平行线的性质
平行线的性质
平行线的性质平行线是几何学中一个重要的概念，它具有一系列独特的性质和规律。
本文将从定义、性质以及常见应用几个方面来探讨平行线的特点。
一、定义平行线指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
两条平行线之间的距离是不变的，无论它们延伸多远。
二、性质1. 平行线具有相同的斜率：对于两条平行线，它们的斜率相等。
可以通过直线的斜率公式来证明这个性质。
2. 平行线没有交点：平行线不会相交，因此在它们之间不存在交点。
这一性质是平行线的基本特征。
3. 平行线的内角和性质：当一条直线与两条平行线相交时，相应的内角和是补角。
也就是说，这些内角的和等于180度。
4. 平行线的外角性质：当一条直线与两条平行线相交时，相应的外角是等于对应内角的。
5. 平行线的转角性质：当有两条平行线与一条交线相交时，它们所对应的转角相等。
三、应用平行线的性质在几何学中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景。
1. 建筑与设计：在建筑和设计过程中，平行线的概念经常被用来处理墙壁、地板、屋顶等元素的布局。
通过确保平行线之间的距离一致，可以营造出整齐、协调的空间效果。
2. 路面交通：在道路设计和交通规划中，平行线的性质被用于绘制车行道、人行道和停车位等交通设施。
通过确保平行线的平直性和正确的间距，可以提高交通流畅度和安全性。
3. 数学证明：平行线的性质在数学证明中扮演重要的角色。
通过运用平行线的相关性质和定理，可以推导出更复杂的几何定理，解决各种几何问题。
总结：平行线是几何学中一个基础而重要的概念，它具有独特的性质和规律。
通过理解和应用平行线的性质，我们可以更好地解决几何问题，同时在建筑、设计和交通规划等领域中发挥重要作用。
掌握平行线的性质对于理解几何学和应用几何学都是至关重要的。
七年级数学下《平行线的性质》知识点总结归纳
七年级数学下《平行线的性质》知识点总结归纳一、平行线的性质1.同位角相等：两条平行线被一条横截线所截，形成的同位角相等。
2.内错角相等：两条平行线被一条横截线所截，形成的内错角相等。
3.同旁内角互补：两条平行线被一条横截线所截，形成的同旁内角互补，即角度和为180°。
二、性质的应用1.计算平行线的距离：利用平行线的性质，可以计算两条平行线之间的距离。
2.判断角度大小：利用平行线的性质，可以判断两条直线之间的角度大小。
3.解决实际问题：平行线的性质在实际生活中有广泛的应用，如建筑、机械制造等领域。
三、注意事项1.平行线的性质是在同一平面内，两条不相交的直线所具备的属性。
因此，确定两条线是否平行，首先需要确定它们是否在同一平面内。
2.平行线的性质需要通过横截线来体现，因此在证明或应用性质时，需要明确横截线的位置。
3.在实际应用中，需要根据具体情境判断两条线是否平行，并选择适当的方法来解决问题。
四、相关定理与概念1.平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
2.垂直线的性质：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
3.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
五、易错点提醒1.学生在应用性质时，容易出现混淆，将判定定理和性质混淆使用。
需要明确的是，判定定理用于判断两条直线是否平行，而性质用于说明平行线之间的关系或推导其他结论。
2.对于同旁内角互补的理解，学生容易出现误区，认为同旁内角之和为90°而非180°。
需要强调的是，同旁内角互补是指它们的角度和为180°，不是90°。
3.在实际解决问题时，学生容易忽略题目中的限制条件或隐藏条件，导致解题错误。
需要提醒学生认真审题，注意细节，以免出现不必要的错误。
平行线的判定和性质
平行线的判定和性质
1、平行线的判定方法：
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；
另：平行于同一条直线的两条直线相互平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
2、平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
3、注意区别平行线的性质和判定方法：
（1）叙述方式不同：尽管叙述平行线的性质与判定方法的文字相同，个数相同，但条件和结论的顺序是不同的；
（2）意义不同：平行线的判定方法是根据三种角(同位角、内错角、同旁内角)的数量关系，来识别两直线是否平行；而平行线的性质，是已知两直线平行，得到三种角的数量关系。
（3）作用不同：一个是作为平行线的识别，一个是平行线的特征。
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平行线的性质及应用
平行线的性质及应用平行线是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和应用。
在本文中，我将为您详细介绍平行线的性质以及其在实际生活中的应用。
一、平行线的定义在欧几里得几何中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
简而言之，两条平行线之间不存在任何交点。
二、平行线的性质1. 互换性质：如果有一条直线和另外一条直线平行，那么可以互换它们位置，结果仍然是平行的。
2. 对偶性质：如果有两个直角相互垂直，那么它们与一条平行线的交线也是相互垂直的。
3. 唯一性质：通过一个给定点可以作一条且仅一条直线与已知的直线平行。
4. 平行线之间的距离是恒定的，在同一平面内，两条平行线的距离始终相等。
三、平行线的应用1. 地理测量：在地理测量中，平行线的概念被广泛应用。
例如，在制图和测绘中，通过绘制平行线可以准确地表示不同地区的经纬度。
2. 建筑设计：平行线在建筑设计中起着重要作用。
建筑师使用平行线概念来确定建筑物的平面布局和立面设计。
平行线的使用可以使结构更加稳定和美观。
3. 交通规划：在交通规划中，平行线可以用于道路设计、车道划分和交叉口设计。
通过保持道路与车道之间的平行关系，交通流动更加顺畅。
4. 电路设计：在电路设计中，平行线被用于电缆的布线。
通过保持电缆之间的平行关系，可以减少信号干扰和电流的损失。
5. 数学推理：平行线的性质在数学推理中被广泛应用。
例如，在证明中，我们可以利用平行线的性质来推导出新的定理和结论。
四、平行线的相关定理除了前文提到的平行线性质外，还有一些相关定理需要了解：1. 同位角定理：当两条直线被一条截线切割时，同位角相等。
2. 内错角定理：当两条平行线被一条截线切割时，内错角相等。
3. 别错角定理：当两条平行线被一条截线切割时，别错角之和为180度。
综上所述，平行线是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和应用。
我们可以利用平行线的性质来解决实际问题，同时也可以通过平行线的性质进行数学推理。
平行线的性质
平行线的性质平行线是几何中重要的概念之一。
了解平行线的性质对于理解空间关系和几何问题解决至关重要。
本文将介绍平行线的定义、性质和应用。
首先，让我们来定义平行线。
在欧几里得几何中，平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。
这意味着平行线之间的距离保持恒定，无论它们延伸多远。
平行线通常用符号“||”表示，如AB || CD 表示线段AB与线段CD平行。
接下来，我们将介绍平行线的性质。
性质1:如果两条直线与同一条第三条直线交叉，使得对于两个相交的角，它们的对应角相等，那么这两条直线将是平行线。
性质2:如果两条直线与同一条第三条直线交叉，使得对于两个相交的角，它们的内角和为180度，那么这两条直线将是平行线。
性质3:平行线之间的距离在整条线上随处相等。
这意味着，如果我们从一个平行线上取一个点，然后通过这个点画一条垂直于该平行线的线，那么这条垂直线与另一条平行线之间的距离与初始平行线上的点无关。
性质4:如果一条直线与两条平行线相交，那么它将与其中一条平行线的内角和与该角与另一条平行线的内角和相等。
这被称为同位角性质。
性质5:如果两条直线分别与一条平行线相交，并且它们的同位角相等，那么它们将互相平行。
了解了这些性质后，平行线可以在许多几何问题中有着广泛的应用。
在平行线的应用中，我们经常使用平行线的性质进行角度测量。
例如，当我们需要计算被平行线交叉的两条直线上的角度时，可以利用同位角性质来推导出角度的大小。
此外，平行线的性质还能应用于平行四边形和等腰梯形等形状的计算。
由于平行线保持距离恒定，因此在这些形状中，我们可以利用平行线的性质来计算边长、角度和面积。
平行线的研究不仅仅局限于欧几里得几何，也在非欧几里得几何中有广泛的应用。
在非欧几里得几何中，平行线不再保持恒定的距离，这开启了一些非常有趣的研究领域。
通过研究非欧几里得几何中的平行线，我们可以发现一些超越传统几何学的奇异性质。
总而言之，平行线是几何学中的重要概念，我们通过了解平行线的定义和性质，可以应用它们来解决各种问题。
初中数学平行线的性质与判定
初中数学平行线的性质与判定一、引言平行线是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有许多重要的性质和应用。
了解平行线的性质和判定方法，对于进行几何证明和解题都有着重要的指导意义。
本文将从平行线的性质和判定方法两个方面进行探讨，以帮助初中学生更好地理解和掌握平行线的相关知识。
二、平行线的性质1. 平行线的定义在平面上，任意两条直线如果永不相交，那么我们称它们是平行线。
2. 平行线的唯一性平面上，通过一点可以画无数条与已知直线平行的直线，但经过一点存在且只存在一条与已知直线平行的直线。
3. 平行线的性质1：对应角相等如果一组平行线被一条截线所切，那么它们所对应的内角和外角分别相等。
4. 平行线的性质2：同位角相等如果两条平行线被一条截线所切，那么它们所对应的同位角相等。
5. 平行线的性质3：内错角互补如果两条平行线被一条截线所切，那么它们所对应的内错角互补，即角的度数之和为180度。
三、平行线的判定方法1. 直线与直线的判定两条直线如果有一点与一直线上的两个角分别相等，那么这两条直线平行。
2. 角与直线的判定如果两条直线上的内角或外角、同位角或内错角相等，那么这两条直线平行。
3. 举例说明例如，已知直线l与直线m分别与一直线n相交，且∠A = ∠B和∠C = ∠D，则可以得出直线l与直线m平行。
四、平行线的应用1. 平行线的应用1：解题在解题中，平行线常常被用来求解线段比例关系、求解角度关系等。
通过运用平行线的性质和判定方法，我们可以更加简洁地解决一些几何问题。
2. 平行线的应用2：建筑设计在建筑设计中，平行线的应用非常广泛。
建筑师常常利用平行线的性质来设计建筑物的立面和空间布局，使其更加美观和合理。
3. 平行线的应用3：地理测量在地理测量中，平行线广泛应用于测量线段的长度和角度的测量。
利用平行线的性质和判定方法，地理测量师可以更准确地进行测量和勘测工作。
五、结论通过对初中数学平行线的性质和判定方法的讨论，我们可以看到平行线在几何学和实际生活中的重要性。
平行线的性质
平行线的性质平行线是几何学中重要的概念之一，它们有着独特的性质和特点。
本文将介绍平行线的性质，包括定义、判定方法以及与其他几何对象的关系。
一、定义及判定方法平行线是指在同一平面上永不相交的直线。
根据平行线的定义可以得出以下性质：1. 平行线具有相同的斜率：如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线是平行线。
反之，如果两条直线平行，那么它们的斜率一定相等。
2. 平行线具有相同的夹角：如果两条直线分别与一条横穿它们的直线相交，且交角相等，那么这两条直线是平行线。
反之，如果两条直线平行，那么它们与同一条横穿它们的直线的交角一定相等。
3. 平行线具有相同的倾斜角：倾斜角指直线与水平线之间的夹角。
如果两条直线的倾斜角相等，那么这两条直线是平行线。
反之，如果两条直线平行，它们与水平线的倾斜角一定相等。
二、平行线与其他几何对象的关系1. 平行线与角的关系：当一条直线与两条平行线相交时，所对应的内角或外角具有特定的关系。
如果同时给定两条直线为平行线，以及一条与它们相交的第三条直线，那么我们可以根据角的性质计算出交角的大小。
2. 平行线与三角形的关系：如果一条直线与一个三角形的两条边分别平行，那么这条直线将会将这两条边分成对应的等分线段，从而形成一组相似三角形。
3. 平行线与平行四边形的关系：平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
在平行四边形中，对角线相交于一点，并且相交点将对角线等分。
同时，两对相对边及相对角也具有相等关系。
三、应用举例平行线的性质在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑工程：在建造房屋或桥梁等结构时，工程师需要利用平行线的性质来确保构件的平行度和垂直度。
2. 地理测量：地理测量中使用的经纬线是地球表面上的平行线，它们能够提供位置和方向信息。
3. 电路布局：在电路设计中，平行线的性质被应用于布线和电路板设计，以确保信号传输的稳定性和减少电磁干扰。
4. 图形学：在计算机图形学中，平行线的性质被用于3D渲染和投影算法，以模拟真实世界中的透视效果。
平行线的性质
平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等.性质2：两直线平行，内错角相等.性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．【典型例题】类型一、平行线的性质1.（2015春•荣昌县期末）如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF 于O，AE∥OF，且∠A=30°．（1）求∠DOF的度数；（2）试说明OD平分∠AOG．【思路点拨】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠FOB=∠A=30°，再根据角平分线的定义求出∠COF=∠FOB=30°，然后根据平角等于180°列式进行计算即可得解；（2）先求出∠DOG=60°，再根据对顶角相等求出∠AOD=60°，然后根据角平分线的定义即可得解．【答案与解析】解：（1）∵AE∥OF，∴∠FOB=∠A=30°，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=∠FOB=30°，∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°；（2）∵OF⊥OG，∴∠FOG=90°，∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°，∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°，∴∠AOD=∠DOG，∴OD平分∠AOG．【总结升华】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，（2）根据度数相等得到相等的角是关键．举一反三：【变式】（2015•青海）如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若∠1=58°，则∠2=．【答案】32°类型二、两平行线间的距离2.下面两条平行线之间的三个图形，图的面积最大，图的面积最小．【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小.【答案】图3，图2【解析】解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2＝4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2＝4.5；5＞4.5＞4；所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.举一反三：【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是厘米.【答案】35类型三、尺规作图3. 如图所示，已知∠α和∠β，利用尺规作∠AOB，使∠AOB＝2（∠α-∠β）．【答案与解析】作法：如图所示．（1）作∠COD＝∠α；（2）以射线OD为一边，在∠COD 的外部作∠DOA，使∠DOA＝∠α；（3）以射线OC为一边，在∠COA的内部作∠COE，使∠COE＝∠β；（4）以射线OE为一边，在∠EOA内部作∠EOB，使∠EOB＝∠β，则∠AOB就是所求作的角．【总结升华】本题考查作一个差角的倍数角，本题的做法有两种：一种可以先做倍数角再做差角，如本题提供的答案；另一种也可以先做差角再做倍数角．4. (苏州中考模拟)如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m 的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解．【答案与解析】解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解．举一反三：【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为()A．600m2B．551m2C．550m2D．500m2【答案】B类型四、平行的性质与判定综合应用5.(黄冈调考)如图所示，AB∥CD，分别写出下面四个图形中∠A与∠P，∠C的数量关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明．【思路点拨】过P点作AB的平行线，问题便会迅速得到求解．【答案与解析】解： (1)∠A+∠C＝∠P；(2)∠A+∠P+∠C＝360°；(3)∠A＝∠P+∠C；(4)∠C＝∠P+∠A．现以（3）的结论加以证明如下：如上图，过点P作PH∥AB ，因为AB∥CD，所以PH∥AB∥CD．所以∠HPA＋∠A＝180°，即∠HPA＝180°－∠A；∠HPA＋∠P＋∠C＝180°，即180°－∠A＋∠P＋∠C＝180°，也即∠A＝∠P+∠C．【总结升华】随着折点的不同，结论也会不同，但解法却如出一辙．都是过折点作平行线求解．举一反三：【变式1】如图，AB∥CD，∠ABG＝42°，∠CDE＝68°，∠DEF＝26°．求证：BG∥EF．【答案】如图，分别过点G、F、E作GP∥AB，FQ∥AB，ER∥CD，又因为AB∥CD，所以AB∥GP∥FQ∥CD∥FQ．∴∠1＝42°，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠5＋26°＝68°，∴∠5＝68°－26°＝42°，且∠4＝∠5＝42°．∴∠1＋∠2＝42°＋∠2；∠4＋∠3＝42°＋∠3．∴∠1＋∠2＝42°＋∠3，即∠BGF＝∠GFE．∴BG∥EF．【变式2】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是()．A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】D平行线的性质及尺规作图（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1. 若∠1和∠2是同旁内角，若∠1＝45°，则∠2的度数是()A．45°B．135°C．45°或135°D．不能确定2．（2016•安徽模拟）如图AB∥CD，∠E=40°，∠A=110°，则∠C的度数为（）A．60° B．80°C．75° D．70°3．(湖北襄樊)如图所示，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为()A．150°B．130°C．120°D．100°4．如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是()A．∠1＋∠2-∠3＝90°B．∠2＋∠3-∠1＝180°C．∠1-∠2＋∠3＝180°D．∠1＋∠2＋∠3＝180°5. 如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，且交EF于点O，则与∠AOE相等的角有()A．5个B．4个C．3个D．2个6．（湖北潜江）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（）A．23°B．16°C．20°D．26°7.如图所示，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，把线段EF向右平移3个单位，向下平移1个单位得到线段GH，则阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是()A．3:4 B．5:8 C．9:16 D．1:2二、填空题8．（2016春•江苏月考）如图，BC∥DE，AD⊥DF，∠l=30°，∠2=50°，则∠A=．9.如图所示，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则有∠BEC＝________．10.（四川攀枝花）如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3＝．11.一个人从点A出发向北偏东60°方向走了4m到点B，再向南偏西80°方向走了3m到点C，那么∠ABC的度数是________．12.如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是_．13.如图，已知ED∥AC，DF∥AB，有以下命题：①∠A＝∠EDF；②∠1＋∠2＝180°；③∠A＋∠B＋∠C＝180°；④∠1＝∠3．其中，正确的是________．(填序号)三、解答题14．如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C，则∠1和∠2什么关系?并说明理由．15．已知如图(1)，CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B．这是一个有用的事实，请用这个结论，在图(2)的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数．16．（2015春•澧县期末）已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：（1）∠1+∠2=；（2）∠1+∠2+∠3=；（3）∠1+∠2+∠3+∠4=；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；【解析】本题没有给出两条直线平行的条件，因此同旁内角的数量关系是不确定的. 2. 【答案】D；【解析】∵AB∥CD，∴∠A+∠AFD=180°，∵∠A=110°，∴∠AFD=70°，∴∠CFE=∠AFD=70°，∵∠E=40°，∴∠C=180°﹣∠E﹣∠CFE=180°﹣40°﹣70°=70°，故选D．3. 【答案】C；【解析】解：如图，∠3＝30°，∠1＝∠2＝30°，∠C＝180°－30°－30°＝120°.4. 【答案】B；【解析】反向延长射线ST交PR于点M,则在△MSR中，180°－∠2＋180°－∠3＋∠1＝180°，即有∠2＋∠3-∠1＝180°.5. 【答案】A【解析】与∠AOE相等的角有：∠DCA，∠ACB，∠COF，∠CAB，∠DAC．6. 【答案】C；【解析】解：∵AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝46°，∠CEF ＝154°，∴∠BCD ＝∠ABC ＝46°，∠FEC ＋∠ECD ＝180°，∴∠ECD ＝180°—∠FEC ＝26°，∴∠BCE ＝∠BCD —∠ECD ＝46°—26°＝20°．7. 【答案】B ；【解析】=22+312=10S ⨯⨯⨯阴，=44=16S ⨯正ABCD ，所以ABCD S =10:165:8S =正阴：．二.填空题8. 【答案】70°；【解析】∵AD⊥DF，∴∠ADF=90°．∵∠1=30°，∴∠ADE=90°﹣30°=60°．∵BC∥DE，∴∠ABC=∠ADE=60°，∵△ABC 中，∠ABC=60°，∠2=50°，∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°．故答案为：70°．9.【答案】95°；【解析】如图，过点E 作EF ∥AB ．所以∠ABE ＋∠FEB ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，所以∠FEB ＝180°-120°＝60°．又因为AB ∥CD ，EF ∥AB ，所以EF ∥CD ，所以∠FEC ＝∠DCE ＝35°(两直线平行，内错角相等)，所以∠BEC ＝∠FEB ＋∠FEC ＝60°＋35°＝95°．10.【答案】60°；【解析】解：如图所示：∵l 1∥l 2，∠2＝65°，∴∠6＝65°，∵∠1＝55°，∴∠1＝∠4＝55°，在△ABC 中，∠6＝65°，∠4＝55°，∴∠3＝180°﹣65°﹣55°＝60°．11．【答案】20°；【解析】根据题意画出示意图，可得：∠ABC ＝80°－60°＝20°.12.【答案】内错角相等，两直线平行；13.【答案】①②③④；【解析】由已知可证出：∠A＝∠1＝∠3＝∠EDF，又∠EDF与∠1和∠3互补.三.解答题14.【解析】解：∠1＝∠2．理由如下：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴∠ADB＝∠EFB＝90°．∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)，∴∠1＝∠4(两直线平行，同位角相等)．又∵∠3＝∠C(已知)，∴AC∥DG(同位角相等，两直线平行)．∴∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等)，∴∠1＝∠2．15.【解析】解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E．∴∠A＋∠2＝180°，∠B＋∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．又∵∠3＝∠1＋∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝360°，即∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°．16.【解析】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；（2）过点E作一条直线EF平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，11∵AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°；∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°；（4）中，根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．12。
平行线的性质及应用
平行线的性质及应用引言：平行线是数学中的重要概念，它们具有一些独特的性质和应用。
了解平行线的性质和应用不仅有助于我们提升数学思维能力，还能为我们解决实际问题提供便利。
本教案将从定义、性质和应用三个方面进行探讨，以期帮助学生全面理解和掌握平行线。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面上，没有交点且方向相同的两条直线。
在几何图形中，我们可以用符号“||”表示两条平行线。
例如，AB || CD表示AB和CD是平行线。
二、平行线的性质1. 平行线具有传递性：如果AB || CD，CD || EF，那么可以推出AB || EF。
这个性质在解题中非常常见，能够帮助我们推理出许多结论。
2. 平行线与交线的夹角：a) 平行线和横线的夹角是直角，即平行线与横线相交时，交角为90度。
b) 平行线和斜线的夹角是锐角或钝角，即平行线与斜线相交时，交角小于等于90度或大于90度。
3. 平行线的对应角相等：如果AB || CD，那么∠A=∠C，∠B=∠D。
这个性质在解题中常用于求解未知角度。
4. 平行线的同位角互补：如果AB || CD，那么∠A+∠D=180度，∠C+∠B=180度。
这个性质常用于求解未知角度或证明两条线平行。
三、平行线的应用1. 证明线段平分原理：如果一条直线通过一个三角形的两个顶点并且平行于第三边，那么它将平分这个三角形的第三边。
这个应用可以用来证明线段等分的问题。
2. 解决平行线夹角问题：根据平行线的性质，我们可以求解平行线与斜线的夹角。
对于具体问题，我们可以运用夹角的知识，结合平行线的性质进行分析和解答。
3. 预测垂直角度：如果两条平行线被一条斜线截断，那么截断的两条线之间的垂直角度与斜线距离平行线趋近相等。
这个应用可以用来解决测量问题或进行实际情境推理。
4. 解决平行线与横线问题：根据平行线和横线的夹角为90度的性质，我们可以利用勾股定理等数学关系解决涉及平行线和横线的实际问题。
例如，计算在某个斜坡上行走的距离。
平行线的性质与应用
平行线的性质与应用平行线是几何学中非常重要的概念之一。
它们在日常生活以及科学研究中都有着广泛的应用。
本文将介绍平行线的性质以及其在解决实际问题中的应用。
一、平行线的定义与性质平行线是指在同一个平面内不相交的直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下几个关键性质：1. 任意直线与平行线之间的夹角是相等的。
这意味着如果有一条直线与平行线相交，它与另一条平行线之间的夹角也是相等的。
2. 平行线具有传递性。
也就是说，如果线段A与线段B平行，线段B与线段C平行，那么线段A与线段C也平行。
3. 平行线与相交线之间的对应角是相等的。
当一条直线穿过两条平行线时，所形成的对应角是相等的。
以上是平行线的一些基本性质，它们为我们解决实际问题提供了重要的几何基础。
二、平行线的应用1. 地理测量：在地理测量领域，平行线的应用非常广泛。
当我们需要测量地球上的距离时，我们可以利用平行线的性质。
比如，我们可以利用地球经线间的角度差异来计算两个地点之间的距离。
2. 建筑设计：在建筑设计中，平行线被广泛应用于房屋的布局和设计中。
在平面图设计中，我们可以利用平行线的性质来确定墙壁、门窗、家具等物体的位置和方向，以保证整体结构的稳定和美观。
3. 交通运输规划：平行线的应用在交通规划中也非常重要。
例如，道路和铁路在设计时需要遵循平行线的原则，以确保行车和交通流畅。
此外，交通信号灯、行车道等也需要根据平行线的性质进行布置，以提高交通效率和安全性。
4. 电视和计算机显示屏：在电视和计算机显示屏的设计中，我们需要平行线来确保图像的水平和垂直对齐。
如果图像不按平行线排列，观看体验将受到影响。
5. 数学几何题：在数学几何题中，平行线的性质经常被用来解决问题。
例如，通过利用平行线和角的性质，我们可以计算未知角度的大小，从而求解出题目要求的答案。
以上仅是平行线在生活和科学研究中的一些应用，实际上平行线的应用还远不止于此。
通过深入了解平行线的性质，我们可以更好地将其应用于解决实际问题中。
平行线的性质
平行线的性质平行线是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和规律。
本文将详细介绍平行线的性质，并探讨其在几何学中的应用。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。
根据几何学的定义，平行线具有以下重要性质。
1. 平行线的方向相同当两条直线平行时，它们的方向相同，即它们在同一平面上以相同的方向延伸。
2. 平行线的距离相等平行线之间的距离是恒定的，无论延长多长，始终保持相等的间隔。
3. 平行线不会相交平行线永远不会相交，无论两条线延长多长，它们始终保持相互平行的关系。
二、1. 夹角性质当一条直线与另外两条平行线相交时，形成的对应角、内错角、同旁内角等具有特殊的关系。
- 对应角：对应角相等，即对应的内角或外角大小相等。
- 内错角：内错角互补，即内接平行线上的内错角之和等于180度。
- 同旁内角：同旁内角互补，即相邻的内错角之和等于180度。
2. 平行线与垂直线的关系当一条直线与另外两条平行线相交时，形成的垂直线与平行线之间也有特殊的关系。
- 垂直线性质：垂直线与平行线形成的内角互补，即内接垂直线与平行线上的内角之和为180度。
- 垂直角：当两条垂直线相交时，形成的角称为垂直角，垂直角的大小为90度。
3. 平行线的延长性平行线可以无限延长，延长后的平行线与原线具有相同的性质。
这意味着无论平行线延长多长，它们仍然保持着互相平行的关系。
三、平行线的应用平行线的性质和规律在几何学中有着广泛的应用。
1. 三角形的判定平行线可以用来判定三角形是否相似。
当一条直线与两条平行线相交时，对应的对角线之间的比例相等，表明两个三角形相似。
2. 平行四边形的性质平行线的性质还可以用来研究平行四边形。
平行四边形的对角线相互平分，且对角线之间的比例相等。
3. 镜像对称平行线的延长线可以用于镜像对称的构造。
通过平行线的延长，可以找到与原线对称的另一条线，从而构造出完美的镜像对称。
四、总结平行线是几何学中的重要概念，具有许多独特的性质和规律。
平行线的性质
本节的主要概念有：1．平行线的三条性质：性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．2．平行线的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．3．命题：判断一件事情的语句，叫命题．重、难、疑点：重点：平行线三条性质、平行线的距离和命题的概念．难点：平行线的性质与平行线的判定的区别和综合运用．疑点：命题与肯定句、疑问句之间的关系与区别典例精讲例1 （北京市海淀区中考题）如图所示，已知DE∥BC，∠1=∠2，试说明CD是∠ECB 的平分线．方法指导：由BC∥DE可得∠1=∠DCB，而恰巧是要说明∠DCB=∠2．解：∵DE∥BC（已知），∴∠1=∠DCB（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠DCB．即CD是∠ECB的平分线．方法总结：由平行线性质得到恰当的角之间的关系，为说明结论成立提供依据．举一反三如图，已知AB∥CD，EF交AB于点H，交CD于点G，试判断∠1与∠2是否相等．解：∠1=∠2．∵AB∥CD，∴AHG=∠DGE（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠AHG，∠DGE=∠2（对顶角相等），∴∠1=∠2．例2如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C，证明：AB∥DE．方法指导：欲证AB∥DE，可证∠1=∠AGD，而∠1=∠2，所以须证∠2=∠AGD；证∠2=∠AGD．只需证AF∥CD，即需证∠5+∠ADC=180°，也就是要证AD∥BC，而这可以由∠3=∠4证得．解：证明：∵∠3=∠4．∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠ADC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠5=∠C，∴∠ADC+∠5=180°，∴AF∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠2=∠AGD（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2∴∠1=∠AGD，∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）．方法总结：本题的思考过程是从结论出发，分析所要说明的结论成立须具备哪些条件，再看这些条件成立又须具备什么条件，直到追溯到已知条件为止．另外，在书写推理过程中，每一步必须有根有据，将理由写在每一步的括号内，防止把平行线的判定和性质混淆，这对初学阶段尤其重要．举一反三如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：∠EBC=∠DBC．解：证明，∵∠2+∠BDC=180°，∠2+∠1=180°，∴∠BDC=∠1（同角的补角相等），∴AE∥FC（同位角相等，两直线平行），∴∠EBC=∠C（两直线平行，内错角相等）．又∵∠A=∠C（已知），∴∠EBC=∠A，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠ADB=∠CBD，∠ADF=∠C．又∵∠ADB=∠ADF（角平分线定义），∴∠FBC=∠DBC．例3如图，∠ACD=∠BCD，DE∥BC交AC于E，若∠ACB=50，∠B=76°，求∠EDC 及∠CDB的度数．方法指导：由DE∥BC可知，∠EDC=∠DCB（两直线平行，内错角相等），而；∠CDB=180°—∠EDC—∠ADE，而根据“两直线平行，同位角相等”可知∠ADE=∠B=76°．解：∵DE∥BC（已知），∴∠EDC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）．又∵∠ACD=∠BCD，∠ACB=50°（已知），∴．∵DE∥BC（已知），∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B=76°，∴∠ADE=76°，∴∠CDB=180°—∠EDC—∠ADE=180°—25°—76°=79°．故∠EDC=25°，∠CDB=79°．方法总结：从题目的条件出发，结合图形，根据所学的性质和定理，找出所求的角与已知角之间的关系，达到计算角度数的目的．举一反三如图，已知∠ECD=∠ABC，问∠A+∠B+∠ACB等于多少度？并说明理由．解：∠A+∠B+∠ACB=180°．理由如下：∵∠ECD=∠ABC，∴AB∥EC（同位角相等，两直线平行）．∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）．又∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义）．∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．例4 判断下列语句是否是命题，如果是，指出命题的题设和结论．（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）平角的一半是直角；（3）连接AB；（4）两个正数之和必为正数；（5）取AB的中点M．方法指导：（3）、（5）两个句子并未对某件事作出判断，（1）、（2）、（4）对某件事作出判断，是命题，可将它们写成“如果……那么……”的形式，再找出题设和结论．解：（3）、（5）不是命题，（1）、（2）、（4）是命题．（1）的题设是同旁内角互补，结论是两直线平等；（2）的题设是平角的一半，结论是直角；（4）的题设是两个正数之和，结论是为正数．方法总结：命题必须对某件事情作出判断，疑问句就不是命题，同时要注意的是错误的命题也是命题；将命题写成“如果……那么……”的形式，有助于分清命题的题设和结论．举一反三下列语句中，不是命题的是（）A．同位角相等B．经过一点只能作一条直线与已知直线平行C．如果，那么a=bD．相交线和平行线解：D例5 将下列命题改成“如果……那么……”的形式，并判断其直假．（1）同角的补角相等；（2）垂直于同一条直线的两直线平行；（3）两个锐角的补角相等；（4）同旁内角互补；（5）正数与负数之和为正数．方法指导：分析命题的含义，找出题设和结论，将命题写成“如果……那么……”的形式；判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．解：（1）如果几个角是同一个角的补角，那么这几个角相等；是真命题；（2）如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线平等；是真命题；（3）如果几个角是两个锐角的补角，那么这几个角相等；如130°是50°角的补角，120°是60°角的补角，但130°≠120°，所以此命题是假命题；（4）如果两个角是两条直线被第三条直线所截得的同旁内角，那么这两个角互补；显然，只有两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角才互补，所以此命题是假命题；（5）如果一个数是一个正数与一个负数的和，那么这个数为正数；显然，如+5+（-8）=-3为负数，所以此命题为假命题．方法总结：将一个命题写成“如果……那么……”的形式，要先弄清语句的含义，分清题设和结论，改造后的句子要语句通顺，不能改变命题的意义；判断一个命题的真假，要运用和该命题相关的知识来作出判断，对于假命题，给出一个反例即可说明其为假命题．举一反三（黄冈市中考题）命题：（1）对顶角相等；（2）三条直线每两条直线都相交，最多有6对对顶角；（3）等角的补角相等；（4）不相等的角一定不是对顶角．其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：D例6 如图，已知AB∥DE，∠B=40°，∠D=56，CF平分∠BCD，求∠DCF的度数．方法指导：由于“CF平分∠BCD”，所以欲求∠DCF的度数，只需求∠BCD的度数；但∠BCD与已知角∠B、∠D的关系并不明显，因此考虑构造辅助线——过点C作AB的平行线，再结合已知条件“AB∥DE”，利用平行线的性质，就不难找到所求角与已知角之间的联系了．解：过点C作CM∥AB（过一点有且只有一条直线与已知直线平行），∵AB∥ED，∴CM∥ED（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．∵AB∥CM，CM∥ED，∴∠B=∠BCM，∠D=∠DCM（两直线平行，内错角相等），∴∠BCD=∠BCM+∠DCM=∠B+∠D．又∵∠B=40，∠D=56°，∴∠BCD=40°+56°=96°，∵CF平分∠BCD，∴．方法总结：在利用平行线的性质进行有关图形的推理和计算时，有一类“折线”问题（如上图所示），常用的思路是过拐点（如上图中的C点即称为拐点）作已知直线的平行线，从而在已知角与未知角之间架起一道桥梁，找到它们之间的关系．举一反三如图所示，∠ABC=120°，∠BCD=85°，AB∥ED，试求∠EDC的度数．解：过点C作CF∥AB（过一点有且只有一条直线与已知直线平行），∵AB∥ED，∴CF∥ED（两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行）．∵AB∥CF，∴∠ABC+∠BCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵∠ABC=120°，∴∠BCF=180°—∠ABC=60°．∵∠BCD=85°，∴∠FCD=∠BCD—∠BCF=85°—60°=25°．∵CF∥ED，∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等），∴∠EDC=25°．例7（河北省中考题）如图所示探究规律：如图①所示，已知，直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点，（1）请写出图中面积相等的各对三角形；（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有_____________与△ABC的面积相等，理由是_________________________________．解决问题：如图②所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经多年开垦荒地，现已变成如图③所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图③中折线CDE）还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多，请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．（1）写出设计方案，并在图③中画出相应的图形；（2）说明方案设计理由．方法指导：探究规律中利用“平行线间的距离相等”，不难找到图中同底等高的三角形；解决问题中，要使得所修的路符合条件，即是要使得左边面积在修好后与修路前相比，多出的部分与减少的部分面积相等，而这两部分刚好是两个三角形．因此，关键是构造平行线，利用前面的结论，说明这两个三角形的面积相等．解：探究规律：（1）△ABC和△ABP，△AOC和△BOP，△CPA和△CPB；（2）△ABP因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，所以它们的面积总相等．解决问题：（1）方案：如图③所示，连结EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连结EF，EF 即为所求直路的位置；（2）设EF交CD于点H，由上面结论可知：，，∴，，方法总结：善于用所学知识，解决实际问题是学习能力的一种体现．举一反三解放战争时期，有一天江南某游击队在村庄A点出发向正东方向行进，此时有一支残匪在游击队的东北方向B处（如图所示），残匪沿北偏东60°的方向向C村进发．游击队步行到A′处，A′正在B的正南方向上，突然接到上级命令，决定改变行进方向，沿北偏东30°方向赶往C村，问游击队行进方向A′C与残匪行进方向BC至少是多少度角时，才能保证C村村民不受伤害？解：如图，过C点作CE∥BA′，则∠BCE=∠NBC=60°，∴∠A′CE=∠BA′C=30°，∴∠BCA′=∠BCE—∠A′CE=60°—30°=30°．故夹角至少为30°才能保证C村村民不受伤害．知识网络学法点津1．在学习平行线的性质和平行线间的距离时，注意运用比较法、探索法，注意和同学间的探究和合作，归纳相关的知识要点．如要注意总结平行线的性质与判定的区别与联系，归纳如何在推理过程中灵活运用性质和判定，要做到每一步推理都有根有据，思路清晰．2．在学习命题有关的知识时，要结合语文学科的知识，弄清语句的含义，寻找出正确的题设和结论．在遇到较简洁的命题时，可先将命题写为“如果……那么……”的形式，但同时要注意，改编后的命题要语句通畅，同时不能改变原命题的意义，目的在于更清楚、明了地辨别命题的题设和结论．自测题1．下列说法中，平行线的性质为（）．①两条直线平行，同旁内角互补；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行．A．①B．②③C．④D．①④2．如图5-3-10，b∥c，a⊥b，∠1=130°，则∠2的度数为（）．A．30°B．40°C．50°D．60°3．关于平行线间的距离，下列说法正确的是（）．A．两条平行线间，任一条线段B．两条平行线间，任一条线段的长度C．两条平行线间，垂线段的长度D．夹在两平行线间的任一条垂线段4．下列语句中是命题的是（）．A．延长线段AB到点C，使AC=2BCB．你能说出平行线的三条性质吗C．所有的角都相等D．简单的习题5．下列命题中，正确的是（）．A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B．相等的角是对顶角C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等D．和为180°的两个角叫做邻补角6．已知：如图5-3-11，FH⊥AB，CD⊥AB，∠1=∠2．求证：BC∥EF．（在括号内注明理由）证明：因为FH⊥AB，CD⊥AB，所以FH∥CD（），所以∠1=∠3 （）．又因为∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以BC∥EF（）．7．如图5-3-12，AB∥EF，若∠ABC=30°，∠BCD=40°，∠DEF=160°，则∠CDE=__________．8．如图5-3-13，若BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，∠ABC+∠BCD=180°，求证：∠1=∠2．证明：因为BD⊥AC，EF⊥AC（已知），所以∠BDC=90°，∠EFC=90°（垂直定义），所以∠BDC=∠EFC（等量代换），所以BD∥_____________（），所以_________=___________（两直线平行，同位角相等）．又因为∠ABC+∠BCD=180°（已知），所以__________∥____________（），所以∠1=∠3（），所以∠1=∠2（等量代替）．9．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是___________，结论是___________；命题“内错角相等，两直线平行”的题设是___________，结论是___________．10．如图5-3-14，∠ADC=∠ABC，∠1+∠2=180°，AD为∠FDB的平分线．试问：BC为∠DBE的平分线吗？若是，请说明理由．11．如图5-3-15，已知AB∥CD，∠BAE=∠DGF，求证：∠E=∠F．12．请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式．（1）等角的余角相等；（2）垂直于同一条直线的两直线平行；（3）平行线的同旁内角的平分线互相垂直．13．潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，入射角等于反射角（如图5-3-16，∠1=∠2，∠3=∠4）．请解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的．14．如图5-3-17，在A，B两地之间要修建一条笔直的公路，从A地测得公路走向最北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通．（1）B地所修公路的走向是南偏西多少度？为什么？（2）若公路AB长8km，另一公路BC长6km，且BC的走向是北偏西42°，试求A到公路BC的距离．15．如图5-3-18所示，试说明∠DAC=∠B+∠C．16．如图5-3-19，已知AB∥ED，∠α=∠A+∠E，∠β=∠B+∠C+∠D，求证：∠β=2∠α．参考答案1．A 2．B 3．C 4．C 5．A6．垂直同一直线的两条直线平行两直线平行，同位角相等同位角相等，两直线平行7．30°8．EF 同位角相等，两直线平行∠2 ∠3 GD BC 同旁内角互补，两直线平行，内错角相等9．两直线平行内错角相等内错角相等两直线平行10．BC为∠DBE的平分线．理由是：因为∠2+∠7=180°，∠1+∠2=180°，所以∠1=∠7，所以AB∥CD，所以∠3=∠C．又因为∠ADC=∠ABC，∠1=∠8=∠7，所以∠5=∠4，所以AD∥BC，所以∠6=∠C．又因为∠5=∠6，所以∠3=∠4，所以BC为∠DBE的平分线．11．因为AB∥CD，所以∠BAG=∠DGA（两直线平行，内错角相等），所以∠BAG—∠BAE=∠DGA—∠DGF，即∠EAG=∠FGA，所以AE∥FG（内错角相等，两直线平行），所以∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）．12．（1）如果两个角相等，那么它们的余角相等（2）如果两条直线垂直于同一条直线，那么它们互相平行（3）如果两条射线分别是平行线的同旁内角的平分线，那么这两条射线互相垂直13．提示：利用条件∠1=∠2，∠3=∠4，说明∠5=∠6．14．（1）48°，因为两直线平行，内错角相等（2）由条件可以计算出∠ABC=90°，所以A到BC的距离为AB=8km．15．解：如图5，过A作AE∥BC，则∠EAC=∠C，∠DAE=∠B，所以∠DAC=∠DAE+∠EAC=∠B+∠C．16．如图6，过C作CF∥AB．。
平行线的性质
平行线的性质平行线是几何学中的重要概念，它是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。
平行线具有一些独特的性质，这些性质在几何学中起着重要的作用。
本文将讨论平行线的性质及其应用。
一、平行线的定义平行线的定义是：在同一个平面上，如果两条直线所成的内角相等或者其中一条直线与另一条直线的一条斜面垂直，则这两条直线是平行线。
二、平行线的性质1. 平行线的夹角性质(1) 同位角性质：同位角是指两条平行线被一条截线切割所形成的对应角，这些对应角相等。
(2) 内错角性质：内错角是指两条平行线被一条截线切割所形成的相邻的内部角，这些内错角相等。
(3) 同旁内角性质：同旁内角是指两条平行线被一条截线切割所形成的同旁的内角，这些同旁内角互补。
(4) 顶角性质：当两条平行线被一条截线切割时，形成的顶角是相等的。
2. 平行线的平移性质平移是指将一个图形在平面上沿着一定方向和距离进行移动，平行线具有平移性质，即平行线的平移仍然是平行线。
3. 平行线的比例性质如果两条平行线被一条截线切割，截线上的任意一点与两条平行线所成的线段的比相等。
4. 平行线的垂直性质平行线具有垂直性质，即与平行线垂直的直线亦为平行线。
5. 平行线与平行线的交点两条平行线在平面上没有交点，如果两条平行线存在交点，那么它们将会重合，即为同一条直线。
三、平行线的应用平行线的性质在几何学和实际生活中有着广泛的应用，以下是其中的几个例子：1. 三角形的判定平行线的性质可用于三角形的判定，例如当一条直线平行于三角形的一边时，可以推断出其他的角和边是否相等。
2. 平面图形的构建在平面建筑和制图中，平行线的性质被广泛应用。
例如可以通过平行线的性质绘制等角线、平行线的切割以及平行线的延长线等。
3. 几何证明平行线性质常常在几何证明中发挥作用，通过利用平行线的性质可以得出证明中所需的结论。
4. 电子通信的编码在电子通信的编码中，平行线的性质被用来表示不同的信息，利用平行线的编码方式可以进行高效的数据传输。
平行线的性质及应用
平行线的性质及应用平行线是初中数学中非常重要的概念，它在几何学和代数学中都有着广泛的应用。
本文将围绕平行线的性质和应用展开讨论，旨在帮助中学生更好地理解和应用这一概念。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内永远不相交的直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线具有相同的斜率。
斜率是直线的一个重要属性，它表示直线上的每个点与横轴的夹角的正切值。
如果两条直线的斜率相同，那么它们一定是平行线。
例如，直线y = 2x + 1和直线y = 2x - 3具有相同的斜率2，因此它们是平行线。
2. 平行线之间的对应角相等。
对应角是指两条平行线被一条横截线所切割而形成的相对应的角。
如果两条平行线被一条横截线切割，那么对应角一定相等。
例如，在下图中，直线l和m是平行线，被横截线n切割，那么∠1 = ∠5，∠2 = ∠6，∠3 = ∠7，∠4 = ∠8。
[插入图片]3. 平行线之间的内错角和外错角互补。
内错角是指两条平行线被一条横截线切割而形成的相对内侧的角，外错角是指两条平行线被一条横截线切割而形成的相对外侧的角。
内错角和外错角的和等于180度。
例如，在上图中，∠1和∠6是内错角，∠2和∠5是外错角，∠1 + ∠6 = ∠2+ ∠5 = 180度。
二、平行线的应用平行线在几何学和代数学中都有着广泛的应用。
下面我们将分别从几何学和代数学的角度来讨论平行线的应用。
1. 几何学应用在几何学中，平行线的应用非常广泛。
例如：（1）平行线的应用于平行四边形。
平行四边形是一个具有两组平行边的四边形。
根据平行线的性质，我们可以得出平行四边形的性质：对边相等、对角线互相平分、相邻角互补等。
这些性质在解决平行四边形相关问题时非常有用。
（2）平行线的应用于三角形。
当一条直线与两条平行线相交时，所形成的三角形具有特殊的性质。
例如，当一条直线与两条平行线相交时，所形成的两个内角和等于180度，这一性质在解决与平行线相关的三角形问题时非常有用。
平行线的性质
平行线的性质平行线是在同一个平面上，永远不会相交的直线。
在几何学中，平行线有一些独特的性质和规律。
本文将介绍平行线的性质，包括平行线的定义、判定方法以及与平行线相关的定理。
1. 平行线的定义平行线的定义是指在同一个平面上，两条直线不相交，且它们的距离始终相等。
如果两条线段的任意两点之间的距离相等，则可以称这两条线段是平行的。
符号“||”可以用来表示平行线。
2. 平行线的判定方法有多种方法可以判定两条直线是否平行。
2.1. 通过斜率判定两条直线的斜率相等时，可以判定它们是平行线。
假设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2。
如果k1 = k2，则l1与l2是平行线。
2.2. 通过角度判定两条直线如果被一条横截线所截，且所截得的内角互补，则这两条直线是平行线。
例如，直线l1与l2被横截线m所截，其中直角1和直角2是互补的，则l1与l2是平行线。
2.3. 通过平行线定理判定平行线定理是指如果一条直线与两条平行线相交，那么它与另一条平行线也相交，并且两条交分线分割的邻补角相等。
通过这一定理，可以判断一条直线与已知平行线是否平行。
3. 3.1. 平行线的距离性质平行线之间的距离在任意两点之间始终相等。
这意味着，如果从一条平行线上的一点到另一条平行线的垂直距离是d，那么这两条平行线上任意两点之间的距离也都是d。
这一性质对于解决平面几何中的问题非常有用。
3.2. 平行线的夹角性质当一条直线与两条平行线相交时，所得到的对应角、内角、外角等具有一定的关系性质。
3.2.1. 对应角性质对应角是指两条平行线被一条横截线所截得到的相应角。
如果两条平行线被同一横截线截得的对应角相等，则这两条平行线是相等的。
即如果∠A = ∠C，那么∠B = ∠D，其中直线l1与l2被横截线m截得的直角1和直角2是对应角。
3.2.2. 内角与外角性质当一条直线与两条平行线相交时，所得到的内角与外角具有一定的关系。
内角互补，即当一条直线与两条平行线相交时，所得到的内角的补角相等。
平行线的性质
平行线的性质在几何学中，平行线是指永远不会相交的直线。
平行线具备以下几个性质：1. 平行线的定义：如果两条直线在平面上没有交点，那么它们是平行线。
2. 平行线的判定定理一：对于一条直线上的一点和一条不与该直线重合的直线，如果点到直线的距离与直线上每个点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线是平行线。
3. 平行线的判定定理二：如果两条直线与第三条直线交叉，而且两个内角对与第三条直线的两个内角对互补，那么这两条直线是平行线。
4. 平行线的判定定理三：如果两条直线与第三条直线相交，而且其中一对同位角是内错角，另一对同位角是内对顶角，那么这两条直线是平行线。
5. 平行线的性质一：平行线之间的距离是恒定的。
根据两点间距离公式，我们可以计算出平行线上任意点到另一条平行线的距离，这个距离在整条平行线上是相等的。
6. 平行线的性质二：两条平行线被一条横切线所穿过时，对应角相等，内错角相等，内对顶角相等。
7. 平行线的性质三：两条平行线被一条横切线所穿过时，同位角之和为180度，即互补角。
总结起来，平行线有着独特的性质，它们永远不会相交，具有相等的内错角、内对顶角以及同位角之和为180度的互补角。
这些性质在几何学的证明和问题解答中发挥着重要的作用。
通过了解平行线的性质，我们可以更好地理解几何学中的相关概念和定理，运用这些性质来解决问题。
在数学和工程学等领域，平行线的性质也有广泛的应用，比如在建筑设计中确定直角、测量距离等。
因此，深入学习和掌握平行线的性质对于建立几何学的基础知识和解决实际问题都具有重要的意义。
通过实际操作和练习，我们可以更好地理解和应用平行线的性质，从而提升自己在几何学领域的能力和素养。
平行线和垂直线的性质
平行线和垂直线的性质平行线和垂直线是几何学中常见的线段关系。
它们具有一些特殊的性质和定理。
本文将详细介绍这些性质，包括平行线之间的性质、平行线与垂直线之间的性质，以及垂直线之间的性质。
一、平行线之间的性质1. 平行线定义：在平面上，如果两条直线不存在交点，且在同一个平面内，那么称这两条直线为平行线。
用符号“||”表示。
2. 平行线的性质之一：平行线具有传递性。
如果直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a也平行于直线c。
换句话说，如果a || b，b || c，则有a || c。
3. 平行线的性质之二：平行线具有对应角相等。
对应角是指两条平行线被一条穿过它们的直线所切割而形成的角。
如果直线a与直线b平行，直线c与直线d平行，且直线c与直线d分别与平行线a、b相交，那么对应角α和对应角β相等。
4. 平行线的性质之三：平行线具有内错角相等。
内错角是指两条平行线被一条穿过它们的直线所切割而形成的两对内角。
如果直线a与直线b平行，直线c与直线d平行，且直线c与直线d分别与平行线a、b相交，那么内错角α和内错角β相等。
二、平行线与垂直线之间的性质1. 垂直线定义：在平面上，如果两条直线相交，且形成的四个角中，有两个角互为垂直角，那么称这两条直线为垂直线。
2. 平行线与垂直线性质之一：平行线与一条直线的交线上的对应角互为等角。
如果直线a与直线b平行，直线c与直线a相交，那么对应角α和直线c所与直线b的交线上的角度β相等。
3. 平行线与垂直线性质之二：平行线与一条直线的交线上的内错角互为等角。
如果直线a与直线b平行，直线c与直线a相交，那么内错角α和直线c所与直线b的交线上的角度β相等。
三、垂直线之间的性质1. 垂直线的性质之一：垂直线具有传递性。
如果直线a垂直于直线b，直线b垂直于直线c，那么直线a也垂直于直线c。
换句话说，如果a ⊥ b，b ⊥ c，则有a ⊥ c。
2. 垂直线的性质之二：垂直线与平行线的关系。
探索平行线的性质
探索平行线的性质
背景
平行线是几何学中的一个基本概念，具有很多重要的性质。
通过探索并了解平行线的性质，我们可以更好地理解几何学的基本原理。
目标
本文旨在探索平行线的性质，并提供相关的例子和证明。
平行线的定义
平行线是在同一个平面上且不相交的两条直线。
它们具有以下重要性质：
1. 平行线距离相等：与同一平行线相交的两条直线上的任意两个点到平行线的距离相等。
2. 平行线上的对应角相等：如果两条直线与同一平行线相交，那么对应角是相等的。
3. 平行线切割同一平行线的两条直线：当一条直线与一对平行线相交时，它将切割这对平行线上的两条直线，产生一对互相相等的内角、外角和对应角。
平行线的应用
平行线的性质在实际生活和工作中有很多应用。
例如：
- 建筑设计中，平行线的概念被广泛应用于平面布局和构造设计中。
- 地理测量学中，平行线可以用于绘制地图和测量距离。
- 机械工程中，平行线的性质可以用于设计和制造精密仪器。
结论
通过探索平行线的性质，我们可以更深入地理解几何学和其在实际生活中的应用。
平行线具有距离相等和角度相等的重要性质，这对于解决实际问题和进行准确测量非常重要。
希望本文对读者了解和应用平行线的性质有所帮助。
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平行线的性质§5.3.1平行线的性质本节课的主要内容是平行线的三个性质和命题等内容，首先在研究了平行线的判定的基础上了研究平行线的性质，因为学生在研究判定是已经了解到研究平行线就是研究两条直线被第三条直线所截形成的角之间的关系，所以学生很自然就想到研究平行线的性质也要研究同位角、内错角、同旁内角的关系；因此，从平行线的判定与性质的关系入手引入了对平行线性质的探究，对于命题的相关知识是在学生已经解触了一些命题，如：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，“等式两边加同一个数，结果仍是等式“，“对顶角相等”等命题的基础上，初步了解了命题、命题的构成、真假命题、定理等内容，使学生初步接触有关形式逻辑概念和术语。
平行线的性质是本节课的重点，而平行线的判定与性质互为逆命题，条件与结论相反，因此区分判定和性质是本节课的一个难点，教学过程中可告诉学生，从角的关系得到两直线平行时判定，由已知直线平行得出角的相等或互补关系，是平行线的性质。
本节课在利用两直线平行，同位角相等，来推理证明其他两条性质的过程中又一次让学生感受到转化思想在解决数学问题中的应用，在教学过程中，应注意这种思想方法的渗透，有意识的让学生认识整理，使学生在今后的不断训练中掌握这种方法。
【教学重点与难点】教学重点：探索并掌握平行线的性质,能用平行线性质进行简单的推理和计算.教学难点：能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用【教学目标】1．使学生理解平行线的性质和判定的区别．2．经历探索直线平行的性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算.3．经历观察、操作、想像、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达能力。
毛【教学方法】通过创设情境，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索。
教学环节的设计与展开，都以问题的解决为中心，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点。
【教学过程】一、复习回顾（设计说明：平行线的判定定理与性质定理是互逆的，对初学者来说易将他们混淆，因此，复习平行线的判定为后面性质与判定的比较做好准备，同时利用性质定利用判定定理的互逆关系自然引入新课。
）问题：如何用同位角、内错角、同旁内角来判定两条直线是否平行?反过来:，如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角由各有什么样的关系呢?这是我们这节课讲要探究的问题。
（教学说明：在学生回答平行线的判定定理时，可将其合理板书，以便直观地进行平行线的判定与性质的对比分析，加深学生的印象。
）二、动手实践，探究新知（设计说明：通过动手实验，让学生首先在动手探索的过程中感知平行线的性质，后再在性质1的基础上推理论证行至2、3的正确性，从而使学生对知识的认识从感性上升到理性。
）1．生画图活动:用直尺和三角尺画出两条平行线a∥b,再画一条截线c与直线a、b相交,标出所形成的八个角。
2．学生测量这些角的度数,把结果填入表内.角∠1∠2∠3∠4∠5∠6∠7∠8度数3．学生根据测量所得数据作出猜想.图中哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系?图中哪些角是内错角?它们具有怎样的数量关系?图中哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系?在详尽分析后,让学生写出猜想.4．学生验证猜测.学生活动:再任意画一条截线d,同样度量并计算各个角的度数,检验你的猜想是否还成立?如果直线a与b不平行，你的猜想还成立吗?5．师生归纳平行线的性质平行线具有性质:性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行, 同位角相等.性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行, 内错相等.性质3:两条直线按被第三条线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行, 同旁内角互补.可让学生结合右图,用符号语言表达平行线的这三条性质,教师同时板书平行线的性质和平行线的判定.平行线的性质平行线的判定①因为a∥b, ①因为∠1=∠2,所以∠1=∠2 所以a∥b.②因为a∥b, ②因为∠2=∠3,所以∠2=∠3, 所以a∥b.③因为a∥b, ③因为∠2＋∠4=180°,所以∠2＋∠4=180°, 所以a∥b.6．教师引导学生理清平行线的性质与平行线判定的区别.学生交流后,师生归纳:两者的条件和结论正好相反:由角的数量关系(指同位角相等,内错角相等,同旁内角互补), 得出两条直线平行的论述是平行线的判定,这里角的关系是条件,两直线平行是结论.由已知的两条直线平行得出角的数量关系(指同位角相等,内错角相等, 同旁内角互补)的论述是平行线的性质,这里两直线平行是条件,角的关系是结论.7．进一步研究平行线三条性质问题:在上节课中，我们利用平行线的判定方法1，推出了平行线的判定方法2，类似地，大家能根据平行线的性质1，推出性质2吗?可以先放手让学生思考、分析，后教师总结：性质1、性质2的不同就在于性学生回答∠1换成∠3,教师再问∠1与∠3有什么关系?并完成说理过程,教师纠正学生错误,规范地给出说理过程.因为a∥b,所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等);又∠3=∠1(对顶角相等),所以∠2=∠3.教师说明:这是有两步的说理,第一步推理根据平行线性质1,第二步推理的条件不仅有∠1=∠2,还有∠3=∠1.∠2=∠3是根据等式性质.根据等式性质得到的结论可以不写理由.学生仿照以下说理,说出如何根据性质1得到性质3的推理过程。
8．平行线性质应用.例1：如图是一块梯形铁片的线全部分,量得∠A=100°,∠B=115°, 梯形另外两个角分别是多少度?教师可根据学生情况,启发提问:①梯形这一条件如何使用?②∠A与∠D、∠B 与∠C的位置关系如何,数量关系呢?为什么?解：因为AB∥CD所以∠A＋∠D=180°∠B＋∠C=180°于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°∠C=180°-∠B=180°-115°=65°所以梯形的另外两个角分别是80°、65°。
例2：如图,BCD是一条直线,∠A=75°,∠1=53°,∠2=75°,求∠B的度数.分析：本题平行线的判定和性质的综合应用, 要引导学生观察图形，考察已知角的数量关系以及所求角与已知角的关系，从而确定解题的思路。
解：因为∠A=∠2=75°所以AB∥CE所以∠B=∠1=53°（教学说明：在学完本节知识后，学生容易出现一个知识负迁移，认为同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，为此在学生动手探究的过程中，不仅要关注学生对直线a与b平行时被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角之间数量关系的探索，同时也要关注学生对直线a与b不平行时同位角、内错角、同旁内角之间关系变化的认识，从而突出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的前提条件。
虽然现在对于推理论证的要求还不高，为了培养学生思维的严谨性和条理性，无论在性质的证明还是在例题教学中，要求学生尽可能的将推理过程书写规范。
）三、巩固训练熟练技能（设计说明：通过不同形式的练习，巩固学生所学知识，训练学生灵活应用知识解决问题的能力）（一）、判断题.1.两条直线被第三条直线所截,则同旁内角互补.( )2.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么同位角相等.( )（二）、填空题.1.如图(1),若AD∥BC,则∠______=∠_______,∠_______=∠_______,∠ABC＋∠_______=180°; 若DC∥AB,则∠______=∠_______,∠________=∠__________,∠ABC＋∠_________=180°.(1) (2) (3)2.如图(2),在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路, 从甲地测得公路的走向是南偏西56°,甲、乙两地同时开工,若干天后公路准确接通, 则乙地所修公路的走向是_________,因为____________.3．如图(3),AB∥EF,∠ECD=∠E,则CD∥AB.说理如下:因为∠ECD=∠E,所以CD∥EF( )又AB∥EF,所以CD∥AB( ).（三）、解答题1.如图,已知:∠1=110°,∠2=110°,∠3=70°,求∠4的度数.2.如图,已知:DE∥CB,∠1=∠2,求证:CD平分∠ECB.参考答案：（一）1、× 2、∨（二）1、∠1=∠5 ∠8=∠4，∠ABC＋∠BAC=180°; ∠2=∠7 ∠3=∠6，∠ABC＋∠BCD=180°;2、北偏东56°；两直线平行，内错角相等。
3、内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行。
（三）1、∠4=70°（过程略）2、解：因为DE∥CB所以∠1=∠DCB又因为∠1=∠2所以∠2=∠DCB所以CD平分∠ECB.四、总结反思，情意发展（设计说明：设计了以下三个问题，让学生围绕这三个问题，先反悟，后谈自身的收获和疑问，最后师生共同归纳总结）1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么?2.本节课你有哪些收获?3.在本节课的学习中，你还存在哪些疑问?（教学说明：通过对以上三个问题的思考引导学生回顾整节课的学习历程，让学生对知识有一个沉淀、吸收的过程。
此外，由于学生的学习基础、反思归纳能力不同，所以不同的学生可能会有不同的收获，学生之间的这种差异也是一种学习资源。
通过教师为学生提供的交流互动的平台，使学生倾听别人的想法、意见、收获的同时，不断完善自己的认识，形成完整的知识结构.）五、课堂小结1．本节主要学习了平行线的三条性质。
2．主要用到的思想方法是转化思想。
3．注意的问题平行线的判定方法与性质的区别。
六、布置课后作业：课本23页习题4、5、6、12七、拓展延伸已知:如图，AB ∥CD,EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠AEF ，FH平分∠EFD ，EG与FH平行吗?为什么?答：EG ∥FH因为AB ∥CD所以∠AEF=∠EFD又因为EG平分∠AEF ，FH平分∠EFD所以∠GEF =1/2∠AEF ∠EFH =1/2∠EFD 所以∠GEF= ∠EFH所以EG ∥FH(教学说明：此题是平行线的性质与判定的综合应用，实际上本题证明了两平行线被第三条直线所截形成的内错角的角平线是互相平行的，可在此基础上提出问题：两平行线被第三条直线所截形成的同位角的角平线有什么关系?同旁内角的呢?)【评价与反思】本节课研究的内容是平行线的性质，它是在学生学习了平行线的判定之后来进行学习，因此，在引入环节，就充分考虑到这一点，从复习平行线的判定入手，创设一个疑问来激发学生思考，进而引导学生进行平行线性质的探究。