理论力学第三章 4-5

②自锁条件：
当 m时，永远平衡（即自锁）
m
10
● 两个重要结论
① 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥内， 则不论这个力多大，物体总能平衡。 这种现象称为自锁。
FP
f
FR
● 两个重要结论 ② 如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥外， 则不论这个力多小，物体都不能保持平衡。
F Fmax ≤ tan f FN FN
F Fmax ≤ FN FN
0≤ ≤ f
所以物体平衡范围0≤F≤Fmax也可以表示为0≤ ≤ f。 性质：当物体静止在支承面时，支承面的全反力的偏角
不大于摩擦角。
四、自锁
①定义：当物体依靠接触面间的相互作用的摩擦 力 与正
压力（即全反力），自己把自己卡 紧，不会松开 （无论外力多大），这种现象称为自锁。
5 N
负值说明轮不可能有向左 滚动的趋势。
FP F
2. 轮不滑动，处于向右滚动的临界状态。
列平衡方程
F
M
F
x
0,
FP F 0
y
O
0,
FN W 0
M r=Mr,max= δFN
0, rFP M r,max FR 0
临界时 解得
FN W 300 N
临界时 FP2≤ FP1
M r dFN dW FP 2 R R R
FP1=Ff = fs FN=fsW
dW
R
f sW
即
d
R
fs
实际上
d f s R
所以轮子一般先滚动。
例4 匀质轮子的重量G = 3 kN，半径 r = 0.3 m；今在轮 中心施加平行于斜面的拉力FH，使轮子沿与水平面成α=30°
sin f cos tg f Qmin G G G tg( m ) cos f sin 1 f tg
平衡范围应是
Qmin QQmax
21
3.4.5 滚动摩阻
X 0,Q F 0 Y 0,P N 0 M A 0,Qr 0(不成立)
P
[例6] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,
求能自锁的倾斜角 。 解：研究楔块，受力如图
由 X 0,Rcos( ) R1cos 0
由二力平衡条件 :R R1
, 2 又tg 0.1 f , tg1 0.150 43' 2 110 26' (极限状态) 即当 2 110 26'时能自锁
2 严格区分物体处于临界、非临界状态；
3 因 0 Fs Fmax ，问题的解有时在一个范围内。
例1:均质杆AB，重为P,A端放于粗糙的水平面上，B 端用无重细绳拉住，且使A、B、C三点在同一铅锤平 面内。今测得杆的A端将要向左滑动的趋势， 、角 已知，求杆与地面间的摩擦系数。
c

B
A

f
FP
FR
③自锁应用举例
摩擦系数的测定：OA绕O 轴转动使物块刚开始下滑时测出
角，tg =f , (该两种材料间静摩擦系数)
Fmax f N tg m f N N
13
斜面自锁条件
f
螺纹自锁条件
f
3.4.4 考虑滑动摩擦时的平衡问题 仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与 前面基本相同。 几个新特点 1 画受力图时，必须考虑摩擦力；
Xo
则对于手柄：
M
A
0 NK a FK b PL 0 N K 1052 .6N F f N
K K K
X 0 Y 0
XA
X A FK 0
X A 315.2 N
YA NK P 0 YA 852.6N
YA
Nk
方向： 与物体相对滑动趋势方向相反 定律： 库伦摩擦定律
Fmax f N
（ f 只与材料和表面情况有关， 与接触面积大小无关。）
4
二、动滑动摩擦力：
大小： 动摩擦力特征：
F ' f 'N
（无平衡范围）
方向： 与物体运动方向相反
定律：
F ' f 'N
（f '只与材料和表面情况有关，与接 触面积大小无关。）
Q与F形成主动力偶使前滚
22
此力系向 A点简化
d
'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡 ①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大; ② 0 M M max 有个平衡范围; 滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关; ④滚动摩擦定律： M max d N ，d 为滚动摩擦系数。
Mr,max=δFN=1.5 N﹒m
FP
M r,max Rr
5 N
此时滑动摩擦力为
FP F
FP F 5 N
3. 轮处于滑动的临界状态。
此时静摩擦力达到最大值
F=Fmax= fs FN = fs W= 60 N 远远大于滚动所需的力FN值。所以 拉动轮子的力最小值 FN = 5 N。 轮子向右滚动。
33
例7 匀质轮子的重量 W=300 N，由半径 R= 0.4 m和半
径 r = 0.1 m两个同心圆固连而成。已知轮子与地面的滚阻
系数δ= 0.005 m，摩擦因数 fs =0.2，求拉动轮子所需力FP 的最小值。
解: 轮子可能发生的三种运动趋势：
1.向左滚动趋势。 2.向右滚动趋势。3.滑动趋势 。
sin 联立解方程组求得: f cos 2tg sin
[例2] 已知： =30º ，G =100N，f =0.2 求：①物 体静止时，
水平力Q的平衡范围。②当水平力Q = 60N时，物 体能否平衡？
19
解：①先求使物体不致于上滑的 Qmax 图(1)
由 X 0, Qmax cos Gsin Fmax 0 Y 0, N Qmax sin Gcos 0 补充方程: Fmax f N
f
FN
f s FN Fmax fs tan f FN FN
由此可得重要结论：
摩擦角的正切=静摩擦因数
Fmax tan f FN
摩擦锥 以支承面的法线为轴作出的以2f 为顶角的圆锥。
摩擦锥的性质 摩擦角更能形象的说明有摩擦时的平衡状态。 物体平衡时有 则有 tan 0≤F≤Fmax
0 ,
讨论滑动： 临界时 Ff =Fmax= fsFN FP1=Ff = fs FN = fs W = 0.2 × 10 =2 kN 讨论滚动： 临界时 M =M r r,max= δ FN
M r dFN dW FP 2 0.1 kN R R R
比较可知先滚动。
讨论
轮子只滚动而不滑动的条件
[例8] 已知：B块重Q=2000N，与斜面的摩擦角 =15∘，A块与 水 平面的摩擦系数f=0.4，不计杆自 重。 求：使B块不下滑，物块A最小 重量。 解：①研究B块，若使B块不下滑
由Y 0,Rsin( ) Q 0 Q sin( ) X 0,S Rcos( ) 0 cos( ) S Rcos( ) Q sin( ) ctg( )Q R
的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的滚阻系数 δ=
0.05 cm，试求力FH的大小。 解: 1.取轮子为研究对象,受力分析如图。
2.列平衡方程。
F 0, M 0 ,
y
A
FN G cos 0
M r ,max G sin r FH r 0
补充方程 3.联立求解。
对多数材料，通常情况下
fd fs
3.4.3 摩擦角与自锁现象
全反力
摩擦角
最大全反力FR对法向反力FN的偏角f 。
FR F

FN
FRm Fmax
f
FN
全反力 FR=FN+F
最大全反力: FRm=FN+Fmax
F tan FN
Fmax tan f FN
摩擦角 最大全反力FRm对法向反力FN的偏角f 。 FRm Fmax 最大全反力 FRm=FN+Fmax
FP
( P F 不固定值)
②临界：（将滑未滑）
Fmax f N
③滑动：
（f — 静滑动摩擦系数）
（f '—动摩擦系数）
F' f ' N
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N, ②加大摩擦系数f3
3、静摩擦力特征 大小： 0 F Fmax
X 0
（平衡范围）满足
轮子与地面的滚阻系数δ= 0.005m，摩擦因数 fs=0.2， 问轮子 是先滚还是先滑？
解: 通过比较达到临界滑动和临界滚动所需的水平力来判断。 1.取轮子为研究对象。 2.受力分析如图。
3.列平衡方程。
M
F 0 , F 0 ,
x
y
A
FP Ff 0
FN W 0
M r,max FP R 0
解：假设轮子静止：
M
o
0 Gr F R 0 F 600N
0 Na Fmax b PL 0
G
对于手柄：
M
A
Fmax f1N
Yo
N
F
Fmax 428.6 N 600 N
所以轮子不静止，逆时针转动。 XA F P YA max N
§3-4 考虑摩擦时的平衡问题
3.4.1 工程中的摩擦现象

平衡必计摩擦
摩擦 滚动摩擦 静滚动摩擦 动滚动摩擦
滑动摩擦
静滑动摩擦 动滑动摩擦
摩擦
湿摩擦
干摩擦
2
3.4.2 滑动摩擦力
一、静滑动摩擦力 1、定义：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面 产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。 （ 就是接触面对物体作用的切向约束反力） 2、状态： ①静止：
M r,max dFH
d FH G sin cos r
FH 1 504 kN
例5：一制动器，制动轮半径R=50cm，鼓轮半径 r=30cm，制动轮与制动块间的静摩擦系数 f1 =0.4， 动摩擦系数 f K =0.3，被提升的重物的重量 G=1000N，手柄长L=300cm,a=60cm, b=10cm,B处 作用铅直力P=200N，求此时铰链A处的约束反力。
23
滚动摩擦系数 d 的说明： ①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。 ③ d 的物理意义见图示。 根据力线平移定理，将N和M合成一个力N' ，
N'=N
dwk.baidu.comM N'
d
'
M d N ' d N
d d
纯滚动条件
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例3 匀质轮子的重量 W =10 kN，半径 R= 0.5 m；已知
t g f G t g t g m 解得: Qmax G 1 ft g 1 t g m t g
Gt g( m )
应用三角公式: tg tg m tg ( m ) 1 tg m tg
20
同理： 再求使物体不致下滑的 Qmin 图(2) 解得：
C
A
m
q
a
D
a
B
a
E
a
G
P
a
解题思路 仅由整体系统的平衡解不出任何约束 力。 CD杆受力最简单，应先由其平衡解 出C绞的约束力。
38
②再研究A块
X 0, S ' F 0, S f N f P
S ' ctg( ) ctg(30 15 ) P Q 20005000 ( N) f f 0.4
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如图所示结构由CD、DE和AEG 三部 分组成，载荷及尺寸如图。求A、B 和C处的约束力。
分析:
1、取分离体，画受力图
y
T

P
B
2、建立图示坐标系
3、列平衡方程
X 0, Y 0, F T sin 0 N P T cos 0
____
N
A

F
x
____ AB m B 0, P cos N AB cos F AB sin 0 2 补充方程 F fN
1. 轮不滑动，处于向左滚动的临界状态。 列平衡方程
F
M
F
x
0,
FP F 0
y
O
0,
FN W 0
M r=Mr,max= δFN
0, rFP M r,max FR 0
临界时
解得
FN W 300 N
Mr,max=δFN=1.5 N﹒m
FP
M r,max Rr