2011山东高考数学真题及答案
2011年山东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2011年山东省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)(2011•山东)设集合M={x|(x+3)(x﹣2)<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=()A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]【考点】交集及其运算.【专题】集合.【分析】根据已知条件我们分别计算出集合M,N,并写出其区间表示的形式,然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值.【解答】解:∵M={x|(x+3)(x﹣2)<0}=(﹣3,2)N={x|1≤x≤3}=[1,3],∴M∩N=[1,2)故选A【点评】本题考查的知识点是交集及其运算,其中根据已知条件求出集合M,N,并用区间表示是解答本题的关键.2.(5分)(2011•山东)复数z=(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.【专题】数系的扩充和复数.【分析】把所给的复数先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理后得到最简形式,写出复数在复平面上对应的点的坐标,根据坐标的正负得到所在的象限.【解答】解:∵z==﹣i,∴复数在复平面对应的点的坐标是()∴它对应的点在第四象限,故选D【点评】判断复数对应的点所在的位置,只要看出实部和虚部与零的关系即可,把所给的式子展开变为复数的代数形式,得到实部和虚部的取值范围,得到结果.3.(5分)(2011•山东)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为()A.0 B.C.1 D.【考点】指数函数的图像与性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】先将点代入到解析式中,解出a的值,再根据特殊三角函数值进行解答.【解答】解:将(a,9)代入到y=3x中,得3a=9,解得a=2.∴=.故选D.【点评】对于基本初等函数的考查,历年来多数以选择填空的形式出现.在解答这些知识点时,多数要结合着图象,利用数形结合的方式研究,一般的问题往往都可以迎刃而解.4.(5分)(2011•山东)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.﹣9 B.﹣3 C.9 D.15【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】导数的概念及应用.【分析】根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=1处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程,化成一般式,最后令x=0解得的y即为曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标.【解答】解:∵y=x3+11∴y'=3x2则y'|x=1=3x2|x=1=3∴曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y﹣12=3(x﹣1)即3x﹣y+9=0令x=0解得y=9∴曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是9故选C【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及直线与坐标轴的交点坐标等有关问题,属于基础题.5.(5分)(2011•山东)已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3 B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3 D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3【考点】四种命题.【专题】简易逻辑.【分析】若原命题是“若p,则q”的形式,则其否命题是“若非p,则非q”的形式,由原命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”,我们易根据否命题的定义给出答案.【解答】解:根据四种命题的定义,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3”故选A【点评】本题考查的知识点是四种命题,熟练掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答本题的关键.6.(5分)(2011•山东)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=()A.B.C.2 D.3【考点】正弦函数的图象.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】由题意可知函数在x=时确定最大值,就是,求出ω的值即可.【解答】解:由题意可知函数在x=时确定最大值,就是,k∈Z,所以ω=6k+;只有k=0时,ω=满足选项.故选B【点评】本题是基础题,考查三角函数的性质,函数解析式的求法,常考题型.7.(5分)(2011•山东)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+3y+1的最大值为()A.11 B.10 C.9 D.8.5【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.【专题】不等式的解法及应用.【分析】首先做出可行域,将目标函数转化为,求z的最大值,只需求直线l:在y轴上截距最大即可.【解答】解:做出可行域如图所示:将目标函数转化为,欲求z的最大值,只需求直线l:在y轴上的截距的最大值即可.作出直线l0:,将直线l0平行移动,得到一系列的平行直线当直线经过点A时在y轴上的截距最大,此时z最大.由可求得A(3,1),将A点坐标代入z=2x+3y+1解得z的最大值为2×3+3×1+1=10故选B【点评】本题考查线性规划问题,考查数形集合思想解题,属基本题型的考查.x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元【考点】线性回归方程.【专题】概率与统计.【分析】首先求出所给数据的平均数,得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点,求出方程中的一个系数,得到线性回归方程,把自变量为6代入,预报出结果.【解答】解:∵=3.5,=42,∵数据的样本中心点在线性回归直线上,回归方程中的为9.4,∴42=9.4×3.5+a,∴=9.1,∴线性回归方程是y=9.4x+9.1,∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5,故选:B.【点评】本题考查线性回归方程.考查预报变量的值,考查样本中心点的应用,本题是一个基础题,这个原题在2011年山东卷第八题出现.9.(5分)(2011•山东)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【考点】抛物线的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|可由y0表达,由此可求y0的取值范围【解答】解:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|=y0+2>4,所以y0>2故选C【点评】本题考查直线和圆的位置关系、抛物线的定义的运用.抛物线上的点到焦点的距离往往转化为到准线的距离处理.10.(5分)(2011•山东)函数的图象大致是()A. B.C. D.【考点】函数的图象.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】根据函数的解析式,我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A,再求出其导函数,根据函数的单调区间呈周期性变化,分析四个答案,即可找到满足条件的结论.【解答】解:当x=0时,y=0﹣2sin0=0故函数图象过原点,可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案,只有C满足要求故选C【点评】本题考查的知识点是函数的图象,在分析非基本函数图象的形状时,特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法.11.(5分)(2011•山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图.其中真命题的个数是()A.3 B.2 C.1 D.0【考点】简单空间图形的三视图.【专题】立体几何.【分析】由三棱柱的三视图中,两个矩形,一个三角形可判断①的对错,由四棱柱的三视图中,三个均矩形,可判断②的对错,由圆柱的三视图中,两个矩形,一个圆可以判断③的真假.本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键.【解答】解:存在正三棱柱,其三视图中有两个为矩形,一个为正三角形满足条件,故①为真命题;存在正四棱柱,其三视图均为矩形,满足条件,故②为真命题;对于任意的圆柱,其三视图中有两个为矩形,一个是以底面半径为半径的圆,也满足条件,故③为真命题;故选:A【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键.12.(5分)(2011•山东)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若(λ∈R),(μ∈R),且,则称A3,A4调和分割A1,A2,已知点C(c,0),D(d,O)(c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是()A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C,D可能同时在线段AB上D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上【考点】平面向量坐标表示的应用.【专题】平面向量及应用.【分析】由题意可得到c和d的关系,,只需结合答案考查方程的解的问题即可.A和B中方程无解,C中由c和d的范围可推出C和D点重合,由排除法选择答案即可.【解答】解:由已知可得(c,0)=λ(1,0),(d,0)=μ(1,0),所以λ=c,μ=d,代入得(1)若C是线段AB的中点,则c=,代入(1)d不存在,故C不可能是线段AB的中点,A错误;同理B错误;若C,D同时在线段AB上,则0≤c≤1,0≤d≤1,代入(1)得c=d=1,此时C和D点重合,与条件矛盾,故C错误.故选D【点评】本题为新定义问题,考查信息的处理能力.正确理解新定义的含义是解决此题的关键.二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)(2011•山东)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为16.【考点】分层抽样方法.【专题】概率与统计.【分析】根据四个专业各有的人数,得到本校的总人数,根据要抽取的人数,得到每个个体被抽到的概率,利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率,得到丙专业要抽取的人数.【解答】解:∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生150+150+400+300=1000,∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查∴每个个体被抽到的概率是=,∵丙专业有400人,∴要抽取400×=16故答案为:16【点评】本题考查分层抽样方法,是一个基础题,解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的,这种题目经常出现在高考卷中.14.(4分)(2011•山东)执行如图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是68.【考点】程序框图.【专题】算法和程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算并输出y值.模拟程序的运行过程,用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到最终的输出结果.故答案为:68.【点评】本题主要考查了程序框图,根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,属于基础题.15.(4分)(2011•山东)已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为.【考点】圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出c=,再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求出a=2,即可求双曲线的方程.【解答】解:由题得,双曲线的焦点坐标为(,0),(﹣,0),c=:且双曲线的离心率为2×==⇒a=2.⇒b2=c2﹣a2=3,双曲线的方程为=1.故答案为:=1.【点评】本题是对椭圆与双曲线的综合考查.在做关于椭圆与双曲线离心率的题时,一定要注意椭圆中a最大,而双曲线中c最大.16.(4分)(2011•山东)已知函数f(x)=log a x+x﹣b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=2.【考点】函数零点的判定定理.【专题】函数的性质及应用.【分析】把要求零点的函数,变成两个基本初等函数,根据所给的a,b的值,可以判断两个函数的交点的所在的位置,同所给的区间进行比较,得到n的值.【解答】解:设函数y=log a x,m=﹣x+b根据2<a<3<b<4,对于函数y=log a x 在x=2时,一定得到一个值小于1,在同一坐标系中划出两个函数的图象,判断两个函数的图形的交点在(2,3)之间,∴函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)时,n=2,故答案为:2【点评】本题考查函数零点的判定定理,是一个基本初等函数的图象的应用,这种问题一般应用数形结合思想来解决.三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)(2011•山东)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求的值;(2)若cosB=,△ABC的周长为5,求b的长.【考点】正弦定理的应用;余弦定理.【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质.【分析】(1)利用正弦定理化简等式的右边,然后整理,利用两角和的正弦函数求出的值.(2)利用(1)可知c=2a,结合余弦定理,三角形的周长,即可求出b的值.【解答】解:(1)因为所以即:cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA所以sin(A+B)=2sin(B+C),即sinC=2sinA所以=2(2)由(1)可知c=2a…①a+b+c=5…②b2=a2+c2﹣2accosB…③cosB=…④解①②③④可得a=1,b=c=2;所以b=2【点评】本题是中档题,考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用,函数与方程的思想,考查计算能力,常考题型.18.(12分)(2011•山东)甲、乙两校各有3名教师报名支教,期中甲校2男1女,乙校1男2女.(Ⅰ)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;(Ⅱ)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【考点】古典概型及其概率计算公式;相互独立事件的概率乘法公式.【专题】概率与统计.【分析】首先根据题意,将甲校的男教师用A、B表示,女教师用C表示,乙校的男教师用D表示,女教师用E、F表示,(Ⅰ)依题意,列举可得“从甲校和乙校报名的教师中各任选1名”以及“选出的2名教师性别相同”的情况数目,由古典概型的概率公式计算可得答案;(Ⅱ)依题意,列举可得“从报名的6名教师中任选2名”以及“选出的2名教师同一个学校的有6种”的情况数目,由古典概型的概率公式计算可得答案.【解答】解:甲校的男教师用A、B表示,女教师用C表示,乙校的男教师用D表示,女教师用E、F表示,(Ⅰ)根据题意,从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,有(AD),(AE),(AF),(BD),(BE),(BF),(CD),(CE),(CF),共9种;其中性别相同的有(AD)(BD)(CE)(CF)四种;则选出的2名教师性别相同的概率为P=;(Ⅱ)若从报名的6名教师中任选2名,有(AB)(AC)(AD)(AE)(AF)(BC)(BD)(BE)(BF)(CD)(CE)(CF)(DE)(DF)(EF)共15种;其中选出的教师来自同一个学校的有6种;则选出的2名教师来自同一学校的概率为P=.【点评】本题考查古典概型的计算,涉及列举法的应用,注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求,使用列举法,注意按一定的顺序列举,做到不重不漏.19.(12分)(2011•山东)如图,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.(Ⅰ)证明:AA1⊥BD;(Ⅱ)证明:CC1∥平面A1BD.【考点】平面与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系.【专题】空间位置关系与距离;立体几何.【分析】(Ⅰ)由D1D⊥平面ABCD,可证D1D⊥BD.△ABD 中,由余弦定理得BD2,勾股定理可得AD⊥BD,由线面垂直的判定定理可证BD⊥面ADD1A1,再由线面垂直的性质定理可证BD⊥AA1.(Ⅱ)连接AC和A1C1,设AC∩BD=E,先证明四边形ECC1A1为平行四边形,可得CC1∥A1E,再由线面平行的判定定理可证CC1∥平面A1BD.【解答】证明:(Ⅰ)∵D1D⊥平面ABCD,∴D1D⊥BD.又AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°,△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AB•ADcos60°=3AD2,∴AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD,又AD∩DD1=D,∴BD⊥面ADD1A1.由AA1⊂面ADD1A1,∴BD⊥AA1.(Ⅱ)证明:连接AC和A1C1,设AC∩BD=E,由于底面ABCD是平行四边形,故E为平行四边形ABCD的中心,由棱台的定义及AB=2AD=2A1B1,可得EC∥A1C1,且EC=A1C1,故ECC1A1为平行四边形,∴CC1∥A1E,而A1 E⊂平面A1BD,∴CC1∥平面A1BD.【点评】本题考查余弦定理、勾股定理、线面平行的判定定理、线面平行的性质定理的应用,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.20.(12分)(2011•山东)等比数列{a n}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任n(Ⅱ)若数列{b n}满足:b n=a n+(﹣1)n lna n,求数列{b n}的前2n项和S2n.【考点】数列的求和;等比数列;数列递推式.【专题】等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法.【分析】本题考查的是数列求和问题.在解答时:(Ⅰ)此问首先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况,根据符合的情况进一步分析公比进而求得数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)首先要利用第(Ⅰ)问的结果对数列数列{b n}的通项进行化简,然后结合通项的特点,利用分组法进行数列{b n}的前2n项和的求解.【解答】解:(Ⅰ)当a1=3时,不符合题意;当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时符合题意;当a1=10时,不符合题意;所以a1=2,a2=6,a3=18,∴公比为q=3,故:a n=2•3n﹣1,n∈N*.(Ⅱ)∵b n=a n+(﹣1)n lna n=2•3n﹣1+(﹣1)n ln(2•3n﹣1)=2•3n﹣1+(﹣1)n[ln2+(n﹣1)ln3]=2•3n﹣1+(﹣1)n(ln2﹣ln3)+(﹣1)n nln3∴S2n=b1+b2+…+b2n=2(1+3+…+32n﹣1)+[﹣1+1﹣1+…+(﹣1)2n]•(ln2﹣ln3)+[﹣1+2﹣3+…+(﹣1)2n2n]ln3==32n+nln3﹣1∴数列{b n}的前2n项和S2n=32n+nln3﹣1.【点评】本题考查的是数列求和问题.在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、分组求和的方法、等比数列通项的求法以及运算能力.值得同学们体会和反思.21.(12分)(2011•山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(Ⅰ)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法.【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用.【分析】(1)由圆柱和球的体积的表达式,得到l和r的关系.再由圆柱和球的表面积公式建立关系式,将表达式中的l用r表示.并注意到写定义域时,利用l≥2r,求出自变量r的范围.(2)用导数的知识解决,注意到定义域的限制,在区间(0,2]中,极值未必存在,将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论.【解答】解:(1)由体积V=,解得l=,∴y=2πrl×3+4πr2×c=6πr×+4cπr2=2π•,又l≥2r,即≥2r,解得0<r≤2∴其定义域为(0,2].(2)由(1)得,y′=8π(c﹣2)r﹣,=,0<r≤2由于c>3,所以c﹣2>0当r3﹣=0时,则r=令=m,(m>0)所以y′=①当0<m<2即c>时,当r=m时,y′=0当r∈(0,m)时,y′<0当r∈(m,2)时,y′>0所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.②当m≥2即3<c≤时,当r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减.所以r=2是函数y的最小值点.综上所述,当3<c≤时,建造费用最小时r=2;当c>时,建造费用最小时r=【点评】利用导数的知识研究函数单调性,函数最值问题是高考经常考查的知识点,同时分类讨论的思想也蕴含在其中.22.(14分)(2011•山东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=﹣3于点D(﹣3,m).(Ⅰ)求m2+k2的最小值;(Ⅱ)若|OG|2=|OD|∙|OE|,(i)求证:直线l过定点;(ii)试问点B,G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(Ⅰ)设y=kx+t(k>0),联立直线和椭圆方程,消去y,得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理,求出点E的坐标和OE所在直线方程,求点D的坐标,利用基本不等式即可求得m2+k2的最小值;(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知OD所在直线方程,和椭圆方程联立,求得点G的坐标,并代入若|OG|2=|OD|∙|OE|,得到t=k,因此得证直线过定点;(ii)若点B,G关于x轴对称,写出点B的坐标,求出△ABG的外接圆的圆心坐标和半径,从而求出△ABG 的外接圆方程.【解答】解:(Ⅰ)设y=kx+t(k>0),由题意,t>0,由方程组,得(3k2+1)x2+6ktx+3t2﹣3=0,由题意△>0,所以3k2+1>t2,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=﹣,所以y1+y2=,∵线段AB的中点为E,∴x E=,y E=,此时k OE==﹣.所以OE所在直线方程为y=﹣x,又由题设知D(﹣3,m).令x=﹣3,得m=,即mk=1,所以m2+k2≥2mk=2,(Ⅱ)(i)证明:由(Ⅰ)知OD所在直线方程为y=﹣x,将其代入椭圆C的方程,并由k>0,解得G(﹣,),又E(,),D(﹣3,),由距离公式和t>0,得|OG|2=(﹣)2+()2=,|OD|=,|OE|==.由|OG|2=|OD|∙|OE|,得t=k,因此直线l的方程为y=k(x+1),所以直线l恒过定点(﹣1,0);(ii)由(i)得G(﹣,),若点B,G关于x轴对称,则B(﹣,﹣),将点B坐标代入y=k(x+1),整理得,即6k4﹣7k2+1=0,解得k2=或k2=1,验证知k2=时,不成立,故舍去所以k2=1,又k>0,故k=1,此时B(﹣,﹣),G(﹣,)关于x轴对称,又由(I)得x1=0,y1=1,所以点A(0,1),由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上,可设△ABG的外接圆的圆心为(d,0),因此d2+1=(d+)2+,解得d=﹣,故△ABG的外接圆的半径为r==,所以△ABG的外接圆方程为.【点评】此题是个难题.本题考查了椭圆的定义、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力.其中问题(III)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,。
2011年山东高考数学文科试卷带详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共l0小题.每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的.1.设集合 {}|(3)(2)0M x x x =+-<,{}|13,N x x=剟 则MN = ( )A.[1,2)B.[1,2]C.( 2,3]D.[2,3] 【测量目标】集合间的交集运算. 【考查方式】集合的表达(描述法),化解,求集合的交集. 【参考答案】A【试题解析】因为{}{}|32,|12M x x M N x x =-<<∴=<…,故选A.2.复数2i2iz -=+ (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【测量目标】复数代数的四则运算及复平面.【考查方式】给出复数的除法形式,考查复数的代数四则运算与复数的几何意义. 【参考答案】D【试题解析】因为22i (2i)34i2i 55z ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D. 3.若点(a ,9)在函数3xy =的图象上,则πtan6a 的值为 ( ) A.0 B.33C. 1D. 3 【测量目标】特殊的三角函数值.【考查方式】给出点在函数图象上,求解未知数,通过代入三角函数求解. 【参考答案】D【试题解析】由题意知:93a=,解得a =2,所以π2πtantan 366a ==,故选D. 4.曲线311y x =+在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 ( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】给出函数式与其上一点,用求导的方式求该点的切线与y 轴的焦点纵坐标. 【参考答案】C【试题解析】因为23y x '=,切点为P (1,12),所以切线的斜率为3,故切线方程为390,x y -+=令0,9x y ==5.已知,,a b c ∈R ,命题“若3,a b c ++=则22233,a b c a b c ++++=…”的否命题是( ) A.若3,a b c ++≠则2223a b c ++< B.若3,a b c ++=则2223a b c ++< C.若3,a b c ++≠则2223a b c ++… D.若3,a b c ++…则3a b c ++< 【测量目标】命题的基本关系.【考查方式】考查命题的基本关系,主要考查否命题. 【参考答案】A【试题解析】命题“若p ,则q ”的否命题是“若,p ⌝则q ⌝”,故选A.6.若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增,在区间ππ32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减,则ω= ( ) A.23 B.32C. 2D.3 【测量目标】三角函数,函数的单调性.【考查方式】给出函数在某段区间上的单调性,求未知数ω. 【参考答案】B【试题解析】由题意知,函数在π3x =处取得最大值1,所以π1sin 3ω=,故选B.7.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩………,则目标函数231z x y =++的最大值为 ( )A.11B.10C.9D.8.5【测量目标】二元线性规划求目标函数的最大值.【考查方式】给出约束条件,应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域,求出线性目标函数的最大值. 【参考答案】B【试题解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线231z x y =++平移至点(3,1)A 时, 目标函数231z x y =++取得最大值为10,故选B. 8.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( )A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元 【测量目标】回归方程,函数在生活的应用.【考查方式】给出方程的数据,及ˆb,求出回归方程,代入x 求解. 【参考答案】B【试题解析】由表可计算4235749263954,42424x y ++++++==== ,因为点7(,42)2在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,且ˆb 为9.4,所以7ˆ429.42a =⨯+, 解得ˆ9.1a =,故回归方程为ˆ9.49.1yx =+, 令6x =,得ˆ65.5y =,选B. 9.设00(,)M x y 为抛物线2:8C x y =上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则0y 的取值范围是 ( ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)【测量目标】抛物线的简单几何性质,圆锥曲线中的范围问题,两点之间的距离公式. 【考查方式】给出抛物线方程与椭圆的位置关系,求出圆方程,根据准线相交,限定0y 范围.【参考答案】C【试题解析】设圆的半径为r ,因为F (0,2)是圆心, 抛物线C 的准线方程为2y =-,由圆与准线相切知4r -,因为点00(,)M x y 为抛物线2:8C x y =上一点,所以有2008x y =,又点00(,)M x y 在圆222(2)x y r +-=,所以22200(2)16x y r +-=>,所以2008(2)16y y +->,即有2004120y y +->,解得02y >或06y <-, 又因为00y …, 所以02y >, 选C.10.函数2sin 2xy x =-的图象大致是 ( )【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】给出函数式,给定四张图象,选出正确图象. 【参考答案】C【试题解析】因为12cos 2y x '=-,所以令12cos 02y x '=->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令12cos 02y x '=-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,可得选C 正确.11.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是第11题图A.3B.2C.1D.0 【测量目标】三视图,命题的概念.【考查方式】给出主视图俯视图,给出三个命题,判断真假. 【参考答案】A【试题解析】对于①,可以是放倒的三棱柱;容易判断②③可以.12.设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若1312()A A A A λλ=∈R ,141211(),2,A A A A μμλμ=∈+=R 则称34,A A 调和分割12,A A ,已知点(,0),C c(,0)D d (,)c d ∈R 调和分割点(0,0),(1,0)A B ,则下面说法正确的是 ( )A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.,C D 可能同时在线段AB 上D.,C D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【测量目标】平面向量的线性运算及向量的坐标运算.【考查方式】给出向量满足的数量关系,求向量的位置关系. 【参考答案】D【试题解析】由13121412(),()A A A A A A A A λλμμ=∈=∈R R 知:四点1234,,,A A A A 在同一条直线上(步骤1)因为,C D 调和分割点,A B ,所以,,,A B C D 四点在同一直线上,且112c d+=, 故选D.(步骤2)第II 卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为 . 【测量目标】分层抽样.【考查方式】根据分层抽样的特点,结合实际问题按比例求解. 【参考答案】16【试题解析】由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为8401620⨯=. 14.执行右图所示的程序框图,输入12,=3,5m n ==,则输出的y 的值是 .【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图,注意循环条件的设置,以及循环体的构成,特别是注意最后一次循环y 的值. 【参考答案】68【试题解析】由输入12,3,5m n ===,计算得出278y =,第一次得新的173y =;第二次得新的68105y =<,输出y .15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .【测量目标】双曲线的简单几何性质、椭圆的简单几何性质. 【考查方式】给出椭圆方程,及双曲线的离心率与椭圆的离心率的数量关系,求双曲线方程.【参考答案】22143x y -= 【试题解析】由题意知双曲线的焦点为(7,0),(7,0),-即7c =,(步骤1)又因为双曲线的离心率为27,4c a =所以2,a =故23b =,(步骤2) 双曲线的方程为22143x y -=(步骤3) 16.已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠且当234a b <<<<时,函数()f x 的零点*0(,1),,x n n n ∈+∈N 则n = .【测量目标】函数的零点,对数函数的图象与性质.【考查方式】给出函数式,限定函数式里的未知数,求零点位于的区间. 【参考答案】5【试题解析】方程log (0,1)=0a x x b a a +->≠且的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图象与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n ∈+∈N (步骤1) 结合图象,因为当(24)x a a =<<时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;(步骤2) 当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,(步骤3)故所求的5n =.(步骤4)三、解答题:本大题共6小题,共74分.17.(本小题满分12分)在ABC △中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=.(I)求sin sin CA的值;(II)若1cos ,4B ABC =△的周长为5,求b 的长. 【测量目标】余弦定理正弦定理,利用正余弦定理解决有关长度问题.【考查方式】给出三角形三边与三角满足的关系式,求解两角正弦值的比值;给出三角形的周长,求边长.【试题解析】(1)由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===所以cos 2cos 22sin sin ,cos sin A C c a C AB b B---==(步骤1)即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-, 即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin sin 2sin ,2sin CC A A==所以.(步骤2) (2)由(1)知sin 2sin C A =,所以有2ca=,即2c a =,(步骤3) 又因为ABC △的周长为5,所以53,b a =-(步骤4) 由余弦定理得:222222212cos ,(53)(2)44b c a ac B a a a a =+--=+-⨯,解得1a =,所以2b =.(步骤5) 18.(本小题满分12分)甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(I )若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;(II )若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【测量目标】随机事件与概率,古典概型.【考查方式】给出每个学校的人员具体情况,求从中选出一定人员的概率.【试题解析】(1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男),共9种;(步骤1)选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2),共4种,所以选出的2名教师性别相同的概率为49.(步骤2) (2)从报名的6名教师中任选2名,所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2),共15种;(步骤3)选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2),共6种,所以选出的2名教师来自同一学校的概率为62155=.(步骤4) 19.(本小题满分12分)如图,在四棱台1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是平行四边形,2AB AD =,11,60AD A B BAD =∠=.(Ⅰ)证明:1AA BD ⊥; (Ⅱ)证明:1CC 平面1A BD .【测量目标】线面平行的判断,平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】利用余弦定理求直线数量关系,线面垂直推出线线垂直;线线平行推出线面平行 【试题解析】(Ⅰ)证明:因为2AB AD =,所以设AD a =,则2AB a =(步骤1) 又因为60BAD ∠=,所以在ABD △中,由余弦定理得:2222(2)22cos 603BD a a a a a =+-⨯⨯=,所以3BD a =(步骤2)所以222AD BD AB +=,故BD AD ⊥,(步骤3) 又因为1D D ⊥平面ABCD ,所以1D D BD ⊥,(步骤4) 又因为1ADD D D =, 所以11BD ADD A ⊥平面,故1AA BD ⊥.(步骤5)(2)连结,AC 设AC BD O =, 连结1A O ,由底面ABCD 是平行四边形得:O 是AC 的中点(步骤6)由四棱台1111ABCD A B C D -知:平面ABCD 平面1111A B C D ,因为这两个平面同时都和平面11ACA C 相交,交线分别为11,AC A C ,故11ACA C (步骤7)又因为2,AB a BC a ==, 120ABC ∠=,所以可由余弦定理计算得7AC a =(步骤8)又因为11113,2A B a B C a ==, 111120A B C ∠=,所以可由余弦定理计算得1172A C a =(步骤9)所以11A C OC 且11A C OC =,故四边形11OCC A 是平行四边形,所以11CC A O (步骤10)又1CC Ü平面11,A BD AO ⊂平面1A BD . 1CC ∴平面1A BD (步骤11)20.(本小题满分12分)等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若数列{}n b 满足:(1)ln n n n b a a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和2n S . 【测量目标】等比数列的通项,数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【考查方式】将数值放在图象中,求解通项公式;给出n n b a 与的关系,求和. 【试题解析】(Ⅰ)由题意知1232,6,18a a a ===,(步骤1)因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=.(步骤2) (Ⅱ)因为11(1)ln 23(1)ln 23,n n n n n b a a --=+-=+-所以21n n S b b b =+++=1212122(13)()(ln ln ln )ln()13n n n n a a a a a a a a a -+++-+++=--=-(1)121231ln(21333)31ln(23)n n nnn nn--=--⨯⨯⨯⨯=--(步骤3)2(21)2222231ln(23)912ln 2(2)ln 3.n n nnn n S n n n -∴=--=----(步骤4)21.(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为80π3立方米,且2l r ….假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为(3)c c >.设该容器的建造费用为y 千元.(Ⅰ)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r .【测量目标】球的表面积公式,圆柱的体积公式,导数在实际问题中的应用【考查方式】给出图象,将所给关系表达为函数表达式,根据函数式,求出最小值【试题解析】(Ⅰ)因为容器的体积为80π3立方米,所以324π80ππ33r r l +=,解得280433rl r =-,所以圆柱的侧面积为22804160π8π2π2π()3333r r rl r r r =-=-,两端两个半球的表面积之和为24πr ,所以22160π8π4πy r cr r =-+,定义域为(0,)2l. (Ⅱ)因为3228(2)20160π16π8πc r y r cr r r π⎡⎤--⎣⎦'=-+=,所以令0y '>得:3202r c >-; 令3320200,0,22y r r c c '<<<∴=--米时, 该容器的建造费用最小. 22.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:13x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于,A B 两点,线段AB 的中点为E ,射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -.(Ⅰ)求22m k +的最小值;(Ⅱ)若2OG OD OE =,(i )求证:直线l 过定点; (ii )试问点,B G 能否关于x 轴对称?若能,求出此时ABG △的外接圆方程;若不能,请说明理由.【测量目标】直线与椭圆的位置关系,韦达定理,圆的简单几何性质, 【考查方式】给出椭圆方程及图象,求俩数据和的最小值;给出向量的数量关系,求直线过定点和外接圆问题.【试题解析】(Ⅰ)由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠, 由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222(13)6330,k x knx n +++-=(步骤1) 1122(,),(,)A x y B x y AB 设,的中点00(,)E x y ,则由韦达定理得: 122613kn x x k -+=+, 即00022233,131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++ , 所以中点E 的坐标为223(,)1313kn n E k k-++(步骤2) 因为,,O E D 三点在同一直线上,所以,OE OD k k =即1,33m k -=- 解得222211,2m m k k k k =∴+=+…(步骤3) 当且仅当1k =时取等号,即22m k +的最小值为2.(步骤4)(Ⅱ)(i )证明:由题意知:0n >,因为直线OD 的方程为,3m y x =- 所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+(步骤5) 又因为2,13E D n y y m k==+ ,且2OG OD OE =,所以222313m n m m k =++(步骤6) 又由(Ⅰ)知: 1m k=,所以解得k n =, 所以直线l 的方程为:,l y kx k =+即有:(1)l y k x =+,(步骤7)令1,x =-得0y =与实数k 无关,所以直线l 过定点(-1,0).(步骤8)(ii )假设点,B G 关于x 轴对称,则有ABG △的外接圆的圆心在x 轴上,又在线段AB 的中垂线上,(步骤9)由(i )知点223(,),33m G m m -++所以点223(,)33m B m m --++,(步骤10)又因为直线l 过定点(-1,0),所以直线l 的斜率为223,313mm k m -+=-++,(步骤11) 又因为1m k=所以解得21m =或6(步骤12) 又因为230,m ->所以26m =舍去,21m =(步骤13)此时311,1,(,)44k m E ==-,AB 的中垂线为2210x y ++=,圆心坐标为131(,0),(,)222G --,圆半径为52,圆的方程为2215().24x y -+=(步骤14) 综上所述, 点,B G 关于x 轴对称,此时ABG △的外接圆的方程为2215().24x y -+=(步骤15)。
2011山东数学高考试题及答案
2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(山东卷)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.满分150分,考试用时120分钟. 参考公式:柱体的体积公式:V =Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.圆柱的侧面积公式:S =cl ,其中c 是圆柱的底面周长,l 是圆柱的母线长. 球的体积公式:343V R π=,其中R 是球的半径. 球的表面积公式:S =4πR 2,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式:1221ni ii nii x y nx ybxnx ---=-∑∑ , ay bx =- . 如果事件A 、B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B );如果事件A 、B 独立,那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(理)设集合M ={x |x 2+x -6<0},N ={x |1≤x ≤3},则M ∩N =( ) A .[1, 2) B .[1,2] C .(2,3] D .[2,3]2.复数2i2iz -=+ (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限3.若点(a ,9)在函数y =3x 的图象上,则tan 6a π的值为 …( ) A .0B .33C .1D .34.不等式|x -5|+|x +3|≥10的解集是( ) A .[-5,7] B .[-4,6]C .(-∞,-5]∪[7,+∞)D .(-∞,-4]∪[6,+∞)5.对于函数y =f (x ),x ∈R ,“y =|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y =f (x )是奇函数”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间[0,3π]上单调递增,在区间[3π,2π]上单调递减,则ω=( )A .3B .2C .32D .237.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:广告费用x (万元)4 2 35 销售额y (万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 y bx a =+ 中的b ^为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A .63.6万元B .65.5万元C .67.7万元D .72.0万元8.已知双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C :x 2+y 2-6x +5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( )A .2222154x y -=B .2222145x y -=C .2222136x y -=D .2222163x y -=9.函数2sin 2xy x =-的图象大致是( )10.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x <2时,f (x )=x 3-x ,则函数y =f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A .6B .7C .8D .911.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是( )A .3B .2C .1D .012.设A 1,A 2,A 3,A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若1312A A A A λ=(λ∈R ),1412A A A A μ= (μ∈R ),且112λμ+=,则称A 3,A 4调和分割A 1,A 2.已知平面上的点C ,D 调和分割点A ,B ,则下面说法正确的是( )A .C 可能是线段AB 的中点 B .D 可能是线段AB 的中点C .C ,D 可能同时在线段AB 上D .C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 13.执行下图所示的程序框图,输入l =2,m =3,n =5,则输出的y 的值是__________.14.若62()a x x -展开式的常数项为60,则常数a 的值为__________.15.设函数()2xf x x =+ (x >0),观察: 1()()2xf x f x x ==+, 21()(())34xf x f f x x ==+, 32()(())78xf x f f x x ==+, 43()(())1516xf x f f x x ==+, ……根据以上事实,由归纳推理可得:当n ∈N *且n ≥2时,f n (x )=f (f n -1(x ))=__________.16.已知函数f (x )=log a x +x -b (a >0,且a ≠1).当2<a <3<b <4时,函数f (x )的零点x 0∈(n ,n +1),n ∈N *,则n =__________.三、解答题:本大题共6小题,共74分.17.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,C .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=. (1)求sin sin CA的值; (2)若cos B =14,b =2,求△ABC 的面积S .18.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛,甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘.已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.(1)求红队至少两名队员获胜的概率;(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望Eξ.19.在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,∠ACB =90°,EA ⊥平面ABCD ,EF ∥AB ,FG ∥BC ,EG ∥AC ,AB =2EF .(1)若M 是线段AD 的中点,求证:GM ∥平面ABFE ;。
2011年山东高考数学理科试卷(带详解)
2011年普通高等学校全国统一考试(山东卷)理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的的四个选项中,只有一个项是符合题目要求的.1.设集合2{60}M x x x =+-<,{13}N x x =≤≤,则M N = ( )A.[1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3] 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两集合(描述法),求解两集合的交集. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】{32}M x x =-<<,[1,2)M N = ,答案应选A. 2.复数2i(i 2iz -=+为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【测量目标】复平面.【考查方式】给出复数的分数形式,通过化简判断复数对应的点在第几象限. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】22i (2i)34i2i 55z ---===+对应的点为34(,)55-在第四象限,答案应选D.3.若点(,9)a 在函数3xy =的图象上,则πtan6a 的值为 ( )A.0B.3C. 1D. 【测量目标】任意角的三角函数值.【考查方式】给出函数图象上的点,判断出a 的值,求π3的正切值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】2393a ==,2a =,ππtantan 63a == D. 4.不等式5310x x -++≥的解集是 ( ) A.[5,7]- B. [4,6] C. (,5][7,)-∞-+∞ D. (,4][6,)-∞-+∞ 【测量目标】绝对值不等式.【考查方式】直接求解绝对值不等式. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】当5x >时,原不等式可化为2210x -≥,解得6x ≥;(步骤1) 当35x -≤≤时,原不等式可化为810≥,不成立;(步骤2)当3x <-时,原不等式可化为2210x -+≥,解得4x -≤.综上可知6x ≥,或4x -≤,答案应选D.(步骤3)另解1:可以作出函数53y x x =-++的图象,(步骤1) 令5310x x -++=可得4x -=或6x =,(步骤2)观察图象可得6x ≥,或4x -≤可使5310x x -++≥成立,答案应选D.(步骤3)另解2:利用绝对值的几何意义,53x x -++表示实数轴上的点x 到点3x =-与5x =的距离之和,要使点x 到点3x =-与5x =的距离之和等于10,只需4x -=或6x =,于是当6x ≥,或4x -≤可使5310x x -++≥成立,答案应选D.5.对于函数()y f x =,x ∈R ,“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ( ) A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】判断已知两个命题的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】若()y f x =是奇函数,则()y f x =的图象关于y 轴对称;反之不成立,比如偶函数()y f x =,满足()y f x =的图象关于y 轴对称,但不一定是奇函数,答案应选B.6.若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π[0,]3上单调递增,在区间ππ[,]32上单调递减,则ω= ( ) A.3 B. 2 C.32 D. 23【测量目标】三角函数的单调性.【考查方式】给出含参量的三角函数的单调区间,求解未知参量. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π[0,]2ω上单调递增,在区间π3π[,]22ωω上单调递减, 则ππ23ω=,即32ω=,答案应选C. 另解1:令ππ[2π,2π]()22x k k k ω∈-+∈Z 得函数()f x 在2ππ2ππ[,]22k k x ωωωω∈-+为增函数,同理可得函数()f x 在2ππ2π3π[,]22k k x ωωωω∈++为减函数,则当ππ0,23k ω==时符合题意,即32ω=,答案应选C.另解2:由题意可知当π3x =时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得极大值,则π()03f '=,即πco s 03ωω=,即πππ()32k k ω=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选C. 另解3:由题意可知当π3x =时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得最大值,则ππ2π()32k k ω=+∈Z ,36()2k k ω=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选C.7.某产品的广告费用与销售额y 的统计数据如下表:根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元是销售额为( ) A.63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元【测量目标】线性回归方程.【考查方式】给出实际应用中的数学模型数据,建立线性回归方程,求对应的函数值. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由题意可知 3.5,42x y ==,则 429.4 3.5,9.1,a a =⨯+= 9.469.165.5y =⨯+=,答案应选B.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为 ( )A.22154x y -= B. 22145x y -= C. 22136x y -= D. 22163x y -= 【测量目标】双曲线的标准方程.【考查方式】给出双曲线的两条渐近线与圆的位置关系,判断双曲线的标准方程. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】圆22:(3)4C x y -+=,3,c =而32bc=,则22,5b a ==,答案应选A. 9.函数2sin 2xy x =-的图象大致是 ( )A B C D 【测量目标】三角函数的图象.【考查方式】给出三角函数解析式判断其图象.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】函数2sin 2x y x =-为奇函数,且12cos 2y x '=-,令0y '=得1cos 4x =,(步骤1) 由于函数cos y x =为周期函数,而当2πx >时,2sin 02x y x =->,当2πx <-时,2sin 02xy x =-<,则答案应选C.(步骤2)10.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x <≤时,3()f x x x =-,则函数()f x 的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9【测量目标】函数的零点.【考查方式】给出函数一个区间内的函数解析式及函数周期,判断函数在某个区间段内函数图象与x 轴的交点.【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】当02x <≤时32()(1)f x x x x x =-=-,则(0)(1)0f f ==,(步骤1)而()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,则(2)(4)(6)(0)0f f f f ====,(3)(5)(1)0f f f ===,答案应选B.(步骤2)11.如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定三个命题: ①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图; ②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如图; ③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图.其中真,命题的个数是 ( )第11题图A.3B.2C.1D.0 【测量目标】平面图形的直观图与三视图.【考查方式】给出正(主)视图、俯视图,判断可能的几何体图形. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】①②③均是正确的,只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱, 让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧;②直四棱柱的两个侧面 是正方形或一正四棱柱平躺;③圆柱平躺即可使得三个命题为真, 答案选A.12.设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若1312()A A A A λλ=∈R,1412()A A A A μμ=∈R ,且112λμ+=,则称34,A A 调和分割12,A A ,已知平面上的点(,0),(,0),(,C c D d c d ∈R 调和分割点(0,0),A B ,则下面说法正确的是( )A. C 可能是线段AB 的中点B. D 可能是线段AB 的中点C. C 、D 可能同时在线段AB 上D. C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】给出平面向量的数量关系,判断平面中线段的数量关系. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】根据题意可知112c d +=,若C 或D 是线段AB 的中点,则12c =,或12d =,矛盾;(步骤1)若C,D 可能同时在线段AB 上,则01,01,c d <<<<则112c d +>矛盾,(步骤2) 若C,D 同时在线段AB 的延长线上,则1,1c d >>,1102c d<+<,故C,D 不可能同时在线段AB 的延长线上,答案选D.(步骤3) 二、填空题:本大题共4小题·,每小题4分,共16分. 13.执行如图所示的程序框图,输入2,3,5l m n ===, 则输出的y 的值是 .第13题图【测量目标】循环结构程序框图.【考查方式】给出程序框图输入值,判断输出值. 【难易程度】容易 【参考答案】68【试题解析】1406375278,y =++=(步骤1)278105173,17310568y y =-==-=.(步骤2)答案应填:68.14.若6(x 展开式的常数项为60,则常数a 的值为 .【测量目标】二项式定理【考查方式】给出二项式常数项的值,判断二项式中未知参量的值. 【难易程度】中等 【参考答案】4【试题解析】6(x 的展开式616C (k kk k T x -+=636C (kk k x -=,(步骤1)令630,2,k k -==226C (1560,4a a ===,答案应填:4.(步骤2)15.设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()()2x f x f x x ==+,21()(())34x f x f f x x ==+,32()(())78x f x f f x x ==+, 43()(())1516xf x f f x x ==+,……根据上述事实,由归纳推理可得:当*n ∈N ,且2n ≥时,1()(())n n f x f f x -== . 【测量目标】已知递推关系求通项.【考查方式】给出()f x 函数解析式,利用递推关系判断()n f x 的函数关系式. 【难易程度】较难 【参考答案】(21)2n nxx -+【试题解析】2122()(())(21)2x f x f f x x ==-+,3233()(())(21)2xf x f f x x ==-+, 4344()(())(21)2x f x f f x x ==-+,以此类推可得1()(())(21)2n n n nxf x f f x x -==-+. 答案应填:(21)2n nxx -+. 16.已知函数()log (0,a f x x x b a =+->且1)a ≠.当234a b <<<<时函数()f x 的零点为*0(,1)()x n n n ∈+∈N ,则n = .【测量目标】对数函数的图象与性质.【考查方式】给出含参量的对数函数关系式,通过对参量的范围讨论,判断函数零点的取值范围. 【难易程度】较难 【参考答案】2【试题解析】根据(2)log 22log 230a a f b a =+-<+-=,(3)log 32log 340a a f b a =+->+-=,(步骤1)而函数()f x 在(0,)+∞上连续,单调递增,故函数()f x 的零点在区间(2,3)内,故2n =.答案应填:2.(步骤2)三、解答题:本大题共6小题,共74分. 17.(本小题满分12分)在ABC △中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=,(Ⅰ)求sin sin C A 的值;(Ⅱ)若1cos ,24B b ==,求ABC △的面积S . 【测量目标】正弦定理,两角和的正弦,余弦定理.【考查方式】给出一个三角形内角边的三角函数关系式,通过三角函数变换,求解两个角的正弦比值及三角形面积.【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)在ABC △中,由cos 2cos 2cos A C c aB b--=及正弦定理可得cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=,(步骤1)即cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B -=-则cos sin sin cos 2sin cos 2cos sin A B A B C B C B +=+(步骤2)sin()2sin()A B C B +=+,而πA B C ++=,则sin 2sin C A =,即sin 2sin CA=.(步骤3) 另解1:在ABC △中,由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-(步骤1)由余弦定理可得22222222222222b c a a b c a c b a c b c a a c +-+-+-+--=-,整理可得2c a =,由正弦定理可得sin 2sin C cA a==.(步骤2) 另解2:利用教材习题结论解题,在ABC △中有结论cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b c A a C c a B b A =+=+=+.(步骤1) 由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-(步骤2)即cos cos 2cos 2cos b A a B c B b C +=+,则2c a =,由正弦定理可得sin 2sin C cA a==.(步骤3) (Ⅱ)由2c a =及1cos ,24B b ==可得22222242cos 44,c a ac B a a a a =+-=+-=则1a =,2c =,(步骤4)S 11sin 1222ac B ==⨯⨯=,即S =(步骤5)18.(本题满分12分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛,甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘.已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.(Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率;(Ⅱ)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望E ξ. 【测量目标】离散型随机变量的分布列,期望和方差.【考查方式】给出数学模型,列出随机变量的分布列并求数学期望. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)记甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘中甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 分别为事件,,D E F ,则甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 分别为事件,,D E F ,(步骤1) 根据各盘比赛结果相互独立可得故红队至少两名队员获胜的概率为()()()()P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++()()()()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F P D P E P F =+++0.60.5(10.5)0.6(10.5)0.5(10.6)0.50.50.60.50.5=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯0.55=.(步骤2)(Ⅱ)依题意可知0,1,2,3ξ=,(0)()()()()(10.6)(10.5)(10.5)0.1P P DEF P D P E P F ξ====-⨯-⨯-=; (1)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++0.6(10.5)(10.5)(10.6)0.5(10.5)(10.6)(10.5)0.50.35=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=;(2)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++0.60.5(10.5)(10.6)0.50.50.6(10.5)0.50.4=⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯=; (3)()0.60.50.50.15P P DEF ξ===⨯⨯=.故ξ的分布列为(步骤3)故00.110.3520.430.15 1.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.(步骤4) 19. (本小题满分12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,90ACB ∠= ,EA ⊥平面ABCD ,//EF AB , //FG BC ,//EG AC ,2AB EF =.(I )若M 是线段AD 的中点,求证://GM 平面ABFE ; (II )若2AC BC AE ==,求二面角A BF C --的大小第19题图【测量目标】空间立体几何线面平行,二面角.【考查方式】给出空间几何体线面垂直,线线平行及线段之间的长度关系,判断线面平行及二面角大小. 【难易程度】中等【试题解析】几何法:证明:(Ⅰ)//EF AB ,2AB EF =可知延长BF 交AE 于点P ,而//FG BC ,//EG AC ,则P BF ∈⊂平面,BFGC P AE ∈⊂平面AEGC ,即P ∈平面BFGC 平面AEGC GC =,(步骤1) 于是,,BF CG AE 三线共点,1//2FG BC ,若M 是线段AD 的中点,而//AD BC , 则//FG AM ,(步骤2)四边形AMGF 为平行四边形,则//GM AF ,又GM ⊄平面ABFE ,所以//GM 平面ABFE ;(步骤3)(Ⅱ)由EA ⊥平面ABCD ,作C H A B ⊥,则CH ⊥平面ABFE ,作H T B F ⊥,连接CT ,则CT B F ⊥,于是CTH ∠为二面角A BF C --的平面角.(步骤4)若2AC BC AE ==,设1AE =,则2A C B C==,AB CH ==,H 为AB 的中点,2t a n2AE AE FBA AB EF AB ∠====-,sin FBA ∠=(步骤5)sin HT BH ABF =∠==Rt CHT △中tan CH CTH HT ∠==则60CTH ∠=,即二面角A BF C --的大小为60.(步骤6)坐标法:(Ⅰ)证明:由四边形ABCD 为平行四边形, 090ACB ∠=,EA ⊥平面ABCD ,可得以点A 为坐标原点,,,AC AD AE 所在直线分别为,,x y z 建立直角坐标系,(步骤1)设=,,AC a AD b AE c ==,则(0,0,0)A ,1(,0,0),(0,,0),(0,,0),(,,0)2C aD b M b B a b -.(步骤2)由//EG AC 可得()EG AC λλ=∈R ,1(,,)2GM GE EA AM a b c λ=++=-- (步骤3)由//FG BC 可得()FG BC AD μμμ==∈R,1122GM GF FA AM AD BA EA AD μ=++=-+++1(,(1),)2a b c μ=---,则12λμ==,12GM BA EA =+,而GM ⊄平面ABFE ,所以//GM 平面ABFE ;(步骤4)(Ⅱ)若2AC BC AE ==,设1AE =,则2AC BC ==,(2,0,0),(0,0,1),(2,2,0),(1,1,1)C E B F --,则(0,2,0)BC AD == ,(1,1,1)BF =-,(步骤5) (2,2,0)AB =-,设11112222(,,),(,,)x y z x y z =n =n 分别为平面ABF 与平面CBF 的法向量.则11111220x y x y z -=⎧⎨-++=⎩,令11x =,则111,0y z ==,1(1,1,0)n =;2222200y x y z =⎧⎨-++=⎩,令21x =,则220,1y z ==,2(1,0,1)=n .(步骤6) 于是1212121cos 2<>== n n n ,n n n ,则1260<>= n ,n ,即二面角A BF C --的大小为60.(步骤7)20. (本小题满分12分)等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若数列{}n b 满足:()1ln nn n n b a a =+-,求数列{}n b 的前n 项和n S . 【测量目标】数列的通项及前n 项和.【考查方式】给出等比数列前三项求数列的通项,并求组合数列{}n b 的前n 项和. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)由题意可知1232,6,18a a a ===,公比32123a a q a a ===, 通项公式为123n n a -= ;(步骤1) (Ⅱ)()1111ln 23(1)ln 2323(1)[ln 2(1)ln 3]nn n n n n n n n b a a n ---=+-=+-=+-+-当*2()n k k =∈N 时,122n k S b b b =+++212(133)[1(23)((22)(21))]ln3k k k -=+++++-+++--+- 2132ln 331ln 3132k n nk -=+=-+-(步骤2)当*21()n k k =-∈N 时1221n k S b b b -=+++222(133)[(12)((23)(22))]ln3ln 2k k k -=++++-++----21132(1)ln 3ln 213k k --=----(1)31ln 3ln 22n n -=---(步骤3) 故31ln 3,2(1)31ln 3ln 22nn n n n S n n ⎧-+⎪⎪=⎨-⎪---⎪⎩为偶数;,为奇数.(步骤4)另解:令11(1)ln 23nnn n T -=-⋅∑,即11(1)ln 2(1)(1)ln 3nnnn n T n =-+--∑∑(步骤1)223[1(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln3n n n T n =-+-++-+-+-++-- 231341[(1)(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln3n n n T n ++-=-+-++-+-+-++--则12312[1(1)]ln 2[(1)(1)(1)(1)(1)]ln3n n n n T n ++=---+-+-++----211111(1)(1)[1(1)]ln 2[(1)(1)]ln 3222n n n n T n +++---=---+---12111[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324n n n T n ++=---+----(步骤2)故1122(133)n n n n S b b b T -=+++=++++1211131[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324n n n n ++=-+---+----.(步骤3)21. (本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80π3立方米,且2l r ….假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c (3c >)千元.设该容器的建造费用为y 千元. (Ⅰ)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r .第21题图【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】给出实际问题,建立函数模型运用导数解决实际问题. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)由题意可知2324π80ππ()33r l r l r +=…,即2804233l r r r =-≥,则02r <≤.(步骤1)容器的建造费用为2228042π34π6π()4π33y rl r c r r r c r =⨯+⨯=-+, 即22160π8π4πy r r c r=-+,定义域为{02}r r <≤.(步骤2)(Ⅱ)2160π16π8πy r rc r '=--+,令0y '=,得r =令2,r ==即 4.5c =,(步骤3)(1)当34.5c <≤2,当02r <≤,0y '<,函数y 为减函数,当2r =时y 有最小值;(步骤4)(2)当 4.5c >2,<当0r <<0y '<;当r >0y '>,此时当r =y 有最小值.(步骤5) 22. (本小题满分12分)已知动直线l 与椭圆C :22132x y +=交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同点,且OPQ △的面积2OPQ S =△O 为坐标原点.(Ⅰ)证明:2212x x +和2212y y +均为定值;(Ⅱ)设线段PQ 的中点为M ,求OM PQ 的最大值;(Ⅲ)椭圆C 上是否存在三点,,D E G ,使得ODE ODG OEG S S S ===△△△?若存在,判断DEG △的形状;若不存在,请说明理由.【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出直线与椭圆的位置关系,根据椭圆的几何性质,讨论坐标的定值及线段积的最值等综合问题.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)当直线l 的斜率不存在时,,P Q 两点关于x 轴对称,则1212,x x y y ==-,(步骤1)由()11,P x y 在椭圆上,则2211132x y +=,而11OPQ S x y ==△,则111x y == 于是22123x x +=,22122y y +=.(步骤2)当直线l 的斜率存在,设直线l 为y kx m =+,代入22132x y +=可得(步骤3) 2223()6x kx m ++=,即222(23)6360k x km m +++-=,0>△,即2232k m +>2121222636,2323km m x x x x k k -+=-=++(步骤4)12PQ x =-==d =1122POQS d PQ === △(步骤5) 则22322k m +=,满足0>△222221212122263(2)()2()232323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++,222222*********(3)(3)4()2333y y x x x x +=-+-=-+=, 综上可知22123x x +=,22122y y +=.(步骤6)(Ⅱ))当直线l的斜率不存在时,由(Ⅰ)知12OM x PQ === (步骤7)当直线l 的斜率存在时,由(Ⅰ)知12322x x km+=-, 2121231()222y y x x k k m m m m ++=+=-+=,(步骤8) 222212122229111()()(3)2242x x y y k OM m m m++=+=+=- 22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++(步骤9)22221125(3)(2)4OMPQ m m =-+≤,当且仅当221132m m -=+,即m =时等号成立,综上可知OM PQ 的最大值为52.(步骤10)(Ⅲ)假设椭圆上存在三点,,D E G ,使得2ODE ODG OEG S S S ===△△△, 由(Ⅰ)知2222223,3,3D E E G G D x x x x x x +=+=+=,2222222,2,2D E E G G D y y y y y y +=+=+=.解得22232D E G x x x ===,2221D E G y y y ===,(步骤11)因此,,D E G x x x 只能从,,D E G y y y 只能从1±中选取,因此,,D E G 只能从(,1)±中选取三个不同点,而这三点的两两连线必有一个过原点,这与2O D E O D G O E GS S S ===△△△相矛盾,故椭圆上不存在三点,,D E G ,使得2ODE ODG OEG S S S ===△△△.(步骤12)。
2011年全国高考文科数学试题及答案-山东
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学参考公式:柱体的体积公式:V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高。
圆柱的侧面积公式:S cl =,其中c 是圆柱的底面周长,l 是圆柱的母线长。
球的体积公式:343V R π=,其中R 是球的半径。
球的表面积公式:24S Rπ=,其中R 是球的半径。
用最小二乘法求线性回归方程系数公式:12241ˆˆ,ni ii ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑, 如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B )第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共l0小题.每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的. 1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0},N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N = A .[1,2) B .[1,2] C .( 2,3] D .[2,3] 2.复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.若点(a,9)在函数3xy =的图象上,则tan=6a π的值为 A .0BC .1D4.曲线211y x =+在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是A .-9B .-3C .9D .155.已知a ,b ,c ∈R ,命题“若a b c ++=3,则222a b c ++≥3”,的否命题是A .若a +b+c≠3,则222a b c ++<3B .若a+b+c=3,则222a b c ++<3C .若a +b+c≠3,则222a b c ++≥3D .若222a b c ++≥3,则a+b+c=36.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω=A .23B .32C .2D .37.设变量x ,y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则目标函数231z x y =++的最大值为A .11B .10C .9D .8.58.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x (万元)4 2 35 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A .63.6万元B .65.5万元C .67.7万元D .72.0万元9.设M (0x ,0y )为抛物线C :28x y =上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则0y 的取值范围是A .(0,2)B .[0,2]C .(2,+∞)D .[2,+∞)10.函数2sin 2xy x =-的图象大致是11.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯 视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命 题的个数是 A .3 B .2 C .1 D .012.设1A ,2A ,3A ,4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若1312A A A A λ= (λ∈R ),1412A A A A μ=(μ∈R ),且112λμ+=,则称3A ,4A 调和分割1A ,2A ,已知点C (c ,o ),D(d ,O ) (c ,d ∈R )调和分割点A (0,0),B (1,0),则下面说法正确的是 A .C 可能是线段AB 的中点 B .D 可能是线段AB 的中点C .C ,D 可能同时在线段AB 上D .C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽 取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为 . 14.执行右图所示的程序框图,输入l =2,m=3,n=5,则输出的y 的值是15.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=>,>和椭圆22x y =1169+有相同的 焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .16.已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-≠>,且当2<a <3<b <4时,函数f x ()的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题:本大题共6小题,共74分. 17.(本小题满分12分)在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.(I )求sin sin CA的值; (II )若cosB=14,5b ABC 的周长为,求的长.18.(本小题满分12分)甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(I )若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;(II )若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.19.(本小题满分12分)如图,在四棱台1111ABCD A BC D -中,1D D ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是平行四边形,AB=2AD ,11AD=A B ,BAD=∠60° (Ⅰ)证明:1AA BD ⊥;(Ⅱ)证明:11CC A BD ∥平面.20.(本小题满分12分)等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a 中的(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若数列{}n b 满足:(1)ln n n n n b a a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和2n S .21.(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为(3)c c >.设该容器的建造费用为y 千元. (Ⅰ)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r .22.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:13x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E ,射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -.(Ⅰ)求22m k +的最小值; (Ⅱ)若2OG OD =∙OE ,(i )求证:直线l 过定点;(ii )试问点B ,G 能否关于x 轴对称?若能,求出此时ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由.参考答案一、选择题1——12 ADDCABBBCCAD 二、填空题13.16 14.68 15.22143x y -= 16.2 三、解答题 17.解:(I )由正弦定理,设,sin sin sin a b ck A B C===则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C Ab k B B ---== 所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C AB B--= 即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-, 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=,所以sin 2sin C A =因此sin 2.sin CA = (II )由sin 2sin CA =得 2.c a =由余弦定得及1cos 4B =得 22222222cos 14444.b ac ac Ba a a a =+-=+-⨯= 所以2.b a = 又5,a bc ++= 从而1,a =因此b=2。
2011山东高考数学及答案(完整高清版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页,满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1、答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2、第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式:柱体的体积公式:V Sh=,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高。
圆柱的侧面积公式:S cl=,其中c是圆柱的地面周长,l是圆柱的母线长。
球的体积公式:343V R π=,其中R 是球的半径。
球的表面积公式:,其中R 是球的半径。
用最小二乘法求线性回归方程系数公式:=1221ˆˆ,.ni ii n ii X Y nx yay bx Xnx ==-=--∑∑ 如果事件A 、B 互斥,那么()()+()P A B P A P B +=; 如果事件A 、B 独立,那么()()()P AB P A P B =。
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题。
每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、设集合{}{}2|60,|13,M x xx N x x =+-<=≤≤则MN =(A)[1,2)(B) [1,2] (C) (2,3] (D) [2,3]2、复数2()2iz i i-=+为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3、若点a (,9)在函数3xy =的图象上,则tan 6a π的值为(A) 0(B)(C) 1(D) 4、不等式5310x x -++≥的解集是(A) []5,7- (B) []4,6- (C) (][),57,-∞-+∞ (D) (][),46,-∞-+∞ 5、对于函数(),y f x x R =∈,“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6、若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω=(A) 3 (B) 2 (C) 32(D) 237、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(A) 63.6万元(B) 65.5万元 (C) 67.7万元 (D) 72.0万元8、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆C :22650x y x +--=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为 (A)22154x y -= (B)22145x y -= (C)22136x y -= (D)22163x y -= 9、函数2sin 2xy x =-的图象大致是(A) (B)(C) (D)10、已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤<时,3()f x xx =-,则函数()y f x = 的图象在区间[的交点的个数为(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 911 ①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图; ②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图; ③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图。
2011山东高考数学(理)word版带详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学解析版注意事项:1答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置,用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共l0小题.每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的.【解析】因为22(2)34255i i iz i ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D. 3.若点(a,9)在函数3x y =的图象上,则tan=6a π的值为(A )0 (B) (C) 1 (D) 【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===故选D.5. 对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要 【答案】C【解析】由奇函数定义,容易得选项C 正确. 6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω= (A )3 (B )2 (C )32 (D )23【答案】C【解析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ,故选C.7.根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 (A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 【答案】B【解析】由表可计算4235742x +++==,49263954424y +++==,因为点7(,42)2在回归直线ˆˆˆybx a =+上,且ˆb 为9.4,所以7ˆ429.42a =⨯+, 解得 9.1a =,故回归方程为ˆ9.49.1y x =+, 令x=6得ˆy=65.5,选B. 8.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=>,>的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -=【答案】A【解析】由圆C:22650x y x +-+=得:22(3)4x y -+=,因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线0bx ay ±=均和圆C 相切,2=,即32bc=,又因为c=3,所以b=2,即25a =,所以该双曲线的方程为22154x y -=,故选A.9. 函数2sin 2xy x =-的图象大致是【答案】C 【解析】因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令'12cos 02y x =-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象,可得选C 正确.10. 已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为(A )6 (B )7 (C )8 (D )9 【答案】A【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为6个,选A.11.下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱;容易判断②③可以.12.设1A ,2A ,3A ,4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若1312A A A A λ=(λ∈R),1412A A A A μ= (μ∈R),且112λμ+=,则称3A ,4A 调和分割1A ,2A ,已知点C(c ,o),D(d ,O) (c ,d ∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是 (A)C 可能是线段AB 的中点(B)D 可能是线段AB 的中点(C)C ,D 可能同时在线段AB 上(D) C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D【解析】由1312A A A A λ= (λ∈R),1412A A A A μ=(μ∈R)知:四点1A ,2A ,3A ,4A 在同一条直线上,因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且112c d+=,故选D.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 13.执行右图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5, 则输出的y 的值是 . 【答案】68【解析】由输入l=2,m=3,n=5,计算得出y=278,第一次得新的y=173;第二次得新的y=68<105,输出y.14. 若62(x x -展开式的常数项为60,则常数a 的值为 .【答案】4【解析】因为616(r rr r T C x -+=⋅⋅,所以r=2, 常数项为26a C ⨯=60,解得4a =.15. 设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实,由归纳推理可得:当n N +∈且2n ≥时,1()(())n n f x f f x -== . 【答案】22(1)xn x n-+ 【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为2,34,78,15x x x x ++++,即(21)2,(41)4,(81)8,(161)16x x x x -+-+-+-+,所以归纳出分母为1()(())n n f x f f x -=的分母为22(1)n x n -+,故当n N +∈且2n ≥时,1()(())n n f x f f x -==22(1)xn x n-+. 16.已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-≠>,且当2<a <3<b <4时,函数f x ()的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 . 【答案】5【解析】方程log (0a 1)a x x b a +-≠>,且=0的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图象与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图象,因为当(23)x a a =<<时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,故所求的5n =.三、解答题:本大题共6小题,共74分. 17.(本小题满分12分)在 ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.(I ) 求sin sin CA的值; (II )若cosB=14,2b =,求ABC ∆的面积.【解析】(Ⅰ)由正弦定理得2s i n a R A =2s i n b R B =2s i n c R C =所以c o s A -2c o s C 2c -a=c o s B b =2sin sin sin C A B-,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知: sin sin c C a A==2,即c=2a,又因为2b =,所以由余弦定理得: 2222cos b c a ac B =+-,即222124224a a a a =+-⨯⨯,解得1a =,所以c=2,又因为cosB=14,所以sinB=4,故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯4=4.18.(本小题满分12分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛,甲对A ,乙对B ,丙对C 各一盘,已知甲胜A ,乙胜B ,丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。
2011年山东省高考文科数学真题及答案
2011年山东省高考数学试卷(文科)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设集合M={x|(x+3)(x﹣2)<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=()A.[1,2) B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]2.(5分)复数z=(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为()A.0 B.C.1 D.4.(5分)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.﹣9 B.﹣3 C.9 D.155.(5分)已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3 B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3 D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=36.(5分)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=()A.B.C.2 D.37.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+3y+1的最大值为()A.11 B.10 C.9 D.8.58.(5分)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元9.(5分)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2) B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)10.(5分)函数y=﹣2sinx 的图象大致是()A. B.C.D.11.(5分)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图.其中真命题的个数是()A.3 B.2 C.1 D.012.(5分)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若(λ∈R),(μ∈R),且,则称A3,A4调和分割A1,A2,已知点C(c,0),D(d,O)(c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是()A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C,D可能同时在线段AB上D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为.14.(4分)执行如图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是.15.(4分)已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为.16.(4分)已知函数f(x)=log a x+x﹣b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=.三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求的值;(2)若cosB=,△ABC的周长为5,求b的长.18.(12分)甲、乙两校各有3名教师报名支教,期中甲校2男1女,乙校1男2女.(Ⅰ)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;(Ⅱ)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.19.(12分)如图,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD 是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.(Ⅰ)证明:AA1⊥BD;(Ⅱ)证明:CC1∥平面A1BD.20.(12分)等比数列{a n}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}满足:b n=a n+(﹣1)n lna n,求数列{b n}的前2n项和S2n.21.(12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(Ⅰ)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r.22.(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=﹣3于点D(﹣3,m).(Ⅰ)求m2+k2的最小值;(Ⅱ)若|OG|2=|OD|∙|OE|,(i)求证:直线l过定点;(ii)试问点B,G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由.2011年山东省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)(2011•山东)设集合M={x|(x+3)(x﹣2)<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=()A.[1,2) B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]【分析】根据已知条件我们分别计算出集合M,N,并写出其区间表示的形式,然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值.【解答】解:∵M={x|(x+3)(x﹣2)<0}=(﹣3,2)N={x|1≤x≤3}=[1,3],∴M∩N=[1,2)故选A2.(5分)(2011•山东)复数z=(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】把所给的复数先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理后得到最简形式,写出复数在复平面上对应的点的坐标,根据坐标的正负得到所在的象限.【解答】解:∵z==﹣i,∴复数在复平面对应的点的坐标是()∴它对应的点在第四象限,故选D3.(5分)(2011•山东)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为()A.0 B.C.1 D.【分析】先将点代入到解析式中,解出a的值,再根据特殊三角函数值进行解答.【解答】解:将(a,9)代入到y=3x中,得3a=9,解得a=2.∴=.故选D.4.(5分)(2011•山东)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.﹣9 B.﹣3 C.9 D.15【分析】根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=1处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程,化成一般式,最后令x=0解得的y即为曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标.【解答】解:∵y=x3+11∴y'=3x2则y'|x=1=3x2|x=1=3∴曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y﹣12=3(x﹣1)即3x﹣y+9=0令x=0解得y=9∴曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是9故选C5.(5分)(2011•山东)已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3 B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3 D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3【分析】若原命题是“若p,则q”的形式,则其否命题是“若非p,则非q”的形式,由原命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”,我们易根据否命题的定义给出答案.【解答】解:根据四种命题的定义,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3”故选A6.(5分)(2011•山东)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=()A.B.C.2 D.3【分析】由题意可知函数在x=时确定最大值,就是,求出ω的值即可.【解答】解:由题意可知函数在x=时确定最大值,就是,k∈Z,所以ω=6k+;只有k=0时,ω=满足选项.故选B7.(5分)(2011•山东)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+3y+1的最大值为()A.11 B.10 C.9 D.8.5【分析】首先做出可行域,将目标函数转化为,求z的最大值,只需求直线l:在y轴上截距最大即可.【解答】解:做出可行域如图所示:将目标函数转化为,欲求z的最大值,只需求直线l:在y轴上的截距的最大值即可.作出直线l0:,将直线l0平行移动,得到一系列的平行直线当直线经过点A时在y轴上的截距最大,此时z最大.由可求得A(3,1),将A点坐标代入z=2x+3y+1解得z的最大值为2×3+3×1+1=10故选B8.(5分)(2011•山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元【分析】首先求出所给数据的平均数,得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点,求出方程中的一个系数,得到线性回归方程,把自变量为6代入,预报出结果.【解答】解:∵=3.5,=42,∵数据的样本中心点在线性回归直线上,回归方程中的为9.4,∴42=9.4×3.5+a,∴=9.1,∴线性回归方程是y=9.4x+9.1,∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5,故选:B.9.(5分)(2011•山东)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()A.(0,2) B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【分析】由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|可由y0表达,由此可求y0的取值范围【解答】解:由条件|FM|>4,由抛物线的定义|FM|=y0+2>4,所以y0>2故选C10.(5分)(2011•山东)函数y=﹣2sinx 的图象大致是()A. B.C.D.【分析】根据函数的解析式,我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A,再求出其导函数,根据函数的单调区间呈周期性变化,分析四个答案,即可找到满足条件的结论.【解答】解:当x=0时,y=0﹣2sin0=0故函数图象过原点,可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案,只有C满足要求故选C11.(5分)(2011•山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图.其中真命题的个数是()A.3 B.2 C.1 D.0【分析】由三棱柱的三视图中,两个矩形,一个三角形可判断①的对错,由四棱柱的三视图中,三个均矩形,可判断②的对错,由圆柱的三视图中,两个矩形,一个圆可以判断③的真假.本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键.【解答】解:存在正三棱柱,其三视图中有两个为矩形,一个为正三角形满足条件,故①为真命题;存在正四棱柱,其三视图均为矩形,满足条件,故②为真命题;对于任意的圆柱,其三视图中有两个为矩形,一个是以底面半径为半径的圆,也满足条件,故③为真命题;故选:A12.(5分)(2011•山东)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若(λ∈R),(μ∈R),且,则称A3,A4调和分割A1,A2,已知点C(c,0),D(d,O)(c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是()A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C,D可能同时在线段AB上D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上【分析】由题意可得到c和d的关系,,只需结合答案考查方程的解的问题即可.A和B中方程无解,C中由c和d的范围可推出C和D点重合,由排除法选择答案即可.【解答】解:由已知可得(c,0)=λ(1,0),(d,0)=μ(1,0),所以λ=c,μ=d,代入得(1)若C是线段AB的中点,则c=,代入(1)d不存在,故C不可能是线段AB的中点,A错误;同理B错误;若C,D同时在线段AB上,则0≤c≤1,0≤d≤1,代入(1)得c=d=1,此时C 和D点重合,与条件矛盾,故C错误.故选D二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)(2011•山东)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为16.【分析】根据四个专业各有的人数,得到本校的总人数,根据要抽取的人数,得到每个个体被抽到的概率,利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率,得到丙专业要抽取的人数.【解答】解:∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生150+150+400+300=1000,∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查∴每个个体被抽到的概率是=,∵丙专业有400人,∴要抽取400×=16故答案为:1614.(4分)(2011•山东)执行如图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是68.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算并输出y值.模拟程序的运行过程,用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到最终的输出结果.【解答】解:程序在运行过程中各变量的值如下表示:此时y值为68.故答案为:68.15.(4分)(2011•山东)已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为.【分析】先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出c=,再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求出a=2,即可求双曲线的方程.【解答】解:由题得,双曲线的焦点坐标为(,0),(﹣,0),c=:且双曲线的离心率为2×==⇒a=2.⇒b2=c2﹣a2=3,双曲线的方程为=1.故答案为:=1.16.(4分)(2011•山东)已知函数f(x)=log a x+x﹣b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=2.【分析】把要求零点的函数,变成两个基本初等函数,根据所给的a,b的值,可以判断两个函数的交点的所在的位置,同所给的区间进行比较,得到n的值.【解答】解:设函数y=log a x,m=﹣x+b根据2<a<3<b<4,对于函数y=log a x 在x=2时,一定得到一个值小于1,在同一坐标系中划出两个函数的图象,判断两个函数的图形的交点在(2,3)之间,∴函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)时,n=2,故答案为:2三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)(2011•山东)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求的值;(2)若cosB=,△ABC的周长为5,求b的长.【分析】(1)利用正弦定理化简等式的右边,然后整理,利用两角和的正弦函数求出的值.(2)利用(1)可知c=2a,结合余弦定理,三角形的周长,即可求出b的值.【解答】解:(1)因为所以即:cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA所以sin(A+B)=2sin(B+C),即sinC=2sinA所以=2(2)由(1)可知c=2a…①a+b+c=5…②b2=a2+c2﹣2accosB…③cosB=…④解①②③④可得a=1,b=c=2;所以b=218.(12分)(2011•山东)甲、乙两校各有3名教师报名支教,期中甲校2男1女,乙校1男2女.(Ⅰ)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;(Ⅱ)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【分析】首先根据题意,将甲校的男教师用A、B表示,女教师用C表示,乙校的男教师用D表示,女教师用E、F表示,(Ⅰ)依题意,列举可得“从甲校和乙校报名的教师中各任选1名”以及“选出的2名教师性别相同”的情况数目,由古典概型的概率公式计算可得答案;(Ⅱ)依题意,列举可得“从报名的6名教师中任选2名”以及“选出的2名教师同一个学校的有6种”的情况数目,由古典概型的概率公式计算可得答案.【解答】解:甲校的男教师用A、B表示,女教师用C表示,乙校的男教师用D 表示,女教师用E、F表示,(Ⅰ)根据题意,从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,有(AD),(AE),(AF),(BD),(BE),(BF),(CD),(CE),(CF),共9种;其中性别相同的有(AD)(BD)(CE)(CF)四种;则选出的2名教师性别相同的概率为P=;(Ⅱ)若从报名的6名教师中任选2名,有(AB)(AC)(AD)(AE)(AF)(BC)(BD)(BE)(BF)(CD)(CE)(CF)(DE)(DF)(EF)共15种;其中选出的教师来自同一个学校的有6种;则选出的2名教师来自同一学校的概率为P=.19.(12分)(2011•山东)如图,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.(Ⅰ)证明:AA1⊥BD;(Ⅱ)证明:CC1∥平面A1BD.【分析】(Ⅰ)由D1D⊥平面ABCD,可证D1D⊥BD.△ABD 中,由余弦定理得BD2,勾股定理可得AD⊥BD,由线面垂直的判定定理可证BD⊥面ADD1A1,再由线面垂直的性质定理可证BD⊥AA1.(Ⅱ)连接AC和A1C1,设AC∩BD=E,先证明四边形ECC1A1为平行四边形,可得CC1∥A1E,再由线面平行的判定定理可证CC1∥平面A1BD.【解答】证明:(Ⅰ)∵D1D⊥平面ABCD,∴D1D⊥BD.又AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°,△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AB•ADc os60°=3AD2,∴AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD,又AD∩DD1=D,∴BD⊥面ADD1A1.由AA1⊂面ADD1A1,∴BD⊥AA1.(Ⅱ)证明:连接AC和A1C1,设AC∩BD=E,由于底面ABCD是平行四边形,故E为平行四边形ABCD的中心,由棱台的定义及AB=2AD=2A1B1,可得EC∥A1C1,且EC=A1C1,故ECC1A1为平行四边形,∴CC1∥A1E,而A1 E⊂平面A1BD,∴CC1∥平面A1BD.20.(12分)(2011•山东)等比数列{a n}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}满足:b n=a n+(﹣1)n lna n,求数列{b n}的前2n项和S2n.【分析】本题考查的是数列求和问题.在解答时:(Ⅰ)此问首先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况,根据符合的情况进一步分析公比进而求得数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)首先要利用第(Ⅰ)问的结果对数列数列{b n}的通项进行化简,然后结合通项的特点,利用分组法进行数列{b n}的前2n项和的求解.【解答】解:(Ⅰ)当a1=3时,不符合题意;当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时符合题意;当a1=10时,不符合题意;所以a1=2,a2=6,a3=18,∴公比为q=3,故:a n=2•3n﹣1,n∈N*.(Ⅱ)∵b n=a n+(﹣1)n lna n=2•3n﹣1+(﹣1)n ln(2•3n﹣1)=2•3n﹣1+(﹣1)n[ln2+(n﹣1)ln3]=2•3n﹣1+(﹣1)n(ln2﹣ln3)+(﹣1)n nln3∴S2n=b1+b2+…+b2n=2(1+3+…+32n﹣1)+[﹣1+1﹣1+…+(﹣1)2n]•(ln2﹣ln3)+[﹣1+2﹣3+…+(﹣1)2n2n]ln3==32n+nln3﹣1∴数列{b n}的前2n项和S2n=32n+nln3﹣1.21.(12分)(2011•山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(Ⅰ)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r.【分析】(1)由圆柱和球的体积的表达式,得到l和r的关系.再由圆柱和球的表面积公式建立关系式,将表达式中的l用r表示.并注意到写定义域时,利用l≥2r,求出自变量r的范围.(2)用导数的知识解决,注意到定义域的限制,在区间(0,2]中,极值未必存在,将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论.【解答】解:(1)由体积V=,解得l=,∴y=2πrl×3+4πr2×c=6πr×+4cπr2=2π•,又l≥2r,即≥2r,解得0<r≤2∴其定义域为(0,2].(2)由(1)得,y′=8π(c﹣2)r﹣,=,0<r≤2由于c>3,所以c﹣2>0当r3﹣=0时,则r=令=m,(m>0)所以y′=①当0<m<2即c>时,当r=m时,y′=0当r∈(0,m)时,y′<0当r∈(m,2)时,y′>0所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.②当m≥2即3<c≤时,当r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减.所以r=2是函数y的最小值点.综上所述,当3<c≤时,建造费用最小时r=2;当c>时,建造费用最小时r=22.(14分)(2011•山东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB 的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=﹣3于点D(﹣3,m).(Ⅰ)求m2+k2的最小值;(Ⅱ)若|OG|2=|OD|∙|OE|,(i)求证:直线l过定点;(ii)试问点B,G能否关于x轴对称?若能,求出此时△ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由.【分析】(Ⅰ)设y=kx+t(k>0),联立直线和椭圆方程,消去y,得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理,求出点E的坐标和OE所在直线方程,求点D的坐标,利用基本不等式即可求得m2+k2的最小值;(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知OD所在直线方程,和椭圆方程联立,求得点G的坐标,并代入若|OG|2=|OD|∙|OE|,得到t=k,因此得证直线过定点;(ii)若点B,G关于x轴对称,写出点B的坐标,求出△ABG的外接圆的圆心坐标和半径,从而求出△ABG的外接圆方程.【解答】解:(Ⅰ)设y=kx+t(k>0),由题意,t>0,由方程组,得(3k2+1)x2+6ktx+3t2﹣3=0,由题意△>0,所以3k2+1>t2,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=﹣,所以y1+y2=,∵线段AB的中点为E,∴x E=,y E=,此时k OE==﹣.所以OE所在直线方程为y=﹣x,又由题设知D(﹣3,m).令x=﹣3,得m=,即mk=1,所以m2+k2≥2mk=2,(Ⅱ)(i)证明:由(Ⅰ)知OD所在直线方程为y=﹣x,将其代入椭圆C的方程,并由k>0,解得G(﹣,),又E(,),D(﹣3,),由距离公式和t>0,得|OG|2=(﹣)2+()2=,|OD|=,|OE|==.由|OG|2=|OD|∙|OE|,得t=k,因此直线l的方程为y=k(x+1),所以直线l恒过定点(﹣1,0);(ii)由(i)得G(﹣,),若点B,G关于x轴对称,则B(﹣,﹣),将点B坐标代入y=k(x+1),整理得,即6k4﹣7k2+1=0,解得k2=或k2=1,验证知k2=时,不成立,故舍去所以k2=1,又k>0,故k=1,此时B(﹣,﹣),G(﹣,)关于x轴对称,又由(I)得x1=0,y1=1,所以点A(0,1),由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上,可设△ABG的外接圆的圆心为(d,0),因此d2+1=(d+)2+,解得d=﹣,故△ABG的外接圆的半径为r==,所以△ABG的外接圆方程为.。
2011年山东高考理科数学试题及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共4页,满分150分。
考试用时120分钟,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按能上能下要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式:柱体的体积公式:V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高。
圆柱的侧面积公式:S cl =,其中c 是圆柱的底面周长,l 是圆柱的母线长。
球的体积公式:343V R π=,其中R 是球的半径。
球的表面积公式:24S R π=,其中R 是球的半径。
用最小二乘法求线性回归方程系数公式:12241ˆˆ,niii ni x yn x ybay b x xn x==-==--∑∑, 如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B )第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共l0小题.每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的.1.设集合 M ={x|260x x +-<},N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A .[1,2)B .[1,2]C .[2,3]D .[2,3]2.复数z=22i i-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.若点(a,9)在函数3xy =的图象上,则tan=6a π的值为A .0B .33C .1D .34.不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A .[-5,7]B .[-4,6]C .(][),57,-∞-+∞D .(][),46,-∞-+∞5.对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω=A .3B .2C .32D .237.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x (万元)4 2 35 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A .63.6万元B .65.5万元C .67.7万元D .72.0万元8.已知双曲线22221(0b 0)x y a ab-=>,>的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为 A .22154xy-= B .22145xy-= C .22136xy-= D .22163xy-=9.函数2sin 2x y x =-的图象大致是10.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A .6B .7C .8D .911.右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯 视图如右图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是 A .3 B .2C .1D .012.设1A ,2A ,3A ,4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若1312A A A A λ=(λ∈R ),1412AA AA μ=(μ∈R ),且112λμ+=,则称3A ,4A 调和分割1A ,2A ,已知平面上的点C ,D调和分割点A ,B 则下面说法正确的是 A .C 可能是线段AB 的中点 B .D 可能是线段AB 的中点C .C ,D 可能同时在线段AB 上D .C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.执行右图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y 的值是14.若62()a x x-展开式的常数项为60,则常数a 的值为 .15.设函数()(0)2x f x x x =>+,观察: 1()(),2x f x f x x ==+ 21()(()),34x f x f f x x ==+ 32()(()),78x f x f f x x ==+ 43()(()),1516x f x f f x x ==+根据以上事实,由归纳推理可得:当n N +∈且2n ≥时,1()(())n n f x f f x -== .16.已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-≠>,且当2<a <3<b <4时,函数f x ()的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题:本大题共6小题,共74分. 17.(本小题满分12分)在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A -2cos C2c-a =cos Bb.(I )求sin sin C A的值;(II )若cosB=14,b=2,A B C ∆的面积S 。
2011山东高考数学试卷及答案详解(理科)WORD版
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第I卷和第□卷两部分,共4页,满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1、答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2、第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3、第n卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式:柱体的体积公式:V =Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高。
圆柱的侧面积公式:S二cl,其中c是圆柱的地面周长,丨是圆柱的母线长。
4 3球的体积公式:V R ,其中R是球的半径。
3球的表面积公式:错误!未找到引用源。
,其中R是球的半径。
nZ X i Y - nx y 用最小二乘法求线性回归方程系数公式:错误!未找到引用源。
=号w = y-bX.2 2 X j _nxi d如果事件A、B互斥,那么P(A B)二P(A)+P(B);如果事件A、B独立,那么P(AB) = P(A):P(B)。
第I卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题。
每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、设集合M = :x | x2 x - 6 :: 0』,N = \x |1 乞x 乞3.',则M N 二(A) [1,2) (B) [1,2] (C) (2,3] (D) [2,3]2、复数z= — (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(A) 第一象限(B)第二象限3、若点(a,9 )在函数y = 3的图象上,贝U(A) 0 (B) 丁(C) 1(C)第三象限(D)第四象限a"tan 的值为6(D) 34、不等式x -5 x 3 _10的解集是(C) -二,-5| 〔7, :: (D) 16,二5、 对于函数y=f(x),x^R ,“y=|f (x)的图象关于y 轴对称”是“ y=f(x)是奇函数”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6、 若函数f(x) =sin 「x (门、0)在区间 0,上单调递增,在区间 ,一 上单调递减,则-■=_ 3.[3 23 2 (A) 3 (B) 2(C)-(D)-237、 某产品的广告费用 x 与销售额y 的统计数据如下表:广告费用x (万兀)4 235销售额y (万兀)49263954图象在区间10,6 1上与x 轴的交点的个数为 (A) 6(B) 7(C) 8(D) 911、右图是长和宽分别相等的两个矩形,给定下列三个命题:① 存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;② 存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③ 存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图。
2011年山东省高考数学试卷及解析
2011年山东省高考数学试卷及解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1、(2011•山东)设集合M={x|(x+3)(x﹣2)<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=()A、[1,2)B、[1,2]C、(2,3]D、[2,3]考点:交集及其运算。
专题:计算题。
分析:根据已知条件我们分别计算出集合M,N,并写出其区间表示的形式,然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值.解答:解:∵M={x|(x+3)(x﹣2)<0}=(﹣3,2)N={x|1≤x≤3}=[1,3],∴M∩N=[1,2)故选A点评:本题考查的知识点是交集及其运算,其中根据已知条件求出集合M,N,并用区间表示是解答本题的关键.2、(2011•山东)复数z=(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于象限为()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念。
专题:数形结合。
分析:把所给的复数先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理后得到最简形式,写出复数在复平面上对应的点的坐标,根据坐标的正负得到所在的象限.解答:解:∵z==﹣i,∴复数在复平面对应的点的坐标是()∴它对应的点在第四象限,故选D点评:判断复数对应的点所在的位置,只要看出实部和虚部与零的关系即可,把所给的式子展开变为复数的代数形式,得到实部和虚部的取值范围,得到结果.3、(2011•山东)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为()A、0B、C、1D、考点:指数函数的图像与性质。
专题:计算题。
分析:先将点代入到解析式中,解出a的值,再根据特殊三角函数值进行解答.解答:解:将(a,9)代入到y=3x中,得3a=9,解得a=2.∴=.故选D.点评:对于基本初等函数的考查,历年来多数以选择填空的形式出现.在解答这些知识点时,多数要结合着图象,利用数形结合的方式研究,一般的问题往往都可以迎刃而解.4、(2011•山东)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A、﹣9B、﹣3C、9D、15考点:利用导数研究曲线上某点切线方程。
2011年全国高考理科数学试题及答案-山东
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共4页,满分150分。
考试用时120分钟,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按能上能下要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式:柱体的体积公式:V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高。
圆柱的侧面积公式:S cl =,其中c 是圆柱的底面周长,l 是圆柱的母线长。
球的体积公式:343V R π=,其中R 是球的半径。
球的表面积公式:24S Rπ=,其中R 是球的半径。
用最小二乘法求线性回归方程系数公式:12241ˆˆ,ni ii ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑, 如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B )第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共l0小题.每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的. 1.设集合 M ={x|260x x +-<},N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A .[1,2)B .[1,2]C .[2,3]D .[2,3]2.复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.若点(a,9)在函数3xy =的图象上,则tan=6a π的值为A .0B .3C .1D 4.不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A .[-5,7]B .[-4,6]C .(][),57,-∞-+∞D .(][),46,-∞-+∞5.对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω= A .3B .2C .32D .237.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x (万元) 42 3 5销售额y (万元)49 26 3954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A .63.6万元B .65.5万元C .67.7万元D .72.0万元8.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=>,>的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A .22154x y -= B .22145x y -= C .22136x y -= D .22163x y -= 9.函数2sin 2xy x =-的图象大致是10.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A .6B .7C .8D .911.右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯 视图如右图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命 题的个数是 A .3 B .2 C .1 D .012.设1A ,2A ,3A ,4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若1312A A A A λ= (λ∈R ),1412A A A A μ=(μ∈R ),且112λμ+=,则称3A ,4A 调和分割1A ,2A ,已知平面上的点C ,D调和分割点A ,B 则下面说法正确的是 A .C 可能是线段AB 的中点 B .D 可能是线段AB 的中点C .C ,D 可能同时在线段AB 上D .C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.执行右图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y 的值是14.若62(x x-展开式的常数项为60,则常数a 的值为 .15.设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实,由归纳推理可得:当n N +∈且2n ≥时,1()(())n n f x f f x -== .16.已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-≠>,且当2<a <3<b <4时,函数f x ()的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题:本大题共6小题,共74分. 17.(本小题满分12分)在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.(I )求sin sin CA的值; (II )若cosB=14,b=2,ABC ∆的面积S 。
2011年山东高考理科数学试题及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共l0小题.每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的. 1.设集合 M ={x|260x x +-<},N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A .[1,2)B .[1,2]C .[2,3]D .[2,3]2.复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.若点(a,9)在函数3x y =的图象上,则tan=6a π的值为A .0BC .1D 4.不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A .[-5,7]B .[-4,6]C .(][),57,-∞-+∞D .(][),46,-∞-+∞5.对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω= A .3B .2C .32D .237.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x (万元) 42 3 5销售额y (万元)49 26 3954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A .63.6万元B .65.5万元C .67.7万元D .72.0万元8.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=>,>的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A .22154x y -= B .22145x y -= C .22136x y -= D .22163x y -= 9.函数2sin 2xy x =-的图象大致是10.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A .6B .7C .8D .911.右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯 视图如右图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命 题的个数是 A .3 B .2 C .1 D .012.设1A ,2A ,3A ,4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若1312A A A A λ= (λ∈R ),1412A A A A μ=(μ∈R ),且112λμ+=,则称3A ,4A 调和分割1A ,2A ,已知平面上的点C ,D调和分割点A ,B 则下面说法正确的是 A .C 可能是线段AB 的中点 B .D 可能是线段AB 的中点C .C ,D 可能同时在线段AB 上D .C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.执行右图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y 的值是14.若6(x 展开式的常数项为60,则常数a 的值为 .15.设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实,由归纳推理可得:当n N +∈且2n ≥时,1()(())n n f x f f x -== .16.已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-≠>,且当2<a <3<b <4时,函数f x ()的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题:本大题共6小题,共74分. 17.(本小题满分12分)在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.(I )求sin sin CA的值; (II )若cosB=14,b=2,ABC ∆的面积S 。
2011年高考真题——理科数学(山东省) Word版含答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页,满分150分,考试用时120分钟,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1. 答题前,考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式:柱体的体积公式:v sh =,其中s 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式:s cl =,其中c 是圆柱的底面周长,l 是圆柱的母线长.球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径.球的表面积公式:S=4πR 2,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥,那么()()()P A B P A P B +=+.第1卷(共60分)一、选择题:本大题共l2小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合 M ={x|x 2+x-6<0},N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =(A )[1,2) (B )[1,2] (C )( 2,3] (D )[2,3](2)复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限 (3)若点(a,9)在函数3xy =的图象上,则tan=6a π的值为: (A )0 (B )33(C )1 (D )3 (4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是(A )[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7,+∞) (D )(-∞,-4]∪[6,+∞) (5)对于函数y=f (x ),x ∈R ,“y=|f(x)|的图像关于y 轴”是“y=f (x )是奇函数”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 (6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω=(A )3 (B )2 (C )32 (D )23(7)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(A )63.6万元 (B )65.5万元 (C )67.7万元 (D )72.0万元(8)已知双曲线22221x y a b-=(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C :x 2+y 2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A )22154x y -= (B )22145x y -= (C )221x y 36-= (D )221x y 63-= (9)函数2sin 2xy x =-的图象大致是(10)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x <2时,f (x )=x 3-x ,则函数y=f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为 (A )6(B )7(C )8(D )9(11)右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是(A )3 (B )2(C )1 (D )0(12)设1A ,2A ,3A ,4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若1312A A A A λ= (λ∈R),1412A A A A μ=(μ∈R),且112λμ+=,则称3A ,4A 调和分割1A ,2A ,已知点C(c ,o),D(d ,O) (c ,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是 (A )C 可能是线段AB 的中点 (B )D 可能是线段AB 的中点(C )C ,D 可能同时在线段AB 上(D )C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.(13)执行右图所示的程序框图,输入2l =,m=3,n=5,则输出的y 的值是 .(14)若62x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭展开式的常数项为60,则常数a 的值为 .(15)设函数()2xf x x =+(x >0),观察: ()()12x f x f x x ==+ f 2 (x)=f(f 1(x ))= 34xx +f 3 (x)=f(f 2(x ))= 78xx +f 4 (x)=f(f 3(x ))= 1516xx +……根据以上事实,由归纳推理可得:当n ∈N *且n ≥2时,f m (x )=f (f m-1(x ))= . (16)已知函数f x ()=log (0a 1).a x x b a +-≠>,且当2<a <3<b <4时,函数f x ()的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题:本大题共6小题,共74分. (17)(本小题满分12分)在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. (Ⅰ)求sin sin CA的值; (Ⅱ)若cosB=14,b=2, 求△ABC 的面积S.(18)(本小题满分12分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛,甲对A ,乙对B ,丙对C 各一盘,已知甲胜A ,乙胜B ,丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。
2011年高考试题——数学理(山东卷)解析版
2011年普通高等学校全国统一考试(山东卷)理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的的四个选项中,只有一个项是符合题目要求的。
(1)设集合2{60}M x x x =+-<,{13}N x x =≤≤,则M N =A.[1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3] 解析:{32}M x x =-<<,[1,2)M N = ,答案应选A 。
(2)复数2(2iz i i-=+为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析:22(2)34255i i iz i ---===+对应的点为34(,)55-在第四象限,答案应选D.(3)若点(,9)a 在函数3xy =的图象上,则tan6a π的值为A.0B.3C. 1D.解析:2393a ==,2a =,tantan 63a ππ== D. (4)不等式5310x x -++≥的解集是A.[5,7]-B. [4,6]C. (,5][7,)-∞-+∞D. (,4][6,)-∞-+∞ 解析:当5x >时,原不等式可化为2210x -≥,解得6x ≥;当35x -≤≤时,原不等式可化为810≥,不成立;当3x <-时,原不等式可化为2210x -+≥,解得4x -≤.综上可知6x ≥,或4x -≤,答案应选D 。
另解1:可以作出函数53y x x =-++的图象,令5310x x -++=可得4x -=或6x =,观察图像可得6x ≥,或4x -≤可使5310x x -++≥成立,答案应选D 。
另解2:利用绝对值的几何意义,53x x -++表示实数轴上的点x 到点3x =-与5x =的距离之和,要使点x 到点3x =-与5x =的距离之和等于10,只需4x -=或6x =,于是当6x ≥,或4x -≤可使5310x x -++≥成立,答案应选D 。
2011年山东省高考数学试卷(理科)及答案
2011年山东省高考数学试卷(理科)一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.(3分)设集合M={x|x2+x﹣6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=()A.[1,2) B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]2.(3分)复数z=(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(3分)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为()A.0 B .C.1 D .4.(3分)不等式|x﹣5|+|x+3|≥10的解集是()A.[﹣5,7]B.[﹣4,6]C.(﹣∞,﹣5]∪[7,+∞)D.(﹣∞,﹣4]∪[6,+∞)5.(3分)对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(3分)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=()A.8 B.2 C .D .7.(3分)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263 954根据上表可得回归方程=x +的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元8.(3分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为()A.B.=1C.=1 D.=19.(3分)函数y=﹣2sinx 的图象大致是()A. B.C.D.10.(3分)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f (x)=x3﹣x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A.6 B.7 C.8 D.911.(3分)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图.其中真命题的个数是()A.3 B.2 C.1 D.012.(3分)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若(λ∈R),(μ∈R),且,则称A3,A4调和分割A1,A2,已知点C(c,0),D(d,O)(c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是()A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C,D可能同时在线段AB上D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分)13.(3分)执行如图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是.14.(3分)若(x﹣)6式的常数项为60,则常数a的值为.15.(3分)设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,…根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N*且n≥2时,f n(x)=f(f n﹣1(x))=.16.(3分)已知函数f(x)=log a x+x﹣b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=.三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.且=.(I)求的值;(II)若cosB=,b=2,求△ABC的面积S.18.(12分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘,已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立.(Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率;(Ⅱ)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望Eξ.19.(12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF.(Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE;(Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A﹣BF﹣C的大小.20.(12分)等比数列{a n}中.a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数.且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)如数列{b n}满足b n=a n+(﹣1)n lna n,求数列b n的前n项和s n.21.(12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(Ⅰ)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r.22.(14分)已知直线l与椭圆C:交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=,其中O为坐标原点.(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值;(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求|OM|•|PQ|的最大值;(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得S△ODE =S△ODG=S△OEG=?若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由.2011年山东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)1.(3分)(2011•山东)设集合M={x|x2+x﹣6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=()A.[1,2) B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M,将M,N化为区间的形式后,根据集合交集运算的定义,我们即可求出M∩N的结果.【解答】解:∵M={x|x2+x﹣6<0}={x|﹣3<x<2}=(﹣3,2),N={x|1≤x≤3}=[1,3],∴M∩N=[1,2)故选A2.(3分)(2011•山东)复数z=(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】把所给的复数先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理后得到最简形式,写出复数在复平面上对应的点的坐标,根据坐标的正负得到所在的象限.【解答】解:∵z==﹣i,∴复数在复平面对应的点的坐标是()∴它对应的点在第四象限,故选D3.(3分)(2011•山东)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为()A.0 B.C.1 D.【分析】先将点代入到解析式中,解出a的值,再根据特殊三角函数值进行解答.【解答】解:将(a,9)代入到y=3x中,得3a=9,解得a=2.∴=.故选D.4.(3分)(2011•山东)不等式|x﹣5|+|x+3|≥10的解集是()A.[﹣5,7]B.[﹣4,6]C.(﹣∞,﹣5]∪[7,+∞)D.(﹣∞,﹣4]∪[6,+∞)【分析】解法一:利用特值法我们可以用排除法解答本题,分别取x=0,x=﹣4根据满足条件的答案可能正确,不满足条件的答案一定错误,易得到答案.解法二:我们利用零点分段法,我们分类讨论三种情况下不等式的解,最后将三种情况下x的取值范围并起来,即可得到答案.【解答】解:法一:当x=0时,|x﹣5|+|x+3|=8≥10不成立可排除A,B当x=﹣4时,|x﹣5|+|x+3|=10≥10成立可排除C故选D法二:当x<﹣3时不等式|x﹣5|+|x+3|≥10可化为:﹣(x﹣5)﹣(x+3)≥10解得:x≤﹣4当﹣3≤x≤5时不等式|x﹣5|+|x+3|≥10可化为:﹣(x﹣5)+(x+3)=8≥10恒不成立当x>5时不等式|x﹣5|+|x+3|≥10可化为:(x﹣5)+(x+3)≥10解得:x≥6故不等式|x﹣5|+|x+3|≥10解集为:(﹣∞,﹣4]∪[6,+∞)故选D5.(3分)(2011•山东)对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题;利用奇函数的定义,后面的命题能推出前面的命题;利用充要条件的定义得到结论.【解答】解:例如f(x)=x2﹣4满足|f(x)|的图象关于y轴对称,但f(x)不是奇函数,所以,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”推不出“y=f(x)是奇函数”当“y=f(x)是奇函数”⇒f(﹣x)=﹣f(x)⇒|f(﹣x)|=|f(x)|⇒y=|f(x)|为偶函数⇒,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”所以,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的必要而不充分条件故选B6.(3分)(2011•山东)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=()A.8 B.2 C.D.【分析】由题意可知函数在x=时确定最大值,就是,求出ω的值即可.【解答】解:由题意可知函数在x=时确定最大值,就是,k∈Z,所以ω=6k+;k=0时,ω=故选C7.(3分)(2011•山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263 954根据上表可得回归方程=x +的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元【分析】首先求出所给数据的平均数,得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点,求出方程中的一个系数,得到线性回归方程,把自变量为6代入,预报出结果.【解答】解:∵=3.5,=42,∵数据的样本中心点在线性回归直线上,回归方程中的为9.4,∴42=9.4×3.5+a,∴=9.1,∴线性回归方程是y=9.4x+9.1,∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5,故选:B.8.(3分)(2011•山东)已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为()A .B .=1C .=1D .=1【分析】由题意因为圆C:x2+y2﹣6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0),利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a,b的方程.再利用双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,建立另一个a,b的方程.【解答】解:因为圆C:x2+y2﹣6x+5=0⇔(x﹣3)2+y2=4,由此知道圆心C(3,0),圆的半径为2,又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线=1(a >0,b>0),∴a2+b2=9①又双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,而双曲线的渐近线方程为:y=⇔bx±ay=0,∴连接①②得所以双曲线的方程为:,故选A.9.(3分)(2011•山东)函数y=﹣2sinx 的图象大致是()A. B.C.D.【分析】根据函数的解析式,我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A,再求出其导函数,根据函数的单调区间呈周期性变化,分析四个答案,即可找到满足条件的结论.【解答】解:当x=0时,y=0﹣2sin0=0故函数图象过原点,可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案,只有C满足要求故选C10.(3分)(2011•山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3﹣x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A.6 B.7 C.8 D.9【分析】当0≤x<2时,f(x)=x3﹣x=0解得x=0或x=1,由周期性可求得区间[0,6)上解的个数,再考虑x=6时的函数值即可.【解答】解:当0≤x<2时,f(x)=x3﹣x=0解得x=0或x=1,因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,故f(x)=0在区间[0,6)上解的个数为6,又因为f(6)=f(0)=0,故f(x)=0在区间[0,6]上解的个数为7,即函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为7故选B11.(3分)(2011•山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图.其中真命题的个数是()A.3 B.2 C.1 D.0【分析】由三棱柱的三视图中,两个矩形,一个三角形可判断①的对错,由四棱柱的三视图中,三个均矩形,可判断②的对错,由圆柱的三视图中,两个矩形,一个圆可以判断③的真假.本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中熟练掌握各种几何体的几何特征进而判断出各种几何体中三视图对应的平面图形的形状是解答本题的关键.【解答】解:存在正三棱柱,其三视图中有两个为矩形,一个为正三角形满足条件,故①为真命题;存在正四棱柱,其三视图均为矩形,满足条件,故②为真命题;对于任意的圆柱,其三视图中有两个为矩形,一个是以底面半径为半径的圆,也满足条件,故③为真命题;故选:A12.(3分)(2011•山东)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若(λ∈R),(μ∈R),且,则称A3,A4调和分割A1,A2,已知点C(c,0),D(d,O)(c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是()A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C,D可能同时在线段AB上D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上【分析】由题意可得到c和d的关系,,只需结合答案考查方程的解的问题即可.A和B中方程无解,C中由c和d的范围可推出C和D点重合,由排除法选择答案即可.【解答】解:由已知可得(c,0)=λ(1,0),(d,0)=μ(1,0),所以λ=c,μ=d,代入得(1)若C是线段AB的中点,则c=,代入(1)d不存在,故C不可能是线段AB的中点,A错误;同理B错误;若C,D同时在线段AB上,则0≤c≤1,0≤d≤1,代入(1)得c=d=1,此时C 和D点重合,与条件矛盾,故C错误.故选D二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分)13.(3分)(2011•山东)执行如图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是68.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算并输出y值.模拟程序的运行过程,用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到最终的输出结果.【解答】解:程序在运行过程中各变量的值如下表示:L m n y是否继续循环循环前235第一圈235278是第二圈235173是第三圈23568否此时y值为68.故答案为:68.14.(3分)(2011•山东)若(x﹣)6式的常数项为60,则常数a的值为4.【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项,令x的指数等于0,求出常数项,列出方程求出a.【解答】解:展开式的通项为令6﹣3r=0得r=2所以展开式的常数项为aC62=60解得a=4故答案为:415.(3分)(2011•山东)设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,…根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N*且n≥2时,f n(x)=f(f n﹣1(x))=.【分析】观察所给的前四项的结构特点,先观察分子,只有一项组成,并且没有变化,在观察分母,有两部分组成,是一个一次函数,根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点,得到结果.【解答】解:∵函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,…所给的函数式的分子不变都是x,而分母是由两部分的和组成,第一部分的系数分别是1,3,7,15…2n﹣1,第二部分的数分别是2,4,8,16…2n∴f n(x)=f(f n﹣1(x))=故答案为:16.(3分)(2011•山东)已知函数f(x)=log a x+x﹣b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=2.【分析】把要求零点的函数,变成两个基本初等函数,根据所给的a,b的值,可以判断两个函数的交点的所在的位置,同所给的区间进行比较,得到n的值.【解答】解:设函数y=log a x,m=﹣x+b根据2<a<3<b<4,对于函数y=log a x 在x=2时,一定得到一个值小于1,在同一坐标系中划出两个函数的图象,判断两个函数的图形的交点在(2,3)之间,∴函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)时,n=2,故答案为:2三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)(2011•山东)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.且=.(I)求的值;(II)若cosB=,b=2,求△ABC的面积S.【分析】(Ⅰ)利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,整理后可求得sinC和sinA的关系式,则的值可得.(Ⅱ)先通过余弦定理可求得a和c的关系式,同时利用(Ⅰ)中的结论和正弦定理求得a和c的另一关系式,最后联立求得a和c,利用三角形面积公式即可求得答案.【解答】解:(Ⅰ)由正弦定理设则===整理求得sin(A+B)=2sin(B+C)又A+B+C=π∴sinC=2sinA,即=2(Ⅱ)由余弦定理可知cosB==①由(Ⅰ)可知==2②再由b=2,①②联立求得c=2,a=1sinB==∴S=acsinB=18.(12分)(2011•山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘,已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立.(Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率;(Ⅱ)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望Eξ.【分析】(I)由题意知红队至少有两名队员获胜包括四种情况,一是只有甲输,二是只有乙输,三是只有丙输,四是三个人都赢,这四种情况是互斥的,根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果.(II)由题意知ξ的可能取值是0,1,2,3,结合变量对应的事件写出变量对应的概率,变量等于2使得概率可以用1减去其他的概率得到,写出分布列,算出期望.【解答】解:(I)设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,∵甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5可以得到D,E,F的对立事件的概率分别为0.4,0,5,0.5红队至少两名队员获胜包括四种情况:DE,D F,,DEF,这四种情况是互斥的,∴P=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55(II)由题意知ξ的可能取值是0,1,2,3P(ξ=0)=0.4×0.5×0.5=0.1.,P(ξ=1)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35P(ξ=3)=0.6×0.5×0.5=0.15P(ξ=2)=1﹣0.1﹣0.35﹣0.15=0.4∴ξ的分布列是ξ0123P0.10.350.40.15∴Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.619.(12分)(2011•山东)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF.(Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE;(Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A﹣BF﹣C的大小.【分析】(Ⅰ)根据所给的一系列平行,得到三角形相似,根据平行四边形的判定和性质,得到线与线平行,根据线与面平行的判定定理,得到线面平行.(Ⅱ)根据二面角的求解的过程,先做出,再证明,最后求出来,这样三个环节,先证∠HRC为二面角的平面角,再设出线段的长度,在直角三角形中求出角的正切值,得到二面角的大小.【解答】证明:(Ⅰ)∵EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,∴∠EGF=90°,△ABC~△EFG,由于AB=2EF,∴BC=2FG,连接AF,∵FG∥BC,FG=BC,在▱ABCD中,M是线段AD的中点,∴AM∥BC,且AM=BC,∴FG∥AM且FG=AM,∴四边形AFGM为平行四边形,∴GM∥FA,∵FA⊂平面ABFE,GM⊄平面ABFE,∴GM∥平面ABFE.(Ⅱ)由题意知,平面ABFE⊥平面ABCD,取AB的中点H,连接CH,∵AC=BC,∴CH⊥AB则CH⊥平面ABFE,过H向BF引垂线交BF于R,连接CR,由线面垂直的性质可得CR⊥BF,∴∠HRC为二面角的平面角,由题意,不妨设AC=BC=2AE=2,在直角梯形ABFE中,连接FH,则FH⊥AB,又AB=2,∴HF=AE=1,HR===,由于CH=AB=,∴在直角三角形CHR中,tan∠HRC==,因此二面角A﹣BF﹣C的大小为60°20.(12分)(2011•山东)等比数列{a n}中.a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数.且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)如数列{b n}满足b n=a n+(﹣1)n lna n,求数列b n的前n项和s n.【分析】(Ⅰ)由表格可看出a1,a2,a3分别是2,6,18,由此可求出{a n}的首项和公比,继而可求通项公式(Ⅱ)先写出b n发现b n由一个等比数列、一个等差数列乘(﹣1)n的和构成,故可分组求和.【解答】解:(Ⅰ)当a1=3时,不合题意当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时符合题意当a1=10时,不合题意因此a1=2,a2=6,a3=18,所以q=3,所以a n=2•3n﹣1.(Ⅱ)b n=a n+(﹣1)n lna n=2•3n﹣1+(﹣1)n[(n﹣1)ln3+ln2]=2•3n﹣1+(﹣1)n(ln2﹣ln3)+(﹣1)n nln3所以s n=2(1+3+…+3n﹣1)+[﹣1+1﹣1+1+…+(﹣1)n](ln2﹣ln3)+[﹣1+2﹣3+4﹣…+(﹣1)n n]ln3所以当n为偶数时,s n==当n为奇数时,s n==综上所述s n=21.(12分)(2011•山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(Ⅰ)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r.【分析】(1)由圆柱和球的体积的表达式,得到l和r的关系.再由圆柱和球的表面积公式建立关系式,将表达式中的l用r表示.并注意到写定义域时,利用l≥2r,求出自变量r的范围.(2)用导数的知识解决,注意到定义域的限制,在区间(0,2]中,极值未必存在,将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论.【解答】解:(1)由体积V=,解得l=,∴y=2πrl×3+4πr2×c=6πr×+4cπr2=2π•,又l≥2r,即≥2r,解得0<r≤2∴其定义域为(0,2].(2)由(1)得,y′=8π(c﹣2)r﹣,=,0<r≤2由于c>3,所以c﹣2>0当r3﹣=0时,则r=令=m,(m>0)所以y′=①当0<m<2即c>时,当r=m时,y′=0当r∈(0,m)时,y′<0当r∈(m,2)时,y′>0所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.②当m≥2即3<c≤时,当r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减.所以r=2是函数y的最小值点.综上所述,当3<c≤时,建造费用最小时r=2;当c>时,建造费用最小时r=22.(14分)(2011•山东)已知直线l与椭圆C:交于P(x1,y1),Q (x2,y2)两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=,其中O为坐标原点.(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值;(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求|OM|•|PQ|的最大值;(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得S△ODE =S△ODG=S△OEG=?若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由.【分析】(Ⅰ)根据已知设出直线l的方程,利用弦长公式求出|PQ|的长,利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离,根据三角形面积公式,即可求得x12+x22和y12+y22均为定值;(Ⅱ)由(I)可求线段PQ的中点为M,代入|OM|•|PQ|并利用基本不等式求最值;(Ⅲ)假设存在D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2),使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=由(Ⅰ)得u2+x12=3,u2+x22=3,x12+x22=3;v2+y12=2,v2+y22=2,y12+y22=2,从而求得点D,E,G,的坐标,可以求出直线DE、DG、EG的方程,从而得到结论.【解答】解:(Ⅰ)1°当直线l的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,所以x1=x2,y1=﹣y2,∵P(x1,y1)在椭圆上,∴①=,又∵S△OPQ∴|x1||y1|=②由①②得|x1|=,|y1|=1.此时x12+x22=3,y12+y22=2;2°当直线l的斜率存在时,是直线l的方程为y=kx+m(m≠0),将其代入得(3k2+2)x2+6kmx+3(m2﹣2)=0,△=36k2m2﹣12(3k2+2)(m2﹣2)>0即3k2+2>m2,又x1+x2=﹣,x1•x2=,∴|PQ|==,∵点O到直线l的距离为d=,==,∴S△OPQ又S=,△OPQ整理得3k2+2=2m2,此时x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=(﹣)2﹣2=3,y12+y22=(3﹣x12)+(3﹣x22)=4﹣(x12+x22)=2;综上所述x12+x22=3,y12+y22=2.结论成立.(Ⅱ)1°当直线l的斜率不存在时,由(Ⅰ)知|OM|=|x1|=,|PQ|=2|y1|=2,因此|OM|•|PQ|=.2°当直线l的斜率存在时,由(Ⅰ)知=﹣,=k+m==|OM|2=()2+()2==,|PQ|2=(1+k2)==2(2+),所以|OM|2|PQ|2=×=(3﹣)(2+)=.|OM|•|PQ|.当且仅当=2+,即m=±时,等号成立.综合1°2°得|OM|•|PQ|的最大值为;(Ⅲ)椭圆C上不存在三点D,E,G,使得S△ODE =S△ODG=S△OEG=,证明:假设存在D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2),使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=由(Ⅰ)得u2+x12=3,u2+x22=3,x12+x22=3;v2+y12=2,v2+y22=2,y12+y22=2解得u2=x12=x22=;v2=y12=y22=1.因此u,x1,x2只能从±中选取,v,y1,y2只能从±1中选取,因此点D,E,G,只能在(±,±1)这四点中选取三个不同点,而这三点的两两连线中必有一条过原点,与S△ODE =S△ODG=S△OEG=矛盾.所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G.。
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(Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A﹣BF﹣C的大小.
20.(12分)(2011•山东)等比数列{an}中.a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数.且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
5.(3分)(2011•山东)对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.(3分)(2011•山东)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,则ω=( )
8.(3分)(2011•山东)已知双曲线 =1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A. B. =1
C. =1D. =1
9.(3分)(2011•山东)函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
10.(3分)(2011•山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3﹣x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
15.(3分)(2011•山东)设函数f(x)= (x>0),观察:
f1(x)=f(x)= ,
f2(x)=f(f1(x))= ,
f3(x)=f(f2(x))= ,
f4(x)=f(f3(x))= ,
…
根据以上事实,由归纳推理可得:
当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f(fn﹣1(x))=.
16.(3分)(2011•山东)已知函数f(x)=logax+x﹣b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=.
(Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率;
(Ⅱ)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望Eξ.
19.(12分)(2011•山东)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF.
(Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE;
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.(3分)(2011•山东)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan 的值为( )
A.0B. C.1D.
4.(3分)(2011•山东)不等式|x﹣5|+|x+3|≥10的解集是( )
A.[﹣5,7]B.[﹣4,6]C.(﹣∞,﹣5]∪[7,+∞)D.(﹣∞,﹣4]∪[6,+∞)
2011年山东省高考数学试卷(理科)
一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)
1.(3分)(2011•山东)设集合M={x|x2+x﹣6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=( )
A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]
2.(3分)(2011•山东)复数z= (i是虚数单位)在复平面内对应的点位于象限为( )
三、解答题(共6小题,满分74分)
17.(12分)(2011•山东)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ,b=2,求△ABC的面积S.
18.(12分)(2011•山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘,已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立.
A.6B.7C.8D.9
11.(3分)(2011•山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:
①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;
②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;
③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图.
其中真命题的个数是( )
A.3B.2C.1D.0
12.(3分)(2011•山东)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 (λ∈R), (μ∈R),且 ,则称A3,A4调和分割A1,A2,已知点C(c,0),D(d,O)(c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( )
A.C可能是线段AB的中点
B.D可能是线段AB的中点
C.C,D可能同时在线段AB上
D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上
二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分)
13.(3分)(2011•山东)执行如图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是.
14.(3分)(2011•山东)若(x﹣ )6式的常数项为60,则常数a的值为.
Aห้องสมุดไป่ตู้8B.2C. D.
7.(3分)(2011•山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程 = x+ 的 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元
(Ⅰ)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;
(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r.
22.(14分)(2011•山东)已知直线l与椭圆C: 交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ= ,其中O为坐标原点.
(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值;
(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求|OM|•|PQ|的最大值;
(Ⅱ)如数列{bn}满足bn=an+(﹣1)nlnan,求数列bn的前n项和sn.
21.(12分)(2011•山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.