理论力学第三章

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2、力对轴之矩的解析表达式 设力 F 在三个坐标轴上的投影分别为 Fx ， Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x，y，z)，则
z Fz
F
A(x，y，z)
B
M z ( F ) M O ( Fxy ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
cos M，i 0.6786
合力偶矩矢的方向余弦
cos M，j 0.2811 cos M，k 0.6786
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2、平衡 空间力偶系可以合成一合力偶，所以空间力偶系平衡的 必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即：
M M1 M2 Mn Mi 0
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[例]求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。
z F c a
解： Fx F cos cos
Fa a 2 b2 c 2
Fy F cos sin
Fb a b c
2 2 2

Fxy b

y
x
Fz F sin
Fc a b c
2 2 2
cos
a 2 b2
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) Fy c
M y (F ) 0
合力矩定理
a 2 b2 c2 a cos a 2 b2
M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) Fy a
M
F'
F
二、空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：作用在同一刚体上的两个力偶， 如果力偶矩矢相等，则两力偶等效。
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三、空间力偶系的合成与平衡
1、合成
力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶 矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即：
G
G
正视图
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2、列平衡方程
Fx 0F1 sin 45 F2 sin 45 0 Fy 0FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0 Fz 0F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 G 0
x
O
j
r
i
h
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k [ M O ( F )]x i [ M O (F )] y j [ M O (F )]z k
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二、力对轴的矩
1、力对轴之矩的定义 力对轴的矩定义为力在与该轴垂直面上 的投影对该轴与此垂直平面交点的矩。
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。 力 偶 矩 矢
图示两力偶不等效
M M 0 ( F ) M 0 ( F ) rA F rB F rBA F rAB F
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M x M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m M y M 2 80N m M z M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1 N m
所以合力偶矩矢的大小
2 2 M Mx My M z2 284.6 N m
M x 0F2 400 FAz 800 0
M z 0F1 400 FAx 800 0
解得
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
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§3-4
空间任意力系的简化
一、空间任意力系向一点的简化
x
Fz

Fx
F

Fy
y

Fxy
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[例]三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用 有一力F，力F与OAB平面夹角为300，求力F在三个坐标轴上 的投影。
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二、空间汇交力系的合成与平衡
1、合成
将平面汇交力系合成结果推广到空间汇交力系得：
M M1 M2 Mn Mi
根据合矢量投影定理：
M x M x ， M y M y ， Mz Mz
于是合力偶矩的大小和方向可由下式确定：
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
cos( M，i ) cos( M，j ) Mx M My
M M cos( M，k ) z M
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[例]工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶 矩均为80N· m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz， 并求合力偶矩矢的大小和方向。
解：将作用在四个面上的力偶 用力偶矩矢表示，并平移到A点。
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2、二次（间接）投影法 当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时，可把力F 先投影到坐标平面 Oxy上，得到矢量Fxy(力在平面上的投影
为矢量 ) ，然后再把这个矢量 Fxy 投影到 x 、 y 轴上，这叫 二
次（间接）投影法。
z
Fx F cos cos F sin cos Fy F cos sin F sin sin Fz F sin F cos
空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间 力偶系，如图。
z O
F1 y F2 z M2 z F'1 Mn F'2 y
Fn x
＝
M1 x
O F'n
＝
MO
F'R
O y
x
( i 1，， 2 ，n )
Fi Fi M i M O ( Fi ) ri Fi
3、联立求解
F1 F2 3.54 kN，FA 8.66 kN
G
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§3-2 力对点的矩和力对轴的矩 一、力对点的矩以矢量表示－力矩矢
z
B 空间力对点的矩的作用效果取决 于：力矩的大小、转向和力矩作用面 F 方位。这三个因素可用一个矢量MO(F) M (F) 表示，如图。其模表示力矩的大小； O A(x，y，z) 指向表示力矩在其作用面内的转向 ( 符 r O 合右手螺旋法则 ) ；方位表示力矩作用 y h 面的法线。由于力矩与矩心的位置有 x 关，所以力矩矢的始端一定在矩心O处， 力可沿作用线滑动， 是定位矢量。 所以是滑动矢量。
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[例]如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F 沿BD，求力F 对AC之矩。 MC(F) 解：
M AC (F ) MC (F )AC
2
B
MC ( F ) F cos a
Fba a b
2
C

F
D c

b
A
a
M AC ( F ) MC ( F ) cos
rBA
rA
O
rB
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由力偶的性质可知：力偶的作用效应取决于力偶矩的大 小、力偶的转向和力偶作用面的方位。因此可用一矢量M 表 示：用M 的模表示力偶矩的大小；M 的指向按右手螺旋法则 表示力偶的转向；M 的作用线与力偶作用面的法线方位相同。 如图所示，M 称为力偶矩矢。 力偶对某点的矩等于力偶矩矢， 力偶对某轴的矩等于力偶矩矢 在该轴上的投影！ 力偶矩矢为一自由矢量。
Fabc a 2 b2 a 2 b2 c 2
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§3-3 一、力偶的矢量表示
空间力偶
性质：力偶由一个平面平行移至刚体另一个平行平面不影响 它对刚体的作用效应。 FR
F2 F1
B1
F'
A
B
F
O A1
F'1
' FR
F'2
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F1 F2 F1 F2
同理可得其它两式。故有
O
Fy
Fx y y x Fx a x Fxy b
Fy
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
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3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 比较力对点的矩和力对通过该点轴的矩的解析表达式得：
[ M O ( F )]x M x ( F ) [ M O ( F )]y M y ( F ) [ M O ( F )]z M z ( F )
即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影， 等于力对该轴的矩。 力对点的矩矢在不通过该点的某轴上的投影， 不等于力对该轴的矩。
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因为： 所以：
M ( M x ) ( M y ) ( M z )
2 2
2
M x 0 M y 0 M z 0
上式即为空间力偶系的平衡方程。
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[例]已知两圆盘半径均为200mm，AB =80来自百度文库mm，圆盘面O1垂直于z轴，圆 盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不 计，求轴承A、B处的约束力。 解：取整体，受力图如图所示。
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以r表示矩心到力作用线的矢径，则
z B
MO ( F ) r F
以矩心O为原点建立坐标系，则 MO(F)
k
F
A(x，y，z) y
r xi yj zk F Fx i Fy j Fz k
i MO (F ) r F x Fx j y Fy k z Fz
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2、平衡 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。
FR Fi 0
以解析式表示为：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系中所有
各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
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[例]图示起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，B端用 绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。 已知CE=EB=DE，角a =30o ，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF= 30o， 重物G=10kN。如不计起重杆的重量，求起重杆所受的力和绳子的拉力。 解：1、取杆AB与重物为研究 对象，受力分析如图。
O x h
z
B
F
A y
b a
M z (F ) M O (Fxy ) Fxy h 2 AOab
力对轴的矩是度量力使刚体绕该轴转 动效应的，是一个代数量。
Fxy
符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转动取正号， 反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。 由定义可知：当力的作用线与轴平行或相交(共面) 时，力对轴的矩等于零。当力沿作用线移动时，对轴的 矩不变。
FR F1 F2
或
Fn Fi
FR FRx i FRy j FRz k Fx i Fy j Fz k
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力的大小和方向为：
Fy Fx Fz cos(FR，i ) ， cos(FR，j ) ， cos(FR，k ) FR FR FR
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§3-1 空间汇交力系
一、力在坐标轴上的投影
1、直接投影法
若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角，则用直接投影法
z
Fx F cos( F，i ) Fy F cos( F，j ) Fz F cos( F，k )
Fx
x k
Fz
F
j
Fy
y
i
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