矿床统计预测第11讲_判别分析法预测_v1.1

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R0
R = c1x1 + c2x2
所谓 Fisher判别 法，是一种先投 影，后用距离判 别的方法。
寻找一个方向，也就是 图上的虚线方向，沿着 这个方向朝和这个虚线 垂直的一条直线进行投 影会使得这两类分得最 清楚。 可以看出，如果向其他 方向投影，判别效果不 会比这个好。
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最简单的情形下，单就 一个变量的值就可区分 不同的类别。 但是，通常情况下，一 个变量往往难于区分不 同的分类，只有利用多 个变量，才能比较全面 从各个不同的角度刻画 个母体间的差异。
在传统的地质学研究中， 四元以上的系统用几何图 形表示变得十分困难。
p j 1
x
k 1
nB
kj
( B)
yk ( B) c j xkj ( B)
p
y ( A) c j x j ( A) y ( B ) c j x j ( B )
j 1
p
j 1
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要同时满足费歇判别准则的两个条件，要求
G I H
[ y ( A) y ( B)]2
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-4
-3 -2
-1
0
1
2
3
-4
-2
0
2
4
6
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x2 ↑ 闪长玢岩出露面积比
80 70 60 50 40 30 20 10
-1
训练样本
有矿否？
0 1
0
1
0
0
-1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
→x1
A总体，有矿 B总体，无矿
误判率 (A) =
nerr ( A) 100% nA
nerr ( B) 误判率 (B) = 100% nB
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实
例
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4. 应用实例。 研究区：宁芜盆地北段 预测对象：玢岩型铁矿。 预测比例尺：1：50，000
单元划分：全区划分为3×Km 2单元100个。 （1）根据研究区的地质勘探情况，该区有8个单元 为已知有矿单元， 14个单元为已知无矿单元，另外78个 单元为未知待判单元。
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一、费歇准则准则与准则下的两类判别线性模型
考虑指标与p个自变量有关的两类判别：设指标y按 其取值范围只分为 A、B两类，对A、B两类分别有 nA,nB个样品数据。 Fisher提出，建立p个因子的一个线性判别函数
y c1 x1 c2 x2
c p xp c j x j
因此，令已知有矿单元为 A总体，NA=8
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令已知无矿单元为 B总体，NB=8，剩余6个作为回判 检验.
（2）建立数学模型，即判别分析函数，
经过控矿地质因素分析，选出7个与成矿关系密切的 变量参加建模，
x1——接触带长度， x2——单元中心与断裂喷发带的距离。
x4——闪长玢岩出露面积， x5——围岩蚀变组合的相对熵值，
通过分析发现，这些单元多数位于NE向断裂和NW 向断裂火山喷发带内。而这两个带已被证明是本区重要的 成矿条件，另外，这22个单元之中，有的已经发现了矿 点，有些在空间上与已知矿床相邻，因而，认为这些单元 具有良好的成矿条件和较大的成矿潜力。
可进一步可导出
y0 c j x j
j 1
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p
将新样品的各变量观测值代入判别函数， 求得相应的函数值 y（判别得分）
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四、判别效果的分析和检验
所建立的判别函数是否有实际意义，判别效果有无 实用价值，准确度如何，同样需用作检验分析。
（1）总体差异的显著性检验 判别分析中，首先要求假定两类样品来自有显著差 异、可区别的总体，两总体的均值应有显著差异。 （2）各因子（判别变量）的重要性检验 可以通过其两类样本均值之差来衡量
费歇准则（R.A.Fish， 1936）和贝叶斯准则。
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第二节 费歇两组判别
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费歇判别的基本思想
费歇判别思想是投影，使多维问题简化为一 维问题来处理。
选择一个适当的投影轴,使所有的样品点都投 影到这个轴上得到一个投影值。对这个投影 轴的方向的要求是：使每一类内的投影值所 形成的类内离差尽可能小，而不同类间的投 影值所形成的类间离差尽可能大。
2 2 [ y ( A ) y ( A )] [ y ( B ) y ( B )] k k k 1 k 1 nA nB
达到最大
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二、两类判别函数的参数估计
I是 y的函数，也是cj的函数。 根据极值原理，I取极大值的条件是 I对系数 cj的偏导数为0，即：
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在对地质对象的类型研究中，有两大类方法。 一类是聚类分析（或称点群分析，群分析） 另一类就是判别分析。
判别分析的主要思想是用统计方法将 待判的未知样品与已知类型的样品进 行（定量）类比，以确定待判样品应 归属于其中哪一类。
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全碱－硅图解（TAS）
当判别函数求出后，可进一步求得： 类平均值
p
y ( A) c j x j ( A)
j 1
y ( B) c j x j ( B)
j 1
p
于是，判别临界值
nA y ( A) nB y ( B) nA nB y0 y ( A) y ( B) nA n B nA n B nA n B
j 1
p
其中判别系数cj(j=1,2,..,p)的选择应使得y值满足：
（1）A类与B类这两类点群尽可能地远离， 即两类点群重心间距离尽可能达到最大； （2）同一类的样品点尽可能集中。 [(1)(2)两点统称为Fisher准则]
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组间离差平方和（尽可能大）
G [ y ( A) y ( B)]
R A 1.0622 RB 2.0489
∴R 0 =-1.5885
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(4) 显著性检验。
i) 对已知单元进行回判，判对率 93.3%,说明R0是显 著的，所建立的判别函数有效。 ii）马氏检验。D R源自 RB 0.98672
F=2.833,
∴
而
1 FV01.V 2 2.62
0.05 Fv F 1,v 2 7.8 3.29
F
0.1 7.8
FF
0.05 7.8
∴判别函数在α=0.1的显著性水平上有效。
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（5）对未知单元进行判别，预测。
结果，有22个单元的R>R0，判为A类，为有矿远景 单元。 （6）对22个有利远景单元的控矿条件和找矿潜力进 行评价，分析。
当Σ=Ip,有
2 MD( xi , x j ) ( xi x j ) k 1
p
1/ 2
(欧式距离)
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总体差异的显著性检验
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实际中常用回判法来评价判别函数的有效性。
用所建立的差别函数对两总体的已知样本进行回判， 并将判别结果，与已知结果对比，计算判错率，当判 错率<20%，认为判别函数有效。
k 1 k 1
d j x j ( A) x j ( B)
(j=1,2,3,…p)
(i,j=1,2,…,p)
于是，可得线性判别函数为：
y c1 x1 c2 x2 c p x p c j x j
j 1
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p
三、确定临界值及对新样品作出判别
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在地学领域中，经常面临着大量的分类问题， 即对一定量的事物(如地质体、样品或变量)按其 属性进行归类。 由于地质对象的复杂性，单靠定性标志或少数定 量标志进行分类，常常不能揭示客观事物内在本 质的差别和联系，难以确定地质体本质属性的归 属。同时也造成很多分类计算具有很大的主观性 和任意性，而且所得的结果因人而异，常不能反 映客观实际情况。
nA
2
样本总离差平方和（尽可能小）
2
H [ yk ( A) y ( A)] [ yk ( B) y ( B)]
k 1 k 1
nB
2
1 nA x j ( A) xkj ( A) 其中 n1 k 1
yk ( A) c j xkj ( A)
j 1 p
1 x j ( B) n2
d j x j ( A) x j ( B)
为消除因子量纲的影响，通常在求得判别系数后， 可将其标准化后再检验
cj* = cj/sj
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马氏距离(Mahalanobis马哈拉诺比斯距离)
设xi,xj是服从均值为μ,协方差为Σ > 0的 总体Xpx1抽取的样品，则称
T MD( xi , x j ) ( xi x j ) ( xi x j ) 1 1/ 2
I 0 c j
等价于：
（j=1,2,3,…,p）
H 1 G c j I c j
（因为 lnI = lnG – lnH）
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c1 c 2 C c p
nA
其中，
=L-1D
L11 l 21 L ... Lp1