交大复旦同济自主招生数学试题(完美版)

交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( ) A ．星期四 B ．星期三 C ．星期二 D ．星期一2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MA THEMA TICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是 ( ) A ．p m B ．p 2m C ．q m D ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+--( )A ．-2B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则1(2)f x dx =⎰__________．2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是__________． 3．方程316281536xxx⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+在向量34b i j =+上的投影()b a =__________．5．函数2y x =+的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________． 7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=． 试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim(0)p p pp n n p n +→∞+++>．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：341sin cos 2x x ≤+≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．OyxB 1A 2A 1B 2复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．222sin sin ()sin ()33ππααα+++-＝______________．3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________．4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于12arcsin 2，求该棱锥的体积．(1cos 124π=)4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．求证：这四个点组成一个矩形．5．设(1n n x y=+x n,y n为整数，求n→∞时，nnxy的极限．6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．2001年上海交通大学联读班数学试题一、填空题（本题共40分，每小题4分） 1．数12825N =⨯的位数是________________．2．若log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝log 4[log 2(log 3z )]＝0，则x +y +z ＝_________． 3．若log 23＝p ，log 35＝q ，则用p 和q 表示log 105为________________．4．设sin α和sin β分别是sin θ与cos θ的算术平均和几何平均，则cos2α:cos2β＝____________． 5．设[0,]2x π∈，则函数f (x )＝cos x +x sin x 的最小值为________________．6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为____________．7．若在数列1，3，2，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_______________．8．在(1+2x -x 2)4的二项展开式中x 7的系数是_______________． 9．某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a 厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a 厘米在排版时比原稿上多1．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a ＝________________．10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率为_________________．二、选择题（本题共32分，每小题4分）11．a >0，b >0，若(a +1)(b +1)＝2，则arctan a +arctan b ＝ ( )A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π12．一个人向正东方向走x 公里，他向左转150°后朝新方向走了3里，则x 是( )A B ．C ．3D ．不能确定 13．111113216842(12)(12)(12)(12)(12)-----+++++=( )A ．11321(12)2---B ．1132(12)--- C ．13212--D ．1321(12)2--14．设[t ]表示≤ t 的最大整数，其中t ≥0且S ＝{(x ,y )|(x -T )2+y 2≤T 2,T ＝t -[t ]}，则 ( )A ．对于任何t ，点(0,0)不属于SB ．S 的面积介于0和π之间C ．对于所有的t ≥5，S 被包含在第一象限D ．对于任何t ，S 的圆心在直线y ＝x 上15．若一个圆盘被2n (n >0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是 ( ) A ．2n +2 B ．3n -1 C ．3n D ．3n +1 16．若i 2＝-1，则cos45°+i cos135°+…+i n cos(45+90n )°+…+i 40cos3645°＝ ( )AB ．2C ．20)2i - D ．(2120)2i +17．若对于正实数x 和y 定义xyx y x y*=+，则 ( )A ．”*”是可以交换的，但不可以结合B ．”*”是可以结合的，但不可以交换C ．”*”既不可以交换，也不可以结合D ．”*”是可以交换和结合的18．两个或两个以上的整数除以N(N 为整数，N>1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余．若69，90和125对于某个N 是同余的，则对于同样的N ，81同余于 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．7 三、计算题（本题共78分）19．(本题10分)已知函数f (x )＝x 2+2x +2，x ∈[t ,t +1]的最小值是g (t )．试写出g (t )的解析表达式．20．(本题12分)设对于x >0，66633311()()2()11()x x x x f x x x x x+-+-=+++，求f (x )的最小值．21．(本题16分)已知函数121()1x f x x -=+，对于n ＝1,2,3,…定义f n +1(x )＝f 1[f n (x )]．若f 35(x)＝f 5(x )，则f 28(x )的解析表达式是什么？22．(本题20分)已知抛物线族2y ＝x 2-6x cos t -9sin 2t +8sin t +9，其中参数t ∈R ．(1) 求抛物线顶点的轨迹方程；(2) 求在直线y ＝12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．23．(本题20分)设{x n }为递增数列，x 1＝1，x 2＝4，在曲线y x =上与之对应的点列为P 1(1,1),P 2(4,2),333(,)P x x ,…,(,)n n n P x x …，且以O 为原点，由OP n 、OP n +1与曲线P n P n +1所围成部分的面积为S n ，若{S n }(n ∈N )是公比为45的等比数列，图形X n X n +1P n +1P n 的面积为332212()3n n x x +-， 试求S 1+S 2+…+S n +…和lim n n x →∞．xP nyOXn +1XnP n +1复旦大学2001年选拔生考试数学试题一、填空(每小题5分，共45分)1．sin x +sin y =0，则cos 2x -sin 2y =___________________．2．平面π1, π2成α的二面角，平面π1中的椭圆在平面π2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为__________．3．(x 2+2x +2)(y 2-2y +2)＝1，则x +y =________________________．4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____． 5．2002=83a 3+82a 2+8a 1+a 0，0≤a 0,a 1,a 2,a 3≤7正整数，则a 0=______________． 6．15(x的常数项为_________________．7．n ＝__________________．8．空间两平面α,β，是否一定存在一个平面均与平面α,β垂直？___________．9．在△ABC 中，cos(2A -C )＝cos(2C -B )，则此三角形的形状是________________． 二、解答题(共87分)1．求解：cos3x tan5x ＝sin7x ．2．数列3，3-lg2，…,3-(n -1)lg2．问当n 为几时，前n 项的和最大？3．求证：x ∈R 时，|x -1|≤4|x 3-1|．4．a 为何值时，方程22lg lg()log (1)lg 2lg 2x a x a -+=-有解？只有一解？5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？6．x 3-2y 3＝1的所有整数解(x ,y )，试证明：1334|2|||x y y -<．上海交通大学2002年保送生考试数学试题一、填空题（本题共64分，每小题4分） 1．设方程x 3=1的一个虚数根为2,1nn ωωω++则(n 是正整数)=__________．2．设a ,b 是整数，直线y =ax +b 和3条抛物线：y =x 2+3,y =x 2+6x +7与y =x 2+4x +5的交点个数分别是2，1，0，则(a ,b )=___________．3．投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为___________． 4．若x ,y ,z >0且x 2+y 2+z 2=1，则222111x y z ++的最小值为___________． 5．若2x -2-x =2，则8x =______________． 6．若a ,b ,c 为正实数，且3a =4b =6c ，则1112a b c+-=_____________． 7．222111(1)(1)(1)23n---的值为_____________． 8．函数22sec sec x tgxy x tgx-=+的值域为______________．9．若圆内接四边形ABCD 的边长AB =4，BC =8，CD =9，DA =7，则cos A =__________．10．若a ,b 满足关系：1=，则a 2+b 2=____________． 11．291(1)2x x+-的展开式中x 9的系数是_____________．12．当1a ≤<||x 的相异实根个数共有_____________个．13．若不等式2054x ax ≤++≤有唯一解，则a =_______________．14．设a ,b ,c 表示三角形三边的长，均为整数，且a b c ≤≤，若b =n （正整数），则可组成这样的三角形______个．15．有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_______． 16．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________台． 二、计算与证明题（本题共86分） 17．（本题12分）（1）设n 为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：(1)22211111223n n++++<-；(2)已知当2sin 01,116x x x x <≤-<<时， 试用此式与(1)的不等式求1111lim (sin12sin 3sin sin )23n n n n→∞++++18．（本题14分）若存在实数x ，使f (x )=x ，则称x 为f (x )的不动点，已知函数2()x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点(1) 求a ,b 须满足的充要条件；(2) 试用y =f (x )和y =x 的图形表示上述两个不动点的位置（画草图） 19．（本题14分）欲建面积为144m 2的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现有铁丝网50m ，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度．20．（本题14分）设数列{a n }满足关系2121(1,2,)n n a a n +=-=，若N 满足1(2,3,)N a N ==，试证明：(1) 1||1a ≤； (2) 12cos2N k a π-= （k 为整数）21．（本题16分）设()|lg |,,f x x a b =为实数，且0,,()()2()2a ba b a b f a f b f +<<==若满足 试写出a 与b 的关系，并证明在这一关系中存在b 满足3<b <422．（本题16分）A 和B 两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接着掷，第一次由A 开始掷，设第n 次由A 掷的概率是P n ．试求：(1) P n +1用P n 表示的式子；(2) 极限lim n n P →∞2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4一、填空题（本大题共40分，每题4分）1．三次多项式f (x )满足f (3)＝2f (1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________． 2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S 的最大值是_______________． 3．已知,x y R +∈，x +2y ＝1，则22x y+的最小值是______________． 4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________．5．已知f (x )=ax 7+bx 5+x 2+2x -1，f (2)=-8，则f (-2)=_______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分． 8．有n 个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法．9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是___________．10．100!末尾连续有______________个零． 二、解答题（本大题共60分，每题10分）11．数列{a n }的a 1=1，a 2=3，3a n +2=2a n +1+a n ，求a n 和lim n n a →∞．12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．13．已知x 1000+x 999(x +1)+…+(x +1)1000，求x 50的系数．14．化简：(1) 11!22!!n n ⋅+⋅++⋅； (2) 1212kn n n k C C C ++++++．15．求证：342231a aa a +++为最简分式．16．证明不等式()!()23nnn n n >>，当自然数n ≥6时成立．复旦大学2003年暨保送生考试数学试题一、填空题(本大题共80分，每题8分)1．函数1()2y f t x x=-，当x =1时，252t y t =-+，则f (x )＝________________．2．方程x 2+(a -2)x +a +1=0的两根x 1,x 2在圆x 2+y 2=4上，则a =_______________．3．划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有________种分配方法． 4．A ＝{x |log 2(x 2-4x -4)>0}，B ＝{x ||x +1|+|x -3|≥6}，则A B ⋂=_______________． 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a k =k ·p k (1-p ),(p ≠1)，则S k ＝______________． 6．若(x -1)2+(y -1)2=1，则13y x --的范围是___________________． 7．边长为4的正方形ABCD 沿BD 折成60o 二面角，则BC 中点与A 的距离是_________． 8．已知|z 1|=2，|z 2|=3，|z 1+z 2|=4，则12z z =______________． 9．解方程3log 2a xx xa=，x ＝________________． 10．(a >0)，lim 2nn nn a a →∞+＝______________．二、解答题(本大题共120分)11．已知|z |＝1，求|z 2+z +4|的最小值．12．a 1,a 2,a 3,…,a n 是各不相同的自然数，a ≥2，求证：1231111()()()()2a a a ana a a a ++++<．13．已知sin cos 2αβ+=cos sin αβ+=tan cot αβ⋅的值．14．一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数21xy x=+(x >0)的图象上， 求此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值．15．一圆锥的底面半径为12，高为16，球O 1内切于圆锥，球O 2内切于圆锥侧面，与球O 1外切，…，以次类推，(1) 求所有这些球的半径r n 的通项公式；(2) 所有这些球的体积分别为V 1,V 2,…,V n ,…．求12lim()n n V V V →∞+++．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，n a =，求S 2003．17．定义闭集合S ，若,a b S ∈，则a b S +∈，a b S -∈．(1) 举一例，真包含于R 的无限闭集合．(2) 求证对任意两个闭集合S 1,S 2⊂R ，存在c R ∈，但12c S S ∉⋃．同济大学2003年暨保送生考试数学试题一、填空题1．f (x )是周期为2的函数，在区间[-1,1]上，f (x )=|x |，则3(2)2f m +=___(m 为整数)． 2．函数y =cos2x -2cos x ,x ∈[0,2π]的单调区间是__________________． 3．函数2y =__________________．4．5．函数y ＝f (x )，f (x +1)-f (x )称为f (x )在x 处的一阶差分，记作△y ，对于△y 在x 处的一阶差分，称为f (x )在x 处的二阶差分△2y ，则y ＝f (x )＝3x ·x 在x 处的二阶差分△2y =____________． 6．7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是__________． 8．正四面体ABCD ，如图建立直角坐标系，O 为A 在底面的投影，则M 点坐标是_________，CN 与DM 所成角是_________． 9．双曲线x 2-y 2＝1上一点P 与左右焦点所围成三角形的面积___________．10．椭圆22143x y +=在第一象限上一点P (x 0,y 0)，若过P 的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是_________． 二、解答题11．不等式22222log 0364x kx kx x ++<++对于任意x ∈R 都成立，求k 的取值范围． 12．不动点，()bx c f x x a +=+．(1) 12,3为不动点，求a ,b ,c 的关系；(2) 若1(1)2f =，求f (x )的解析式；(3) 13．已知sin cos ([0,2))2sin cos y θθθπθθ⋅=∈++，(1) 求y 的最小值；(2) 求取得最小值时的θ．14．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，|AA 1|=h ，|BB 1|=a ，点E 从A 1出发沿棱A 1A 运动，后沿AD 运动，∠A 1D 1E =θ，求过EB 1C 1的平面截三棱柱所得的截面面积S 与θ的函数关系式． 15．已知数列{a n }满足112n n n a a a -++=． (1) 若b n ＝a n -a n -1(n=2,3,…)， 求b n ；(2) 求1ni i b =∑；(3) 求lim nn a →∞．16．抛物线y 2＝2px ，(1) 过焦点的直线斜率为k ，交抛物线与A ,B ，求|AB |．(2) 是否存在正方形ABCD ，使C 在抛物线上，D 在抛物线内，若存在，求这样的k ，正方形ABCD 有什么特点？BAC D A 1D 1 C 1 B1上海交通大学2004年保送生考试数学试题(90分钟)2004.1.3一、填空题：1．已知x ,y ,z 是非负整数，且x +y +z =10，x +2y +3z =30，则x +5y +3z 的范围是__________． 2．长为l 的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是_________． 3．函数x x y cos sin +=（20π≤≤x ）的值域是_____________．4．已知a ,b ,c 为三角形三边的长，b =n ，且a ≤b ≤c ，则满足条件的三角形的个数为________． 5．b ax x ++2和c bx x ++2的最大公约数为1+x ，最小公倍数为d x b x c x +++-+)3()1(23，则a =______,b =_______,c =_______,d =__________．6．已知21≤≤a ,则方程x x a -=-222的相异实根的个数是__________．7．8182004)367(+的个位数是______________．8．已知数列{}n a 满足11=a ,22=a ，且n n n a a a 2312-=++，则2004a =____________． 9．n n ⨯的正方格,任取得长方形是正方形的概率是__________． 10．已知abcxyz xyzabc 76=,则xyzabc =_______________．11． 12．二、解答题1．已知矩形的长、宽分别为a 、b ，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长．2．某二项展开式中，相邻a 项的二项式系数之比为 1：2：3：…：a ，求二项式的次数、a 、以及二项式系数．3．f (x )=ax 4+x 3+(5-8a )x 2+6x -9a ，证明：（1）总有f (x )=0；（2）总有f (x )≠0．4．11)(1+-=x xx f ，对于一切自然数n ，都有)]([)(11x f f x f n n =+，且)()(636x f x f =，求)(28x f ．5．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹．6．已知{}n b 为公差为6的等差数列，)(11N n a a b n n n ∈-=++． (1) 用1a 、1b 、n 表示数列{}n a 的通项公式；(2) 若a b a =-=11，]33,27[∈a ，求n a 的最小值及取最小值时的n 的值．复旦大学2004年保送生考试数学试题（150分钟）2003.12.21一、填空题（每题8分，共80分）1．)1)(12(124248++++=+ax x x x x ，则=a _________．2．已知74535=-++x x ，则x 的范围是___________．3．椭圆191622=+y x ，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________． 4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有____种取法． 5．已知等比数列{}n a 中31=a ，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为______． 6．0)1(2<++-a x a x 的所有整数解之和为27，则实数a 的取值范围是___________．7．已知194)4(22=+-y x ，则9422y x +的最大值为____________．8．设21,x x 是方程053cos 53sin 2=+-ππx x 的两解，则21arctgx arctgx +=__________．9．z z =3的非零解是___________． 10．xx y +-=112的值域是____________．二、解答题（每题15分，共120分） 1．解方程：1)3(log 5=--x x ．2．已知1312)sin(=+βα，54)sin(-=-βα，且2,0,0πβαβα<+>>，求α2tg ．3．已知过两抛物线C 1：2)1(1-=+y x ，C 2：2(1)41y x a -=--+的交点的各自的切线互相垂直，求a ．4．若存在M ，使任意D t ∈（D 为函数)(x f 的定义域），都有M x f ≤)(，则称函数)(x f 有界．问函数x x x f 1sin 1)(=在)21,0(∈x 上是否有界？5．求证：3131211333<++++n．6．已知E 为棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 的中点，求点B 到平面A 1EC 的距离．7．比较25log 24与26log 25的大小并说明理由．8．已知数列{}n a 、{}n b 满足n n n b a a 21--=+，且n n n b a b 661+=+，又21=a ，41=b ， 求 (1) n n b a ,； (2) nnb a lim．简单解答：一、填空题：1.2- 2.)8.0,6.0(- 3.20 4.31二、解答题： 5．证明1：111))1(1)1(1()1()1(113+-+⋅+--=+-<m m mm m m m m m m=（2111)1111-++⋅⋅+--m m m m m而m m m m m =-++<-++211211111113+--<m m m原式<1+111141213111+--++-+-n n =3111222<+--+n n证明2：)1)(1()1(2--+->+=n n n n n n n11)1(1121---=-+-<n n n n n n nnn n n n n nn 111)1(121--=---<原式〈313)1113121211(21<-=--++-+-+nn n同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷一、填空题（本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分，否则一律得零分，本大题满分40分） 1．函数12()log (sin cos )f x x x =+的单调递增区间是_______________________．2．如图所示，为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s =_____（厘米）． 3．设a 与b 是两条非相互垂直的异面直线，α与β分别是过直线a 与b 的平面，有以下4个结论：(1) b //α，(2) b ⊥α，(3) β//α，(4) β⊥α，则其中不可能出现的结论的序号为__________．4．设某地于某日午后2时达到最高水位，为3.20米，下一个最高水位恰在12小时后达到，而最低水位为0.20米。