最新人教版九年级上册数学教案：第22章 二次函数

22．1.1 二次函数

1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式． 2．会利用二次函数的概念解决问题． 3．列二次函数表达式解决实际问题．

一、情境导入

已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y (米2

)，窗户宽为x (米)，你能写出y 与x 之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数的有关概念 【类型一】二次函数的识别

下列函数哪些是二次函数？

(1)y ＝2－x 2;

(2)y ＝

1

x 2

－1

； (3)y ＝2x (1＋4x ); (4)y ＝x 2

－(1＋x )2

. 解析：(1)是二次函数；(2)1

x 2

－1

是分式而不是整式，不符合二次函数的定义式，故y ＝

1x 2

－1

不是二次函数；(3)把y ＝2x (1＋4x )化简为y ＝8x 2＋2x ，显然是二次函数；(4)y ＝x 2

－(1＋x )2

化简后变为y ＝－2x －1，它不是二次函数而是一个一次函数．

解：二次函数有(1)和(3)． 方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.

【类型二】确定二次函数中待定字母的取值

如果函数y ＝(k ＋2)xk －2是y 关于x 的二次函数，则k 的值为多少？ 解析：紧扣二次函数的定义求解．注意易错点为忽视k ＋2≠0的条件．

解：根据题意知?????k 2

－2＝2，k ＋2≠0，解得?

????k ＝±2，

k ≠－2，∴k ＝2.

方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a ≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax

2

＋bx＋c.

【类型三】求函数值

当x＝－3时，函数y＝2－3x－x2的值为________．

解析：把x＝－3直接代入函数的表达式得y＝2－3×(－3)－(－3)2＝2＋9－9＝2.即函数的值为2.

方法总结：求函数值实际上就是求代数式的值．用所给的自变量的值替换函数关系式中的自变量，然后计算，注意运算顺序不要改变．

【类型四】确定自变量的取值

当x＝________时，函数y＝x2＋5x－5的函数值为1.

解析：令y＝1，即x2＋5x－5＝1，解这个一元二次方程得x1＝－6，x2＝1.即x＝－6或1.

方法总结：求二次函数自变量的值实际上就是解一元二次方程．直接转化为关于自变量的一元二次方程，通过解方程确定自变量的取值．

探究点二：列二次函数的解析式

一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1)cm的小长方形．剩余部分的面积为y cm2.

(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？

(2)当x的值为2或4时，相应的剩余部分面积是多少？

解析：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．如图所示．

解：(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144，∴y是x的二次函数．

(2)当x＝2或4时，相应的y的值分别为132cm2或104cm2.

方法总结：二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型．许多实际问题的解决，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型.

某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．

解析：根据题意可知：实际商品的利润为(60－x－40)，每星期售出商品的数量为(300＋20x)，则每星期售出商品的利润为y＝(60－x－40)(300＋20x)，化简，注意要求出自变量x的取值范围．

解：由题意，得：y＝(60－x－40)(300＋20x)＝(20－x)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6000，自变量x的取值范围为0≤x<20.

方法总结：销售利润＝单位商品利润×销售数量；商品利润＝售价－进价．

三、板书设计

教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比已学过的一次函数，进一步巩固函数的有关知识.

22.1.1 二次函数

教学目标：

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：

一、试一试

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，

2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?

3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，

对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．

二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?

在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?

[利润=(售价－进价)×销售量]

2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?

[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?

[(10－8－x)；(100＋100x)]

4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，

[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

[y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)]

将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：

y=－2x2＋20x (0＜x＜10) (1)

将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：

y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2) (2)

三、观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?

(各有1个)

(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?

(分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?

(都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。

2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．

四、课堂练习

1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数?

(1)y=5x＋1 (2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1

2．P3练习第1，2题。

五、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

六、作业：略

22．1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质

1．会用描点法画出y ＝ax 2

的图象，理解抛物线的概念．

2．掌握形如y ＝ax 2

的二次函数图象和性质，并会应用．

一、情境导入

自由落体公式h ＝12gt 2

(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象

是什么形状呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数y ＝ax 2

的图象 【类型一】图象的识别

已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2

的图象有可能是( )

解析：本题进行分类讨论：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2

的图象开口向上，函数y ＝ax

图象经过一、三象限，故排除选项B ；(2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2

的图象开口向下，函数y ＝ax 图象经过二、四象限，故排除选项D ；又因为在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.

方法总结：分a ＞0与a ＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”．

【类型二】实际问题中图象的识别

已知h 关于t 的函数关系式为h ＝12

gt 2

(g 为正常数，t 为时间)，则函数图象为

( )

解析：根据h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2

，其中g 为正常数，t 为时间，因此函数h

＝12gt 2

图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A. 方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义．

探究点二：二次函数y ＝ax 2

的性质

【类型一】利用图象判断二次函数的增减性

作出函数y ＝－x 的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：

(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2

(2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与y 4的大小；

(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？

解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．

解：(1)图象如图所示，由图象可知y 1＞y 2，(2)由图象可知y 3

方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．

【类型二】二次函数的图象与性质的综合题

已知函数y ＝(m ＋3)xm ＋3m －2是关于x 的二次函数． (1)求m 的值；

(2)当m 为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m 为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性．

解析：(1)由二次函数的定义可得?

????m 2

＋3m －2＝2，

m ＋3≠0，故可求m 的值．

(2)图象的开口向下，则m ＋3＜0；

(3)函数有最小值，则m ＋3＞0；

(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．

解：(1)根据题意，得?????m 2

＋3m －2＝2，m ＋3≠0，解得?

????m 1＝－4，m 2＝1，

m ≠－3.∴当

m ＝－4或m ＝1时，

原函数为二次函数．

(2)∵图象开口向下，∴m ＋3＜0，∴m ＜－3，∴m ＝－4.∴当m ＝－4时，该函数图象的

开口向下．

(3)∵函数有最小值，∴m ＋3＞0，m ＞－3，∴m ＝1，∴当m ＝1时，原函数有最小值．

(4)当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2

，开口向下，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．

当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2

，开口向上，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．

方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a ＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a ＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．

探究点三：确定二次函数y ＝ax 2

的表达式

【类型一】利用图象确定y ＝ax 2

的解析式

一个二次函数y ＝ax (a ≠0)的图象经过点A (2，－2)关于坐标轴的对称点B ，求其

关系式．

解析：坐标轴包含x 轴和y 轴，故点A (2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A (2，－2)关于x 轴的对称点B 1(2，2)，点A (2，－2)关于y 轴的对称点B 2(－2，－2)．

解：∵点B 与点A (2，－2)关于坐标轴对称，∴B 1(2，2)，B 2(－2，－2)．当y ＝ax 2

的图象经过点B 1(2，2)时，2＝a ×22，∴a ＝12，∴y ＝12x 2；当y ＝ax 2

的图象经过点B 1(－2，－

2)时，－2＝a ×(－2)2

，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.∴二次函数的关系式为y ＝12x 2或y ＝－12x 2.

方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，

从而求得多个答案．

【类型二】二次函数y ＝ax 2

的图象与几何图形的综合应用

已知二次函数y ＝ax (a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求： (1)a ，b 的值；

(2)函数y ＝ax 2

的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标．

解析：直线与函数y ＝ax 2

的图象交点坐标可利用方程求解．

解：(1)∵点A (1，b )是直线与函数y ＝ax 2

图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和

直线的关系式，∴?????b ＝a ×12

，b ＝2×1－3，∴?

???

?a ＝－1，b ＝－1.

(2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x 2

＝2x －3，

解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)．

【类型三】二次函数y ＝ax 2

的实际应用

如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM 为3m ，跨度AB ＝6m. (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；

(2)一艘小船上平放着一些长3m ，宽2m 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？

解析：可令O 为坐标原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关

系式为y ＝ax 2

.由题意可得B 点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题．

解：(1)以O 点为坐标原点，平行于线段AB 的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐

标系，设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2.由题意可得B 点坐标为(3，－3)，∴－3＝a ×32

，解得a ＝－13，∴抛物线的函数关系式为y ＝－13

x 2

.

(2)当x ＝1时，y ＝－13×12＝－13.∵OM ＝3，∴木板最高可堆放3－13＝8

3(米)．

方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决

实际问题的思想．

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质

教学目标：

1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯

重点难点：

重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?

(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)

2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?

(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)

3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?

二、范例

例1、画二次函数y=ax2的图象。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：

x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …

y …9 4 1 0 1 4 9 …

(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐

标，在平面直角坐标系中描点

(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?

让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．

三、做一做

1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?

2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?

3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?

对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。

对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。

对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)．

四、归纳、概括

函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：

函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?

让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；

当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的什么性质?

先让学生观察下图，回答以下问题；

(1)X A、X B大小关系如何?是否都小于0？

(2)y A、y B大小关系如何?

(3)X C、X D大小关系如何?是否都大于0?

(4)y C、y D大小关系如何?

(X Ay B；X C0，X D>0，

y C

其次，让学生填空。

当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______

以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。

思考以下问题：

观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a

让学生讨论、交流，达成共识，当aO 时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。

五、课堂练习：P6练习1、2、3、4。

六、作业：1．如何画出函数y=ax2的图象?

2．函数y＝ax2具有哪些性质?

3．谈谈你对本节课学习的体会。

22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质

第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质

1．会用描点法画出y＝ax2＋k的图象．

2．掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．

3．理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．

一、情境导入

在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？

二、合作探究

探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质

【类型一】y＝ax2＋k的图象与性质的识别

若二次函数y＝ax＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( ) A．a＝2

B．当x＜0，y随x的增大而减小

C．顶点坐标为(2，0)

D．图象有最低点

解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，∴y＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，而顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.

方法总结：抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k)，对称轴是y轴．

【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断

已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( ) A．若y1＝y2，则x1＝x2

B．若x1＝－x2，则y1＝－y2

C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2

D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2

解析：如图所示，选项A ：若y 1＝y 2，则x 1＝－x 2，所以选项A 是错误的；选项B ：若x 1＝－x 2，则y 1＝y 2，所以选项B 是错误的；选项C ：若0＜x 1＜x 2，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，则y 1＜y 2，所以选项C 是错误的；选项D ：若x 1＜x 2＜0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，则y 1＞y 2，所以选项D 是正确的．

方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．

【类型三】识别y ＝ax 2

＋k 的图象与一次函数图象

在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 与二次函数y ＝ax 2

＋c 的图象大致为

( )

解析：当a ＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a ＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A ，C ，D ，故选B.

【类型四】确定y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2

的关系

抛物线y ＝ax ＋c 与y ＝－5x 的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，

3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y ＝－5x 2

怎样得到的？

解：抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－5x 2

的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a ＝－5.又

∵其顶点坐标为(0，3)．∴c ＝3.∴y ＝－5x 2＋3.它是由抛物线y ＝－5x 2

向上平移3个单位得到的．

方法总结：抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2

开口大小，方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到．

探究点二：二次函数y ＝ax 2

＋k 的应用

【类型一】y ＝ax 2

＋k 的图象与几何图形的综合应用

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2

＋c (a ＜0)的图象过正方形ABOC 的

三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是________．

解析：二次函数y ＝ax 2

＋c 与y 轴的交点为(0，c )，因此OA ＝c ，根据正方形对角线互

相垂直平分且相等，不难求得B (－c 2，c 2)、C (c 2，c 2)，因为C (c 2，c

2)在函数y ＝ax 2

＋c 的图象

上，将点C 坐标代入关系式即可求出ac 的值．

解：∵y ＝ax 2

＋c 与y 轴的交点为(0，c )，四边形ABOC 为正方形，∴C 点坐标为(c 2，c

2

)．∵

二次函数y ＝ax 2

＋c 经过点C ，∴c 2＝a (c

2

)2

＋c ，即ac ＝－2.

方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性．

【类型二】二次函数y ＝ax 2

＋k 的实际应用

如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y ＝－15x 2＋7

2

运行，然后准确落入篮

筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.

(1)球在空中运行的最大高度为多少？

(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为 2.25m ，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？

解：(1)∵y ＝－15x 2＋7

2的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m.

(2)在y ＝－15x 2＋72中，当y ＝3.05时，3.05＝－15x 2＋7

2，解得x ＝±1.5.∵篮筐在第一

象限内，∴篮筐中心的横坐标x ＝1.5.又当y ＝2.25时，2.25

＝－15x 2＋7

2，解得x ＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x ＝－2.5.故

该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)．

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质，体会抛物线y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 之间联系与区别.

22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质

第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质

教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。

2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。

重点难点：

会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y ＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。

正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。

2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?

二、分析问题，解决问题

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?

(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)

问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?

教学要点

1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。

2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象．

3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。

(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。

（图象略）

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?

教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值

之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。

教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。

问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?

由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。

问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?

让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。

问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?

完成填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．

以上就是函数y＝2x2＋1的性质。

三、做一做

问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?

教学要点

1．在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；

2．让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y＝2x2－2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移两个单位得到的。

问题8：你能说出函数y＝2x2－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?

教学要点

1．让学生口答，函数y＝2x2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－2)；

2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数

值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得

最小值，最小值y＝－2。

问题9：在同一直角坐标系中。函数y＝－1

3x

2＋2图象与函数y＝－

1

3x

2的图象有什么关系?

要求学生能够画出函数y＝－1

3x

2与函数y＝－

1

3x

2＋2的草图，由草图观察得出结论：函数y

＝－1

31/3x

2＋2的图象与函数y＝－

1

3x

2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数

y＝－1

3x

2＋2的图象可以看成将函数y＝－

1

3x

2的图象向上平移两个单位得到的。

问题10：你能说出函数y＝－1

3x

2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

[函数y＝－1

3x

2＋2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，2)]

问题11：这个函数图象有哪些性质?

让学生观察函数y＝－1

3x

2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；

当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。

四、练习：P9 练习1、2、3。

五、小结

1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?

2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质?

六、作业：1．P19习题26．2 1．(1)

2．选用课时作业优化设计．

第一课时作业优化设计

1．分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。

(1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；

(2)y＝3x2＋1与y＝3x2－1。

2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，

y＝1

2x

2，y＝

1

2x

2＋2，y＝

1

2x

2－2

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。

你能说出抛物线y＝1

2x

2＋k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗?

3．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝1

2x

2得到抛

物线y＝1

2x

2＋2和y＝

1

2x

2－2?

4．试说出函数y＝1

2x

2，y＝

1

2x

2＋2，y＝

1

2x

2－2的图象所具有的共同性质。

第2课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象和性质

1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2

的图象．

2．掌握形如y ＝a (x －h )2

的二次函数图象的性质，并会应用．

3．理解二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2

之间的联系．

一、情境导入

涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．从如图所示的直角坐标系中，你能得到函数图象解析式吗？

二、合作探究

探究点：二次函数y ＝a (x －h )2

的图象和性质

【类型一】y ＝a (x －h )2

的图象与性质的识别

已知抛物线y ＝a (x －h )(a ≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，

求a ，h 的值．

解：∵抛物线y ＝a (x －h )2

(a ≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h ＝－2.又∵抛物线y ＝a (x ＋2)2经过点(－4，2)，∴(－4＋2)2

·a ＝2，∴a ＝12

.

方法总结：抛物线y ＝a (x －h )2

的顶点坐标为(h ，0)，对称轴是直线x ＝h .

【类型二】二次函数y ＝a (x －h )2

增减性的判断

对于二次函数y ＝9(x －1)2

，下列结论正确的是( ) A ．y 随x 的增大而增大

B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大

C ．当x ＞－1时，y 随x 的增大而增大

D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大

解析：由于a ＝9＞0，抛物线开口向上，而h ＝1，所以当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．故选D.

【类型三】确定y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2

的关系

能否向左或向右平移函数y ＝－12

x 2

的图象，使得到的新的图象过点(－9，－8)？

若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．

解：能，设平移后的函数为y ＝－12(x －h )2

，将x ＝－9，y ＝－8代入得－8＝－12(－9

－h )2，所以h ＝－5或h ＝－13，所以平移后的函数为y ＝－12(x ＋5)2或y ＝－12(x ＋13)2

.即

抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以向左平移5或13个单位．

方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移h 个单位后，a 不变，括号内变“减去h ”；若向左平移h 个单位，括号内应“加上h ”，即“左加右减”．

【类型四】y ＝a (x －h )2

的图象与几何图形的综合

把函数y ＝12

x 2

的图象向右平移4个单位后，其顶点为C ，并与直线y ＝x 分别相交

于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，求△ABC 的面积．

解析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定C 点坐标，再解由得到的二次函数解析式与y ＝x 组成的方程组，确定A 、B 两点的坐标，最后求△ABC 的面积．

解：平移后的函数为y ＝12

(x －4)2，顶点C 的坐标为(4，0)，解方程组???

??y ＝12（x －4）2，y ＝x ，得???

?

?x ＝2，y ＝2，或?????x ＝8，y ＝8.

∵点A 在点B 的左边，∴A (2，2)，B (8，8)．∴S △ABC ＝S △OBC －S △OAC ＝1

2OC

×8－1

2

OC ×2＝12.

方法总结：两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.

22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质

第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质

教学目标：

1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。

2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。

重点难点：

重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。

难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x －h)2＋k的性质是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?

(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)

2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?

(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)

3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?

二、试一试

你能填写下表吗?

问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)＋1与函数y=2(x－1)、y=2x图象的关系吗? 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?

对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；

函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。

三、做一做

问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗?

教学要点

1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；

2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。