空间线面关系的判定

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空间几何线面平行面面平行线面垂直面面垂直的证明方法

空间几何线面平行面面平行线面垂直面面垂直的证明方法空间几何中，线、面、平行面、面平行线、面垂直面等概念是非常重要的。

在证明这些概念时，我们需要掌握一些基本的证明方法。

下面，我将介绍一些证明方法，帮助大家更好地理解这些概念。

一、线与面的关系1. 线与平面的关系线与平面的关系有两种情况：线在平面内或线与平面相交。

对于线在平面内的情况，我们可以通过以下证明方法来证明：（1）假设线与平面不在同一平面内，那么这条线必然与平面相交，与已知矛盾。

（2）假设线与平面在同一平面内，但不在同一直线上，那么这条线必然与平面相交，与已知矛盾。

（3）假设线与平面在同一直线上，但不在同一点上，那么这条线必然与平面相交，与已知矛盾。

因此，我们可以得出结论：线与平面必然在同一平面内且相交于一点或在平面内。

2. 线与直线的关系线与直线的关系有三种情况：相交、平行、重合。

对于线与直线相交的情况，我们可以通过以下证明方法来证明：（1）假设两条线不相交，那么这两条线必然平行，与已知矛盾。

（2）假设两条线重合，那么这两条线必然相交，与已知矛盾。

因此，我们可以得出结论：两条不同的线必然相交于一点或平行。

二、面与面的关系1. 平行面的关系平行面的关系有两种情况：平行或重合。

对于平行面的情况，我们可以通过以下证明方法来证明：（1）假设两个平面不平行，那么这两个平面必然相交，与已知矛盾。

（2）假设两个平面重合，那么这两个平面必然平行，与已知矛盾。

因此，我们可以得出结论：两个不同的平面必然平行或相交于一条直线。

2. 面垂直面的关系面垂直面的关系有两种情况：相交于一条直线或垂直。

对于面垂直的情况，我们可以通过以下证明方法来证明：（1）假设两个面不垂直，那么这两个面必然相交于一条直线，与已知矛盾。

（2）假设两个面相交于一条直线，那么这两个面必然不垂直，与已知矛盾。

因此，我们可以得出结论：两个不同的面必然相交于一条直线或垂直。

三、面平行线的关系面平行线的关系有两种情况：平行或相交。

空间线面关系的判定

空间线面关系的判定
目录
• 空间线面关系的基本概念 • 空间线与平面位置关系的判定 • 空间面与面位置关系的判定 • 空间线面关系的应用 • 空间线面关系判定的注意事项
01
空间线面关系的基本概念
空间直线与平面的定义
空间直线
在三维空间中，直线是无限长的线段，它有两个方向，并且可以无限延伸。直线可以用两点来确定，也可以用方向向量来表示。
加合理、稳定的船舶。
数学建模中的应用
几何建模
在几何建模中，空间线面关系的判定是基础，它可以帮助数学家更好地理解几何形状的特点，从而建立更加准确、可靠的几何模型。
VS
计算几何
在计算几何中，空间线面关系的判定是重要的研究内容之一，它可以帮助数学家更好地理解几何形状的计算方法，从而为计算机图形学、计算机辅助设计等领域提供更加高效、精确的算法和工具。
平面与平面垂直判定定理一
如果一个平面内的两条不平行的直线分别垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。
平面与平面垂直判定定理二
如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直。
平面与平面相交判定定理
平面与平面相交判定定理一
如果两个平面有一个公共点，则它们相交。
平面与平面相交判定定理二
如果一个平面内的直线与另一个平面相交，则这两个平面相交。
空间平面
在三维空间中，平面是一个无厚度的二维区域。它由三个非共线的点确定，并且可以无限延伸。平面可以用一个点、一个方向向量和一个距离来确定。
空间线面关系的分类
直线与平面平行
当直线与平面平行时，直线不与平面相交，且直线与平面内任意直线都平行。
直线与平面相交
当直线与平面相交时，直线与平面有一个唯一的交点，或者直线完全在平面内。

高中数学空间中的线面关系

空间中的线面关系知识框架空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．（一）知识内容线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直． 2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．αl直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．例题精讲板块三：线线垂直与线面垂直n mA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α内任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略．3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明，如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证．由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．（三）典例分析：【例1】直线和平面所成的角为α，则（）A ．090α︒<<︒B ．090α︒︒≤≤C ．090α︒<︒≤D ．090α︒<︒≤【例2】 m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两条不同平面，下面有四个命题：①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ③,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥　其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．【例3】室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【例4】（2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面AB CDE F A 1B 1C 1D 1【例5】（2008辽宁卷11）在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（） A ．不存在 B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条【例6】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．．求证：1BD ⊥面1AB C ．A 1D 1C 1B 1DCBA【例7】在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【解析】 FEC 1B 1D 1A 1AB C D【例8】如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面AD C '．【解析】OH DCBAD'C'B'A'【例9】已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【解析】 FEBDCAP【例10】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ．【解析】 P OA 1D 1C 1B 1D CB A【例11】（2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠． ⑴ 证明1C C BD ⊥； ⑵ 当1CDCD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例12】已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠=．求证：1CC ⊥BDOABCD A 1B 1C 1D 1【例13】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为PC ，AB 的中点．（1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）若45PDA ∠=，求证：MN ⊥面PCD ．QPD BCAMN【例14】如图，四面体P ABC -，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，过A 作AF⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ．【例15】下列说法正确的有__________．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面． ⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例16】（2009安徽，理15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_____ （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线异面；②由顶点A 做四面体的高，其垂足是BCD ∆三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高线所在的直线异面；④分别做三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例17】在正方体1111ABCD A B C D -中，P Q ，分别是棱1AA ，1CC 的中点，则过点B P Q ，，的截面（） A ．邻边不等的平行四边形 B ．菱形但不是正方形C ．邻边不等的矩形D ．正方形【例18】如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面ABCD 满足条件时，有11AC B D ⊥（写出你认为正确的一种条件即可．）ABCD 是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形D 1C 1B 1A 1A DCB【例19】如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论ABC DO【例20】在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，1MN MC ⊥?【例21】如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心；⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．OCBAP【例22】在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有_________个．【例23】如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论．ABC DO【例24】如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．AA 1【例25】如图所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SA SB SC ==，D 为AC 中点，连结SD ，BD ．⑴求证：SD ⊥面ABC ；⑵若直角边BA BC =，求证：BD ⊥面SAC ．SABD【例26】如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC的中点，11AB ==，⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．D CBA A 1B 1C 1【例27】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，求证：⑴1BD ⊥平面11A C D ；⑵1//EF BD ．FE ABCDA 1B 1C 1D 1【例28】已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+ ②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例29】设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例30】已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CDABCDE【例31】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．A 1D 1CA【例32】（07全国2文7）已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（） ABC．2D【例33】（2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1DEF 的距离为（） ABCD ABCDE【例34】（2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是．【例35】（2008福建卷6）如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D所成角的正弦值为（） A．3B ．5C ．5D ．5DCBAA 1D 1B 1C 1【例36】如图，已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点．求证：平面EBD ⊥平面SACE DCBAS【例37】正方体1111ABCD A B C D -中，作截面1BDC ，求二面角1B DC C --的正切值的大小．O A 1D 1C 1B 1D CBA【例38】如图，正方体1111ABCD A B C D -中．求平面1A BD 和平面1C BD 相交所组成的二面角11A BD C --的余弦值．OA 1D 1C 1B 1DCBA【例39】在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【解析】 FEC 1B 1D 1A 1AB C D【例40】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．HACBDP【例41】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是AB 的中点．⑴求二面角1A BC A --的大小； ⑵求二面角1B AC P --的大小． PF E A 1D 1C 1B 1DCBA【例42】已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：//AC 平面EFG ，//BD 平面EFG ．【解析】 GFEBA【例43】（2006年湖南高考题·理3）过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（）． A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条【例44】下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例45】已知正方体1111-ABCD A B C D ，求证：平面11//AB D 平面1C BD ．ABCDA 1B 1C 1D 1【例46】判断下面命题的正误：⑴一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行． ⑵如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ⑶垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑷过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．⑸如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．【例47】如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉面ABCD ，过BC 作平面BCEF 交AP 于E ，交DP 于F ，求证：四边形BCEF 是梯形．PFE DCBA【例48】设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、1111A B C D 的中心，如图，⑴证明：//PQ 平面11AA B B ；⑵求线段PQ 的长．AB CDA 1B 1C 1D 1PQ【例49】如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．EBCFDGSA【例50】已知：四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90A ∠=，且AB CD ∥，12AB CD =，点F 为线段PC 的中点．EFDCBAP⑴求证：BF ∥平面PAD ； ⑵求证：BF CD ⊥．（一）知识内容线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线． 3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ．其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵；⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒．图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相板块二：空间中的平行关系交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB 与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向．求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''．所以DD E E ''是平行四边形．因此DE D E ''=．于是ADE A D E '''∆≅∆．所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的范围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行．要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． 3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒．图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画．如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面． 3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．（二）主要方法：由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．（三）典例分析：【例1】（2005湖北，理10）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为AC '、CB '、A B '、B C ''的中点，G 为ABC ∆的重心．从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（） A ．K B ．H C ．G D ．B 'A'B【例2】如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．求证：1A C //平面1AB D ．EABCA 1B 1C 1D【例3】如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，12DC AB =，E 是PB 的中点．求证：EC ∥平面APD ．E PDABC【例4】如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ．CBADEFP【例5】已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面， ,E F 分别是PB 和AC 的中点，求证：①EF ∥平面PAD ；②EF AB ⊥I H G FE DCBA P【例6】如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【例7】如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ．求证：FO ∥平面CDEFEDCBAO【例8】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是11111111,,,A B A D B C C D 的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【例9】如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【例10】如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ．求证：FO ∥平面CDE【解析】FEDCBAO【例11】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．N MF EAB 1C 1D 1DCBA 1⑴求证：MN ∥平面11BB C C ； ⑵求MN 的最小值．【例12】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．⑴求证：MN ∥平面11BB C C ； ⑵求MN 的最小值．N MFEAB 1C 1D 1DC B A 1【例13】已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，⑴若,,,E F G H 都分别是所在边的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形； ⑵若//EH FG ，求证：//EH BD ．H GFE D CBA【例14】已知,,,E F G M 分别是四面体的棱,,,AD CD BD BC 的中点，G FEDCB AMN求证：//AM 面EFG ．【例15】平行于平面α的a ，b 是两异面直线，且分别在平面α的两侧，,,,A B a C D b ∈∈，若AC 与α平面交于点M ，BD 与α平面交于点N ．求证：AM BNMC ND=． ABCDαabMN【例16】如图，正方体1AC 中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：//MN 平面11AA B B ．D 1C 1B 1M B NFECDA 1A【例17】已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证：//PQ 平面ACD ．【例18】下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例19】如图，B 为ACD ∆所在平面外一点，M ，N ，G 分别为ABC ∆，ABD ∆，BCD ∆的重心，⑴求证：平面MNG ∥平面ACD ； ⑵求:MNG ADC S S ∆∆GFDC BAMNPH【例20】已知平面//αβ，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：//EF α，//EF β．【解析】βBGDFEαCA【例21】如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．βD QB EαPC AF【例22】已知长方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是','AA CC 的中点．求证：平面//BDF 平面''B D E ．AA'BB'CC'DD'E F【例23】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，求证：平面EBD ∥平面FGA ．D 1C 1B 1A 1GF ED CBA【例24】正方体1111ABCD A B C D -中，E 、G 分别是BC 、11C D 的中点，如下图．求证：//EG 平面11BB D D ．D 1C 1B 1A 1GEDCBA【例25】（2008新课标海南宁夏）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．⑴在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； ⑵按照给出的尺寸，求该多面体的体积；⑶在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．侧视图正视图D'C'B'GFE DCBA【解析】⑴如图俯视图正视图侧视图。

空间线面关系知识点总结

空间线面关系知识点总结空间线面关系是立体几何中的一个重要概念，它描述了空间中不同几何元素（点、线、面）之间的位置、相交、平行、垂直等关系。

在现实生活和工程技术中，了解空间线面关系的知识对于设计、建造、测量等工作至关重要。

本篇文章将介绍空间线面关系的相关知识，包括空间中点、直线、平面的性质和相互关系，以及空间中直线与面之间的位置关系、相交关系等内容。

希望通过本文的介绍，读者能够深入了解空间线面关系的基本概念和理论知识。

一、空间中点的性质和判断方法1. 点的基本性质：点是空间中最基本的几何元素，没有长度、面积和体积，只有位置。

任意两个点之间都有唯一确定的直线。

2. 点的判断方法：在空间中确定一个点的位置，通常可以使用坐标、投影、距离等方法进行判断。

3. 点的投影：点在不同平面上的投影是唯一确定的，可以通过点的投影确定点在不同平面上的位置关系。

二、空间中直线的性质和判断方法1. 直线的基本性质：直线是空间中的一条无限延伸的几何元素，没有宽度、厚度，只有长度。

两点确定一条直线，两条直线要么相交，要么平行。

2. 直线的判断方法：在空间中确定一条直线的位置，通常可以使用两点坐标、点斜式、截距式等方法进行判断。

3. 直线的位置关系：两条直线之间可能相交、平行、重合、垂直等不同的位置关系，这需要通过直线的方向、倾斜度、截距等参数来判断。

三、空间中平面的性质和判断方法1. 平面的基本性质：平面是空间中的一个二维几何元素，具有面积和形状，可以用三个非共线点来唯一确定一个平面。

平面可以用方程或者法向量来确定。

2. 平面的判断方法：在空间中确定一个平面的位置，通常可以使用三点确定法、一般方程、点法向式、截距式等方法进行判断。

3. 平面的位置关系：不同平面之间可能相交、平行、重合、垂直等不同的位置关系，这需要通过平面的法向量、倾斜度、截距等参数来判断。

四、空间中直线与平面的位置关系1. 直线与平面的相对位置：在空间中，一条直线与一个平面之间可能存在不同的位置关系，这需要通过直线的方向、平面的法向量等参数来判断。

立体几何(线、面平行、垂直的有关结论)必修2 立体几何线面关系的判定与性质

立体几何（线面平行、垂直的有关结论）空间中线面平行、垂直关系有关的定理：1、【线面平行的判定】平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。

2、【线面平行的性质】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。

3、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

4、如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。

5、如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

6、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

7、一条直线与两条平行直线中的一条直线相垂直，则这条直线也与另一条直线垂直。

8、与同一条直线都垂直的两条直线相互平行。

（）9、与同一个平面都垂直的两条直线相互平行。

10、两条平行直线中的一条直线与一个平面相垂直，则另一条直线也垂直于这个平面。

11、两条相互垂直的直线中的一条平行于一个平面，则另一条直线垂直于这个平面。

（）12、两条相互垂直的直线中的一条垂直于以个平面，则另一条直线平行于这个平面。

（）13、平面外的两条相互垂直的直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线平行于这个平面。

14、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面。

15、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

16、两个平面都与另一个平面相垂直，则这两个平面平行。

（）17、一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，则此平面也垂直于另一个平面。

18、如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。

19、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。

20、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

21、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

【知识归纳】：【典型例题】：【高考小题】：。

3.2.2 空间线面关系的判定(一)

3.2.2空间线面关系的判定(一)——平行关系的判定一、基础过关1．空间直角坐标系中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系为________(平行、垂直或无法确定)．2．已知平面α的一个法向量是n＝(1,1,1)，A(2,3,1)，B(1,3,2)，则直线AB与平面α的关系是______________．3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.4．已知A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1,1，x)，若AD⊂平面ABC，则实数x的值是_____．5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.6．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上结论中正确的是__________(填序号)．二、能力提升7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC上的点，A1M＝AN＝23a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．8．如图所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、D1D、DC 的中点，N是BC中点，点M的四边形EFGH及其内部运动，则M只须满足条件________时，MN∥平面B1BDD1(请填上你认为正确的一条即可)．9．如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，试确定平面EFG和平面HMN的位置关系．10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.11．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2，BB1＝3，D是A1C1的中点．证明：A1B∥平面B1DC.三、探究与拓展13．如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?答案1．平行 2．AB ∥α或AB ⊂α 3．3 4．0 5．－3 6．①③④ 7．平行 8．M 在FH 上 9．解如图，建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体的棱长为2，易得E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)． ∴EF →＝(0，－1,1)，EG →＝(1,0,1)， HM →＝(0,1，－1)，HN →＝(－1,0，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG ，平面HMN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0m ·EG →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－y 1＋z 1＝0，x 1＋z 1＝0，令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·HM →＝0，n ·HN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－z 2＝0，－x 2－z 2＝0，令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)． ∴m ＝n ，故m ∥n ，即平面EFG ∥平面HMN . 10．证明建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，O (12，12，1)，C 1(0,1,1)， B 1C →＝(－1,0，－1)，OD →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1， OC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0.设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OD →＝0n ·OC 1→＝0得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)．又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B 1C →⊥n ，又B 1C ⊄平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1. 11．证明建立如图所示的空间直角坐标系．设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则点N 、E 的坐标分别是 ⎝⎛⎭⎫22，22，0、(0,0,1)．∴NE →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.又点A 、M 的坐标分别是(2，2，0)、⎝⎛⎭⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.∴NE →＝AM →，且A ∉NE ，∴NE ∥AM . 又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE . 12．证明如图，以B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B 1(0,0,3)， C (0，2，0)，D ⎝⎛⎭⎫22，22，3，A 1(2，0,3)． A 1B →＝(－2，0，－3)，DB 1→＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，0，DC →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－3，设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧DB 1→·n ＝0⇒－22x －22y ＝0，DC →·n ＝0⇒－22x ＋22y －3z ＝0.取n ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，－23，由于A 1B →·n ＝0，且A 1B ⊄平面B 1DC ，所以A 1B ∥平面B 1DC . 13．解如图所示，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，在CC 1上任取一点Q ，连结BQ ，D 1Q . 设正方体的棱长为1，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)，∴OP →∥BD 1→， ∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )，当z ＝12时，AP →＝BQ →，即AP ∥BQ ，有平面P AO ∥平面D 1BQ ， ∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。

空间向量的线面关系的判定

空间向量的线面关系判定
目录
• 空间向量的基本概念 • 空间向量的线性关系 • 空间向量的平面关系 • 空间向量的线面关系判定定理 • 空间向量线面关系的应用
01
空间向量的基本概念
向量的表示
几何表示
在空间中，向量可以用有向线段来表示，起点为向量的尾部，终点为向量的头部。
坐标表示
在三维直角坐标系中，一个向量可以用三个分量来表示，即 $overset{longrightarrow}{a} = (a_1, a_2, a_3)$。
VS
性质
向量加法满足交换律和结合律，即 $overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{a}$，并且 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
详细描述
根据空间向量的垂直性质，如果一个向量与平面内任意两个不共线的向量都垂直，则该向量与该平面垂直。这是因为平面的方向由其内的任意两个不共线的向量确定，若一个向量与这两个向量在平面内，且与该平面的法线向量垂直，则该向量在该平面上。
详细描述
解决物理问题
向量可以用于解决物理问题，如牛顿第二定律、动量定理等，以及解决物理现象中的位置关系问题。

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定1数学教案

3.2.2 空间线面关系的判定设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：思考：否垂直？[提示] 垂直1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________．平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.]3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.]利用空间向量证明线线平行【例1】如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 1．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c . ∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.利用空间向量证明线面、面面平行[探究问题]在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例2】在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[思路探究][证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA→－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD . 1．本例中条件不变，试证明平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.[证明] 由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，则CD 1→＝(0，－1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)，设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥CD 1→m ⊥D 1B 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD 1→＝－y 1＋z 1＝0，m ·D 1B 1→＝x 1＋y 1＝0，令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)，又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点，求证：AB ∥平面DEG .[证明] ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，AB →＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)， ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0，即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .向量法证明垂直问题【例3】如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE . [思路探究] 建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系[证明] AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0，即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1.又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n .∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE . 1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．2．在例3中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．[解] 由例3，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x ＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例3知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)， ∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m⊥n . 所以平面ABE ⊥平面PDC .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明． (2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152D [∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， ∴存在λ∈R ，使a ＝λb ，则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy ， ∴x ＝6，y ＝152.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.－5 [∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5.]4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.。

空间线面关系的判定

学习指导:
1.如何用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直； 2.如何用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理; 3.怎样用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系; 4.在例3中,试建立适当的空间直角坐标系,用坐标表示 A1 B， ,再证明它们互相垂直,并对这两种方法进行比较我们研究
了空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。那么，能否用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间线面位置关系?
§3.2.2空间线面关系的判定
学习目标:
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系； 2.能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理; 3.能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系
例1.证明:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直(三垂线定理) 例2.证明:如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面(直线和平面垂直的判定理)
分层训练:
必做题:P91 练习2 3 选做题: P91 练习4
作业:P97
4

考点30空间线面位置关系的判定及其性质-备战2019年浙江新高考数学考点一遍过

（ 2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该
点 .常结合公理 3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明
三线共点 .
（ 3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：
①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；
③三求：解三角形，求出作出的角．
如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角
.
(3) 判定空间两条直线是异面直线的方法 ①判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点
B 的直线是异面直线．
②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握如下可以作为推理依据的公理和定理
.
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
.
公理 2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .
公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
.
公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 .
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
.
（2）符号语言：如图（ 1 ）、（ 2）所示，在 ∠ AOB 与 ∠ A ′O ′B ′中， O A∥ O A, O∥B O ，B 则
A O B A O B或 AOB A O B 180 .
A ．若 a⊥ α,且 a⊥ b,则 b∥ α
B ．若 γ⊥ α,且 γ⊥ β,则 α∥β

空间线面关系的判定(1)

空间线面关系的判定（1）【基础平台】1．直线a 的方向向量为a ，直线b 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，若//,a n b n ⊥，则a 与b 的关系为（）A ．a b a b ⊥且与相交 B ．a b a b ⊥且与不相交 C ．a b ⊥ D ．a b 与不一定垂直2．直线a 的方向向量为a ，直线b 的方向向量为b，平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n，则（）A ．若12,a n a n ⊥⊥，则//,//a ααβ且 B ．若1212//,//,a n b n n n ⊥，则//,//a b βα C ．若11,a n b n ⊥⊥ ，则//a bD ．若121//,n n a n ⊥，则////a a αβ或4．四面体ABCD 中，棱AB=AC ，DB=DC ，点M 为棱BC 的中点，则平面ADM 的一个法向量为_______________________；5．正方形边长为12，P A ⊥平面ABCD ，PA=12，则P 到正方形对角线BD 所在直线的距离为_____________；【自主检测】1．长方体1111A B C D A B C D -中，AB=15，BC=8，则1A A 与平面11BB D D 的距离为（）A ．12017B ．172C ．8D ．152．在正方体1111ABC D A B C D -中，与1AD 垂直的一个平面是（）A ．平面11D D C C B ．平面1A D B C ．平面1111A B C D D ．平面11A D B 3．AB 为O 的直径，C 为O 上一点，PA 垂直于O 所在的平面，AD PC D AF PB F ⊥⊥于，于，下列命题中正确命题的序号为 ①BC是平面PAC 的法向量； ②PBC AF 是平面的法向量；③AD是平面PBC的法向量； ④PC是平面ADF 的法向量（）A ．② ④B ．② ③C ．① ③D ．③ ④4．P 为A B C 所在平面外的一点，PA=PB=PC ，则P 在平面ABC 上的射影O 为A B C 的______心；5．P A ⊥平面ABC ，M 、N 分别为PC 、AB 的中点，使得M N A C ⊥的一个条件为_____________________________；6．在四面体ABCD 中，,,AB DC AC BD AE BC ⊥⊥⊥于E ，连结DE ，求证：BC是平面A D E 的一个法向量．7．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ABCD ⊥底面，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ⑴求证：//PA EDB 平面； ⑵求证：PB EFD ⊥平面．【拓展延伸】已知正方体''''ABCD A B C D -，点M 、N 分别是'B C 与''A C 的中点（1）求证：//M N 平面''ABB A ；（2）求M N 与平面'AB C 所成角的余弦值．空间线面关系的判定（1）【基础平台】１．C ．２．Ｄ．３．BC．４．【自主检测】１．Ａ．２．Ｄ．３．Ｃ．４．外心．５．90BAC ∠= 3【拓展延伸】（１）略（２）arcsin３（DB ＇是平面'AB C 的一个法向量，DB ＇与MN 的夹角的余弦值为3。

空间线面关系经典讲义

(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.
基础回顾
立体几何基础知识
一、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。
二、空间中线、面的位置关系
1.线线关系
公理示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
求证：PB∥平面EFG.
3.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2.线面关系
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
3.面面关系
平行与垂直
一、直线、平面平行（垂直）的判定及其性质
1．平面与平面的位置关系有、两种情况．
2．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内直线．
②垂直于同一个平面的两条直线。
③垂直于同一直线的两平面。
8．斜线和平面所成的角
斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．
9．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法
②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的，则这两个平面互相垂直．
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.

线面、面面平行、线面、面面垂直(学生)

立体几何空间点、线、面的位置关系
1
平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

如果一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行。

常用性质：垂直于同一直线的两个平面互相平行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

常用性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

垂直于同一个平面的两条直线平行。

（垂直于同一条直线的两个平面平行。

）
常用性质：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直这个平面内的任何一条直线。

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

①中位线定理②平行四边形③平行线的传递性
⑥线面垂直性质定理：
④线面平行的质定理⑤面面平行性质定理
①菱形的对角线互相垂直②等腰三角形底边的中线垂直底边
③圆的直径所对的圆周角为直角④利用勾股定理⑤线面垂直性质定理
1。

空间直线与直线、面平行或垂直的判定

空间直线1. 空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面.2. 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.3．异面直线所成的角直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．4．异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．[要点内容]1．空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面。

相交直线和平行直线都是共面直线，异面直线是立体图形。

2．空间两直线的位置关系分类从有无公共点的角度看，可分为两类：（1）两条直线有且仅有一个公共点—相交直线；3．异面直线概念的理解“不同在任何一个平面内的两条直线”，是指这两条直线不能同时在任何一个平面内。

注意：分别在某两个平面内的两条直线，不一定是异面直线，它们可能是相交直线，也可能是平行直线，如图。

4．异面直线的画法及判定画异面直线时，以平面为衬托，可使两直线不能共面的特点显示得更清楚，如图判定两条直线是异面直线的方法：方法一，利用：“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

”方法二，利用反证法，假设这两条直线不是异面直线，推导出矛盾。

这可能是与公理矛盾、与定理矛盾、与定义矛盾、与已知条件或事实矛盾等。

5．对于两条异面直线所成的角的定义应注意以下几点：（1）取直线a′、b′所成的锐角（或直角）作为异面直线a、b所成的角。

（2）在这个定义中，空间一点是任意选取的，根据等角定理，可以判定异面直线a和b 所成的角和a′和b′所成的锐角（或直角）相等，而与点O的位置无关。

（3）由于异面直线a、b所成的角与点O的位置无关，一般情况下，可将点O取在直线a或b上。

线线平行、线面平行、面面平行的判定方法

在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。

如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。

②三角形、梯形中位线定理。

③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。

④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。

（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。

（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。

（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（7）用向量证明。

二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。

（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。

（4）向量法。

三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。

（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。

（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、两条直线垂直的判定（1）在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。

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