哈密顿算子
哈密顿算子运算规则
哈密顿算子运算规则哈密顿算子是量子力学中的一个重要概念，用来描述系统的能量。
在量子力学中，哈密顿算子通常表示为H，它是一个算符，作用在量子态上得到能量的期望值。
哈密顿算子的一般形式为：H = T + V其中，T表示动能算子，它描述了粒子的运动状态；V表示势能算子，它描述了粒子所受到的势场。
哈密顿算子的运算规则是量子力学中的基本规则之一，它能够帮助我们计算系统的能量和态函数的演化。
下面是一些常见的哈密顿算子运算规则：1. 哈密顿算子的本征值问题：哈密顿算子H作用在量子态上得到一个能量的期望值E。
哈密顿算子的本征值问题是求解Hψ = Eψ的问题，其中ψ是哈密顿算子的本征态，E是对应的本征值。
2. 哈密顿算子的对易关系：对于两个哈密顿算子A和B，如果它们满足[A, B] = 0，即A和B的对易子为零，那么它们就可以同时测量得到确定的结果。
这个对易关系也被称为可观测量的对易关系。
3. 哈密顿算子的时间演化：根据薛定谔方程，量子系统的时间演化可以由哈密顿算子描述。
薛定谔方程的形式为iψ/t = Hψ，其中i 是虚数单位，是约化普朗克常数。
这个方程描述了量子系统的态函数在时间上的演化过程。
4. 哈密顿算子的矩阵表示：通常情况下，哈密顿算子是一个线性算符，可以用一个矩阵来表示。
这个矩阵的元素是哈密顿算子在一组基下的矩阵元素。
通过对哈密顿算子进行矩阵对角化，我们可以得到系统的能级和能级间的跃迁。
总之，哈密顿算子是量子力学中的重要概念，它用来描述系统的能量和态函数的演化。
通过哈密顿算子的运算规则，我们可以解决量子系统的能级和态函数的问题，进而理解和预测量子系统的行为。
哈密顿算子的计算
哈密顿算子的计算哈密顿算子是量子力学中一个重要的概念，用于描述系统的总能量。
它是由物理学家威廉·罗维·哈密顿（William Rowan Hamilton）在19世纪提出的，并且在量子力学的发展中起到了关键的作用。
在量子力学中，哈密顿算子被表示为一个算符，通常用H来表示。
它的作用是对波函数进行操作，得到系统的能量本征值和相应的能量本征态。
哈密顿算子可以描述一个单粒子系统或多粒子系统的总能量，并且可以应用于各种不同的物理系统。
哈密顿算子的一般形式如下：H = T + V其中，T表示系统的动能，V表示系统的势能。
动能可以根据粒子的质量和动量来计算，而势能则与粒子所处的位置和相互作用有关。
通过求解哈密顿算子的本征值问题，可以得到系统的能量本征值和能量本征态。
求解哈密顿算子的本征值问题通常需要使用量子力学中的求解方法，如波函数展开、变分法、微扰理论等。
通过这些方法，可以得到系统的能谱和相应的波函数，从而了解系统的能级结构和性质。
对于简单的系统，如一维无限深势阱，哈密顿算子的求解相对较简单。
在这种情况下，势能V为常数，哈密顿算子的形式为：H = - (h^2 / 2m) * d^2/dx^2 + V其中，h为普朗克常数，m为粒子的质量，d^2/dx^2表示对波函数进行两次偏导数。
通过求解这个本征值问题，可以得到系统的能量本征值和相应的波函数。
对于更复杂的系统，如多粒子系统或具有特殊势能的系统，哈密顿算子的求解就更加困难。
此时需要借助数值计算和近似方法来求解。
一种常用的方法是使用算符分解和离散化的技术，将哈密顿算子表示为一个矩阵形式，并通过对矩阵进行对角化来求解本征值问题。
除了用于求解能量本征值和能量本征态外，哈密顿算子还可以用于描述系统的演化。
根据薛定谔方程，波函数在时间上的演化由哈密顿算子决定。
通过对哈密顿算子进行时间演化，可以预测系统在不同时间点上的状态和性质。
哈密顿算子是量子力学中一个重要的概念，用于描述系统的总能量和演化。
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子（HamiltonianOperator）是物理系统的动能和位能的组合，通常被认为是物理系统本质由来的参数，用来描述物理系统的性质（物理量）。
2. 公式及推导
哈密顿算子可以用如下公式表示：
H=Hp+Hk
其中，Hp 为位能，Hk 为动能。
（1）位能Hp：一般地，位能公式可以写成
Hp=- 2
它表示的是物体的力学位能，具有空间变化的粒子受到的力学位能，表示为几何位能。
（2）动能Hk：动能Hk 可以用牛顿动力学的方法推导出，用来描述物体受到的动能，即速度的平方加上位移的有关量，即：
Hk=1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
其中，m 为物体的质量，x，y，z 分别为物体的X，Y，Z 轴坐标。
所以，将上面两个公式相加，得到的哈密顿算子公式可以表示为： H=- 2+1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
以上就是哈密顿算子运算公式及推导的介绍，哈密顿算子是物理系统本质由来的参数，可以用来描述物理系统的性质，是物理实验中经常用到的重要参数。
哈密顿算子
(ax i ay j az k ) 3a a 3a 2a
所以
(a r ) dl 2 a dS
l S
证毕
例4 验证 Green 第一公式
S
(u v) dS (v u vu )dV
与第二公式
S
(uv vu ) dS (uv vu )dV
u u u ( A )u Ax Ay Az x y z
数性微分算子作用于矢性函数 B(M ) 上
B B B ( A ) B Ax Ay Az x y z
注意： A 与 A 不同
常见公式（ u , v 是数性函数，A, B 是矢性函数）
1. (Cu) Cu
(ur ) r 3
解 由公式10知
(ur ) u r u r
u 3sin yzi 3xz cos yz j 3xy cos yzk 3(sin yzi xz cos yz j xy cos yzk )
(ur ) 9x sin yz 3x sin yz 3xyz cos yz 3xyz cos yz
证明：由 Gauss 公式
A dS ( A)dV
S
取 A u v ，用公式10
S
(u v) dS (u v)dV (v u uv)dV
同理
S
(v u ) dS (v u vu )dV
两式相减
和旋度可用 算子表示：
gradu u
divA A rot A A
数性微分算子
A ( Ax i Ay j Az k ) (i j k ) x y z Ax Ay Az x y z
第九讲 第三章哈密顿算子
例4 证明： 汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A( B) 证： 汛 ( A? B) 汛 ( Ac ? B) 汛 ( A Bc )
汛 ( Ac ? B) Ac (? B) ( Ac ? ) B A(? B) ( A
)B
汛 ( A? Bc ) (Bc ? ) A Bc ( A ? ) (B ? ) A B( A
(18)汛 (汛 A) = 蜒 (
在下面的公式中r = xi + yj + zk , r = r
(19)? r r = r0 r
(27)奥氏公式蝌 A dS =
S
蝌
W
(
S
A) dV
(20)? r
(22)? f (u)
3
(28)斯托克斯公式蝌 A dL =
L
(汛 A) dS
(21)汛 r = 0
f¢ (u) u 抖 f f (23)? f (u , v ) ?u v 抖 u v f ¢(r ) (24)? f (r ) r= f¢ (r )r 0 r (25)汛 轾 f (r ) r = 0 臌 - 3 (26)汛 轾 r 犏 臌 r = 0 (r 0 )
)
\
汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A(
B)
下面两个公式非常重要：
a (b? c) c (a? b) b (c a)
a创 (b c) = (a c)b - (a b)c
例5
已知 u = 3x sin yz, r = xi + yj + zk , 求 Ñ (ur )
u? A
? (uc A)
哈密顿算子
+
Ay
∂Bv ∂y
+
Az
∂Bv ∂z
z1.哈密顿算子
z ∇ 算子的显著特点在于它的双重性，既是一个
算子，又是一个矢量，但首先是一个算子，因此
与矢量的运算法则略有不同。
z矢量的点积可以交换，但 ∇ 算子和场的点积不
能交换。
v A
•
Bv
=
Bv
•
v A
v A
•
∇
≠
∇
•
v A
z矢量的叉积可以反交换，但 ∇ 算子和场的叉积
3）
v rotuA
=
v urotA
+
gradu
×
Av（
u
为数性函数）
∇
×
v uA
=
u∇
×
v A
+
∇u
×
v A
（11）
z旋度运算公式
4）
div
(
v A
×
Bv )
=
Bv
•
rot
v A
−
v A
•
rot
Bv
∇
•
(
v A
×
Bv )
=
Bv
•
∇
×
v A
−
v A
•
∇
×
Bv
（13）
5） rot ( gradu ) = 0
∇ × (∇u) = 0 （16）
6）
div
(rot
v A)
=
0
∇
•
(∇
×
v A)
=
0
（17）
z2.基本运算公式的算子表示
哈密顿算子在物理中的应用
哈密顿算子在物理中的应用哈密顿算子是量子力学中的一个重要概念，它描述了系统的总能量，并在物理学中有广泛的应用。
本文将介绍哈密顿算子的定义和性质，并探讨其在物理中的应用。
一、哈密顿算子的定义和性质哈密顿算子是量子力学中的一个算符，通常用H表示。
它的定义如下：H = T + V其中，T是动能算符，V是势能算符。
动能算符描述了粒子的运动状态，势能算符描述了粒子所处的势能场。
哈密顿算子的本征值和本征函数分别表示了系统的能量和相应的态。
哈密顿算子具有以下性质：1. 哈密顿算子是厄米算子，即H† = H。
这意味着它的本征值是实数，本征函数之间是正交的。
2. 哈密顿算子是线性算子，即对于任意的常数a和b，有aH + bH = (a + b)H。
3. 哈密顿算子是可观测量的算符，即它的本征值可以通过实验进行测量。
二、哈密顿算子在量子力学中的应用1. 薛定谔方程哈密顿算子在薛定谔方程中起着重要的作用。
薛定谔方程描述了量子力学中粒子的运动状态，它的一般形式为：Hψ = Eψ其中，ψ是波函数，E是能量。
通过求解薛定谔方程，可以得到系统的能级和相应的波函数。
2. 能级结构哈密顿算子的本征值表示了系统的能级，而本征函数表示了相应的态。
通过求解哈密顿算子的本征值问题，可以得到系统的能级结构。
这在原子物理学和固体物理学中有着重要的应用。
3. 动力学演化哈密顿算子还可以用来描述系统的动力学演化。
根据薛定谔方程，系统的波函数随时间的演化可以通过哈密顿算子进行描述。
这在量子力学中有着重要的应用，例如描述粒子在势能场中的运动。
4. 算符的期望值哈密顿算子还可以用来计算算符的期望值。
对于任意的算符A，其在态ψ下的期望值可以表示为：< A > = < ψ | A | ψ >其中，| ψ > 表示态ψ，< ψ | 表示其共轭转置。
通过计算算符的期望值，可以得到系统的物理量的平均值。
三、结论哈密顿算子是量子力学中的一个重要概念，它描述了系统的总能量，并在物理学中有广泛的应用。
▽哈密顿算子的各种公式
▽哈密顿算子的各种公式
摘要：
一、引言
二、哈密顿算子的概念与性质
三、哈密顿算子的基本公式
四、哈密顿算子的应用领域
五、总结
正文：
【引言】
哈密顿算子是量子力学中非常重要的一个概念，它不仅能描述粒子的动能，还能描述势能，因此在物理学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍哈密顿算子的各种公式，并探讨其在量子力学中的作用。
【哈密顿算子的概念与性质】
哈密顿算子是一个厄米算子，它有四个基本性质：加法性、齐次性、可积性和正则性。
加法性是指哈密顿算子可以将不同的物理量相加得到一个新的哈密顿算子；齐次性是指哈密顿算子满足哈密顿方程；可积性是指哈密顿算子的本征函数可以构成正交函数系；正则性是指哈密顿算子的本征值是实数。
【哈密顿算子的基本公式】
哈密顿算子的基本公式为：H = T + V，其中T是动能算子，V是势能算子。
在具体问题中，T和V的公式会根据问题的具体情况而变化。
例如，在自由粒子问题中，T = (1/2)m(d/dx)^2，V = 0；在势垒透射问题中，T =
(1/2)m(d/dx)^2，V = V(x)。
【哈密顿算子的应用领域】
哈密顿算子在量子力学中有广泛的应用，例如在粒子在势垒中的透射问题、原子物理中的电子能级问题、分子物理中的分子轨道问题等。
在这些问题中，哈密顿算子是描述物理系统的动力学行为的基本工具。
【总结】
哈密顿算子是量子力学中的重要概念，它不仅可以描述粒子的动能，还可以描述势能。
哈密顿算子加速度矢量
哈密顿算子与加速度矢量一、哈密顿算子的基本性质哈密顿算子是分析力学中的重要工具，具有许多独特的性质。
首先，它是一个二阶微分算子，能够对标量场或矢量场的分量进行微分运算。
在三维空间中，哈密顿算子通常表示为▽=▽x+▽y+▽z，其中▽x、▽y、▽z分别是沿x、y、z轴的微分算子。
哈密顿算子有一些重要的性质，如▽(f+g)=▽f+▽g，▽(fg)=f▽g+g▽f等。
这些性质表明，哈密顿算子可以将标量场或矢量场的运算转化为其分量的一阶微分运算。
此外，哈密顿算子还具有反交换性，即▽ij=▽ji。
二、加速度矢量的物理意义加速度矢量是描述物体运动速度变化快慢和方向的物理量。
它等于物体速度矢量的变化率，即物体位置随时间的变化率。
在三维空间中，加速度矢量由三个分量组成：ax、ay、az，分别表示沿x、y、z轴的加速度。
加速度矢量的物理意义在于描述物体运动状态的改变。
在经典力学中，加速度矢量用于描述牛顿第二定律中的力，即F=ma。
当物体受到外力的作用时，加速度矢量会发生变化，导致物体的运动状态发生改变。
三、哈密顿算子与加速度矢量的关系哈密顿算子与加速度矢量之间存在一定的联系。
在分析力学中，拉格朗日函数L=T-V，其中T为动能函数，V为势能函数。
通过求解拉格朗日方程dL/dx=▽L·▽x=0，我们可以得到物体的运动轨迹。
在这个过程中，▽L的作用是对L中的每一个变数进行变分运算，这实际上与加速度矢量的定义有所关联。
具体来说，当一个物体在空间中运动时，它的速度矢量和位置矢量都是随时间变化的。
通过应用哈密顿算子对位置矢量进行微分运算，可以得到物体速度矢量的变化率，即加速度矢量。
因此，哈密顿算子在某种程度上可以用来描述物体的加速度。
四、结论综上所述，哈密顿算子和加速度矢量都是物理学中非常重要的概念。
哈密顿算子是分析力学中的基本工具，用于描述矢量场或标量场的一阶微分运算；而加速度矢量则是描述物体运动速度变化快慢和方向的物理量。
哈密顿算子
哈密顿（W.R.Hamiltonian）引进了一个矢性微分算子，称之为哈密顿算子或者▽ 算子。 记号▽ 读作“那勃乐（Nzbla）”，在运算中既有微分又有矢量的双重运算性质，其优点 在于可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数的运算，从而可以简化运算过程， 并且推导简明扼要，易于掌握。
=
r i
r j
ur kxFra biblioteky z运算规则 （1）梯度
标量场A通过▽的这个运算就形成了一个矢量场，该矢量场反应了标量场A的分布。
（2）散度
（2）旋度
拉普拉斯算子
引入新的矢性微分算子：
常用公式
该算子既可以作用在数性函数 u=u(M) 上，又可以作用在矢性函数B(M) 上，即
注意：
（1） 与 是完全不同的；
（2） 与
是无意义的。
公式汇总
矢量分析与场论：P64
matlab哈密顿算子
matlab哈密顿算子摘要：一、引言1.介绍MATLAB 哈密顿算子的概念2.阐述哈密顿算子在物理学和工程领域的重要性3.说明MATLAB 中实现哈密顿算子的优势二、哈密顿算子的基本原理1.哈密顿算子的定义2.哈密顿算子的性质3.哈密顿算子在量子力学中的应用三、MATLAB 中哈密顿算子的实现1.MATLAB 中哈密顿算子的函数形式2.哈密顿算子的参数设置3.MATLAB 中哈密顿算子的应用实例四、哈密顿算子在MATLAB 中的实际应用1.量子力学问题求解2.哈密顿算子在信号处理中的应用3.哈密顿算子在图像处理中的应用五、总结1.回顾哈密顿算子的概念和重要性2.总结MATLAB 中哈密顿算子的实现和应用3.对未来哈密顿算子在MATLAB 中的发展的展望正文：一、引言MATLAB 是一种广泛应用于科学计算和工程设计的编程语言，它具有丰富的函数库和强大的计算能力。
在物理学和工程领域，哈密顿算子是一个十分重要的概念，它能够描述系统的动力学行为。
MATLAB 提供了丰富的工具箱，可以帮助我们方便地实现哈密顿算子，从而解决复杂的科学问题。
二、哈密顿算子的基本原理1.哈密顿算子的定义哈密顿算子（Hamiltonian）是一个在物理学中描述粒子或系统能量的算子。
它包含了粒子或系统的动能和势能。
哈密顿算子可以用以下公式表示：H = T + V其中，T 是动能算子，V 是势能算子。
哈密顿算子的具体形式取决于系统的性质和所处的环境。
2.哈密顿算子的性质哈密顿算子具有以下几个重要性质：（1）能量守恒：哈密顿算子的本征值是系统能量的取值，系统总能量是守恒的。
（2）时间演化：哈密顿算子描述了系统在时间上的演化，通过求解哈密顿方程，可以得到系统在某一时刻的状态。
（3）对称性：哈密顿算子具有对称性，即满足交换律和反对易律。
3.哈密顿算子在量子力学中的应用在量子力学中，哈密顿算子是描述粒子或系统状态的基石。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子或系统在某一时刻的状态，从而预测未来的行为。
哈密尔顿算子
哈密尔顿算子哈密尔顿（W.R.Hamilton ）引进了一个向量型微分记号：kzj y i x∂∂+∂∂+∂∂=∇成为哈密尔顿算子，读作Nabla （纳普拉）。
它是一种微分运算符号，同时又可以被看做向量，作用到数量函数u （x ，y ，z ）上，得k zu j y u i x u u k z j y i x u∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇)(这就是数量函数的梯度，▽与u 的乘积看作是数量运算。
哈密尔顿算子▽作用到向量函数kz y x R j z y x Q i z y x P M F),,(),,(),,()(++=上，有数量积与向量积两种运算，分别定义为)()()(M F div k zR j y Q i x P k R j Q i P k zj y i x F=∂∂+∂∂+∂∂=++∙∂∂+∂∂+∂∂=∙∇ 和)()()(M F rot R Q P z y x k j i k R j Q i P k zj y i x F=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=++⨯∂∂+∂∂+∂∂=⨯∇ 注意到▽算子的向量性质，▽·u ，▽F ，▽×u 等记号都是没有意义的，同样，▽（▽u ），▽·（▽·F ）,▽×（▽·F ）也都是没有意义的。
另外，▽算子和一般的向量不同。
例如对一般向量F ，G 及常数λ，有FG G F F G G F F F ⨯-=⨯∙=∙=λλ 可视为向量的交换相乘。
对哈密尔顿算子▽，函数u （x,y,z ）或F （x,y,z ）在▽的左边和▽相乘，表示对函数u 和F 求微分，但在▽的左边和▽相乘，▽对函数没有微分作用，乘积仍为一个微分算子，例如k zu j y u i x u u∂∂+∂∂+∂∂=∇z Ry Q x P F ∂∂+∂∂+∂∂=∇∙kx Q y P j z P x R i y R z Q R Q Pk j iF)()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇∙仍然可以作用在数量函数或向量函数上。
哈密顿算子公式
哈密顿算子公式哈密顿算子，也称为向量微分算子，这可是个在数学和物理学中相当重要的概念呢！咱们先来说说哈密顿算子的公式长啥样。
它通常用符号“▽”来表示，在直角坐标系中，它可以写成：▽ = (∂/∂x)i + (∂/∂y)j + (∂/∂z)k 。
这里的i、j、k 分别是 x、y、z 方向上的单位向量，而∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z 则表示对相应变量的偏导数。
这看起来有点复杂，对吧？那我给您举个例子。
比如说，我们有一个函数 f(x,y,z) = x² + y² + z²，那么▽f 就等于 (2x)i + (2y)j + (2z)k 。
这就好像是哈密顿算子给这个函数来了一次“全方位的审视”，得出了它在各个方向上的变化情况。
我记得有一次在课堂上，我给学生们讲解哈密顿算子。
当时有个学生特别可爱，他一脸困惑地问我：“老师，这哈密顿算子到底有啥用啊？感觉好抽象！”我笑着跟他说：“你想想啊，假如你在爬山，你想知道哪个方向坡最陡，哪个方向最平缓，这哈密顿算子就能告诉你！”学生们一听，眼睛都亮了，好像突然对这个抽象的概念有了点感觉。
那哈密顿算子在物理学中的应用就更广泛啦！在电磁学中，电场强度 E 和磁场强度 B 都可以用哈密顿算子来表示和计算。
比如静电场中的高斯定理，可以用▽·E = ρ/ε₀来描述，这里的▽·表示散度运算。
还有在流体力学中，速度场的旋度可以用▽×v 来表示，通过它我们能了解流体的旋转情况。
再比如说，研究电磁波的传播时，麦克斯韦方程组里就有哈密顿算子的身影。
它帮助我们理解电场和磁场如何相互作用、如何传播。
总之，哈密顿算子虽然看起来有点让人头疼，但它可是我们探索自然世界的有力工具。
就像一把神奇的钥匙，能打开很多科学奥秘的大门。
希望通过我的这番讲解，能让您对哈密顿算子公式有更清晰的认识和理解。
要是还有啥疑问，咱们继续探讨！。
哈密顿算子点乘和叉乘
哈密顿算子点乘和叉乘
哈密顿算子是一个四元数，它由实部和三个虚部组成。
哈密顿算子点乘和叉乘是四元数的两个重要运算。
点乘用来得出两个四元数之间的数量积，叉乘则用来得出两个四元数之间的向量积。
哈密顿算子点乘的计算方法是将两个四元数的实部分别相乘，然后将虚部两两相乘，最后将结果相加。
例如，对于两个四元数a和b，它们的点乘结果为：
a·b = a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3
其中，a0和b0分别表示a和b的实部，a1、a2和a3分别表示a的三个虚部，b1、b2和b3分别表示b的三个虚部。
哈密顿算子叉乘的计算方法则是先将两个四元数的虚部向量化，然后进行向量积的计算。
具体来说，对于两个四元数a和b，它们的叉乘结果为：
a×b = (a1b2 - a2b1 + a3b0) + (a2b3 - a3b2 + a1b0)i + (a3b1 - a1b3 + a2b0)j + (a1b2 - a2b1 + a3b0)k
其中，i、j和k分别表示三个虚部的单位向量。
需要注意的是，虚部在进行叉乘运算时需要按照标准的向量积规则进行计算，即先计算向量长度乘积再乘以它们的夹角的正弦值。
哈密顿算子点乘和叉乘在四元数的运算中具有重要的作用，它们不仅可以用来进行旋转、平移等常见的几何变换，还可以应用于线性代数、量子力学等多个领域。
- 1 -。
▽哈密顿算子的各种公式
▽哈密顿算子的各种公式
（原创版）
目录
1.哈密顿算子的定义与含义
2.哈密顿算子的矢量公式推导
3.哈密顿算子的运算规则
4.哈密顿算子在物理学中的应用
5.总结
正文
哈密顿算子是物理学中的一个重要概念，它广泛应用于磁场、电场理论和量子力学中。
哈密顿算子在数学上的表示为，读作 del 塔或 nabla。
在量子力学中，哈密顿算子代表系统的总能量，是一个可观测量。
要推导哈密顿算子的矢量公式，首先要了解矢量叉乘和梯度算子的概念。
矢量叉乘是一个用于计算两个矢量之间的叉乘的运算，而梯度算子则用于计算一个标量场在某点的梯度，即该点的切线方向。
在哈密顿算子中，这两个概念被结合在一起，形成了一个矢量算子。
哈密顿算子的运算规则包括以下几个方面：
1.标量场通过哈密顿算子运算形成一个矢量场，该矢量场反映了标量场的分布。
2.哈密顿算子可以作用于矢量场，产生一个新的矢量场，其结果是原矢量场的旋度。
3.哈密顿算子还可以作用于矢量场的散度，产生一个新的标量场，其结果是原矢量场的梯度。
在物理学中，哈密顿算子常用于描述电磁场、流体运动等物理现象。
例如，在电磁场理论中，哈密顿算子可以用于计算电场和磁场的能量密度分布，从而揭示电磁场的内在结构和性质。
在流体运动中，哈密顿算子可以用于描述流体的动能和势能分布，从而揭示流体的运动规律。
总之，哈密顿算子是一个在物理学中具有重要意义的概念，它不仅可以用于推导各种物理量的关系，还可以用于描述物理现象的内在规律。
哈密顿算子
应当注意这里 A 与 A 是完全不同的。 现在我们把用 表示的一些常见公式列 在下面，以便于查用，其中u，v是数性函数， A，B为矢性函数。
(1) (cu) c u
（c为常数）， (2) （cA ）= c A （c为常数），
(3) （cA ）= c A （c为常数），
S
9
第一章 矢量分析
例1 证明
(uv) u v v u.
证
(uv) i j k uv y z x (uv) (uv) (uv) i j k x y z v u v u (u v )i (u v ) j x x y y v u (u v )k z z
哈密顿算子
哈密顿引进了一个矢性微分算子：
i j k x y z
称为哈密顿算子或 算子。 算子本身并无意义，而是一种微分运算符 号，同时又被看作是矢量。
2015-7-4
1
第一章 矢量分析
其运算规则如下：
u u u u i j k u i j k y z x y z x grad u,
Ay Az Ax Az Az Ay ( )i ( )j ( )k y z z x x y rot A,
由此可见，数量场u的梯度与矢量场A的散度与旋 度都可用 表示。
2015-7-4 3
第一章 矢量分析
此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引进 如下的一个数性微分算子 A ( Ax i Ay j Az k ) i j k y z x
2015-7-4 8
第一章 矢量分析
(25) [ f (r )r ] 0, (26) ( r r ) 0 ( r 0),
向量点乘哈密顿算子和哈密顿算子点乘向量
向量点乘哈密顿算子和哈密顿算子点乘向量1. 引言哎，今天咱们要聊聊一个看似高大上的话题——向量点乘和哈密顿算子。
听起来有点像科幻电影里的外星语言，是吧？其实呢，这玩意儿在物理学和量子力学中可是大有来头，咱们今天就用最简单的语言，搭配点幽默，来捋一捋这件事情。
2. 基本概念2.1 向量是什么？首先，咱们得了解一下向量。
别担心，不用去翻那些高深的教材。
简单来说，向量就像是一个有方向的箭头，既有大小，也有方向。
就好比你说“我向北走三步”，这就是一个向量，走的方向和步数都在里面。
是不是很形象？2.2 哈密顿算子是啥？接下来，哈密顿算子就出场了。
哇，听这个名字就很厉害对吧？它是描述一个系统的能量的数学工具。
就像是你家里那台老旧的游戏机，哈密顿算子就是那个能够帮你计算游戏得分的“黑科技”。
它在量子力学中扮演着重要角色，像个大脑袋，负责统筹一切。
3. 向量点乘哈密顿算子3.1 点乘的概念好啦，咱们开始正题。
点乘，其实就像是两个好朋友相互理解。
你知道，点乘的结果是一个数，而不是个儿大的向量。
就像是你和朋友一起吃饭，最后合起来的账单，虽然只有一张单子，但背后却是你们共同的欢乐。
3.2 点乘的实际应用那么，向量点乘哈密顿算子是个啥意思呢？想象一下，你手里有个力向量，表示的是一股劲儿，打算把一个小球推走。
这时候，哈密顿算子就像是那个负责计算能量的“会计师”。
它帮你算出这个球移动时的能量变化，真是太厉害了！这就好比你和你的朋友，俩人一起规划旅行，预算明明白白。
4. 哈密顿算子点乘向量4.1 逆向思维那么反过来呢，哈密顿算子点乘向量又是什么呢？其实就是把能量算子和你的力向量结合起来，这样就能得到系统的能量状态。
就像是把一块巧克力放进牛奶里，混合后就是一杯美味的热巧克力，滋味无穷！4.2 直观理解这个过程就像是你在考场上，面对一道特别难的题目。
哈密顿算子就像是你的解题神器，而向量就是那道题的条件。
你把条件和工具结合起来，最后能算出一个完整的答案，简直爽到飞起！所以，这两者其实是相辅相成的，缺一不可。
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(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y
r j
u z
r k
uvvu
算子
r i
r j
r k
证 根据 算子的微分性质，并按乘积的微分
法
则，有 g(A B ) g(A Bc ) g(Ac B )
由矢量混合积的轮换性：
ar g(br
cr
)
cr
g(ar
r b
)
r b
g(cr
ar )
将上式两端中的常矢都轮换到▽的前面，同 时使得变矢都留在▽的后面
所以
g(A B ) g(A Bc ) g(Ac B ) g(A Bc ) g(B Ac ) Bc g( A) Ac g( B ) B g( A) A g( B ).
u
v
(24) f (r) f (r) rr f (r)rr 0, r
(25)
[
f
(r
)rr
]
r 0,
(26)
(r
3rr
)
r 0
(r
0),
（27）奥氏公式
Ò A gdS gAdV,
S
（28）斯托克斯公式
l A gdl ( A) gdS. S
例1 证明 (uv) u v v u.
例8 验证格林第一公式
Ò (u v) gdS ( vg u uv)dV
S
与格林第二公式
Ò (u v v u) gdS (uv vu)dV.
S
证 在奥氏公式Ò AgdS gAdV
S
A u v, 并应用公式（10）有
中，取
Ò (u v)gdS g(u v)dV
S
x
j
y
k
z
g(
Axi
Ay
j
Azk )
Ax Ay Az x y z
div A,
rrr i jk
A x y z
Ax Ay Az
( Az
Ay
r )i
(Ax
Az
r )j
(Ay
Az
r )k
y z
z x
x y
rot A,
由此可见，数量场u的梯度与矢量场A的散度与旋 度都可用 表示。
此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引进
证 根据 算子的微分性质，并按乘积的微分
法则，有
(uv) (ucv) (uvc ).
在上式右端，我们根据乘积的微分法则把暂时看 成常数的量，附以下标c，待运算结束后，再将 其除去。依此，根据公式（1）就得到
(uv) ucv vc u uv v u
例2 证明 g(uA) u gA + u gA
x y z
子, ,
x y z
实际上是三个数性微分算
的线性组合，而这些数性微分算子是服从
乘积的微分法则的，就是当他们作用在两个函数的
乘积时，每次只对其中一个因子运算，而把另一个
因子看作 常数。因此作为这些数性微分算子的线性 组合的 ，在其微分性质中，自然也服从乘积的微
分法则。
明确这一点，就可以将例1简化成下面的方法来 证明。
在 ▽算子的运算中，常常用到三个矢量的
混合积公式
ar
r g(b
cr
)
cr
g(ar
r b
)
r b
g(cr
ar )
及二重矢量积公式
ar
r (b
cr
)
(ar
gcr
r )b
(ar gbr
)cr
,
这些公式都有几种写法，因此在应用这些公式 时，就要利用它的这个特点，设法将其中的常 矢都移到▽的前面，同时使得变矢都留在▽ 的后面。
证：根据 算子的微分性质，并按乘积的微分
法
则，有 g(uA) gucA+ guAc
由公式（2），（7）分别有
g(ucA) uc gA u gA.
guAc u gAc ugA
所以
g(uA) u gA + u gA
例3 证明 g(A B) B g( A) A g( B)
(18) ( A)= ( gA) A
r
r
r
（其中 A Axi Ay j Azk）
在下面的公式中
rr
r xi
r yj
r zk ,
r
rr
,
(19) r rr rr 0,
r
(20) grr 3,
(21)
rr
r 0,
(22) f (u) f (u) u,
(23) f (u, v) f u f v,
现在我们把用 表示的一些常见公式列 在下面，以便于查用，其中u，v是数性函数， A，B为矢性函数。
(1) (cu) c u （c为常数）， (2) g（cA）= c gA （c为常数）， (3) （cA）= c A （c为常数），
(4)（u v）= u v (5) g（A B）= gA gB (6) （A B）= A B (7) g（uc）= ugc （c为常矢）， (8) （uc）= u c （c为常矢）， (9)（uv）= u v v u (10) g(uA) u gA ugA (11) (uA) u A u A (12) (A gB）= A ( B ) (A g) B + B ( A)
哈密顿算子
哈密顿引进了一个矢性微分算子：
r i
r j
r k
x y z
称为哈密顿算子或 算子。
算子本身并无意义，而是一种微分运算
符
号，同时又被看作是矢量。
其运算规则如下：
u
r i
x
r j
y
r k
z
u
u x
r i
u y
r j
u z
r k
grad u,
r r r r r r
A i
(u g v uv)dV.
同理
Ò (v u)gdS (v g u vu)dV ,
S
将此两式相减，即得格林第二公式。