2020年高考数学圆锥曲线中的最值问题(共16张PPT)

x
y
t cos 1 t sin
代入
2x2
y2
2
0
得
(1 cos2 )t2 2sin t 1 0
设
P, Q
对应的参数为 t1, t2
，则 t1
t2
2 cos 1 cos2
, t1t2
1
1 cos2
所以| PQ || t1 t2 |
(t1
t2 )2
4t1t2
1
22 cos2
因为
PQ
的最大值为__________.
解析：题目中点 P 是一动点，点 B 是椭圆的右焦点，因此在椭圆上的一个动点和焦点的 连线经常需要考虑这个点和另外一个焦点，即把动点放到焦点三角形中考虑，因
为 PF PB 2a 10，所以 PB 10 PF, PA PB PA PF 10 ，接下来需 要求 PA PF 10 的最大值。 因为如果 P, A, F 能构成三角形， PA PF AF ，因此当取得最大值时 P, A, F 三点共线， PA PF 10 AF 10 15
例 3：已知 P(x, y) 是抛物线上的点，则 (x 3)2 ( y 2)2 x 的最大值是________.
解析： (x 3)2 ( y 2)2 x (x 3)2 ( y 2)2 (x 1)2 y2 1 题目转化为点 P(x, y) 到点 A(3, 2) 的距离减去到点 M (1, 0) 的距离加 1 因此当 A, M , P 三点共线时取得最大值，最大值为| AM | 1，剩余步骤省
4x
2b
0
令 0，则b 2
则直线 y 2x 2 与 y 2x 2 之间的距离即为高的最大值，因此可以求出面积 的最大值。
例 7：点 P 在抛物线 y2 x 上，点 Q 在圆 (x 1)2 ( y 4)2 1，则| PQ |的最小值为 2
_________.
解析：设圆心为 O，| PQ || OP | | OQ || OP | 1 ，所以 OP 最小时，| PQ |最小。
积公式为
S
1 2
|
x1 y2
x2
y1
|
，如果圆锥曲线与过原点的直线交于两点（对称），则求
面积时常用这个公式，但是设的时候最好设为含有角的形式，然后用三角函数有界性来
求最值，公式的证明结合向量数量积和解三角形中面积公式很容易求证，此处不再给出
证明过程。
例 9：已知点 A(1, 2) ，椭圆方程为 x2 y2 1，过原点 O 的直线交椭圆于点 B,C ，求 4
所以面积最大值为 2
总结
圆锥曲线中的最值或范围问题并无特定解法，无非是见招拆招，所谓见招拆招即根据题 目中给出的条件选择最优方法即可，但是在高考中最常用的最值方法是函数法，导数法， 不等式法，以上给出的方法仅供参考，另外高考中的大题最值问题考察的并非是各种技 巧，而是耐心和细心，只有耐心和细心方能把一个简单但复杂的问题解出来。
解析：当直线 4x 3y 8 0 平移到与抛物线相切时，这两天直线之间的距离就是抛物 线上的点到直线 4x 3y 8 0 的最小距离，此时求切线的方法可用导数求切点， 也可用直线和圆锥曲线的位置关系求出最短距离为 4 。 3
例 6：直线 y 2x 2 与抛物线 x2 2 y 交于 A, B 两点，抛物线上一动点 P 从点 A 运动 到点 B 时，求三角形 ABP 面积的最大值。
16 9
，
此时 k 1，又 S(u) 2 ，所以 16 S 2 9
②当 k 0 时， MN 为椭圆长轴，| MN | 2 2 ，| PQ | 2 ，
SPMQN
1 2
|
PQ ||
MN
|
2
综合①②知，四边形 PMQN 的面积的最大值为 2 ，最小值为 16 9
方法二：参数法
设直线
PQ
的参数方程为
MN
，所以
将换成
2
得|
MN
|
22 1 sin2
所以 SPMQN
1 2
|
PQ || MN
|
4 (1 cos2 )(1 sin2 )
9
4 (sin2
1)2
4
2
因为 0 sin2 1 ，所以 16 S 2 9
四、推荐用三角函数解决圆锥曲线中三角形面积问题
uuur
uuur
另类求三角形面积公式：在 ABC 中，若 AB (x1, y1), AC (x2, y2) ，则三角形面
略。
例
4：椭圆 x2 16
y2 15
1，F1, F2
是椭圆的左右焦点，P
是椭圆上一动点，求|
PF1
||
PF2
|
的最大值和最小值。
解析：
PF1
PF2
2a
8
，和为定值，积有最大值，
PF1
PF2
( PF1
2
PF2
)2
16
当且仅当 PF1 PF2 时等号成立。
至于如何求得最小值，因为 PF1 PF2 8 ，因此 PF1 8 PF2
k
2 ( 1)2
k
故 SPMQN
1 2
|
PQ ||
MN
|
4(2 k 2 5 2k 2
1 k2
)
2
k2
令 u k 2 1 ，得 S(u) 4(2 u) 2(1 1 )
k2
5 2u
5 2u
因为 u
k2
1 k2
2 ，且 S(u)
是以 u
为自变量的增函数，则 S(u)
S(2) ，S(2)
三角形 ABC 面积的最大值。
解析：设
B(2
cos
,
sin
),
C(2 cos
,
sin
)，因此Biblioteka uuur AB(2
cos
1,
sin
1)
2
uuur AC
(2
cos
1,
sin
1
)
，所以
2
SABC
1 2
|
(2 cos
1) (sin
1) 2
(sin
1) (2cos 2
1)
|
2 | sin( ) | 4
最小值和最大值。
方法一：代数法
uuur uuur 因为 PF MF 0 ，所以 PQ MN ，直线 PQ, MN 中至少一条存在斜率，设 PQ 的斜率为 k ，又 PQ 过点 F(0,1) ，故 PQ 的方程为 y kx 1
y kx 1
设 P(x1,
y1), Q(x2 ,
y2
)
，联立
三、一般类最值问题的解法（代数法和参数法）
例 8：如图，P,Q, M , N 四点都在椭圆 x2 y2 1上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点，
uuur uuur
uuur uuur
2 uuur uuur
已知 PF, FQ 共线， MF , FN 共线，且 PF MF 0 ，求四边形 PMQN 的面积的
PF1 PF2 PF2 (8 PF2 ) PF22 8PF2 ，其中 a c PF2 a c
因此根据二次函数可求出最小值。
注意：本题用到了第二定义中的焦半径的取值范围，故也归类为几何法。
二、切线法求距离最值问题
例 5：求抛物线 y x2 上的点到直线 4x 3y 8 0 的距离的最小值为_________.
圆锥曲线中的最值问题
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1 几何法求距离最值问题
目 2 切线法求距离最值问题 录
3 一般类最值问题的解法
4 用三角函数解决面积最值问题
一、几何法求距离最值问题
例 1：已知椭圆 x2 y2 1 内有两点 A(1,3), B(3, 0) ,P 是椭圆上的一点，则| PA | | PB | 25 16
解析：如图，点 A, B 为定点，P 为动点且在两点之间运动，求 ABP 的面积，如果将 AB 看做底边时，高最大，则面积最大，当高最大时即点 P 到直线 AB 的距离最大， 此时的点 P 应该处于直线 y 2x 2 与抛物线相切的点。
设切线为 y 2x b
联立
y 2x b
x2
2 y
x2
x2
y2 2
(2 k2)x2 1
2kx 1 0
x1
x2
2k 2 k2
, x1x2
1 2 k2
，从而
| PQ |
(1 k 2 )
(x1 x2 )2 4x1x2 2
2(1 k 2 ) 2 k2
①当 k 0 时， MN 对手斜率为 1 ，同上可得| MN | 2
2(1 ( 1)2 ) k
所以只有当圆平移下来和抛物线相切时，此时的点即为 P 点，也就是说圆和抛物
线应该有相同的切线即可（说法不严谨），所以当 P 处的切线与 OP 垂直时距离
最短。
设 P(t,
t ) ，抛物线在该点处的切线斜率为
1 2t
，所以
1 2t
4
1
t t
1
2
解得 t 1， P(1,1)
所以| PQ |的最小值为 3 5 1 2
例
2：已知
F
是双曲线
x2 4
y2 12
1的左焦点，
A(1, 4) ,P
是双曲线右支上的动点，则
| PF | | PA | 的最小值为________.
解析：类似上题，找另外一个焦点 F1, PF PF1 2a 4 ，所以 PF 4 PF1
因此 PA PF PA PF1 4 ，当 P, A, F1 三点共线时 PA PF1 4 最小为 AF1 4 9