高数第六章答案
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习题6-2
1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1)
解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为
6
1]2132[)(1022310
=-=-=⎰x x dx x x A . (2)
解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101
0=-=-=⎰x x e ex dx e e A ,
解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为
1)1(|ln ln 1
11=--=-==⎰⎰e e dy y y ydy A e
e e
. (3)
解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为
3
32
]2)3[(1
32=--=⎰-dx x x A .
(4)
解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为
3
32
|)313()32(3132312=-+=-+=--⎰x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:
(1) 22
1
x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算);
解:
3
8
8282)218(220220*********--=--=--=⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx x dx x x A
34238cos 16402+=-=⎰ππ
tdt .
3
4
6)22(122-=-=ππS A .
(2)x
y 1
=与直线y =x 及x =2;
解:
所求的面积为 ⎰-=-=
2
12ln 2
3)1(dx x x A . (3) y =e x
, y =e -x
与直线x =1;
解:
所求的面积为
⎰-+=-=-1021
)(e
e dx e e A x x .
(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解
所求的面积为
a b e dy e A b
a y b
a y -===⎰ln ln ln ln
3. 求抛物线y =-x 2
+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:
y '=-2 x +4.
过点(0, -3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x -3). 过点(3, 0)处的切线的斜率为-2, 切线方程为y =-2x +6. 两切线的交点为)3 ,2
3
(, 所求的面积为
49]34(62[)]34(34[23
023
2
32=-+--+-+-+---=⎰⎰dx x x x x x x A .
4. 求抛物线y 2
=2px 及其在点),2
(p p 处的法线所围成的图形的面积.
解
2y ⋅y '=2p .
在点),2(p p
处, 1),2(=='p p y p y , 法线的斜率k =-1,
法线的方程为)2(p x p y --=-, 即y p
x -=23.
求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)3,2
9
(p p -.
法线与抛物线所围成的图形的面积为
2332323
16)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p
p p
p =--=--=--⎰.
5. 求由下列各曲线所围成的图形的面积
(1)ρ=2a cos θ ; 解:
所求的面积为
⎰⎰==-202222
2cos 4)cos 2(21π
ππθθθθd a d a A =πa 2.
(2)x =a cos 3t , y =a sin 3
t ; 解
所求的面积为
⎰⎰⎰===204220
2
330sin cos 34)cos ()sin (44π
πtdt t a t a d t a ydx A a
220620428
3]sin sin [12a tdt tdt a ππ
π=-=⎰⎰.
(3)ρ=2a (2+cos θ ) 解
所求的面积为 2
20
2220
218)cos cos 44(2)]cos 2(2[2
1a d a d a A πθθθθθππ
=++=+=⎰⎰. 6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴所围成的图形的面
积.
解:
所求的面积为 ⎰⎰⎰-=--==a
a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020
)cos 1()cos 1()cos 1(π
π22023)2
cos 1cos 21(a dt t t a a
=++-=⎰. 7. 求对数螺线ρ=ae θ(-π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积. 解
所求的面积为 )
(4
21)(21222222ππππθππθθθ----===
⎰⎰e e a d e a d ae A .
8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.
(1)ρ=3cos θ 及ρ=1+cos θ 解
曲线ρ=3cos θ 与ρ=1+cos θ交点的极坐标为)3,23(πA , )3
,23(π-B . 由对称性, 所求的面
积为 πθθθθπ
ππ45])cos 3(21)cos 1(21[
223
2302=++=⎰⎰d d A . (2)θρsin 2=及θρ2cos 2=. 解