空间向量的线面关系的判定

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32(二)向量方法证明空间线面垂直关系

学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一向量法判断线线垂直思考若直线l 1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案 l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD →＝0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二向量法判断线面垂直思考若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内. (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R ).知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.类型一证明线线垂直例1 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→， ∴AB 1⊥MN .反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)， ∵AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)， ∴AC →·BC 1→＝0.∴AC ⊥BC 1. 类型二证明线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0). 所以AB 1→＝(1，2，－3)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0). 因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0. AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . 反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点.求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明如图建系，C (1，0，0)，A (0，1，0)，P (0，0，1)，B 1(1，1，2)，PC →＝(1，0，－1)，P A →＝(0，1，－1)，PB 1→＝(1，1，1)，B 1C →＝(0，－1，－2)，B 1A →＝(－1，0，－2).PB 1→·PC →＝(1，1，1)·(1，0，－1)＝0，所以PB 1→⊥PC →，即PB 1⊥PC .又PB 1→·P A →＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0，所以PB 1→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC . 类型三证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E (0，0，12)，故AA 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，1)，AE →＝(－2，0，12).设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1，1，0). 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1，4). 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC .证明以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A (0，0，a )，则易得B (0，0，0)，C ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，D (0，3a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)，故AB →＝(0，0，－a )，BC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.设平面ABC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－az 1＝0，x 1＋y 1＝0，取x 1＝1，∴n 1＝(1，－1，0)为平面ABC 的一个法向量. 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面BEF 的一个法向量，同理可得n 2＝(1，1，－3).∵n 1·n 2＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0， ∴平面BEF ⊥平面ABC .1.下列命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与平面α平行，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 ①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确. 2.已知两直线的方向向量为a ，b ，则下列选项中能使两直线垂直的为( ) A.a ＝(1，0，0)，b ＝(－3，0，0) B.a ＝(0，1，0)，b ＝(1，0，1) C.a ＝(0，1，－1)，b ＝(0，－1，1)D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)答案 B解析因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交答案 B解析∵a∥μ，∴l⊥α.4.平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定答案 C解析∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直.5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，则t的值为________.答案 5解析∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.空间垂直关系的解决策略40分钟课时作业一、选择题1.设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2，2，1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A.－2 B.2 C.6 D.10 答案 D解析因为a ⊥b ，故a ·b ＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m ＝0，解得m ＝10.2.若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A.10B.－10C.12D.－12答案 B解析因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a ·b ＝(－1，2，4)·(x ，－1，－2)＝0，解得x ＝－10.3.已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，P (x ，0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )A.(1，0，－2)B.(1，0，2)C.(－1，0，2)D.(2，0，－1) 答案 C解析由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0， ① AC →·AP →＝(2，0，1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，②联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1，0，2).4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A 1D D.A 1A 答案 B解析建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (1，0，0)，D (0，0，0)，A 1(0，1，1)，C 1(1，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1，AC →＝(1，－1，0)， BD →＝(－1，－1，0)，A 1D →＝(0，－1，－1)，A 1A →＝(0，0，－1)， ∵CE →·BD →＝(－1)×(－12)＋(－1)×12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD .5.若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( ) A.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(－3，1，1) B.n 1＝(1，1，2)，n 2＝(－2，1，1) C.n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，2，1) D.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(0，－2，－2) 答案 A解析 ∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0， ∴n 1·n 2＝0，故选A.6.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )A.－3B.6C.－6D.－12 答案 B解析 α⊥β⇒μ·v ＝0⇒－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6. 二、填空题7.在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则异面直线SC 与BC 是否垂直________.(填“是”或“否”) 答案是解析如图，以A 为原点，AB ，AS 分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，得B (0，17，0)，S (0，0，23)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，0， SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，－23，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. 因为SC →·CB →＝0，所以SC ⊥BC .8.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________.(填序号) 答案 ①②③解析 ∵AP →·AB →＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP ⊥AB ，即①正确；∵AP →·AD →＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP ⊥AD ，即②正确；又∵AB ∩AD ＝A ， ∴AP ⊥平面ABCD ，即AP →是平面ABCD 的一个法向量，即③正确； ∵AP →是平面ABCD 的法向量， ∴AP →⊥BD →，即④不正确.9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos 2x ＋2，0)和点Q (cos x ，－1，3)，其中x ∈[0，π].若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________. 答案 π2或π3解析由题意得OP →⊥OQ →，∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.10.在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3，1)，C (2，－2，1).若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________. 答案 (－2，4，1)或(2，－4，－1)解析据题意，得AB →＝(－1，－1，2)，AC →＝(1，0，2).设n ＝(x ，y ，z )，∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，y ＝－2x . ∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得y ＝4或y ＝－4.当y ＝4时，x ＝－2，z ＝1；当y ＝－4时，x ＝2，z ＝－1.三、解答题11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点.证明：CD ⊥平面P AE .证明如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设P A ＝h ，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B (4，0，0)，C (4，3，0)，D (0，5，0)，E (2，4，0)，P (0，0，h ).易知CD →＝(－4，2，0)，AE →＝(2，4，0)，AP →＝(0，0，h ).因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明建立如图所示空间直角坐标系，则P (0，0，1)，B (0，1，0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x ，1，0)，PE →·AF →＝(x ，1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0，所以x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .13.已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点.(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置.(1)证明以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a ，则 A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a ).设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a )，A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∵DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，a e)，由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2，∴2－a e ＝0，即e ＝a 2. ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

利用空间向量证明空间中的直线和平面位置关系

利用空间向量证明空间中的直线和平面位置关系空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立。

空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广。

【知识回顾】1.确定空间直角坐标系必须有三个要素，即：原点、坐标轴方向、单位长。

2.从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，则就建立了空间直角坐标系。

点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy 平面、 yoz 平面、和 Zox 平面．3.已知M 为空间一点.过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴,它们与x 轴、y 轴和z 轴的交点分别为P 、Q 、R,这三点在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M 就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z 就叫做点M 的坐标,并依次称x,y,z 为点M 的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z 的点M 通常记为M(x,y,z).4.空间向量的坐标运算:(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则:222123||a a a a a a =⋅=++，222123||b b b b b b =⋅=++a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3，a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )， cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． 5.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量，则一条直线的方向向量可以有无数个． (2)平面的法向量①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0. 6. 共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 7. 叫做共线向量(或平行向量),记作a ∥b . 8. 面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.9. 共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，那么向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋ y b . 9.利用向量处理求解立体几何问题： (1)直线与平面的位置关系：①若a ∥n ,即a =λn , 则 L ∥ α ②若a ⊥n ,即a·n = 0,则a ∥ α.(2) 平面与平面的位置关系：平面α的法向量为n 1 ,平面β的法向量为n 2 ①若n 1∥n 2，即n 1=λn 2，则α∥β ； ②若n 1⊥n 2，即n 1 ·n 2= 0，则α∥β10.点到平面的距离：A 为平面α外一点, n 为平面α的法向量,过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH.= = , 即:AB →在法向量n 上投影的绝对值。

空间几何与向量运算点线面的位置关系与运算

空间几何与向量运算点线面的位置关系与运算空间几何与向量运算是数学中的重要分支，研究点、线、面在空间中的位置关系以及进行相应的运算操作。

在实际应用中，空间几何与向量运算广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将详细讨论点、线、面在空间中的位置关系和对应的运算方式。

一、点在空间中的位置关系在空间几何中，点是空间的最基本元素，它没有长度、宽度和高度。

点与点之间的位置关系可以通过坐标系来描述。

常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。

1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的坐标系，用三个坐标轴x、y、z相互垂直组成，固定在空间中的三个直线上。

点在直角坐标系中的位置可以用三个坐标(x, y, z)来表示，其中x表示点在x轴上的投影位置，y表示点在y轴上的投影位置，z表示点在z轴上的投影位置。

2. 柱坐标系和球坐标系柱坐标系和球坐标系是常用的极坐标系。

在柱坐标系中，点的位置由径向距离、极角和高度来确定，记作(r, θ, z)，其中r表示点到极坐标原点的距离，θ表示点到正极轴的角度，z表示点在z轴上的投影位置。

在球坐标系中，点的位置由球半径、极角和方位角来确定，记作(r, θ, φ)，其中r表示点到球心的距离，θ表示点到正半轴的角度，φ表示点到正极面的角度。

二、线在空间中的位置关系与运算线是由无数个点连接而成的集合，线在空间中的位置关系有直线、平行线、相交线等。

对于线的运算操作，主要包括长度、夹角、平移、旋转等。

1. 长度线的长度是线段两个端点之间的距离，可以通过计算两个点的坐标来求得。

对于直线则无法直接求得长度。

2. 夹角两条线之间的夹角是指这两条线在空间中交汇处的夹角。

可以通过计算两条线的方向向量来求得夹角。

3. 平移平移是指将一条线段按照指定的平移向量进行移动，其位置和形状保持不变。

平移操作可以通过向直线的每个点添加平移向量得到。

4. 旋转旋转是指将一条线段按照指定的旋转角度和旋转轴进行旋转，其位置和形状保持不变。

空间直角坐标系线面平行公式

空间直角坐标系线面平行公式在空间直角坐标系中，线与面的平行关系是一个重要的几何问题。

它涉及到线段和平面的数学关系，对于解决实际问题和进行几何证明都具有重要意义。

在本文中，我将介绍空间直角坐标系中线与面平行的公式及其推导过程。

一、线与平面的平行定义在三维空间中，一条直线与一个平面平行，是指这条直线与该平面内的任意一条直线平行。

直观上，可以理解为直线沿着平面上的一个方向延伸，而不会与平面相交。

二、平行线面的判定方法要判断一条直线与一个平面是否平行，可以通过以下方法进行判定：1. 利用方向向量判断设直线的方向向量为a，平面的法向量为n。

如果向量a与向量n之间的点积为零，则可以判定直线与平面平行。

2. 利用直线上一点到平面的距离判断选择直线上的一个点作为坐标原点，设该点到平面的距离为 d。

如果平面上的任意一点到原点的矢径与法向量之间的夹角都相等，则可以判定直线与平面平行。

三、线面平行的公式推导在空间直角坐标系中，设直线上一点为A(x₁, y₁, z₁)，直线的方向向量为l（l₁, l₂, l₃），平面的法向量为n（n₁, n₂, n₃），平面上一点为 P(x, y, z)。

根据点积的定义，直线的方向向量与法向量之间的点积为：l ·n= l₁ * n₁ + l₂ * n₂ + l₃ * n₃对于直线上的一点A(x₁, y₁, z₁) 和平面上的一点 P(x, y, z)，设 AP 的位置向量为r（x - x₁, y - y₁, z - z₁）。

根据判定方法中的向量点积为零的条件，我们可以得出以下平行公式：(l₁ * n₁ + l₂ * n₂ + l₃ * n₃) * (x - x₁) + (l₁ * n₁ + l₂ * n₂ + l₃ * n₃) * (y - y₁) + (l₁ * n₁ + l₂ * n₂ + l₃ * n₃) * (z - z₁) = 0以上就是线与平面平行的公式推导过程。

空间向量点线面的位置关系

空间向量点线面的位置关系在三维空间中，点、线和面是基本的几何要素。

它们的位置关系在数学和几何学中扮演着重要的角色。

本文将探讨空间向量中点、线和面之间的不同位置关系及其特点。

一、点和线的位置关系在三维空间中，点和线的位置关系主要有以下几种情况。

1. 点在线上：如果一个点位于一条直线上，那么这个点与直线上的任意两点构成的向量都是共线的。

换句话说，点和线的向量共线。

2. 点在线的延长线上：点也可以位于一条线的延长线上，这时点与线上的任意两点构成的向量也是共线的。

3. 点与线相交：在三维空间中，点还可以与一条直线相交。

这时，点与线上的任意两点构成的向量不再共线。

4. 点与线平行：若一点与直线平行，则该点与直线上的任意两点构成的向量平行。

但是，点与线平行并不意味着点在线的延长线上。

二、点和面的位置关系点和面的位置关系也有几种情况，如下所示。

1. 点在面上：如果一个点位于一个平面上，那么这个点与平面上的任意三个点构成的向量都在同一个平面内。

2. 点在面的延长线上：点也可以位于一个平面的延长线上，这时点与平面上的任意三个点构成的向量仍在同一个平面内。

3. 点在平面内但不在平面上：有时，一个点位于一个平面内部但不在平面上。

这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平面内。

4. 点与平面相交：在三维空间中，点还可以与一个平面相交。

这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平面内。

三、线和面的位置关系线和面的位置关系主要有以下几种情况。

1. 线在平面上：如果一条直线位于一个平面上，那么直线上的任意两点构成的向量都在同一个平面内。

2. 线与平面相交于一点：一个直线也可以与一个平面相交于一点。

这时，直线上的任意两点构成的向量不在同一个平面内。

3. 线与平面平行：若一条直线与一个平面平行，则直线上的任意两点构成的向量与平面内的向量平行。

但是，直线与平面平行并不意味着直线在平面上。

4. 线在平面的延长线上：一条直线还可以位于一个平面的延长线上，这时直线上的任意两点构成的向量仍在同一个平面内。

空间向量线面平行公式

空间向量线面平行公式
空间向量平行是三维坐标系中一个非常重要的概念，它是指两个向量或者一个向量和一个平面所在的直线方向相同。

换句话说，如果两个向量或者一个向量和一个平面所在的直线方向相同，那么它们就是平行的。

在三维空间中，我们可以用向量的方式来表示平行关系。

如果两个向量的方向完全相同，那么它们就是平行的。

当我们需要判断两个向量是否平行时，我们可以利用向量之间的点积（内积）进行计算。

具体地，两个向量a和b平行的条件是：
a·b=|a||b|
其中，a·b表示向量a和b的点积（内积），|a|和|b|表示向量a和b的长度。

如果两个向量的点积等于它们的长度乘积，那么这两个向量就平行。

除了向量之间的平行关系，我们还需要了解向量和平面之间的平行关系。

当一个向量与平面所在的直线方向相同，那么这个向量就是与该平面平行的向量。

我们可以使用平面法向量和向量之间的点积进行计算。

具体地，一个向量a和一个平面的法向量n平行的条件是：a·n=0
其中，a·n表示向量a和平面法向量n的点积（内积）。

如果它们的点积为0，那么这个向量就与该平面平行。

总结来说，空间向量线面平行公式非常重要，它可以帮助我们判断两个向量或者一个向量和平面之间的平行关系。

在进行计算时，需要注意向量之间的点积运算和平面法向量的确定。

熟练掌握平行关系的判断方法，可以帮助我们更好地理解和应用空间向量的相关知识。

空间向量证明线面垂直

空间向量证明线面垂直
在三维空间中，我们可以使用向量来证明线和面的垂直关系。

假设有一条直线 L，其方向向量为 a，过一点 P 的平面方程为 Ax
+ By + Cz + D = 0。

我们要证明直线 L 与平面的法向量垂直。

首先，我们知道直线 L 上的任意一点可以表示为 P = P0 + ta，其中 P0 是直线上的一个特定点，a 是直线的方向向量，t 是一个
实数。

假设直线 L 与平面的法向量为 n = (A, B, C)。

现在我们来证明直线 L 与平面的法向量垂直。

我们知道如果两
个向量垂直，它们的点积为零。

因此，我们可以计算直线的方向向
量与平面的法向量的点积：
a · n = Aa1 + Ba2 + Ca3。

其中，a1、a2 和 a3 是向量 a 的分量。

由于直线 L 上的任意
一点 P 可以表示为 P0 + ta，我们可以将 P 的坐标代入平面方程中：
A(P0x + tax) + B(P0y + tay) + C(P0z + taz) + D = 0。

展开并整理得到：
t(Aa1 + Ba2 + Ca3) + (AP0x + BP0y + CP0z + D) = 0。

由于上式对于直线 L 上的任意点成立，因此必须有 Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0。

这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直，即直线和平面垂直。

因此，我们使用空间向量证明了直线和平面的垂直关系。

这种方法可以帮助我们在三维空间中分析线和面的相互关系，为我们理解空间中的几何关系提供了有力的工具。

空间线面关系的判定(2)

课题：空间线面关系的判定〔2〕主讲人 X 伟锋教学目标：1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系； 2．能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。

教学重点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系教学难点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系教学过程一、复习引入1、用向量研究空间线面关系，设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，那么由如下结论二、数学运用 1、例 4 如图，矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 31,31==,求证：//MN 平面CDE证明：建立如下图空间坐标系，设AB,AD,AF 长分别为3a ,3b ,3c),0,2(c a BM AB NA NM -=++=又平面CDE 的一个法向量)0,3,0(b AD = 由0=⋅AD NM得到AD NM⊥因为MN 不在平面CDE 内所以NM//平面CDE2、例5在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE证明：设正方体棱长为1，建立如下图坐标系D -xyz)0,0,1(=DA ,)21,,1,1(=DE因为)1,21,0(1-=F D所以0,011=⋅=⋅DE F D DA F DDE F D DA F D ⊥⊥11,D DA DE =所以⊥FD 1平面ADE3、补充 (2004年某某高考理科试题)如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中,︒=∠60ABC ，,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.(Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.该问为探索性问题，作为高考立体几何解答题的最后一问，用传统方法求解有相当难度，但使如果我们建立如下图空间坐标系，借助空间向量研究该问题，不难得到如下解答：根据题设条件，结合图形容易得到：)3,32,0(,),,0(,)0,2,23(a a E a a D a a B - ),0,0(,)0,2,23(a P a a C),2,23(a aa CP --=假设存在点FCP CF λ=),2,23(a aa λλλ--=。

用空间向量证明线线垂直与线面垂直

第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直一、空间向量及其数量积1、在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。

用或表示，其中向量的大小称为向量的长度或或a。

正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。

若已知点A 坐标为（x 1，y 1，z 1）,点B 坐标为（x 2，y 2，z 2）则向量=（x 2 -x 1，y 2- y 1，z 2 -z 1）即是终点坐标减起点坐标。

在空间，知道向量=（x ，y ，z222z y x 2、空间向量数量积① 已知两个非零向量、，在空间任取一点O ，作=，=，则角∠AOB 叫向量与的夹角，记作＜，＞规定，若0≤＜，＞≤ ，若＜，＞=2，称与垂直，记作⊥b 。

② 已知空间两个向量、COS ＜，＞叫向量、的数量积，记作aCOS＜，＞若⊥ a＝０③ 若已知空间向量＝（x 1，y 1，z 1），＝（x 2，y 2，z 2）则•＝x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ， COS ＜，222222212121212121z y x z y x z z y y x x例１如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900,D 1、E 1分别为A 1B 1、A 1C 1中点，若BC=CA=CC 1，求向量1BD 与1AE 所成角的余弦值。

C 1B 1 Ａ1ＡＣＢ D 1 E 1练习：已知正方体ABCD —1111D C B A 中，11E B =11F D =411B A ，求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。

二、利用向量证线线垂直与线面垂直例2 在正方体ABCD —1111D C B A 中，求证A 1C ⊥平面AB 1D 1练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中，O 为底面ABCD 的中心，P 为DD 1的中点，求证：B 1O ⊥平面PAC 。

例3 如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M, N 分别是AB ,PC 中点（1）求证：M N ⊥CDE D A 1FD 1AB 1C BC 1 BA D CB AC D B 1 A 1 D C B A C 1D 1 O P PN（2）若∠PDA=450，求证：MN ⊥平面PCD练习：正方体ABCD —1111D C B A 中，M 是棱D 1D 中点，N 是AD 中点， P 为棱A 1B 1上任一点。

3.2(二)向量方法证明空间线面垂直关系

学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一向量法判断线线垂直思考若直线l 1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案 l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD →＝0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二向量法判断线面垂直思考若直线l 的方向向量为μ1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面. (3)直线l 的方向向量与平面α的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R ). 知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.类型一证明线线垂直例1 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，14，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，∵M 为BC 中点， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0. ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN .反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)， ∵AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)， ∴AC →·BC 1→＝0.∴AC ⊥BC 1. 类型二证明线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0). 所以AB 1→＝(1，2，－3)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0). 因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0.AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . 反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点.求证：直线PB 1⊥平面PAC .证明如图建系，C (1，0，0)，A (0，1，0)，P (0，0，1)，B 1(1，1，2)，PC →＝(1，0，－1)，PA →＝(0，1，－1)，PB 1→＝(1，1，1)，B 1C →＝(0，－1，－2)，B 1A →＝(－1，0，－2).PB 1→·PC →＝(1，1，1)·(1，0，－1)＝0，所以PB 1→⊥PC →，即PB 1⊥PC .又PB 1→·PA →＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0，所以PB 1→⊥PA →，即PB 1⊥PA .又PA ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面PAC . 类型三证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E (0，0，12)，故AA 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，1)，AE →＝(－2，0，12).设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1，1，0). 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0.令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1，4). 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC .证明以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A (0，0，a )，则易得B (0，0，0)，C ⎝⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，D (0，3a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)，故AB →＝(0，0，－a )，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0.设平面ABC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－az 1＝0，x 1＋y 1＝0，取x 1＝1，∴n 1＝(1，－1，0)为平面ABC 的一个法向量. 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面BEF 的一个法向量，同理可得n 2＝(1，1，－3).∵n 1·n 2＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0， ∴平面BEF ⊥平面ABC .1.下列命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与平面α平行，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 ①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确. 2.已知两直线的方向向量为a ，b ，则下列选项中能使两直线垂直的为( ) A.a ＝(1，0，0)，b ＝(－3，0，0) B.a ＝(0，1，0)，b ＝(1，0，1)C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)答案 B解析因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则( )A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交答案 B解析∵a∥μ，∴l⊥α.4.平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定答案 C解析∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直.5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，则t的值为________.答案 5解析∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.空间垂直关系的解决策略40分钟课时作业一、选择题1.设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2，2，1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A.－2B.2C.6D.10 答案 D解析因为a ⊥b ，故a ·b ＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m ＝0，解得m ＝10.2.若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A.10B.－10C.12D.－12答案 B解析因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a ·b ＝(－1，2，4)·(x ，－1，－2)＝0，解得x ＝－10.3.已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，P (x ，0，z )，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )A.(1，0，－2)B.(1，0，2)C.(－1，0，2)D.(2，0，－1) 答案 C解析由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)，AP →＝(x ，－1，z )，又PA ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0， ① AC →·AP →＝(2，0，1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，②联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1，0，2).4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A 1D D.A 1A答案 B解析建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (1，0，0)，D (0，0，0)，A 1(0，1，1)，C 1(1，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1，AC →＝(1，－1，0)，BD →＝(－1，－1，0)，A 1D →＝(0，－1，－1)，A 1A →＝(0，0，－1)，∵CE →·BD →＝(－1)×(－12)＋(－1)×12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD .5.若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( ) A.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(－3，1，1) B.n 1＝(1，1，2)，n 2＝(－2，1，1) C.n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，2，1) D.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(0，－2，－2) 答案 A解析 ∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0， ∴n 1·n 2＝0，故选A.6.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )A.－3B.6C.－6D.－12 答案 B解析 α⊥β⇒μ·v ＝0⇒－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6. 二、填空题7.在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则异面直线SC 与BC 是否垂直________.(填“是”或“否”) 答案是解析如图，以A 为原点，AB ，AS 分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，得B (0，17，0)，S (0，0，23)，C ⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，0， SC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，－23，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. 因为SC →·CB →＝0，所以SC ⊥BC .8.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________.(填序号) 答案 ①②③解析 ∵AP →·AB →＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP ⊥AB ，即①正确；∵AP →·AD →＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP ⊥AD ，即②正确；又∵AB ∩AD ＝A ， ∴AP ⊥平面ABCD ，即AP →是平面ABCD 的一个法向量，即③正确； ∵AP →是平面ABCD 的法向量， ∴AP →⊥BD →，即④不正确.9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos 2x ＋2，0)和点Q (cos x ，－1，3)，其中x ∈[0，π].若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________. 答案π2或π3解析由题意得OP →⊥OQ →，∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3. 10.在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3，1)，C (2，－2，1).若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________.答案 (－2，4，1)或(2，－4，－1)解析据题意，得AB →＝(－1，－1，2)，AC →＝(1，0，2).设n ＝(x ，y ，z )，∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4z ，y ＝－2x . ∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得y ＝4或y ＝－4.当y ＝4时，x ＝－2，z ＝1；当y ＝－4时，x ＝2，z ＝－1.三、解答题11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点.证明：CD ⊥平面PAE .证明如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设PA ＝h ，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B (4，0，0)，C (4，3，0)，D (0，5，0)，E (2，4，0)，P (0，0，h ).易知CD →＝(－4，2，0)，AE →＝(2，4，0)，AP →＝(0，0，h ).因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面PAE 的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE .12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明建立如图所示空间直角坐标系，则P (0，0，1)，B (0，1，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x ，1，0)，PE →·AF →＝(x ，1，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12＝0，所以x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .13.已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点.(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置.(1)证明以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a ，则 A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a ).设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a )，A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∵DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0.取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，a e )，由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2，∴2－a e ＝0，即e ＝a 2. ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

空间直角坐标系线面关系

空间直角坐标系线面关系一、引言在几何学和数学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系。

它由三个相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。

在三维空间中，物体的位置可以通过这三个轴上的数值来表示。

本文将介绍空间直角坐标系中线和面的关系。

二、线和面的定义1. 线的定义在线性代数和几何学中，线是由连续的点组成的几何对象。

在空间直角坐标系中，一条线可以由参数方程或者一对对称方程来描述。

比如，一条直线可以通过参数方程x=a+lt、y=b+mt、z=c+nt（其中l、m、n为常数，t为参数）来表示。

2. 面的定义面是由无数的点组成的平面几何对象。

在空间直角坐标系中，面可以由一个方程来表示。

例如，一个平面可以使用Ax+By+Cz+D=0（其中A、B、C、D为常数）的方程来描述。

三、线和面的位置关系1. 线与平面的关系一条线可以与平面有以下三种不同的位置关系：•直线与平面相交：当一条直线与平面有一个点或者多个点的交点时，称该直线与平面相交。

•直线与平面平行：如果一条直线的方向向量与平面的法向量平行，则称该直线与平面平行。

•直线在平面内：当一条直线的方向向量与平面的法向量相交于一个点，并且该直线与平面有无穷多个交点时，称该直线在平面内。

2. 两个平面的关系两个平面可以有以下三种不同的位置关系：•平面相交：当两个平面有一条直线或者多条直线的交线时，称这两个平面相交。

•平面平行：如果两个平面的法向量平行，则称这两个平面平行。

•平面重合：如果两个平面有无穷多个公共点，则称这两个平面重合。

四、应用举例1. 平行直线和平面假设有一条直线L：x=1+t、y=2-t、z=3+2t 和一个平面P：2x-3y+5z-7=0。

通过对直线L进行参数替换，我们可以将线的方程带入平面的方程中，得到以下的等式：2(1+t)-3(2-t)+5(3+2t)-7=0。

整理后，t的系数为6，所以直线L与平面P平行。

2. 直线与平面相交考虑一条直线L：x=2+t、y=3-t、z=1+2t 和一个平面P：x-y+z=4。

空间向量的线面关系的判定

空间向量的线面关系判定
目录
• 空间向量的基本概念 • 空间向量的线性关系 • 空间向量的平面关系 • 空间向量的线面关系判定定理 • 空间向量线面关系的应用
01
空间向量的基本概念
向量的表示
几何表示
在空间中，向量可以用有向线段来表示，起点为向量的尾部，终点为向量的头部。
坐标表示
在三维直角坐标系中，一个向量可以用三个分量来表示，即 $overset{longrightarrow}{a} = (a_1, a_2, a_3)$。
VS
性质
向量加法满足交换律和结合律，即 $overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{a}$，并且 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
详细描述
根据空间向量的垂直性质，如果一个向量与平面内任意两个不共线的向量都垂直，则该向量与该平面垂直。这是因为平面的方向由其内的任意两个不共线的向量确定，若一个向量与这两个向量在平面内，且与该平面的法线向量垂直，则该向量在该平面上。
详细描述
解决物理问题
向量可以用于解决物理问题，如牛顿第二定律、动量定理等，以及解决物理现象中的位置关系问题。

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定1数学教案

3.2.2 空间线面关系的判定设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：思考：否垂直？[提示] 垂直1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________．平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.]3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.]利用空间向量证明线线平行【例1】如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 1．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c . ∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.利用空间向量证明线面、面面平行[探究问题]在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例2】在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[思路探究][证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA→－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD . 1．本例中条件不变，试证明平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.[证明] 由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，则CD 1→＝(0，－1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)，设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥CD 1→m ⊥D 1B 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD 1→＝－y 1＋z 1＝0，m ·D 1B 1→＝x 1＋y 1＝0，令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)，又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点，求证：AB ∥平面DEG .[证明] ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，AB →＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)， ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0，即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .向量法证明垂直问题【例3】如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE . [思路探究] 建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系[证明] AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0，即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1.又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n .∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE . 1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．2．在例3中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．[解] 由例3，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x ＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例3知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)， ∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m⊥n . 所以平面ABE ⊥平面PDC .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明． (2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152D [∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， ∴存在λ∈R ，使a ＝λb ，则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy ， ∴x ＝6，y ＝152.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.－5 [∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5.]4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.。

5.直线的方向向量、平面的法向量以及空间线面关系的判定

一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量e 以及与 e 共线
的向量叫做直线l的方向向量。
eB
A
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。
平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那么向量 n 叫做平面的法向量.
证：设正方体棱长为 1，
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0，所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A
因为MN不在平面CDE内所以MN//平面CDE
四、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
(2)a (1,2,2),b (2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b (0,0,3)
平行
巩固性训练2
1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交

空间向量证明线面垂直

空间向量证明线面垂直
空间向量是描述空间中的位置和方向的工具。

线面垂直是指一
条直线与一个平面垂直相交。

现在我们来利用空间向量来证明线面
垂直的性质。

假设有一条直线上的两个点A和B，以及一个平面上的一个点C。

我们可以用空间向量来表示这三个点的位置。

假设向量OA表示点A
的位置，向量OB表示点B的位置，向量OC表示点C的位置。

那么
向量AB可以表示直线AB的方向，而向量AC和向量BC可以表示平
面ABC的法向量。

现在我们来证明线AB与平面ABC垂直。

根据向量的性质，如果
两个向量的点积为0，则它们垂直。

所以我们可以计算向量AB与向
量AC的点积，以及向量AB与向量BC的点积。

如果它们都等于0，
那么我们就证明了线AB与平面ABC垂直。

点积的计算公式为，向量a·向量b = |a||b|cos(θ)，其中
|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b
之间的夹角。

假设向量AB为a，向量AC为b，向量BC为c。

那么我们可以计算点积：
a·b = |a||b|cos(θ1)。

a·c = |a||c|cos(θ2)。

如果θ1和θ2都是90度（即cos(θ1)和cos(θ2)都等于0），那么a·b和a·c都等于0，根据点积的性质，我们就可以得出结论，线AB与平面ABC垂直。

通过空间向量的方法，我们成功地证明了线面垂直的性质。

这种方法可以很好地应用于空间几何中的各种问题，为我们理解空间中的几何关系提供了一种有效的工具。

高中数学必备技巧解析几何中的空间向量与点线面关系

高中数学必备技巧解析几何中的空间向量与点线面关系高中数学必备技巧：解析几何中的空间向量与点线面关系解析几何是数学中的一个重要分支，研究了点、线、面等几何对象在坐标系中的表示与性质。

在解析几何中，空间向量及其与点线面的关系是必不可少的基础知识。

本文将详细介绍高中数学中解析几何中的空间向量以及它们与点线面的关系，帮助同学们更加深入理解和应用这些概念。

一、空间向量的概念及性质空间向量是用有序数对表示的，包括起点和终点两个关键点。

在解析几何中，通常用大写字母表示空间向量，如$\vec{AB}$表示从点A 到点B的向量。

空间向量有以下几个重要的性质：1. 空间向量的模长：空间向量$\vec{AB}$的模长表示为$|\vec{AB}|$，它等于两点之间的距离。

2. 相等向量：若$\vec{AB}=\vec{CD}$，则向量$\vec{AB}$与向量$\vec{CD}$相等，它们具有相同的模长和方向。

3. 零向量：零向量表示为$\vec{0}$，它的模长为0，方向可以是任意的。

任何向量与零向量相加都保持不变。

4. 负向量：向量$\vec{AB}$的负向量表示为$-\vec{AB}$，它具有相同的模长但方向相反。

二、空间向量的运算在解析几何中，空间向量支持多种运算，包括向量的加法、减法和数量乘法。

它们的运算法则如下：1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。

即$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$，$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}$。

2. 向量的减法：向量的减法可以转化为加负向量。

即$\vec{AB}-\vec{BC}=\vec{AB}+(-\vec{BC})$。

3. 数量乘法：向量与实数的乘法满足结合律和分配律。

即$a(\vec{AB}+\vec{BC})=a\vec{AB}+a\vec{BC}$，$(a+b)\vec{AB}=a\vec{AB}+b\vec{AB}$。

高中数学总复习：空间向量与线、面位置关系

目录
高中总复习·数学（提升版）
1
1
O 为空间中任意一点， A ， B ， C 三点不共线，且＝＋
4
8
5
＋ t ，若 P ， A ， B ， C 四点共面，则实数 t ＝ 8 .
⁠
1
1
5
解析：由结论可知＋＋ t ＝1，所以 t ＝ .
4
8
8
目录
课堂演练
考点分类突破
精选考点典例研析技法重悟通
＝ b ，＝ c ，试采用向量法解决下列问题：
目录
高中总复习·数学（提升版）
（1）求的模长；
解：因为正四面体 ABCD 的棱长为1， E ， F ， G ， H 分别
是正四面体 ABCD 中各棱的中点，＝ a ，＝ b ，＝ c ，
1
1
所以＝＝（
−2 = ，
= 4.
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. 已知 A ， B ， C 三点不共线，点 O 为平面 ABC 外任意一点，若点 M
1
4
2
满足＝＋＋，则点 M
5
5
5
∈ （填“∈”或
“∉”）平面 ABC .
1
4
2
1
4
2
解析：＝＋＋＝＋＋（
4
4
1
2
b －2 a ·c ＋2 a ·b －2 b ·c ）＝（1＋1＋1－2×1×1×
4
2×1×1× cos 60°－2×1×1× cos
cos 60°＋
1
2
60°）＝，故｜｜＝ .
2
2
目录

空间向量的线面关系的判定

32(二)向量方法证明空间线面垂直关系

利用空间向量证明空间中的直线和平面位置关系

空间几何与向量运算点线面的位置关系与运算

空间直角坐标系线面平行公式

空间向量点线面的位置关系

空间向量线面平行公式

空间向量证明线面垂直

空间线面关系的判定(2)

用空间向量证明线线垂直与线面垂直

3.2(二)向量方法证明空间线面垂直关系

空间直角坐标系线面关系

空间向量的线面关系的判定

高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定1数学教案

5.直线的方向向量、平面的法向量以及空间线面关系的判定

空间向量证明线面垂直

高中数学必备技巧解析几何中的空间向量与点线面关系

高中数学总复习：空间向量与线、面位置关系

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