高中数学课件-圆锥曲线最值问题
合集下载
圆锥曲线中变量的最值问题优秀课件
高三专题复习：
圆锥曲线中
变量的最值（取值范围）问题
思考
求圆锥曲线的最值
常用哪些方法？
圆锥曲线中的最值（取值范围）问题按解题思路通常分三类：
圆锥曲线中的最值（取值范围）问题按解题思路通常分 三类： 第一类：数形结合法，通常利用相关的几何最值性质、 曲线的定义等求得,称数形结合法; 第二类：根据题中变量的关系,建立目标函数,用函数性 质或基本不等式等求出变量的最值（取值范围）,称函数 法; 第三类：根据题中条件列出有关所求变量的不等式,解得 其取值范围,称不等式法.
㈠焦半径有关的问题
2 例 1 .P 为抛物线 x 4 y 上的一动点，定点 A ( 8 , 7 ) ，则 P 到
9 x 轴与到 A 点的距离之和的最小值 为 ________ .
x P (x ,y ) ，则 y 方法一：建立目标函数 设 4 2 2 x x 2 2 2 2 d y ( x 8 ) ( y 7 ) ( x 8 ) ( 7 ) 4 4
别交于 M 、 N 两点，求 MON 的面积的最小值 .
2 2 5.若 菱形ABCD 的顶点 A， C 在椭圆 x 3y 4上，对角线B D 所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线 B D
1 ) 时，求直线 A C 过点 ( 0 ，
的方程；
A B C 6 0 时，求菱形 ABCD 面积的最大值． （Ⅱ）当
x
k2
P
O
k , k k , 1 2
k1
x2 y2 A、B是椭圆 1 变 如图，已知 16 9 题 的两个顶点， C、D是椭圆上两点， 且分别在 AB两侧，则四边形 ABCD 12 2 面积的最大值是 ________ .
圆锥曲线中
变量的最值（取值范围）问题
思考
求圆锥曲线的最值
常用哪些方法？
圆锥曲线中的最值（取值范围）问题按解题思路通常分三类：
圆锥曲线中的最值（取值范围）问题按解题思路通常分 三类： 第一类：数形结合法，通常利用相关的几何最值性质、 曲线的定义等求得,称数形结合法; 第二类：根据题中变量的关系,建立目标函数,用函数性 质或基本不等式等求出变量的最值（取值范围）,称函数 法; 第三类：根据题中条件列出有关所求变量的不等式,解得 其取值范围,称不等式法.
㈠焦半径有关的问题
2 例 1 .P 为抛物线 x 4 y 上的一动点，定点 A ( 8 , 7 ) ，则 P 到
9 x 轴与到 A 点的距离之和的最小值 为 ________ .
x P (x ,y ) ，则 y 方法一：建立目标函数 设 4 2 2 x x 2 2 2 2 d y ( x 8 ) ( y 7 ) ( x 8 ) ( 7 ) 4 4
别交于 M 、 N 两点，求 MON 的面积的最小值 .
2 2 5.若 菱形ABCD 的顶点 A， C 在椭圆 x 3y 4上，对角线B D 所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线 B D
1 ) 时，求直线 A C 过点 ( 0 ，
的方程；
A B C 6 0 时，求菱形 ABCD 面积的最大值． （Ⅱ）当
x
k2
P
O
k , k k , 1 2
k1
x2 y2 A、B是椭圆 1 变 如图，已知 16 9 题 的两个顶点， C、D是椭圆上两点， 且分别在 AB两侧，则四边形 ABCD 12 2 面积的最大值是 ________ .
人教版数学选择性必修第一册综合复习：圆锥曲线中的最值、范围、证明问题课件
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接
QE并延长交C于点G.
(i)证明:△PQG是直角三角形;
(ii)求△PQG面积的最大值.
[例1] (课标全国Ⅱ,21,12分)已知点A(-2,0), B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM
1
2
的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
2
=1.
1. (洛阳统考)已知椭圆C:
2
2
+
2
2
=1(a>b>0), O为坐标原点, F(- 2,0)为椭圆C
2
2
的左焦点,离心率为 , 直线l与椭圆相交于A,B两点.
(2)若M(1,1)是弦AB的中点, P是椭圆C上一点, 求△PAB面积的最大值.
设A(x1,y1), B(x2,y2).
,
y1y2=k x1x2+2k(x1+x2)+4=
,
3+4 2
3+4 2
1 +2 2 +2 1 2 +2 1 +2 +4
所以k1·k2=
·
=
=k2+12,
1
2
1 2
1
49
因为k2∈ , +∞ , 所以k2+12∈
, +∞ ,
4
4
49
所以k1·k2的取值范围是 , +∞ .
4
考向三
令Δ1=16m2-24(m2-4)=0,得m=±2 3.
∵P是椭圆C上一点,
∴P点到AB的最大距离即直线x+2y+2 3 =0到直线l的距离d.
圆锥曲线的最值问题课件
热烈欢迎领导和专家 莅临指导
2019/5/24
1
圆锥曲线中的最值问题
2019/5/24
2
复习目标：
1．能根据变化中的几何量的关系，建立 目标函数，然后利用求函数最值的方法 （如利用一次或二次函数的单调性，三角 函数的值域，基本不等式，判别式等）求 出最值．
2．能够比较熟练地运用数形结合的 方法,结合曲线的定义和几何性质,用几何 法求出某些最值.述内容要点
2019SUCCESS
POWERPOINT
2019/5/24
2019SUCCESS
THANK YOU
2019/5/24
例1.(1)抛物线 y2 x 上的点到直线x-2y+4=0 距离的最小值是------------.
(2)已知点 A(2, 3),F是椭圆 X 2 Y 2 1的左焦点,一
16 12
动点M在椭圆上移动,则|AM|+2|MF|的最小值_______.
y
例 m 5) ,过其左焦点且斜率为1
的直线与椭圆及其准线的交点从左到右顺序为A,B,C,D.记
f(m)=||AB|-|CD||
(1)求f(m)的解析式.
(2)求f(m)的最大值和最小值.
y x2
x2 y2 1 a2 b2
y2 2x
总结
是求最值的两种方法: 1.建立目标函数求最值. 2.数形结合求最值.
2019/5/24
1
圆锥曲线中的最值问题
2019/5/24
2
复习目标：
1．能根据变化中的几何量的关系，建立 目标函数，然后利用求函数最值的方法 （如利用一次或二次函数的单调性，三角 函数的值域，基本不等式，判别式等）求 出最值．
2．能够比较熟练地运用数形结合的 方法,结合曲线的定义和几何性质,用几何 法求出某些最值.述内容要点
2019SUCCESS
POWERPOINT
2019/5/24
2019SUCCESS
THANK YOU
2019/5/24
例1.(1)抛物线 y2 x 上的点到直线x-2y+4=0 距离的最小值是------------.
(2)已知点 A(2, 3),F是椭圆 X 2 Y 2 1的左焦点,一
16 12
动点M在椭圆上移动,则|AM|+2|MF|的最小值_______.
y
例 m 5) ,过其左焦点且斜率为1
的直线与椭圆及其准线的交点从左到右顺序为A,B,C,D.记
f(m)=||AB|-|CD||
(1)求f(m)的解析式.
(2)求f(m)的最大值和最小值.
y x2
x2 y2 1 a2 b2
y2 2x
总结
是求最值的两种方法: 1.建立目标函数求最值. 2.数形结合求最值.
2020年高考数学圆锥曲线中的最值问题(共16张PPT)
x
y
t cos 1 t sin
代入
2x2
y2
2
0
得
(1 cos2 )t2 2sin t 1 0
设
P, Q
对应的参数为 t1, t2
，则 t1
t2
2 cos 1 cos2
, t1t2
1
1 cos2
所以| PQ || t1 t2 |
(t1
t2 )2
4t1t2
1
22 cos2
因为
PQ
的最大值为__________.
解析：题目中点 P 是一动点，点 B 是椭圆的右焦点，因此在椭圆上的一个动点和焦点的 连线经常需要考虑这个点和另外一个焦点，即把动点放到焦点三角形中考虑，因
为 PF PB 2a 10，所以 PB 10 PF, PA PB PA PF 10 ，接下来需 要求 PA PF 10 的最大值。 因为如果 P, A, F 能构成三角形， PA PF AF ，因此当取得最大值时 P, A, F 三点共线， PA PF 10 AF 10 15
例 3：已知 P(x, y) 是抛物线上的点，则 (x 3)2 ( y 2)2 x 的最大值是________.
解析： (x 3)2 ( y 2)2 x (x 3)2 ( y 2)2 (x 1)2 y2 1 题目转化为点 P(x, y) 到点 A(3, 2) 的距离减去到点 M (1, 0) 的距离加 1 因此当 A, M , P 三点共线时取得最大值，最大值为| AM | 1，剩余步骤省
4x
2b
0
令 0，则b 2
则直线 y 2x 2 与 y 2x 2 之间的距离即为高的最大值，因此可以求出面积 的最大值。
例 7：点 P 在抛物线 y2 x 上，点 Q 在圆 (x 1)2 ( y 4)2 1，则| PQ |的最小值为 2
高三数学圆锥曲线中的最值问题 优质课件
25 9
17
题
则| PBB||5| |PPQF ||的最小值 ____4_____;
4
| PB | | PF |的最小值 __1_0____3_7__ .
y
y
PQ
B
O
F
x
P
B
P2
P1 F1 O
F
x
利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面上直线段最短来解决.
小结
圆锥曲线中的最值问题（一）
y
16 9
B
题 的 两 个 顶 点 ，C、D是 椭 圆 上 两 点 ，
且 分 别 在AB两 侧 ， 则 四 边 形ABCD
O
面 积 的 最 大 值 是_1_2___2___.
D
C x
A
例1.设 实 数x，y满 足 x2 y2 1 16 9
则3x 4 y的 最 大 值 是_1_2__2__，
y2 b2
1(a
0，b
0)的 离
心率，则e1 e2的最小值是___2__2__.
想 1. 已知双曲线 x 2 y2 1，过其右焦点F的直线l交
一
16 9 双曲线于AB，若 | AB | 5，则直线l有 __2__ 个.
想
y
y
P
O
Fx
F1 O
F2
x
2.已
知
椭
圆
x a
2 2
y2 b2
记A(c,0)
则C( c , h) 2
E( x0 , y0 )
设双曲线的方程为 x2 a2
y2 b2
1，则e
c a
由定比分点坐标公式得：x0
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 课件(67张)
55 15 .
所以△ABP面积的最大值为251635 5.
[方法技巧] (1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用
图象性质来求解． (2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，
则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最 值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换 元法等．
利用基本不等式求最值 [例 3] (2017·太原模拟)已知椭圆 M：xa22＋y32＝1(a>0)的一个 焦点为 F(－1,0)，左、右顶点分别为 A，B.经过点 F 的直线 l 与 椭圆 M 交于 C，D 两点． (1)当直线 l 的倾斜角为 45°时，求线段 CD 的长； (2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求|S1－S2，所以椭圆 M 的方程为x42＋y32＝1， 易求直线方程为 y＝x＋1，联立方程，得x42＋y32＝1，
y＝x＋1， 消去 y，得 7x2＋8x－8＝0， 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，Δ＝288，x1＋x2＝－87，x1x2＝－87， 所以|CD|＝ 2|x1－x2|＝ 2 x1＋x22－4x1x2＝274.
[答案] C
[方法技巧] 利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定
理、性质等进行求解，也叫做几何法．
建立目标函数求最值 [例 2] 已知△ABP 的三个顶点都在抛 物线 C：x2＝4y 上，F 为抛物线 C 的焦点，
点 M 为 AB 的中点， PF ＝3FM . (1)若|PF|＝3，求点 M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值． [解] (1)由题意知焦点 F(0,1)，准线方程为 y＝－1. 设 P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得 y0＝2， 所以 P(2 2，2)或 P(－2 2，2)， 由 PF ＝3FM ，得 M－232，23或 M232，23.
圆锥曲线的有关最值PPT优秀课件
2 2 5 . 已 知 椭 圆 3 x + 1 2 y = 3 6 和 直 线 L : x y + 9 = 0 , 在 L 上 任 取
一 点 M , 经 过 点 M 且 以 椭 圆 的 焦 点 F , F 为 焦 点 作 椭 圆 . 1 2
求 M 在 何 处 时 所 作 的 椭 圆 长 轴 最 短 , 并 求 出 此 椭 圆 的 方 程 .
8 p ( p 2 a )
0 | A B |2 p ,0 8 p ( p 2 ap ) 2 p p 解 得 : a . 2 4
( 2 ) 设的 A B垂 直 平 分 线 交于令 A BQ , 坐 标 为 ( x ,y ) , 则 由 3 3 中 点 坐 标 公 式 , 得 x x y y ( x a ) ( x a ) 1 2 1 2 1 2 x a p ,y p , 3 3 2 2 2
圆锥曲线的有关最值
高三——圆锥曲线轮复习
教学目标： 灵活运用代数、三角、几何方法求解析 几何中的有关最值问题.
一、代数法： 借助代数函数求最值的方法，运用代数法时，先要 建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点 灵活运用求最值的方法。常用的方法有： 1、配方法：将“目标函数”与二次函数在某一闭区 间上的最值联系起来。 2、基本不等式法：转化为定和或定积问题。
2 2 83 k ( 1 k ) 4 2 1 3 ( 当 k 时 取 等 号 ) 2 2 ( 14 k) 3 3
解 法 2 : 设 椭 圆 上 的 点 ( 2 c o s , s i n ) , 设 弦 长 l 1 64 2 2 21 l 4 c o s ( s i n 1 ) 3 ( s i n ) 3 . 3 33
数学：圆锥曲线中的最值问题》课件
数学：圆锥曲线中的最值 问
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线最值问题的方法 • 经典例题解析 • 圆锥曲线最值问题的应用 • 总结与展望
01
引言
圆锥曲线简介
01
圆锥曲线是平面几何中一个重要 内容，包括椭圆、双曲线和抛物 线等。
02
圆锥曲线在日常生活和科学研究 中有着广泛的应用，如行星轨道 、光学、工程学等。
详细描述
解决这类问题需要利用导数和切线的性质，通过求导和转化，将斜率表示为易于 处理的形式，再利用基本不等式或求导方法求解。
03
解决圆锥曲线最值问题的方法
利用基本不等式求解
总结词
利用基本不等式求解圆锥曲线中的最值问题是一种常见的方法，通过将问题转化为不等式形式，可以简化计算过 程。
详细描述
基本不等式是数学中常用的工具，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。这些不等式能够提供一些关 于变量之间关系的约束条件，从而帮助我们找到最值。在圆锥曲线问题中，我们通常将曲线的方程与基本不等式 结合，通过代数运算和变换，找到满足条件的解。
通过参数方程求解
总结词
参数方程是解决圆锥曲线最值问题的另一种有效方法，通过引入参数来表示曲线上点的坐标，可以将 问题转化为参数的取值范围和变化规律。
详细描述
参数方程通常用于表示曲线上点的坐标，通过引入参数来表示这些坐标。这种方法可以将复杂的几何 问题转化为参数的代数问题，从而简化计算过程。在求解最值问题时，我们可以通过分析参数的变化 规律和取值范围，找到满足条件的解。
解决圆锥曲线最值问题需要综合运用多种数学方法和技巧，如配方法、判别式法、 参数法等。
最值问题的发展趋势和未来研究展望
随着数学理论和方法的不断发展，圆 锥曲线最值问题将不断涌现出新的问 题和挑战。
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线最值问题的方法 • 经典例题解析 • 圆锥曲线最值问题的应用 • 总结与展望
01
引言
圆锥曲线简介
01
圆锥曲线是平面几何中一个重要 内容，包括椭圆、双曲线和抛物 线等。
02
圆锥曲线在日常生活和科学研究 中有着广泛的应用，如行星轨道 、光学、工程学等。
详细描述
解决这类问题需要利用导数和切线的性质，通过求导和转化，将斜率表示为易于 处理的形式，再利用基本不等式或求导方法求解。
03
解决圆锥曲线最值问题的方法
利用基本不等式求解
总结词
利用基本不等式求解圆锥曲线中的最值问题是一种常见的方法，通过将问题转化为不等式形式，可以简化计算过 程。
详细描述
基本不等式是数学中常用的工具，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。这些不等式能够提供一些关 于变量之间关系的约束条件，从而帮助我们找到最值。在圆锥曲线问题中，我们通常将曲线的方程与基本不等式 结合，通过代数运算和变换，找到满足条件的解。
通过参数方程求解
总结词
参数方程是解决圆锥曲线最值问题的另一种有效方法，通过引入参数来表示曲线上点的坐标，可以将 问题转化为参数的取值范围和变化规律。
详细描述
参数方程通常用于表示曲线上点的坐标，通过引入参数来表示这些坐标。这种方法可以将复杂的几何 问题转化为参数的代数问题，从而简化计算过程。在求解最值问题时，我们可以通过分析参数的变化 规律和取值范围，找到满足条件的解。
解决圆锥曲线最值问题需要综合运用多种数学方法和技巧，如配方法、判别式法、 参数法等。
最值问题的发展趋势和未来研究展望
随着数学理论和方法的不断发展，圆 锥曲线最值问题将不断涌现出新的问 题和挑战。
圆锥曲线中的最值(范围)问题-高中数学总复习课件
1）＝8（ x 2－ xQ ），解得 xQ ＝2，
过点 P 作 PH 垂直准线于点 H ，根据抛物线的定义，
得｜ PF ｜＋｜ PQ ｜＝｜ PH ｜＋｜ PQ ｜，
高中总复习·数学
1
设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），解得 x 1＝3， x 2＝ .
3
设 Q （ xQ ， yQ ），因为5 ＝8 ，所以5（ x 2－ x
高中总复习·数学
代数法求最值（范围）
考向1 借助不等式求最值（范围）
【例2】
2
2
已知椭圆Γ： 2 ＋ ＝1（ m ＞0， m ≠
3
3 ）.
（1）若 m ＝2，求椭圆Γ的离心率；
2
2
解：当 m ＝2时，椭圆Γ的方程为 ＋ ＝1，
4
3
则 a ＝2， b ＝ 3 ，∴ c ＝ 2 − 2 ＝1，
解题技法
若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直
线与曲线的定义、图形、几何性质来解决.
高中总复习·数学
已知过抛物线 C ： y 2＝4 x 的焦点 F 且倾斜角为60°的直线交 C 于 A ， B
两点（ A 在 B 的右边）， P 为 C 上一点，若5 ＝8 ，求｜ PF ｜
2
2，
高中总复习·数学
1
即点 B （ ，±
2
2 ），
2
将点 B 代入 x ＝ my ＋1，得 m ＝± ，所以直线 l 的方程为 x ＝
4
2
± y ＋1，即4 x ±
4
2 y －4＝0.
高中总复习·数学
2. 已知点 A 1（－ 6 ，0）， A 2（ 6 ，0），直线 PA 1， PA 2的斜率之
过点 P 作 PH 垂直准线于点 H ，根据抛物线的定义，
得｜ PF ｜＋｜ PQ ｜＝｜ PH ｜＋｜ PQ ｜，
高中总复习·数学
1
设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），解得 x 1＝3， x 2＝ .
3
设 Q （ xQ ， yQ ），因为5 ＝8 ，所以5（ x 2－ x
高中总复习·数学
代数法求最值（范围）
考向1 借助不等式求最值（范围）
【例2】
2
2
已知椭圆Γ： 2 ＋ ＝1（ m ＞0， m ≠
3
3 ）.
（1）若 m ＝2，求椭圆Γ的离心率；
2
2
解：当 m ＝2时，椭圆Γ的方程为 ＋ ＝1，
4
3
则 a ＝2， b ＝ 3 ，∴ c ＝ 2 − 2 ＝1，
解题技法
若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直
线与曲线的定义、图形、几何性质来解决.
高中总复习·数学
已知过抛物线 C ： y 2＝4 x 的焦点 F 且倾斜角为60°的直线交 C 于 A ， B
两点（ A 在 B 的右边）， P 为 C 上一点，若5 ＝8 ，求｜ PF ｜
2
2，
高中总复习·数学
1
即点 B （ ，±
2
2 ），
2
将点 B 代入 x ＝ my ＋1，得 m ＝± ，所以直线 l 的方程为 x ＝
4
2
± y ＋1，即4 x ±
4
2 y －4＝0.
高中总复习·数学
2. 已知点 A 1（－ 6 ，0）， A 2（ 6 ，0），直线 PA 1， PA 2的斜率之
圆锥曲线的最值问题PPT课件
例1.(1)抛物线
上的点到直线x-2y+4=0
距离的最小值是------------.
(2)已知点 ,F是椭圆 的左焦点,一
动点M在椭圆上移动,则|AM|+2|MF|的最小值_______.
例2.如图.A(a,0),B(0,b) (a>0,b>0)为两定点,P是三角形AOB 内的动点,过P作OA OB的平行线,分别交三边于N,M,E,F,且三 角形PEM和矩形OFPN 的面积相等 (1)求P点的轨迹方程. (2)求三角形APB面积的最大值及此时P点的坐标.
圆锥曲线中的最值问题
2018/8/13
1
复习目标：
1．能根据变化中的几何量的关系，建立 目标函数，然后利用求函数最值的方法 （如利用一次或二次函数的单调性，三角 函数的值域，基本不等式，判别式等）求 出最值．
2．能够比较熟练地运用数形结合的 方法,结合曲线的定义和几何性质,用几何 法求出某些最值.述内容要点
y
例3.已知椭圆
f(m)=||AB|-|CD|| (1)求f(m)的解析式. (2)求f且斜率为1
的直线与椭圆及其准线的交点从左到右顺序为A,B,C,D.记
练习: 1.AB是抛物线 的一条弦,且|AB|=4,则AB的中点M到直 线y+1=0的最短距离是-------
再见
祝同学们学习愉快
2018/8/13
8
2.椭圆
3.已知曲线
与x轴,y轴正方向相交于A,B两点,在劣弧AB
上取一点C,使四边形OACB的面积最大,那么最大面积--------(1)求曲线上距点A(2/3,0)最近的点P的坐标及相应的距离|PA|. (2)设B(a,0),a为任意实数,求曲线上的点到点B距离的最小值.
数学：《圆锥曲线中的最值问题》课件
D.2 2
2a 2 2
2
练习：
2
y
P x y 1.椭圆 2 2 1(a b 0)上的点到焦点F (c,0)的最 a b | PF | e D.b-c B A(3,1) 大距离为___ A.a-c B.a+c C.b+cPQ | 2 |
2
Q
数形结合法
x O F 2.以椭圆短轴的一端点和椭圆的两焦点为顶点 1 | PF || PQ D 的三角形的面积为1,则椭圆长轴的最小值为___|
课后练习：
1.已知点F1 (3,0)、F2 (3,0)，求与直线x y 9 0有公共点 的椭圆中长轴最短的椭圆方程.
2. P为抛物线x 2 4 y上的一动点，定点A(8,7)，则P到x轴 与到A点的距离之和的最小值为 ___.
3.长度为3的线段AB的两个端点在抛物线y 2 x上移动， 线段AB的中点为M，求点M到y轴距离的最小值d .
因为x只有一解, 16 4(8 r 2 ) 0 r 2 故所求最短距离为
2
O x
r 2 2 2
解法三：目标函数法
m2 解:设抛物线上的点为M( 2, m ),圆上任意点为B( 2cos , 4 2 m 2 sin ), 则 | MB |2 [( 2) 2cos ]2 (m 2 sin )2 4 y m4 m2 6 2 2[( 2)cos m sin ] 16 4 y2 4( x 2) m4 m2 62 2 ( 2)2 m 2 sin( ) 16 4 B M m4 m2 2 62 2 ( 2)2 m 2 16 4 O x m4 ( 4 2 )2 (2 2 )2 16 其中,当且仅当抛物线和圆上的两点分别为
圆锥曲线中变量的最值问题ppt 人教课标版
A B A B P L P L
图3
图4
⑶①圆上一个动点P到圆外一个定点M的距离的最大与最小值?
②圆上一个动点P到与圆相离的直线的距离的最大与最小值?
——求曲线上一动点到圆上一动点的距离的最大（小）值问题， 常转化为求曲线上的动点到圆心的距离的最大（小）值问题。
⑷回顾三种圆锥曲线的定义及其焦半径的取值范围。
x
k2
P
O
k , k k , 1 2
k1
x2 y2 A、B是椭圆 1 变 如图，已知 16 9 题 的两个顶点， C、D是椭圆上两点， 且分别在 AB两侧，则四边形 ABCD 12 2 面积的最大值是 ________ .
D
y
B C A x
O
练习2-2 设P为抛物线 y= x2上的一动点，求P点到直线 l: 3x-4y-6=0的距离的最小值。 练习2-3 已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点A(1,-2)、B(4,4)的连线为底 边的△ABP，其顶点P在抛物线的弧AB上运动，求 △ABP的最大面积及此时 点P的坐标。 y P O l y
y
三角换 元 法 判别式法 或切线
x
O
3 x 4 y t
1 ). 若将椭圆换成双曲线、 抛物线又如何进行 呢？ 想 ( 一 x2 y2 2 1 y 2 px 想 2 2
y 4 ( 2 ). 若将 3 x 4 y 换成 如何求其范围呢？ x 3
y Q(3,4)
a
b
利用几何意义：看成PQ 的斜率
高三专题复习：
圆锥曲线中
变量的最值（取值范围）问题
思考
求圆锥曲线的最值
常用哪些方法？
圆锥曲线中的最值（取值范围）问题按解题思路通常分三类：
2025年高考数学总复习课件71第八章第八节第3课时圆锥曲线中的范围、最值问题
号，可以转化为函数方法求最值．
第3课时
圆锥曲线中的范围、最值问题
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
x2 y2
(2024·临沂模拟)已知椭圆C： 2 + 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离
a b
6
2 3
，直线x＝ 2被C截得的线段长为
.
3
3
(1)求C的方程；
心率为
c
6
c2 2
2
2
1
利用基本不等式求最值
x2 y2
【例4】如图，椭圆 2 + 2 ＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别
a b
为A，B，过左焦点F(－1，0)的直线与椭圆交于C，D两点
(其中C点位于x轴上方)，当CD垂直于x轴时，|CD|＝3.
(1)求椭圆的方程；
x2 y2
解：因为椭圆 2 + 2 ＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，0)，所以a2－b2＝1.
解：因为e＝ ＝ ，所以 2 ＝ ，所以c2＝ a2.又b2＝a2－c2＝a2－ a2 ＝ a2，
a
3
a
3
3
3
3
2
2
2
2 －2
x
+3
y
＝
a
，
a
所以椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2.由൝
解得y＝±
，
3
x＝ 2，
由题可知2
a2－2
3
2 3
x2 2
2
＝
，解得a ＝3，所以椭圆C的方程为 ＋y ＝1.
3
3
第3课时
圆锥曲线中的范围、最值问题
核心考点
第3课时
圆锥曲线中的范围、最值问题
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
x2 y2
(2024·临沂模拟)已知椭圆C： 2 + 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离
a b
6
2 3
，直线x＝ 2被C截得的线段长为
.
3
3
(1)求C的方程；
心率为
c
6
c2 2
2
2
1
利用基本不等式求最值
x2 y2
【例4】如图，椭圆 2 + 2 ＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别
a b
为A，B，过左焦点F(－1，0)的直线与椭圆交于C，D两点
(其中C点位于x轴上方)，当CD垂直于x轴时，|CD|＝3.
(1)求椭圆的方程；
x2 y2
解：因为椭圆 2 + 2 ＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，0)，所以a2－b2＝1.
解：因为e＝ ＝ ，所以 2 ＝ ，所以c2＝ a2.又b2＝a2－c2＝a2－ a2 ＝ a2，
a
3
a
3
3
3
3
2
2
2
2 －2
x
+3
y
＝
a
，
a
所以椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2.由൝
解得y＝±
，
3
x＝ 2，
由题可知2
a2－2
3
2 3
x2 2
2
＝
，解得a ＝3，所以椭圆C的方程为 ＋y ＝1.
3
3
第3课时
圆锥曲线中的范围、最值问题
核心考点
2025届高中数学一轮复习《圆锥曲线最值与范围问题》ppt
高考一轮总复习•数学
第9页
圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决，这就是几何法． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函 数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及单 调性法等．
5－82＝2.
第23页
高考一轮总复习•数学
第24页
圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间 的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数 的取值范围．
第22页
高考一轮总复习•数学
即 16y20<(x0－4)2. 因为x420＋y20＝1，所以y02x－02 1＝－14， 所以 5x20－8x0>0，解得 x0>85或 x0<0. 因为 0<x0≤2，所以85<x0≤2， 所以 EF＝2 r2－d2＝2 x40－12－4xy002＝2 5－x80≤2 所以该圆被 x 轴截得的弦长|EF|的最大值为 2.
所以|AB|＝ 1＋14 x1＋x22－4x1x2＝ 解得 p＝2(负值舍去)．
1＋14 8p－22－4＝4 15，
高考一轮总复习•数学
第6页
(2)由题知，直线 MN 的斜率不为 0，设直线 MN 的方程为 x＝my＋b，由(1)知，抛物线
C 的方程
圆锥曲线有关最值问题研究课件
研究热点和趋势
研究热点
当前圆锥曲线最值问题的研究热点主要集中在以下几个方面：一是利用几何和代数的工 具研究圆锥曲线的几何性质和最值问题；二是将圆锥曲线最值问题应用于实际问题中，
如物理学、工程学和经济学等；三是探索圆锥曲线最值问题的算法和计算复杂性。
研究趋势
随着数学和其他学科的发展，圆锥曲线最值问题的研究趋势将更加多元化和交叉化。研 究者将更加注重从不同角度和层面研究圆锥曲线的最值问题，并尝试将研究成果应用于
实际问题中，推动数学和其他学科的发展。
研究展望和挑战
研究展望
未来圆锥曲线最值问题的研究展望主要集中 在以下几个方面：一是深入研究圆锥曲线的 几何性质和最值问题，探索更多具有挑战性 的问题；二是将圆锥曲线最值问题的研究成 果应用于实际问题中，推动相关领域的发展 ；三是加强国际合作与交流，推动圆锥曲线 最值问题的研究向更高水平发展。
面积最值
01
在给定条件下，求圆锥曲线内或外的某区域的面积最大或最小
值。
距离最值
02
在圆锥曲线中，求某点或某线段到另一特定点或线段的距离最
大或最小值。
角度最值
03
在圆锥曲线中，求某两线段之间的夹角最大或最小值。
物理问题中的最值问题
速度最值
在给定物理条件下，求物体在圆锥曲线轨道上运动时的最大或最 小速度。
在经济发展过程中，如何合理配 置资源以达到经济产值的最大或 最小化。
THANKS
感谢观看
03
圆锥曲线最值问题的应用
在几何问题中的应用
几何图形中的最值
问题
圆锥曲线在几何问题中最值问题 中有着广泛的应用，例如求三角 形、四边形等平面几何图形中的 最短边、最大面积等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的距离之和的最小值为 为 1 ,1_.
4
3_ __，此时P点坐标
y
x
Q
方法二：
切线法
当所求的最值是圆锥曲线上点到某条 直线的距离的最值时，可以通过作与这条 直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线 间的距离就是所求的最值，切点就是曲线 上去的最值时的点。
例2、求椭圆 x2 y2 1 上的点到直线 y x 2 3 的距 2
到直线 y x 4 的距离最小时，P点的坐
标为___1__, _1___.
4 2
方法三:
参数法
根据曲线方程的特点，用适当的参数表示 曲线上点的坐标，把所求的最值归结为求解关 于这个参数的函数的最值的方法.
关键：选取适当的参数表示曲线上的坐标
例3、在平面直角坐标系中，P(x,y)是椭圆
x2 y2 1上动点，则S=x+y的最大值是 3
x
2a PA PF
4 AF 9
(2)已知双曲线 x2 y2 1 的右焦点为F，点 A9,2, 试
9 16
在双曲线上求一点M使
MA 3 5
MF
的值最小，并求出
这个最小值
2021/3/10
变式训练：
已知P点为抛物线 y2 4x上的点，那么
P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦点
2(1 2k 1 4k 2 ) 5(1 4k 2 )
h2
x2 2kx2 2 5
2(1 2k 1 4k 2 ) 5(1 4k 2 )
又 AB 5
∴四边形AFBE的面积为
S1 2
AB (h1 h2 )
S 1 5 4(1 2k) 2(1 2k)
2
5(1 4k 2 ) (1 4k 2 )
y xb
x
2
2
y2
1
3x2 4bx 2b2 2 0 (1) (4b)2 4 3 (2b2 2) 0
b 3
1)当b
3时, 代入(1)得dmin
6 ; 此时P 2
2
3,
3
2)当b
3时, 代入(1)得dmax
36 2
.此时P
2
3,3
3
变式训练：
动点P在抛物线 y2 x 上，则点P
________.
思维导图： 根据椭圆的参数方程表示x、y
将S表示成关于参数的函数
解析：设P点坐标为 x 3 cos
y sin
(0 2 )
则 S x y 3 cos sin
2( 3 cos 1 sin)
2
2
2sin( )
3
∴当
6
时，
Smax
2
.
变式训练：
设 m, n R, m2 2n2 6
求 m 2n 的最大值和最小值.
方法四:
函数法
把所求最值的目标表示为关于某个变量的 函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最 值最为普遍的方法.
关键：建立函数关系式
• 例题4：椭圆 x2 y2 1 上的点到 M (2,0) 距离最小值。36 20
2021/3/10
变式训练：
若点O和点F分别为 x2 y2 1 的中心和
作业:
已知椭圆
x2 y2 1
的左右焦点
32
分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D
两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且
AC⊥BD，求四边形ABCD面积的最小值.
2 (1 2k)2 2 1 4k 4k 2
1 4k 2
1 4k 2
4k 2 2 1 1 4k2 2 2
当且仅当 2k 1即 k 1 时" "成立. 2
Smax 2 2
小结:
圆锥曲线的最值问题解决方法较多， 常见的有五种.有些题目可以用多种方法 解决，遇到此类题目时，要选取适当地 方法。
43
左焦点，P为椭圆上任意一点，则求 OP FP 的最大值
方法五:
基本不等式法
先将所求最值的量用变量表示出来，再利 用基本不等式求这个表达式的最值.
这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最 为广泛的一种方法.
例5、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它
的两个顶点，直线 y kx (k 0)与椭圆交于E、F两点，
求四边形AEBF面积的最大值.
y
思维导图： 用k表示四边形的面积
B
F
x A
E 根据基本不等式求最值
例5、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）
是它的两个顶点，直线 y kx (k 0)与椭圆交
于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值.
解析：依题意设得椭圆标准方程为 x2 y2 1 4
的最小值为
.
思维导图：
yA P
根据双曲线的定义，建立点A、
P与两焦点之间的关系
F
x
两点之间线段最短
例1、已知点F是双曲线 x2 y2 1 的左焦点，定点 4 12
A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF PA
的最小值为
.
yA
解析：设双曲线右焦点为F/
P
PF PA
PF PF PA PF F
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
思维导图：
y
求与 y x 2 3平行的椭圆
的切线
o
x
切线与直线 y x 2 3 的距离为
最值，切点就是所求的点.
例2、求椭圆 x2 y2 1 上的点到直线 y x 2 3 的距 2
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
解：设椭圆与 y x 2 3平行的切线方程为 y x b
直线AB、EF的方程分别为 x 2y 0 , y kx (k 0)
设 E(x1, kx1) F (x2, kx2 ) (x1 x2 )
x2 4
y2
1
y kxx1 源自2 1 4k 2,
x2
2 1 4k 2
根据点到直线距离公式及上式，点E、F到AB的距离分别为
h1
x1 2kx1 2 5
圆锥曲线的最值问题
方法一:
圆锥曲线的定义转化法 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化 为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等， 这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。
关键：用好圆锥曲线的定义
例1、(1)已知点F是双曲线 x2 y2 1 的左焦点，定点 4 12
A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 PF PA