说成:同位角相等, 两直线平行. 利用这个基本事实,我们来证明下面的定理定理两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 这个定理可以简单说成:同旁内角互补,两直线平行. 同学们请欣赏例题给出的证明思路及步骤:
1
平行线的判定
c
1 2
c
2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
分析下面的两个命题，你发现他们的条件和结论之间有什么关系？

人教版七年级下册(新)第5章第三节《平行线的性质》教案

在学生小组讨论环节，我尝试扮演引导者和参与者的角色，尽量不干预学生的讨论过程。但从成果分享来看，有些小组在问题分析和解决方案上仍显得不够深入。这可能是因为我对他们的引导不够到位，或者问题的开放性程度不够。因此，我需要在设计讨论主题时，更加注重问题的针对性和深度，以促进学生思维的拓展。
最后，对于课堂总结环节，我觉得可以做得更好。在今后的教学中，我打算让学生更多地参与到总结过程中，让他们自己总结今天学到了哪些知识点，以及这些知识点在实际生活中的应用。这样不仅能巩固所学知识，还能提高学生的表达能力。
5.课后作业：布置与平行线性质相关的练习题，巩固所学知识。
二、核心素养目标
1.提升几何直观：通过探索平行线的性质，培养学生观察图形、理解几何关系的能力，提高几何直观素养。
2.培养逻辑推理能力：在教学过程中，引导学生从特殊到一般，通过具体实例发现平行线的性质，学会运用逻辑推理进行证明，增强推理能力。
3.发展数学建模素养：设计实际问题，让学生运用平行线性质构建数学模型，解决问题，提高数学建模能力。
1.讨论主题：学生将围绕“平行线性质在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将提出一些开放性的问题来引导学生思考，帮助他们发现问题、分析问题并解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果，这些成果将被记录在黑板上或投影仪上。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平行线的基本概念。平行线是在同一平面内永不相交的两条直线。它们在几何图形中有着重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析铁路轨道的布局，我们可以看到平行线在实际中的应用，以及它们如何帮助我们理解和解决问题。

七年级数学下册教学课件《平行线的性质》

d
c
21 a
34
65 b
78
对应训练
1.如图，直线a∥b，c是截线，若∠1=60°，则∠2的度数为 __1_2_0_°_.
2.如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD 的平分线，若∠2=64°，则∠3=__5_8_°__.
探究点2 两直线平行，内错角相等
你能结合图形，由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的
内错角之间的关系吗？
c
两条直线平行
21 a
34
同位角相等
转化
内错角相等
65 b
78
探究点2 两直线平行，内错角相等
你能结合图形，由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的
内错角之间的关系吗？
c
解：∵a∥b（已知）， ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）.
21 a
34
又∵∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠3=∠5（等量代换）.
拓展提升
我们生活中经常接触的小刀刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的．把处于闭合状态的刀片打开，得到如图所示的图形．（1）若∠1=55°，求∠2的度数；（2）在刀片打开过程中，若∠2始终为钝角，试说明 ∠2=∠1+90°．
解:（1）如图，延长CB交AD于点E. 由题意可知∠BAG=90°，AG∥CE， ∴∠EAG=∠1+∠BAG=55°+90°=145°， ∠EAG=∠DEC. ∴∠DEC=145°. ∵刀片上、下是平行的，即AD∥CF， ∴∠2=∠DEC=145°. （2）由（1）可知 ∠DEC=∠DAG=∠1+∠BAG=∠1+90°， ∠2=∠DEC，∴∠2=∠1+90°.
21 a

寒假班第十讲平行线的性质,尺规作角七年级下册数学

第九讲平行线的性质，尺规作角一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.二、两条平行线的距离定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．（2）两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．三、尺规作角用圆规和没有刻度的直尺作一个角等于已知角。

作法：❖能力提升1．已知：如图，AB∥DC，点E是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AE⊥DE．2.如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=．3．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则() ．A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不确定4．已知：∠AOB．利用尺规作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．5．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝( )A．180°B．270°C．360°D．540°6．如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为（）A．34°B．56° C．66° D．54°7．如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为()．A．60°B．70°C．80°D．120°❖知识总结❖课后作业1．下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；③同位角相等，两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是()．A．①B．②和③C．④D．①和④2．如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于()．A．60°B．90°C．120°D．150°3．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是()．4．如图所示，直线l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于()．A．55°B．30°C．65°D．70°5. 如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝______度．6．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝________．7．如图，已知AB∥CD，MG、NH分别平分∠BMN与∠CNM，试说明NH∥MG?。

人教版七年级数学下册《平行线的性质》公开课PPT

判断下列说法是否正确 1.两直线被第三条直线所截，同位角相等。 2.两直线平行，同旁内角相等。 3.“内错角相等，两直线平行”是平行线的性质。 4.“两直线平行，同旁内角互补”是平行线的性质。
A1
D
B
C
1、如果AD//BC，根据___________
可得∠B= _______
2、如果AD//BC，根据___________
为∠1=85º
1
如图，梯子的各条横档互相平行，∠1=1000，求∠2的度数。
A
2 B
C
1D
如图，在汶川大地震当中，一辆抗震救灾汽车经过一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行.第一次拐的角∠B等于1420，第二次拐的角∠C是多少度？为什么？
1420
AB
C
D
？
如图，是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A=115°，∠D=100°。已知梯形的两底 AD//BC，请你求出另外两个角的度数。
A
D
115° 110°
B
C
已知：直线a∥b, ∠1=115°. 则： ∠2=___,理由:________.
若∠3= 115°,则:直线c与d有
把下列句子颠倒一下前后顺序，能得到怎样的一句话？这句话正确吗？
1.对顶角相等；
2.如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数； 3.我爱我的学生；
• 同位角相等，两直线平行 • 内错角相等，两直线平行 • 同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补
何位置关系?并说明理由.
c

七年级-人教版-数学-下册-第1课时--平行线的性质

c
a
3
1
b
2
猜想：∠1＝∠2．
如图，已知直线 a∥b，c 是截线．试说明∠1＝∠2．
c
解：∵a∥b，
a
3
∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
1
又∠1＝∠3(对顶角相等)，
b
2
∴∠1＝∠2．
归纳
性质 2：两条_平__行__线__被第三条直线所截，_内__错__角__相等．简单说成：两直线平行，__内__错__角__相等．
符号语言： ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2．
E
A
B
1
C
2
D
F
仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质 2 的掌握．
仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质 2 的掌握．
思考
由“两直线平行，同位角相等”，我们可以推出平行线关于
同旁内角的什么性质？ a b
c 3 14 2
猜想：∠2＋∠4＝180°．
如图，已知直线 a∥b，c 是截线．试说明∠4＋∠2＝180°．
平行线相交，度量所形成的八个角的度数，把结果填入下表：
角度数
角度数
∠1 ∠2 ∠3 ∠4 120° 60° 120° 60°
∠5 ∠6 ∠7 ∠8 120° 60° 120° 60°
c 21 a
34
6 5b 78
∠1，∠2，…，∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什
么关系？
同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7．
c
每对同位角的度数都相等．由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系．
21 a 34
6 5b 78
猜想：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

七年级数学下《平行线的性质》课评

《平行线的性质》课评在本次《平行线的性质》的课程中，教师通过精心的教学设计和组织，使学生在学习过程中掌握了平行线的性质，并且能够运用这些性质解决一些实际问题。

以下是对本次课程的评价：一、教学目标明确本次课程的教学目标清晰明确，教师通过讲解、演示和探究活动等方式，使学生理解平行线的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

在整个教学过程中，教师始终围绕教学目标展开教学，使得学生的学习过程更加有针对性和实效性。

二、教学内容充实本次课程的教学内容充实，教师不仅讲解了平行线的性质，还通过实例和探究活动帮助学生深入理解这些性质的应用。

同时，教师还注重引导学生思考，培养他们的探究精神和几何思维能力。

教学内容的难易程度适中，符合学生的认知水平，使得学生在学习过程中能够逐渐掌握平行线性质的精髓。

三、教学方法多样本次课程中，教师采用了多种教学方法，如讲解、演示、小组讨论等，使得学生的学习方式更加多样化。

同时，教师还利用了多媒体教学资源，使得抽象的几何概念变得更加直观易懂。

在探究活动中，教师引导学生自己动手操作，培养他们的实践能力。

这些教学方法的运用，使得学生的学习效果更加显著。

四、教学评价与反馈及时在教学过程中，教师通过课堂提问、小组讨论等方式，及时了解学生的学习情况，调整教学策略。

在作业和测试环节中，教师能够及时批改和反馈学生的作业和测试结果，帮助学生找出问题并及时纠正。

这种及时的教学评价与反馈机制，有助于学生更好地掌握知识，提高学习效果。

五、教学氛围融洽在教学过程中，教师注重与学生互动交流，营造了融洽的教学氛围。

教师的语言流畅、表达清晰，能够激发学生的学习兴趣和积极性。

同时，教师还关注学生的学习状态和情感需求，关注学生的个体差异，提供个性化的指导和帮助。

这种关注学生的教学态度，有助于建立良好的师生关系，提高学生的学习效果。

综上所述，本次《平行线的性质》课程在教学目标、内容、方法、评价等方面都表现出较高的水平。

学生在学习过程中能够掌握平行线的性质并能够运用这些性质解决实际问题。

湘教版数学七年级下册4.3《平行线的性质》教学设计

湘教版数学七年级下册4.3《平行线的性质》教学设计一. 教材分析《平行线的性质》是湘教版数学七年级下册第4章第3节的内容。

本节课主要介绍了平行线的性质，包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。

同时，本节课还学习了如何利用这些性质进行证明和解决问题。

本节课的内容是学生学习几何的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、射线、线段的基本概念，以及角的定义和分类。

但是，对于平行线的性质和证明方法，学生可能还没有完全理解和掌握。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索平行线的性质，提高学生的动手操作能力和思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平行线的性质，学会运用性质进行证明和解决问题。

2.过程与方法：培养学生观察、操作、思考、交流的能力，提高学生的动手操作能力和思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.重点：平行线的性质及证明。

2.难点：如何灵活运用平行线的性质解决问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平行线的概念，激发学生的学习兴趣。

2.引导发现法：引导学生观察、操作、思考，自主探索平行线的性质。

3.合作交流法：分组讨论，培养学生团队协作能力和沟通能力。

4.实践操作法：让学生动手操作，提高学生的动手能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示平行线的性质及证明过程。

2.教学素材：准备一些图片和实例，用于导入和解决问题。

3.学生活动材料：准备一些卡片和工具，用于学生分组讨论和操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入平行线的概念，如在公路上行驶的车辆、书桌上的文具等。

引导学生观察这些实例中的平行线，并提出问题：“你们能找出哪些平行线吗？它们有什么特点？”通过观察和思考，学生可以发现平行线的特点，为学习平行线的性质奠定基础。

青岛版七年级数学下册《平行线的性质》评课稿

青岛版七年级数学下册《平行线的性质》评课稿一、课程概述《平行线的性质》是青岛版七年级数学下册的一堂课程，主要介绍了平行线的性质、判定方法以及平行线的应用。

通过本课程的学习，学生将了解到平行线之间的关系与性质，并能够运用所学知识解决实际问题。

二、教学目标1. 知识目标•学习平行线的定义和性质，如平行线的特点、判定方法等；•掌握平行线与转角线的关系，如同位角、内错角等；•理解平行线的应用，如平行线的测量、角度的计算等。

2. 能力目标•能够判断平行线的关系，正确应用平行线的性质解决问题；•能够灵活使用平行线的判定方法进行推理与证明；•能够运用平行线的性质进行角度计算和线段测量。

3. 情感目标•培养学生的数学兴趣，提高学生对数学的感悟和理解能力；•培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的思维能力和解决问题的能力；•培养学生的观察力、分析推理能力和实际应用能力。

三、教学内容与方法1. 教学内容课程主要内容包括：•平行线的定义和性质：包括平行线的特点、判定方法等。

•平行线与转角线的关系：包括同位角、内错角、同旁内角等。

•平行线的应用：包括平行线的测量、角度的计算等。

2. 教学方法本课程采用多种教学方法结合使用，包括：•探究式教学法：通过引导学生观察实际物体、进行实验等方式，引发学生对平行线的认识和理解。

•演示法：通过示例演示平行线的性质和应用，提高学生对知识点的理解和记忆。

•讨论法：通过小组讨论、分享思考等方式，激发学生思维，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

•练习与巩固：通过练习题、课堂练习等方式，巩固学生的知识点，并提高应用能力。

四、教学流程1. 导入与铺垫•通过引入日常生活中的平行线示例，如铁轨、书本等，让学生直观感受平行线的概念和性质。

2. 知识点介绍与讲解•通过演示板展示平行线的定义和性质，如平行线的特点、判定方法等。

•利用示例，引导学生观察并总结平行线的性质。

3. 练习与应用•设计一系列的练习题，让学生通过计算角度、测量线段等方式巩固所学知识，锻炼应用能力。

湘教版数学七年级下册《平行线的性质》教学设计

湘教版数学七年级下册《平行线的性质》教学设计一. 教材分析湘教版数学七年级下册《平行线的性质》是初中的基础内容，主要让学生了解平行线的性质，包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。

这部分内容为后续学习几何知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、射线、线段的概念，以及相交线的性质。

因此，学生对于几何图形的认知已有一定的基础。

但部分学生对于平行线的性质理解可能存在困难，需要教师在教学过程中进行针对性的引导和讲解。

三. 教学目标1.让学生了解平行线的性质，包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

2.培养学生运用平行线的性质解决实际问题的能力。

3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.教学重点：平行线的性质及其推导过程。

2.教学难点：平行线性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究平行线的性质。

2.利用几何画板软件，直观展示平行线的性质。

3.采用案例分析法，让学生运用平行线的性质解决实际问题。

4.小组讨论，培养学生合作学习的能力。

六. 教学准备1.准备相关课件，包括图片、动画等。

2.准备几何画板软件，用于展示平行线的性质。

3.准备实际问题案例，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用图片展示生活中的平行线现象，如操场上的跑道、书桌上的直线等，引导学生关注平行线。

然后提问：“你们知道平行线有哪些性质吗？”2.呈现（10分钟）利用几何画板软件，展示两条平行线被第三条直线所截的情景。

引导学生观察并总结同位角、内错角、同旁内角的关系。

同时，引导学生推导出平行线的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组设计一个包含平行线性质的几何问题，并互相解答。

教师巡回指导，帮助学生解决问题。

4.巩固（10分钟）教师出示几个实际问题，让学生运用平行线的性质进行解答。

如：“一个平行四边形的一组邻边平行，求证另一组邻边也平行。

”5.拓展（10分钟）让学生思考：“在现实生活中，还有哪些现象可以用平行线的性质来解释？”引导学生将所学知识与生活实际相结合。

部审湘教版七年级数学下册4.3《平行线的性质》教学设计

部审湘教版七年级数学下册4.3《平行线的性质》教学设计一. 教材分析《平行线的性质》是湘教版七年级数学下册第4.3节的内容，主要介绍平行线的性质。

本节内容是在学生已经掌握了直线、射线、线段的基本概念和性质，以及平行线的概念的基础上进行学习的。

本节课的主要内容有：平行线的性质，平行线之间的夹角，以及平行线与截线的关系。

这些内容是学生进一步学习几何的基础，也是学生解决实际问题的重要工具。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们能够理解并运用一些基本的数学概念和性质。

但是，对于一些抽象的数学概念，如平行线的性质，他们可能还有一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要通过一些具体的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这些概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解平行线的性质，能够运用这些性质解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、思考、交流等活动，培养自己的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学学习，体验数学的乐趣，增强自己的自信心。

四. 教学重难点1.重点：平行线的性质。

2.难点：平行线之间的夹角，以及平行线与截线的关系。

五. 教学方法1.情境教学法：通过一些实际例子，引发学生的兴趣，激发学生的思考。

2.动手操作法：让学生通过实际操作，观察和分析平行线的性质。

3.讨论法：让学生通过小组讨论，共同探讨和解决问题。

六. 教学准备1.准备一些实际的例子，如图片、模型等，用于引发学生的兴趣和思考。

2.准备一些平行线的图形，用于让学生观察和操作。

3.准备一些练习题，用于巩固学生所学的内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际的例子，如图片、模型等，引导学生观察和思考平行线的性质。

2.呈现（10分钟）向学生介绍平行线的性质，如平行线的定义，平行线之间的夹角，以及平行线与截线的关系。

同时，让学生通过观察和操作，验证这些性质。

人教版七年级数学下册《平行线的性质》相交线与平行线PPT优秀课件

置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得到两角的数量关系； (2)平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件.
感悟新知
特别警示 ●两条直线平行是前提，只有在这个前提下才有同
位角相等； ●格式书写时，顺序不能颠倒，与判定不能混淆.
感悟新知
例 1 如图5.3-2，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠ 1=30°，则∠ 2 的度数为( A ) A.60° B.50° C.40° D.30°
感悟新知
1-1.[中考·柳州] 如图，直线a，b 被直线c 所截，若a ∥ b， ∠ 1=70 °，则∠ 2 的度数是( C ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 110°
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
1. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等.
2. 表达方式：如图5.3-3，因为a ∥ b(已知)，所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，内错角相等).
感悟新知
特别警示并不是所有的内错角都相等，只有在“两直线平
行”的前提下，才有内错角相等.
感悟新知
例2 如图5.3-4，AB ∥ CD，BE 平分∠ ABC，CF 平分 ∠ BCD，你能发现BE 和CF 有何特殊的位置关系吗？说说你的理由. 解题秘方：由两直线平行得到内错角相等，再由内错角相等得到两直线平行.
感悟新知
解：BE∥CF.理由如下：∵ AB∥CD(已知)，
∴∠ ABC= ∠ BCD (两直线平行，内错角相等).
∵ BE 平分∠ ABC，CF 平分∠ BCD (已知)，
∴∠ 2=
1 2
∠ ABC，∠ 1=Fra bibliotek1 2