有限差分法求一维谐振子本征值_MATLAB
有限差分法Matlab实现课件
函数与脚本
03
Matlab中的函数和脚本可以用来组织代码和实现特
定功能，支持参数传递和局部变量。
Matlab的数据类型
数值型
数值型变量用于存储数字数据，包括整数 和浮点数。
单元数组
单元数组是一种特殊的数据类型，可以用 来存储多个字符串或数值型数据，每个元 素用方括号括起来。
总结词：三维有限差分法是求解偏微分方程的一种数值 方法，通过在三个方向上将方程离散化，用差分近似代 替微分，从而将原问题转化为求解一系列线性方程组。
1. 将求解区域划分为一系列离散的网格点；
详细描述：三维有限差分法通常采用如下的步骤进行实 现
2. 用差分近似代替微分，将原微分方程转化为差分方 程；
3. 利用线性方程组的求解方法，如高斯消元法、迭代法 等，求解差分方程；
r(i,i+1) = -2/h^2 + x(i+1)^2/h^2;
b(i) = (u(i+1) - 2*u(i) + u(i-1))/h^2 x(i)^2*u(i)/h^2;
一维有限差分法的代码示例及解析
end
r(1,1) = r(N,N) = 4/h^2;
b(1) = b(N) = (u(2) - u(1))/h^2;
在图像处理中的应用
图像去噪
有限差分法可以用来对图像进行去噪处理，通过减少图像中的噪声 来提高图像质量。
图像增强
有限差分法可以用来增强图像的边缘和细节，提高图像的视觉效果 。
图像重建
有限差分法可以用来从部分图像中重建出完整的图像，应用于计算 机视觉、模式识别等领域。
05
CATALOGUE
Matlab实现的代码示例及解析
完整word版,一维扩散方程有限差分法matlab
Fpg一维扩散方程の有限差分法——计算物理实验作业七 陈万物理学 2013 级 题目：编程求解一维扩散方程の解uD 2u 2 (0 x a 0 ,0 t t max ) tx u(x,t) |t 0 e x ua 1ub 1 nc 1(x 0)a 2ub 2 uc 2( x a 0 )n取 a 1 1,b 1 1, c 1 0, a 2 1, b 21, c 2 0, a 0 1.0,t max 。
输出 t=1,2,...,10 时辰の x 和 u(x), 并与解析解 u=exp(x+0.1t)作比较。
主程序：% 一维扩散方程の有限差分法 clear,clc;%定义初始常量a1 = 1; b1 = 1; c1 = 0; a2 = 1;b2 =-1; c2 = 0;a0 = 1.0; t_max = 10; D = 0.1; h = 0.1; tao = 0.1;%调用扩散方程子函数求解u = diffuse_equation(a0,t_max,h,tao,D,a1,b1,c1,a2,b2,c2);子程序 1：function output = diffuse_equation(a0,t_max,h,tao,D,a1,b1,c1,a2,b2,c2)% 一维扩散方程の有限差分法，采用隐式六点差分格式 (Crank-Nicolson)% a0: x の最大值% t:_max: t の最大值% h: 空间步长% tao: 时间步长% D ：扩散系数% a1,b1,c1是（ x=0）界线条件の系数； a2,b2,c2是（ x=a0）界线条件の系数x = 0:h:a0;n = length(x);t = 0:tao:t_max;k = length(t);P = tao * D/h^2;P1=1/P+1;P2 = 1/P- 1;u = zeros(k,n);%初始条件u(1,:) = exp(x);%求 A 矩阵の对角元素dd = zeros(1,n);d(1,1) = b1*P1+h*a1;d(2:(n-1),1) = 2*P1;d(n,1) = b2*P1+h*a2;%求 A 矩阵の对角元素下边一行元素ee= -ones(1,n-1);e(1,n-1) = -b2;%求 A 矩阵の对角元素上边一行元素ff= -ones(1,n-1);f(1,1) = -b1;R = zeros(k,n);%求 R%追赶法求解for i = 2:kR(i,1) = (b1*P2-h*a1)*u(i -1,1)+b1*u(i -1,2)+2*h*c1;for j = 2:n-1R(i,j) = u(i -1,j-1)+2*P2*u(i -1,j)+u(i -1,j+1);endR(i,n) = b2*u(i -1,n-1)+( b2*P2-h*a2)*u(i -1,n)+2*h*c2;M = chase(e,d,f,R(i,:));u(i,:) = M';plot(x,u(i,:)); axis([0 a0 0 t_max]); pause(0.1)endoutput = u;%绘图比较解析解和有限差分解[X,T] = meshgrid(x,t);Z = exp(X+0.1*T);surf(X,T,Z),xlabel( 'x'),ylabel('t'),zlabel('u'),title( '解析解 '); figuresurf(X,T,u),xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('u'),title( '有限差分解 ');子程序 2：function M = chase(a,b,c,f)%追赶法求解三对角矩阵方程， Ax=f%a 是对角线下边一行の元素%b 是对角线元素%c 是对角线上边一行の元素%M 是求得の结果，以列向量形式保存n = length(b);beta = ones(1,n-1);y = ones(1,n);M = ones(n,1);for i = (n-1):(-1):1a(i+1) = a(i);end%将 a 矩阵和 n 对应beta(1) = c(1)/b(1);for i = 2:(n-1)beta(i) = c(i)/( b(i) -a(i)*beta(i -1) );endy(1) = f(1)/b(1);for i = 2:ny(i) = (f(i) -a(i)*y(i -1))/(b(i) - a(i)*beta(i-1));endM(n) = y(n);for i = (n-1):(-1):1M(i) = y(i) -beta(i)*M(i+1);endend结果：比较解析两图，结果令人满意。
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
有限差分法的Matlab程序
有限差分法的M a t l a b程序有限差分法的Matlab程序（椭圆型方程）function FD_PDE(fun,gun,a,b,c,d)% 用有限差分法求解矩形域上的Poisson方程tol=10^(-6); % 误差界N=1000; % 最大迭代次数n=20; % x轴方向的网格数m=20; % y轴方向的网格数h=(b-a)/n; % x轴方向的步长l=(d-c)/m; % y轴方向的步长for i=1:n-1x(i)=a+i*h;end % 定义网格点坐标for j=1:m-1y(j)=c+j*l;end % 定义网格点坐标u=zeros(n-1,m-1); %对u赋初值% 下面定义几个参数r=h^2/l^2;s=2*(1+r);k=1;% 应用Gauss-Seidel法求解差分方程while k<=N% 对靠近上边界的网格点进行处理% 对左上角的网格点进行处理z=(-h^2*fun(x(1),y(m-1))+gun(a,y(m-1))+r*gun(x(1),d)+r*u(1,m-2)+u(2,m-1))/s; norm=abs(z-u(1,m-1));u(1,m-1)=z;% 对靠近上边界的除第一点和最后点外网格点进行处理for i=2:n-2z=(-h^2*fun(x(i),y(m-1))+r*gun(x(i),d)+r*u(i,m-2)+u(i+1,m-1)+u(i-1,m-1))/s;if abs(u(i,m-1)-z)>norm;norm=abs(u(i,m-1)-z);endu(i,m-1)=z;end% 对右上角的网格点进行处理z=(-h^2*fun(x(n-1),y(m-1))+gun(b,y(m-1))+r*gun(x(n-1),d)+r*u(n-1,m-2)+u(n-2,m-1))/s; if abs(u(n-1,m-1)-z)>normnorm=abs(u(n-1,m-1)-z);endu(n-1,m-1)=z;% 对不靠近上下边界的网格点进行处理for j=m-2:-1:2% 对靠近左边界的网格点进行处理z=(-h^2*fun(x(1),y(j))+gun(a,y(j))+r*u(1,j+1)+r*u(1,j-1)+u(2,j))/s;if abs(u(1,j)-z)>normnorm=abs(u(1,j)-z);endu(1,j)=z;% 对不靠近左右边界的网格点进行处理for i=2:n-2z=(-h^2*fun(x(i),y(j))+u(i-1,j)+r*u(i,j+1)+r*u(i,j-1)+u(i+1,j))/s;if abs(u(i,j)-z)>normnorm=abs(u(i,j)-z);endu(i,j)=z;end% 对靠近右边界的网格点进行处理z=(-h^2*fun(x(n-1),y(j))+gun(b,y(j))+r*u(n-1,j+1)+r*u(n-1,j-1)+u(n-2,j))/s;if abs(u(n-1,j)-z)>normnorm=abs(u(n-1,j)-z);endu(n-1,j)=z;end% 对靠近下边界的网格点进行处理% 对左下角的网格点进行处理z=(-h^2*fun(x(1),y(1))+gun(a,y(1))+r*gun(x(1),c)+r*u(1,2)+u(2,1))/s;if abs(u(1,1)-z)>normnorm=abs(u(1,1)-z);endu(1,1)=z;% 对靠近下边界的除第一点和最后点外网格点进行处理for i=2:n-2z=(-h^2*fun(x(i),y(1))+r*gun(x(i),c)+r*u(i,2)+u(i+1,1)+u(i-1,1))/s;if abs(u(i,1)-z)>normnorm=abs(u(i,1)-z);endu(i,1)=z;end% 对右下角的网格点进行处理z=(-h^2*fun(x(n-1),y(1))+gun(b,y(1))+r*gun(x(n-1),c)+r*u(n-1,2)+u(n-2,1))/s;if abs(u(n-1,1)-z)>normnorm=abs(u(n-1,1)-z);endu(n-1,1)=z;% 结果输出if norm<=tolfid = fopen('FDresult.txt', 'wt');fprintf(fid,'\n********用有限差分法求解矩形域上Poisson方程的输出结果********\n\n'); fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);fprintf(fid,' x的值 y的值 u的值 u的真实值 |u-u(x,y)|\n');for i=1:n-1for j=1:m-1fprintf(fid, '%8.3f %8.3f %14.8f %14.8f %14.8f\n', [x(i),y(j),u(i,j),gun(x(i),y(j)),abs(u(i,j)-gun(x(i),y(j)))]);endendfclose(fid);break; % 用来结束while循环endk=k+1;endif k==N+1fid = fopen('FDresult.txt', 'wt');fprintf(fid,'超过最大迭代次数，求解失败！');fclose(fid);endclc[a1 a2 a3 a4] = textread('F:\aa.txt','%f %f %f %f');a = [a1 a2 a3];a=a';b=a4';[pa,mina,maxa,pb,minb,maxb]=premnmx(a,b);net =newrb(pa,pb,0,1.3,24,2);an =sim(net,pa);E = an - pb;m =sse(E)n = mse(E)[f1 f2 f3 f4]= textread('F:\bb.txt','%f %f %f %f');f = [f1 f2 f3];f=f';pf = tramnmx(f,mina,maxa);an2 = sim(net,pf);g =postmnmx(an2,minb,maxb);g= g';E2 = g- f4;mm =sse(E2)nn = mse(E2)。
一维导热方程有限差分法matlab实现
第五次作业（前三题写在作业纸上）一、用有限差分方法求解一维非定常热传导方程，初始条件和边界条件见说明.pdf 文件，热扩散系数α=const ，22T T t xα∂∂=∂∂ 1. 用Tylaor 展开法推导出FTCS 格式的差分方程2. 讨论该方程的相容性和稳定性，并说明稳定性要求对求解差分方程的影响。
3. 说明该方程的类型和定解条件，如何在程序中实现这些定解条件。
4. 编写M 文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。
（部分由网络搜索得到，添加，修改后得到。
）function rechuandaopde%以下所用数据，除了t 的范围我根据题目要求取到了20000，其余均从pdf 中得来 a=0.00001;%a 的取值xspan=[0 1];%x 的取值范围tspan=[0 20000];%t 的取值范围ngrid=[100 10];%分割的份数，前面的是t 轴的，后面的是x 轴的f=@(x)0;%初值g1=@(t)100;%边界条件一g2=@(t)100;%边界条件二[T,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);%计算所调用的函数[x,t]=meshgrid(x,t);mesh(x,t,T);%画图，并且把坐标轴名称改为x ，t ，Txlabel('x')ylabel('t')zlabel('T')T%输出温度矩阵dt=tspan(2)/ngrid(1);%t 步长h3000=3000/dt;h9000=9000/dt;h15000=15000/dt;%3000,9000,15000下，温度分别在T矩阵的哪些行T3000=T(h3000,:)T9000=T(h9000,:)T15000=T(h15000,:)%输出三个时间下的温度分布%不再对三个时间下的温度-长度曲线画图，其图像就是三维图的截面%稳定性讨论,傅里叶级数法dx=xspan(2)/ngrid(2);%x步长sta=4*a*dt/(dx^2)*(sin(pi/2))^2;if sta>0,sta<2fprintf('\n%s\n','有稳定性')elsefprintf('\n%s\n','没有稳定性')errorend%真实值计算[xe,te,Te]=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);[xe,te]=meshgrid(xe,te);mesh(xe,te,Te);%画图，并且把坐标轴名称改为xe，te，Texlabel('xe')ylabel('te')zlabel('Te')Te%输出温度矩阵%误差计算jmax=1/dx+1;%网格点数[rms]=wuchajisuan(T,Te,jmax)rms%输出误差function [rms]=wuchajisuan(T,Te,jmax)for j=1:jmaxrms=((T(j)-Te(j))^2/jmax)^(1/2)endfunction[Ue,xe,te]=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid)n=ngrid(1);%t份数m=ngrid(2);%x份数Ue=zeros(ngrid);xe=linspace(xspan(1),xspan(2),m);%画网格te=linspace(tspan(1),tspan(2),n);%画网格for j=2:nfor i=2:m-1for g=1:m-1Ue(j,i)=100-(400/(2*g-1)/pi)*sin((2*g-1)*pi*xe(j))*exp(-a*(2*g-1)^2*pi^2*te(i)) endendendfunction [U,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid)n=ngrid(1);%t份数m=ngrid(2);%x份数h=range(xspan)/(m-1);%x网格长度x=linspace(xspan(1),xspan(2),m);%画网格k=range(tspan)/(n-1); %t网格长度t=linspace(tspan(1),tspan(2),n);%画网格U=zeros(ngrid);U(:,1)=g1(t);%边界条件U(:,m)=g2(t);U(1,:)=f(x);%初值条件%差分计算for j=2:nfor i=2:m -1U(j,i)=(1-2*a*k/h^2)*U(j -1,i)+a*k/h^2*U(j -1,i -1)+a*k/h^2*U(j -1,i+1);endend5. 将温度随时间变化情况用曲线表示x t T6. 给出3000、9000、15000三个时刻的温度分布情况，对温度随时间变化规律做说明。
线性谐振子的不同解法比较
线性谐振子的不同解法比较关键词：一维谐振子；能量本征值；波函数摘 要：一维线性谐振子作为量子力学中的基础模型，它的解决方法具有多样性并随着科学工作者的努力和对数学理论的应用的不断深入（如群论和群表示理论），谐振子的解法将会最优化，并会对多维谐振子以及耦合谐振子等复合问题[1]的解决起着重要的帮助作用。
在这里我们将分别从表象理论（包括坐标表象、动量表象、能量表象和占有数表象），以及矩阵力学、宇称等角度出发求解一维线性谐振子，并作出适当的比较。
中国分类号：（140物理学） 文献标识码：A 文章编号：Comparison with Several Different Methods on the Solutions of One-dimensional Linear HarmonicOscillator Key words: one-dimensional linear harmonic oscillator; eigenvalue of energy and wavefunctionAbstract: One-dimensional linear harmonic oscillator as a basic model in quantum mechanics, there are more and more solutions to it with the increasing development of the theory of mathematics. It will serve the differentproblems of multidimensional and coupled harmonic oscillator. We will respectively solve one-dimensional linear harmonic oscillator from the theory of presentative, matrix mechanics and parity respectively.1． 引言谐振子的模型在量子力学，量子光学以及固体物理等学科领域都有着广泛的应用。
一维谐振子的本征值问题
一维谐振子的本征值问题姜罗罗赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrdinger 波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrdinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrdinger 创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。
一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schrdinger 波动力学解法。
一维谐振子的本征值问题.
一维谐振子的本征值问题姜罗罗赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrödinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrödinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。
一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ödinger 波动力学解法。
有限差分法及matlab实现
U i1, j , k U i−1, j , k U i , j 1, kU i , j −1, kU i , j , k1 U i , j , k−1 = 6U i , j , k ρ ----- (1) ⋯ ∂ x 2 ∂ x2 6 ∂ x3 ∂ U 1 ∂2 U 1 ∂3 U U i , j 1, k =U i , j ,k ⋯ ∂ y 2 ∂ y2 6 ∂ y3 ∂ U 1 ∂2 U 1 ∂ 3 U U i , j , k1 =U i , j ,k ⋯ ∂ z 2 ∂ z2 6 ∂ z3 ∂ U 1 ∂2 U 1 ∂3 U U i−1, j , k =U i , j , k− − ⋯ ∂ x 2 ∂ x2 6 ∂ x3 ∂ U 1 ∂2 U 1 ∂3 U U i , j 1, k =U i , j , k− − ⋯ ∂ y 2 ∂ y2 6 ∂ y3 ∂ U 1 ∂2 U 1 ∂ 3 U U i , j , k1 =U i , j , k− − ⋯ ∂ z 2 ∂ z2 6 ∂ z3 U i1, j , k =U i , j ,k
= 6U i , j , k ρ
这就是泊松方程的有限差分形式，以下估计该方程的精度： 由泰勒公式，易知有以下结果：
∂U 1 ∂2 U 2 1 ∂3 U 3 h h h ⋯ ∂x 2 ∂ x2 6 ∂ x3 ∂U 1 ∂ 2 U 2 1 ∂3 U 3 U x , y k, z =U x , y , z k k k ⋯ ∂y 2 ∂ y2 6 ∂ y3 2 3 ∂U 1∂ U 2 1∂ U 3 U x , y , z l =U x , y , z l l l ⋯ ∂z 2 ∂ z2 6 ∂ z3 U x h , y , z =U x , y , z
有限差分 matlab
有限差分matlab有限差分方法是一种常用的数值计算技术，用于求解偏微分方程。
在本文中，我们将介绍有限差分方法在Matlab中的实现步骤。
有限差分方法的基本思想是将求解区域离散化为有限个网格点，并使用差分近似代替微分运算，从而将原问题转化为代数方程组的求解。
在Matlab 中，我们可以通过以下步骤来实现有限差分方法。
第一步：初始化求解区域和边界条件首先，我们需要确定求解区域的大小和边界条件。
在Matlab中，我们可以使用矩阵来表示求解区域，其中每个元素代表一个网格点。
例如，如果求解区域的大小为NxM，我们可以创建一个大小为NxM的矩阵来表示求解区域。
同时，我们还需要确定边界条件。
边界条件可以分为三类：Dirichlet边界条件，Neumann边界条件和混合边界条件。
对于Dirichlet边界条件，我们可以将边界网格点的值直接设置为给定的边界值。
对于Neumann边界条件，我们可以使用差分近似来计算边界网格点的值。
对于混合边界条件，我们需要根据具体情况来确定如何处理。
第二步：离散化方程接下来，我们需要将求解的偏微分方程离散化。
具体来说，我们需要使用差分近似来替代微分运算。
有限差分方法主要有两种形式：前向差分和中心差分。
在前向差分中，我们使用当前时刻的值来代替时间导数的近似值。
在中心差分中，我们使用当前时刻和上一个时刻的值来代替时间导数的近似值。
在Matlab中，我们可以使用矩阵运算来同时对整个求解区域进行离散化。
具体来说，我们可以使用矩阵乘法和矩阵加法来表示离散化的方程。
例如，对于一个二维的偏微分方程，我们可以使用矩阵乘法来表示空间导数近似的部分，然后使用矩阵加法来表示时间导数近似的部分。
第三步：构建代数方程组离散化后的偏微分方程可以被表示为一个代数方程组。
通常，我们可以使用线性代数的方法来求解这个方程组。
在Matlab中，我们可以使用矩阵和向量的运算来表示代数方程组。
具体来说，我们可以使用矩阵乘法和向量的加法来表示代数方程组的求解过程。
一维热传导方程分离变量法与有限差分法Matlab解法
第四题完成
u(20,j)=u(19,j); end; disp(u); [x,t]=meshgrid(1:100,1:20); surf(x,t,u); xlabel('t'),ylabel('x'),zlabel('T'); title(' 有限差分法解'); 我们得到如图所示的热传导方程：
结论：
比较可得由以上两种方法作出的三维图形基本相同，符合热传导的热量分布 随时间和空间的变化规律
得到如图所示的热传导方程：
有限差分法
u=zeros(20,100); %t=1 x=pi 20 行 100 列 横坐标为 x 纵坐标为 t s=(1/100)/(pi/20)^2; fprintf(' 稳定性系数 S 为:\n'); disp(s); for i=1:20 u(i,1)=i/20*pi;; end; for j=1:100 u(1,j)=0; end for j=1:99 for i=2:19 u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j); end end for j=1:100
模拟与仿真
根据课上所学知识，我们有如下方程：
u − a 2u = 0, 0 < x < l , t > 0 t xx u x x = l 0, t>0 = u x = 0 0, = 0< x<l = u t = 0 ϕ ( x ),
为便于解释做题，我们令： a=1 l=pi =x; 下面开始求解：
分离变量法 根据课上所讲
其中：
我们有如下代码：
x=0:0.1*pi:pi; y=0:0.4:10; [x,t]=meshgrid(x,y); u=0; m=length(j);%m u=u+8*(-1)^i/(pi*(2*i+1)^2)*(sin((2*i+1)/2*x).*exp(-(2*i+1)^2/4*t)); end; surf(x,t,u); xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T'); title(' 分离变量法（无穷）'); disp(u);
2有限差分法解能量本征方程
妒２．Ｊ，Ｉ
妒２，ｌ
为书写方便，令咖，＾＝
，枞＝ ●
：
驴ｍ一１。ｊ．量 考虑边界条件式（４），式（６）可写为
Ｆ巾ｋ一１＋Ｈ巾ｋ＋Ｆ巾ｋ々１＝Ｘ巾ｋ
（７）
其中。
ｆＧ
Ｆ：ｌ；
【ｏ
ｏ１
；ｌ，Ｇ＝
ＧＪ
１
（△ｚ）２
ｏ
ＣＤ
０
ＤＣ
０
Ｈ＝
Ｏ０
Ｃ
Ｏ０
Ｄ
仆２（南＋丽１＋南），则
Ｏ Ｏ
。Ｄ＝ Ｄ Ｃ
…一五１孑
１
（△ｙ）２
Ｓ为三对角矩阵，是大型稀疏矩阵，用Ｍａｔｌａｂ编程计算可同时得到矩阵ｓ的本征值和本征矢．表１是取
不同格点、步长值时一维谐振子能量Ｅ的数值计算结果与精确解的比较，从表１可以看出有限差分法的
Ｔａｂｌｅ １
表１一维谐振子能量
Ｅｎｅｒｇｉｅｓ ｆｏｒ鱼ｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ
（１１）
式（９）可写为
≯ｏ＝０，妒。＝０
（１２）
上＋。２ 考虑式（１２），式（１１）可写为Ｓ也＝．：Ｉ讥，其中 一！
…
０
（Ａｔ）２’筝１
（△导）２
熹＋ｔ２…ａｔ） １
（△ｅ）２ （
２。
０
Ｏ
一呈
…
０
驴ｌ
（Ａｔ）２
妒２
Ｓ＝
，妒｛＝
０
０
…
１
妒。一２
（ａｔ）２
妒ｍ一１
ｏ ｏ …丽２＋ｔ２—２一砑１
ｏ ｏ …一丽１ 丽２＋ｔ２一ｌ
１直角坐标系中能量本征方程差分格式的建立
在直角坐标系中能量本征方程的一般形式为【７１
有限差分法模拟一维(二维)谐振子
目录第1章概述 (1)第2章有限差分方式 (2)有限差分法大体思想 (2)差分方程组的求解 (3)2.2.1高斯-赛德尔迭代法 (3)2.2.2逐次超松弛法 (3)第3章求解谐振子的微分方程 (4)一维谐振子 (4)二维各向同性谐振子 (6)第4章总结 (9)参考文献 (10)附录 (11)附1一维线性谐振子的程序设计 (11)附基态一维线性谐振子 (11)附第一激发态一维线性谐振子 (12)附第二激发态一维线性谐振子 (13)附2二维线性谐振子的程序设计 (13)第1章概述微分方程和积分微分方程数值解的方式。
大体思想是把持续的定解区域用有限个离散点组成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把持续定解区域上的持续变量的函数用在网格上概念的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以够取得原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方式即能够从离散解取得定解问题在整个区域上的近似解。
有限差分法可普遍用来求解偏微分方程的近似解，在电磁场中求解点位函数的拉普拉斯方程时，可采用有限差分法的大体思想是：用网格将场域进行分割，再把拉普拉斯方程用以各网格点处的点位作为未知数的差分方程式来进行代换，将求解拉普拉斯方程解得问题变成求联立差分方程组的解得问题]1[，在差分网格超级多和情形下，利用并行计算方式对其进行区域分解，每一个进程负责运算一部份区域，区域边界之间进行必腹地通信可有效提高计算速度，解决更大规模的问题。
往往只讨论它在静态场中的应用，即泊松方程或拉普拉斯方程的有限差分形式，很少涉及到它在时谐场（即亥姆霍兹方程）中的应用。
本文重点讨论亥姆霍兹方程的有限差分形式和它在时谐场中的应用。
同时，有限差分法（finite difference method）是基于差分原理的一种数值计算方式，在求解微分方程定解问题中普遍应用。
一维正激波问题matlab编程
一维正激波问题是流体力学中的一个经典问题，研究正激波的性质及其在不同工程领域中的应用具有重要的理论和实际意义。
在本文中，我们将重点讨论一维正激波问题的数学模型、解析解和数值模拟方法，并借助MATLAB编程对其进行实现和分析。
1. 一维正激波问题的数学模型正激波是一种由于流体流速超过声速而形成的激波现象，其数学描述可由欧拉方程组表示。
在一维情况下，欧拉方程组可以简化为如下形式的非线性偏微分方程组：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u)}{\partial x} = 0 \]\[ \frac{\partial (\rho u)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u^2 + p)}{\partial x} = 0 \]\[ \frac{\partial (\rho E)}{\partial t} + \frac{\partial (u(\rho E + p))}{\partial x} = 0 \]其中，\( \rho \) 为流体密度，\( u \) 为流体速度，\( p \) 为压力，\( E \) 为总能量。
在一维正激波问题中，通常需要给定适当的初边值条件和外部环境参数，并通过求解以上偏微分方程组得到正激波的演变规律。
2. 一维正激波问题的解析解由于一维正激波问题的复杂性，其解析解往往较为罕见。
在一些简化的情况下，可以通过特征线方法、相似解方法等手段获得一维正激波问题的解析解。
然而，针对一般的一维正激波问题，往往需要借助数值模拟方法求解。
3. 一维正激波问题的数值模拟方法数值模拟是研究一维正激波问题的有效手段之一，其主要思想是将偏微分方程组离散化为差分方程组，并通过迭代求解得到一维正激波的数值解。
常见的数值模拟方法包括有限差分法、有限体积法、间断Galerkin法等。
这些方法可以在MATLAB等软件评台上进行编程实现，为研究人员和工程师提供了便利的工具和技术支持。
一维定态谐振子的数值解法及MATLAB指令
一维定态谐振子的数值解法及MATLAB指令作者：郭佳林来源：《现代信息科技》2018年第08期摘要：本文利用数值解法算出一维定态谐振子的前九个能级的波函数，并给出一个大学阶段容易理解的MATLAB指令。
其结果与常用的理论法结果相比较，得出了一致的结论。
关键词：谐振子；定态；数值解法中图分类号：O413.1；TP311.1 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2018）08-0100-02Abstract：The wave functions of the first nine energy levels of one-dimensional stationary harmonic oscillator are calculated by numerical method，and a MATLAB instruction which is easy to understand in the university stage is given. The result is consistent with the commonly used theoretical results，and draws a consistent conclusion.Keywords：harmonic oscillator；stationary state；cumerical solution0 引言在自然界中，广泛存在谐振运动。
任何体系在平衡位置附近的微小震动，例如分子的震动、晶格的震动、原子核表面的震动以及辐射场的震动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐震动。
谐振动往往作为复杂运动的初步近似，在其基础上进行各种改进。
所以谐振子运动的研究，无论在理论上或在应用上，都是很重要的。
同时一维定态谐振子问题也是初等量子力学的重要问题，是进行量子力学的必要问题。
MATLAB是一个功能强大，界面友好的数学软件，也称之为科学技术计算机语言。