指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

指数函数与对数函数总结与练习

一、指数的性质 （一）整数指数幂

1．整数指数幂概念：

a

n n

a a a a 个⋅⋅⋅= )(*

∈N n ()010a a =≠ ()1

0,n

n a

a n N a

-*=

≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +⋅=∈ （2）()

(),n

m mn a

a m n Z =∈

（3）()()n

n

n

ab a b

n Z =⋅∈

其中m n m n

m n

a a a a

a

--÷=⋅=， ()1n

n n n n

n a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭

．

3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a (

)*

∈>N

n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根，

即： 若a x n

=，则x 叫做a 的n 次方根， ()*

∈>N n n ,1

说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0

②若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：

n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±）

③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根；

④(

)*

∈>=N

n n n

,100 0=；

⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴

n

a =．

．

4．a 的n 次方根的性质

一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==0

0a a

a a a a n n ．

5．例题分析：

例1．求下列各式的值： （1）(

)33

8- （2）()

2

10- （3）()44

3π- （4）

例2．已知,0<

∈>N n n ,1， 化简：()()n n

n n

b a b a ++-．

（二）分数指数幂

1．分数指数幂：

()102

5

0a a

a ==>

()124

3

0a a

a ==>

即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）()

n

k kn a

a =对分数指数幂也适用，

例如：若0a >，则3

223233a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭

，4

554544a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭， 23a =

4

5

a =．

即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n

a a m n N n *=>∈>；

（2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m

n

m n

a

a m n N n a

-*

==

>∈>．

2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即

()()

10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈

()()()20,,s

r rs a a a r s Q =>∈

()()

()30,0,r

r r ab a b a b r Q =>>∈

说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例题分析：

例1． 用分数指数幂的形式表示下列各式()a o >：

2

a 3a

例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

（1）21

1511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

； （2）8

3184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭；

例3．计算下列各式：

（1）

（2)2

0a >．

（三）综合应用

例1．化简：1

1555x x x -+++.

例2．化简：)()(4

1412121y x y x -÷-.

例3．已知1

3x x -+=，求下列各式的值：（1）1

12

2x x -

+；（2）332

2

x x -

+.

二、指数函数

1．指数函数定义：

一般地，函数x

y a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R ．

2．指数函数x

y a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：

1a > 01a <<

图象

性质

（1）定义域：R （2）值域：(0,)+∞

（3）过点(0,1)，即0x =时1y =

（4）在R 上是增函数

（4）在R 上是减函数

例1．求下列函数的定义域、值域： （1）121

8x y -= （2）11()2

x y =-（3）3

x

y -=