理论力学第三章
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b
a
q2
q1
A
B
l
AC
q1 2q2
3 q1 q2
l
R
b
qdx
a
q2
q1
A
dx C
B
l
解:方法1
l
R qdx
0
l 0
q1
q2
q1
x l
dx
1 2
q1
q2 l
R
AC
l 0
qxdx
l 0
q1
q2
q1
x l
xdx
M M
A B
0 0
各力不得与投影轴垂直 两点连线不得与各力平行
例4-3（例2－1）
已知： AC=CB=l, F=10kN;
求： 铰链A和DC杆受力. （用平面任意力系方法求解）
F y
F x
解： 取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx Fc cos 450 0
F y
力系的主矢 只是原力系中各力的矢量和,所以它 的大小和方向与简化中心的位置无关 .
力系对于简化中心的主矩Mo ,一般与简化中心的 位置有关.
平面固定端约束
在工程实际中，有一种约束称为固定端支座。物体一端被固 定，完全限制了物体在图示平面内的运动，构成固定端约束。
固定端约束的约束力是作用在接触面上的分布力系。将其向 固定端处A简化得一力和一力偶，力的大小、方向未知，以 两个未知的正交分量表示。固定端约束的约束力包括两个分 力和一个力偶矩。
2、平面平行力系的平衡方程
Fx 0
F x
0
Fy 0
000 0
F cos F cos F cos 0
1
2
3
F sin F sin F sin 0
1
2
3
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
F y
0
M A 0
§4-1 平面任意力系向作用面内一点简化
1、力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平 行移到任一点B，但必须同时附加一个 力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力 F对新作用点B的矩.
MB MB (F ) Fd
说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
R2
A
C1 C C2
B
l
R
=
R1
+
R2
1 2
q1
q2 l
AC
q1 2q2
3 q1 q2
l
例4-2
已知： P1 450kN, P2 200kN,
F1 300kN, F2 70kN;
求：力系的合力
FR
合力与OA杆的交点到点O的距离x，
合力作用线方程
解： （1）向O点简化， 求主矢和主矩
合力作用线过简化中心
FR 0 MO 0
合力，作用线距简化中心
MO FR
d
M O
F
R
合力矩定理
MO FRd
FR FR F
Mo (FR ) MO MO (Fi )
FR 0 MO 0
合力偶 与简化中心的位置无关
若为O1点，如何?
FR 0 MO 0
p ACB arctan AB 16.70
AC
FR'x Fix F1 F2 cos 232.9kN
FR'y Fiy P1 P2 F sin 670.1kN
FR
大小
FR'
2
F ix
2
F 709.4kN iy
25kN
20kN
A
60o
1m
1m
1m
解:求力系的主矢
Rx= 20cos60o + 18cos30o = 25.59 kN Ry= 25+ 20sin60o- 18sin30o = 33.32 kN
B
30o
18kN
R Rx2 Ry2 25.592 32.32 42.01 kN
arccosRx arccos25.59 52.480
§4-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
r FR 0 MO 0
因为
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
平面任意力系的平衡方程
Fx Fy
0 0
MO 0
d MO R
主矢
FR 0
FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
例4-1.图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作
用线到A点的距离.
三矩式 三个取矩点，不得共线
小结 平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式 二矩式
F x
0
F y
0
M A 0
F x
0
M A 0
M B 0
A, B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
三矩式
M M
A B
0 0
M C 0
A, B,C 三个取矩点，不得共线
R
b
合力大小:
qdx
R l qdx l qm xdx
0
0l
1 2
qm
l
A x
C dx
2l / 3
qm B
合力作用点C的位置
l
l
R AC qxdx
0
qm l x2dx l0
1 3
qm
l2
AC 2 l 3
(4) 梯形分布 求图示按线性规律变化的线 荷载的合力 大小和合力作用点C的位置.
第四章 平面任意力系
若所有力的作用线都在同一平面内，且它们既 不相交于一点，又不平行，此力系称为平面任 意力系，简称平面力系。本章将研究该力系的 简化与平衡问题，这是静力学的重点之一。本 章还介绍平面简单桁架的内力计算。
平面任意力系实例
当物体所受的力对称某一平面时，也可简化为在 对称平面内的平面力系。
解： 取起重机，画受力图.
F x
0
FAx FB 0
F y
0
FAy P1 P2 0
MA 0
解得
FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
例4-5
已知： P, q, a, M pa;
求： 支座A、B处的约束力.
a
分布线荷载(线荷载)
A
线荷载集度q
A
N/m ; kN/m
均布线荷载
非均布线荷载
荷载图
B
b q
B
x
qx
(2)均布线荷载
合力大小: R = q xi = q xi= ql
合力作用线通过中心线AB的中点C
b R
R qxi
B
a
q
b
q
a
C
A
C
B
l/2
xi
A
l
(3)按照线性规律变化的线荷载
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
④一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶.反
之同平面的一个力F1和一个力偶矩为m的力偶也一定能合成
为一个大小和方向与力F1相同的力F其作用点到力作用线的
距离为
m d
F1
2、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩
平面任意力系向一点简化的实质是一个平面任意力系变换 为平面汇交力系和平面力偶系
FRy ' Fiy ' Fiy Fy
主矢 大小
FR ( Fix )2 ( Fiy )2
方向
r cos(F
'R
,
r i
)
Fix FR
r cos(F
'R
,
r j
)
Fiy FR
作用点 作用于简化中心上
主矩 MO MO (Fi )
结论：平面任意力系向作用面内已知点简化,一般 可以得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中 心,其矢量称为原力系的主矢,并等于这个力系中各 力的矢量和; 这个力偶的力偶矩称为原力系对于简 化中心的主矩 ,并等于这个力系中各力对简化中心 的矩代数和.
一般式
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两 个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以 及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.
平面任意力系的平衡方程另两种形式
F x
0
M A 0
M B 0
二矩式 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0 M C 0
③ R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, R R 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ R ≠ 0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R 。
合力R的大小等于原力系的主矢
合力R的作用线位置
方向余弦
cos FR' ,i
Fix FR'
0.3283
Hale Waihona Puke Baidu cos FR' , j
Fiy FR'
0.9446
主矩 Mo Mo F 3F1 1.5P1 3.9P2 2355kN m
（2）、求合力及其作用线位置.
d
Mo FR'
2355 3.3197m 709.4
0
FAy Fc sin 450 F 0
M A 0 Fc cos 450 l F 2l 0
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例4-4 已知：P1 10kN, P2 40kN,尺寸如图；
求： 轴承A、B处的约束力.
(1)主矢和主矩
设在刚体上作用一平面任意力系 F1
F1 ,F2 ,…Fn各力作用点分别为 A1 ,
A1
A2 ,… An 如图所示.
在平面上任选一点o为简化中心.
F2 A2
o An Fn
根据力的平移定理,将各力平移到简化中心O.原力 系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1', F2',… Fn'以及相应的一个力偶矩分别为m1, m2,… mn的附加平面力偶系.其中
解：取AB梁，画受力图.
F x
R
42.01
R'
25kN
MA
d
A
1m
1m
20kN 60o
1m
B
30o
18kN
R
求力系的主矩
MA = 1×25 + 2 × 20sin60o - 3 × 18sin30o = 32.64 kN·m
d M A 32.64 0.777 m R 42.01
4 平行分布的线荷载
(1)定义
分布荷载;平行
=
=
≠
=
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一 平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示;
④ YA, XA, MA为固定端 约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动, MA为限制转动。
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 MO 0
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）、求合力作用线方程
Mo Mo FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
即 2355 x670.1 y 232.9
有： 607.1x 232.9y 2355 0
FR Fi Fi
一般情况下附加平面力偶可合成一个力偶,其力偶 矩 Mo 称为原力系对于简化中心O的主矩.
MO Mi MO (Fi )
r
r
主矢 FR Fi
主矩 MO
MO (Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
FRx ' Fix ' Fix Fx
F1= F1 , F2'= F2 ,…Fn'= Fn M1= Mo(F1), M2= Mo(F2),… Mn= Mo(Fn)
F1' M1 o
F2'
M2
Fn'
Mn
将这两个力系分别进行合成
一般情况下平面汇交力系 F1', F2',… Fn' 可合成为 作用于O点的一个力,其力矢量R'称为原力系的主矢.
平衡 与简化中心的位置无关
简化结果小结
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
1 6
2q2
q1 l 2
AC
q1 2q2
3 q1 q2
l
a q1 A
l
q1 A
l
A l
b
方法(2) 应用叠加原理
q2
B R1=q1l
q1
B
A
lC1
B
q2 -q1 A
B
2l / 3
R2
1 2
q2
q1
l
q2 -q1
l
C2
B
R
R1
q1
3 q1
2q2 q2
l
a
q2
q1
A
B
l
AC
q1 2q2
3 q1 q2
l
R
b
qdx
a
q2
q1
A
dx C
B
l
解:方法1
l
R qdx
0
l 0
q1
q2
q1
x l
dx
1 2
q1
q2 l
R
AC
l 0
qxdx
l 0
q1
q2
q1
x l
xdx
M M
A B
0 0
各力不得与投影轴垂直 两点连线不得与各力平行
例4-3（例2－1）
已知： AC=CB=l, F=10kN;
求： 铰链A和DC杆受力. （用平面任意力系方法求解）
F y
F x
解： 取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx Fc cos 450 0
F y
力系的主矢 只是原力系中各力的矢量和,所以它 的大小和方向与简化中心的位置无关 .
力系对于简化中心的主矩Mo ,一般与简化中心的 位置有关.
平面固定端约束
在工程实际中，有一种约束称为固定端支座。物体一端被固 定，完全限制了物体在图示平面内的运动，构成固定端约束。
固定端约束的约束力是作用在接触面上的分布力系。将其向 固定端处A简化得一力和一力偶，力的大小、方向未知，以 两个未知的正交分量表示。固定端约束的约束力包括两个分 力和一个力偶矩。
2、平面平行力系的平衡方程
Fx 0
F x
0
Fy 0
000 0
F cos F cos F cos 0
1
2
3
F sin F sin F sin 0
1
2
3
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
F y
0
M A 0
§4-1 平面任意力系向作用面内一点简化
1、力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平 行移到任一点B，但必须同时附加一个 力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力 F对新作用点B的矩.
MB MB (F ) Fd
说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
R2
A
C1 C C2
B
l
R
=
R1
+
R2
1 2
q1
q2 l
AC
q1 2q2
3 q1 q2
l
例4-2
已知： P1 450kN, P2 200kN,
F1 300kN, F2 70kN;
求：力系的合力
FR
合力与OA杆的交点到点O的距离x，
合力作用线方程
解： （1）向O点简化， 求主矢和主矩
合力作用线过简化中心
FR 0 MO 0
合力，作用线距简化中心
MO FR
d
M O
F
R
合力矩定理
MO FRd
FR FR F
Mo (FR ) MO MO (Fi )
FR 0 MO 0
合力偶 与简化中心的位置无关
若为O1点，如何?
FR 0 MO 0
p ACB arctan AB 16.70
AC
FR'x Fix F1 F2 cos 232.9kN
FR'y Fiy P1 P2 F sin 670.1kN
FR
大小
FR'
2
F ix
2
F 709.4kN iy
25kN
20kN
A
60o
1m
1m
1m
解:求力系的主矢
Rx= 20cos60o + 18cos30o = 25.59 kN Ry= 25+ 20sin60o- 18sin30o = 33.32 kN
B
30o
18kN
R Rx2 Ry2 25.592 32.32 42.01 kN
arccosRx arccos25.59 52.480
§4-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
r FR 0 MO 0
因为
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
平面任意力系的平衡方程
Fx Fy
0 0
MO 0
d MO R
主矢
FR 0
FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
例4-1.图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作
用线到A点的距离.
三矩式 三个取矩点，不得共线
小结 平面任意力系平衡方程的三种形式
一般式 二矩式
F x
0
F y
0
M A 0
F x
0
M A 0
M B 0
A, B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
三矩式
M M
A B
0 0
M C 0
A, B,C 三个取矩点，不得共线
R
b
合力大小:
qdx
R l qdx l qm xdx
0
0l
1 2
qm
l
A x
C dx
2l / 3
qm B
合力作用点C的位置
l
l
R AC qxdx
0
qm l x2dx l0
1 3
qm
l2
AC 2 l 3
(4) 梯形分布 求图示按线性规律变化的线 荷载的合力 大小和合力作用点C的位置.
第四章 平面任意力系
若所有力的作用线都在同一平面内，且它们既 不相交于一点，又不平行，此力系称为平面任 意力系，简称平面力系。本章将研究该力系的 简化与平衡问题，这是静力学的重点之一。本 章还介绍平面简单桁架的内力计算。
平面任意力系实例
当物体所受的力对称某一平面时，也可简化为在 对称平面内的平面力系。
解： 取起重机，画受力图.
F x
0
FAx FB 0
F y
0
FAy P1 P2 0
MA 0
解得
FB 5 1.5 P1 3.5 P2 0
FAy 50kN FB 31kN FAx 31kN
例4-5
已知： P, q, a, M pa;
求： 支座A、B处的约束力.
a
分布线荷载(线荷载)
A
线荷载集度q
A
N/m ; kN/m
均布线荷载
非均布线荷载
荷载图
B
b q
B
x
qx
(2)均布线荷载
合力大小: R = q xi = q xi= ql
合力作用线通过中心线AB的中点C
b R
R qxi
B
a
q
b
q
a
C
A
C
B
l/2
xi
A
l
(3)按照线性规律变化的线荷载
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
④一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶.反
之同平面的一个力F1和一个力偶矩为m的力偶也一定能合成
为一个大小和方向与力F1相同的力F其作用点到力作用线的
距离为
m d
F1
2、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩
平面任意力系向一点简化的实质是一个平面任意力系变换 为平面汇交力系和平面力偶系
FRy ' Fiy ' Fiy Fy
主矢 大小
FR ( Fix )2 ( Fiy )2
方向
r cos(F
'R
,
r i
)
Fix FR
r cos(F
'R
,
r j
)
Fiy FR
作用点 作用于简化中心上
主矩 MO MO (Fi )
结论：平面任意力系向作用面内已知点简化,一般 可以得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中 心,其矢量称为原力系的主矢,并等于这个力系中各 力的矢量和; 这个力偶的力偶矩称为原力系对于简 化中心的主矩 ,并等于这个力系中各力对简化中心 的矩代数和.
一般式
平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两 个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以 及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.
平面任意力系的平衡方程另两种形式
F x
0
M A 0
M B 0
二矩式 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0 M C 0
③ R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, R R 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ R ≠ 0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力 R 。
合力R的大小等于原力系的主矢
合力R的作用线位置
方向余弦
cos FR' ,i
Fix FR'
0.3283
Hale Waihona Puke Baidu cos FR' , j
Fiy FR'
0.9446
主矩 Mo Mo F 3F1 1.5P1 3.9P2 2355kN m
（2）、求合力及其作用线位置.
d
Mo FR'
2355 3.3197m 709.4
0
FAy Fc sin 450 F 0
M A 0 Fc cos 450 l F 2l 0
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例4-4 已知：P1 10kN, P2 40kN,尺寸如图；
求： 轴承A、B处的约束力.
(1)主矢和主矩
设在刚体上作用一平面任意力系 F1
F1 ,F2 ,…Fn各力作用点分别为 A1 ,
A1
A2 ,… An 如图所示.
在平面上任选一点o为简化中心.
F2 A2
o An Fn
根据力的平移定理,将各力平移到简化中心O.原力 系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1', F2',… Fn'以及相应的一个力偶矩分别为m1, m2,… mn的附加平面力偶系.其中
解：取AB梁，画受力图.
F x
R
42.01
R'
25kN
MA
d
A
1m
1m
20kN 60o
1m
B
30o
18kN
R
求力系的主矩
MA = 1×25 + 2 × 20sin60o - 3 × 18sin30o = 32.64 kN·m
d M A 32.64 0.777 m R 42.01
4 平行分布的线荷载
(1)定义
分布荷载;平行
=
=
≠
=
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一 平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示;
④ YA, XA, MA为固定端 约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动, MA为限制转动。
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 MO 0
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）、求合力作用线方程
Mo Mo FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
即 2355 x670.1 y 232.9
有： 607.1x 232.9y 2355 0
FR Fi Fi
一般情况下附加平面力偶可合成一个力偶,其力偶 矩 Mo 称为原力系对于简化中心O的主矩.
MO Mi MO (Fi )
r
r
主矢 FR Fi
主矩 MO
MO (Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
FRx ' Fix ' Fix Fx
F1= F1 , F2'= F2 ,…Fn'= Fn M1= Mo(F1), M2= Mo(F2),… Mn= Mo(Fn)
F1' M1 o
F2'
M2
Fn'
Mn
将这两个力系分别进行合成
一般情况下平面汇交力系 F1', F2',… Fn' 可合成为 作用于O点的一个力,其力矢量R'称为原力系的主矢.
平衡 与简化中心的位置无关
简化结果小结
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
1 6
2q2
q1 l 2
AC
q1 2q2
3 q1 q2
l
a q1 A
l
q1 A
l
A l
b
方法(2) 应用叠加原理
q2
B R1=q1l
q1
B
A
lC1
B
q2 -q1 A
B
2l / 3
R2
1 2
q2
q1
l
q2 -q1
l
C2
B
R
R1
q1
3 q1
2q2 q2
l