高中数学第二章参数方程21直线的参数方程学案北师大版4

2．1 直线的参数方程

[对应学生用书P24]

[自主学习]

1．有向线段的数量

如果P ，M 是l 上的两点，P 到M 的方向与直线的正方向一致，那么PM 取正值，否则取

负值．我们称这个数值为有向线段PM u u u r

的数量．

2．直线参数方程的两种形式 (1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为：⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为

参数)．

其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M 的位移，可以用有向线段PM u u u r

的数量来表示．

(2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 1

＋λx

2

1＋λ，y ＝y 1

＋λy 2

1＋λ

(λ为参数，λ≠－1)．

其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M 分有向线段QP u u u r

的数

量比QM MP

.

①当λ>0时，M 为内分点；

②当λ<0且λ≠－1时，M 为外分点； ③当λ＝0时，点M 与Q 重合．

[合作探究]

1．如何引入参数求过定点P (x 0，y 0)且与平面向量a ＝(a ，b )⎝

⎛⎭

⎪⎫

或斜率为b a

平行的直线的

参数方程？

提示：在直线l 上任取一点M (x ，y )，因为PM u u u r ∥a ，由两向量共线的充要条件以及PM

u u u r

＝(x －x 0，y －y 0)，可得

x －x 0a ＝y －y 0b ，设这个比值为t ，即：x －x 0a ＝y －y 0

b

＝t ，则有：

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t ∈R )．

2．问题1中得到的参数方程中参数何时与⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α

(t ∈R )中参数t 具有

相同的几何意义？

提示：当a 2

＋b 2

＝1时．

[对应学生用书P24]

直线参数方程的确定

[例1] (1)写出直线l 的参数方程；

(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点．

[思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此

题需要将条件代入⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α得到直线的参数方程，然后与x －y ＋1＝0联立可

求得交点．

[精解详析] (1)直线l 的参数方程为

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝3＋t cos 120°，

y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)，

即⎩⎪⎨

⎪⎧ x ＝3－1

2

t ，

y ＝4＋3

2

t (t 为参数)．

(2)把⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝3－12t ，y ＝4＋3

2

t 代入x －y ＋1＝0，

得3－12t －4－3

2

t ＋1＝0，得t ＝0.

把t ＝0代入⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝3

－12t ，y ＝4＋3

2

t ，得两直线的交点为(3,4)．

1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．

2．已知直线过两点，求参数方程利用⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 1

＋λx

2

1＋λ，

y ＝y 1

＋λy

2

1＋λλ为参数且λ≠－1

.

3．已知直线经过的定点与其方向向量a ＝(a ，b )(或斜率b

a

)，则其参数方程可为：

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋ta ，

y ＝y 0＋tb (t 为参数)．

1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A ，B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．

解：设直线AB 与l 的交点M (x ，y )，且

AM

MB

＝λ，则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝

1＋3λ

1＋λ

，y ＝3＋λ1＋λ

(λ为参数且λ≠－1)．①

把①代入y ＝x 得1＋3λ1＋λ＝3＋λ

1＋λ，得λ＝1，

所以点M 分AB 的比为1∶1.

利用直线参数方程中参数的几何意义解决距离问题

[例2] 写出经过点M 0(－2,3)，倾斜角为4的直线l 的参数方程，并且求出直线l 上

与点M 0相距为2的点的坐标．

[思路点拨] 本题考查直线参数方程⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)的应用，特别是

参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M 0相距为2的点对应的参数t ，然后代入参数方程求此点的坐标．

[精解详析] 直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－2＋t

cos 3π

4，y ＝3＋t sin 3π

4

(t 为参数)．①

设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，M 点对应的参数为t ，则|M 0M |＝|t |＝2， ∴t ＝±2.将t 的值代入①式：

当t ＝2时，M 点在M 0点上方，其坐标为(－2－2，3＋2)； 当t ＝－2时，M 点在M 0点下方，其坐标为(－2＋2，3－2)．

1．过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α

的直线的参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为参

数)，|t |的几何意义是有向线段PM u u u r

的长度，即P 与M 间的距离．

2．过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为b

a 的直线的参数方程是⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t

为参数)．当a 2

＋b 2

＝1时，|t |的几何意义是有向线段0M M u u u u u r 的长度，当a 2＋b 2

≠1时，|t |的几何意义是0M M u u u u u r

的长度的

1

a 2＋

b 2

.

2．过点A (1，－5)的直线l 1的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝1＋t ，

y ＝－5＋3t

(t 为参数)，它与方程为x

－y －23＝0的直线l 2相交于一点P ，求点A 与点P 之间的距离．

解：将直线l 1的参数方程化为