空间直线异面关系的判定与度量讲解

空间直线异面关系的判定与度量

考点动向

空间直线的位置关系，除了初中就熟悉的相交与平行外，立体几何中新增加了异面关系，这部分是立体几何的传统重点知识，从客观小题到解答大题都会涉及到，有对异面关系的判定问题，也有对异面程度的度量问题，涉及异面成角与异面直线间的距离，这些问题可以充分考查考生的空间想象能力，解题方法主要是平移直线与借助直线的方向向量等，可以预测考查空间异面直线的问题仍将保持热度．

方法范例

例 如图１－１，已知两个正四棱锥P ABCD -与Q ABCD -的高分别为１

和２，4AB =．

（Ⅰ）证明PQ ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求异面直线AQ 与PB 所成的角；

（Ⅲ）求点P 到平面QAD 的距离． 解析 本题设置的三问，有证有算，

由于已知为两个同底的正棱锥组合而成的，故可以利用几何体的性质，构造空间直角坐标系，借助向量解答，对于求异面直线所成的角，也可利用定义实施平移解答．

解法１ （I ）连结AC BD ，，设AC BD O = ．因为P ABCD -与Q ABCD -都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD ．从而P O Q ，，三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD ．

（II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥．由（I ），PQ ⊥平面

ABCD ，故可分别以直线CA DB QP

，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图１－２）由题设条件，相关各点的

C

A

B

P

D

Ｑ

图１－１

C

图１－２

几何精练

坐标分别是(001)P ，，

，0)(002)(0A Q B -，，，，，．

所以(2)(01)AQ PB =--=- ，，．

于是cos AQ PB AQ PB AQ PB

<>==

，． 从而异面直线AQ 与PB

所成的角是arccos

9

． （III ）由（II ），点D

的坐标是(0-，

，((003)AD PQ =--=-

，，， 设()n x y z = ，，是平面QAD 的一个法向量，由00n AQ n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩

得00z x y +=+=⎪

⎩． 取1x =

，得(11n =-

，．所以点P 到平面QAD

的距离PQ n d n

==

． 解法２ （I ）取AD 的中点M ，连结PM QM ，．因为P ABCD -与Q ABCD -都是

正

四

棱

锥

，

所

以

A D P M ⊥⊥，．从而AD ⊥平面

PQM ．又PQ ⊂平面P Q M ，所以P Q A D ⊥．同理PQ AD ⊥，所以PQ ⊥平

面ABCD ．

（II ）连结AC BD ，，设A

C B

D O = ，

由PQ ⊥平面ABCD 及正四棱锥的性质可知

O 在PQ 上，从而P A Q C ，，，四点共面．

取OC 的中点N ，连结PN ．因为

1122PO NO NO OQ OA OC ===，，所以PO NO

OQ OA

=，从而AQ PN BPN ，∥∠（或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角．连结BN ．

因为3PB ==

=

，PN ===

BN ===

所以222cos 2PB PN BN BPN PB PN +-===

∠．

图１－３

从而异面直线AQ 与PB 所成的角是arccos

9

． （III ）由（I ）知，AD ⊥平面PQM ，所以平面QAD ⊥平面PQM ．过P 作PH QM ⊥于H ，则PH ⊥平面QAD ，所以PH 的长为点P 到平面QAD 的距离．连结OM ，因为

1

22

OM AB OQ =

==，所以45MQP =︒∠．又3P Q P O Q O

=+=，于是

s i n 4P H P Q =

︒=P 到平面QAD [规律小结]

（１）涉及异面直线的求夹角与距离的问题，求距离在高考最新大纲要求下，只要能解决异面直线的公垂线已知的问题，只需要记住异面直线的公垂线是和它们均垂直且相交的直线即可．因此，求异面直线的夹角是很重要的问题，主要借助异面直线夹角的定义进行，注意定义中平移的不确定性使问题的解法多样化，常见的有外移，内移，补形等方法．注意平移的好坏取决于是否有利于第二步构造三角形求角．

（２）借助直线的方向向量求异面直线的夹角，注意选取点的坐标要容易确定，向量的夹角可以是钝角，而异面直线的夹角只能是锐角或直角．有时，也可以借助基向量的方法解答，而不是建立空间直角坐标系解答．

考点误区分析

（１）注意第一步的平移十分重要，不可随意而作，否则往往会带来繁杂的运算，要注意实施多次尝试平移，寻找最佳解题方案，此类问题显然需要构造辅助线解答，充分考查考生的空间想象能力，一般若平移能够很好解决，可以不考虑运用向量的方法．当借助直线的方向向量解决时，若不是特殊角，注意借助反三角函数表示角的基本知识．

（２）向量之间的夹角公式cos ||||

a b

a b θ=

求出的可能是钝角，不妨直接利用

cos ||||||

a b

a b θ= ．而若成角为直角，有时也用证明代替求解的特殊方法．如对正四面体

ABCD ，求直线AB 与CD 所成的角，容易证明它们互相垂直，则成角为90︒．

同步训练

１．已知二面角l a b --的大小为60°，,m n 为异面直线，且m a ^、n b ^，则,m n