纳维斯托克斯方程组
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
针对非牛解方法 ，以揭示其复杂的流动行为和机理。
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N-S方程的改进和发展
数值方法
为了解决N-S方程的求解问题， 研究者们发展出了许多数值方法，
如有限差分法、有限元法、谱方 法等。
近似模型
针对某些特定流动，研究者们提出 了许多近似模型，如雷诺平均N-S 方程、湍流模型等，以简化求解过 程。
多物理场耦合
随着计算技术的发展，多物理场耦 合成为研究流体流动的重要方向， 如流固耦合、流热耦合等。
应力张量
01
应力张量是描述流体内部应力的二阶张量，包括正应力和剪切 应力。
02
正应力表示流体在单位面积上受到的压力，而剪切应力表示流
体在单位面积上受到的切向力。
应力张量是流体的状态函数，其值取决于流体的状态和所处的
03
边界条件。
03 纳维-斯托克斯方程的推 导
纳维方程的推导
01
02
03
从质量守恒、动量守恒 和牛顿第二定律出发， 推导出描述流体运动的
考虑流体的粘性和惯性
02
N-S方程中包含了流体的粘性和惯性力，能够描述粘性流体在运
动过程中的受力情况和运动规律。
涉及到复杂的数学处理
03
N-S方程的推导涉及到复杂的数学处理，包括微积分、线性代数
和偏微分方程等。
02 流体的基本性质
流体的定义和分类
流体是能够流动的物质，具有连续性和 不可压缩性。根据其流动特性，流体可 分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。
04 N-S方程的应用和限制
N-S方程的应用领域
流体力学
N-S方程是描述流体运动的基本方程，广泛应用于航空、航海、 气象、环境等领域。
高等工程流体力学-纳维—斯托克斯方程的解
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
29
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动 如图3-16所示，流体以速度U平行流过一
无限长的多孔平壁面，由于流体黏性的作用， 在近壁面区域形成了较大速度梯度的薄层。
由实验数据拟合所得的经验公式如下
此式的C误D 差 在R24e± 110%6 R之e 间 0。.4,
0 Re 2 105
（3-34a）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
21
第四节 低雷诺数流动
二、滑动轴承内的流动 （略）
（参见吴望一书§9.11）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第五节 楔形区域的流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
3
第三节 平行非定常流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
4
第三节 平行非定常流动
得其运动方程为
vx 2vx
t
y 2
（3-20）
， 定解条件为 作无量纲变换
t 0, y 0 : vx 0
t 0, y 0 :
vx
U0
（3-21）
y : vx =0
y ， 2 t
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
2
第三节 平行非定常流动
一、突然加速平板引起的流动 设有一无限长、无限宽的平板，平板上
部充满黏性不可压缩流体。平板在某一时刻 突然由静止启动，并沿其自身平面加速至某 一固定速度U0，从而带动其周围原来静止的 流体流动。该问题为斯托克斯第一问题，由 斯托克斯解得，取直角坐标系，如图3-6所示。
纳维-斯托克斯方程ying
纳维-斯托克斯方程ying
亨纳维-斯托克斯方程（Henon–Heiles equation）是一个双维非线性欧拉方程，表示一个无质量的点以角速度和角位移两个自由度移动的系统。
它是1964年由普林斯顿数学家Michel Hénon和物理学家Curtis Heiles共同发现的。
当表示为位势函数V(x,y)或动能函数E(x,y,v_x,v_y)时，亨纳维-斯托克斯方程可以写成：
V(x,y)=1/2(x^2+y^2)+αx^2y-βy^3
E(x,y,v_x,v_y)=1/2(v_x^2+v_y^2)+V(x,y)
它的衍生方程也常被用来研究非线性动力系统，如通道流动、电路、激光系统、行星系统和声学系统。
关于亨纳维-斯托克斯方程的有趣特性是它有很多稀疏的谱线，可以用来推测它的行为特性，甚至可以证明它具有奇特的数学性质。
;。
N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程
很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
Y方向的表面力：
xy yy zy dxdydz y z x
Z方向的表面力：
xz yz zz y z x
dxdydz
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
动量流量及动量变化率
vz vx
zz
yz
yz y dy
zz dz z
zx
应力状态：
zx dz z
xx
xy
xy x
dx
yx yz
xx
yx
yx y
z
y x
xz zx
xx dx x
粘性流场中任意一点的应力有9 个分量，包括3个正应力分量和 6个切应力分量：
1 p duy fy y dt
fz
1 p duz z dt
u x u x u x u x 1 p ux uy uz X t x y z x u y u y u y u y 1 p ux uy uz Y t x y z y
( vx ) ( vx ) dx dydzdt dxdydzdt vx dydzdt vx x x
Y方向：
( v y ) ( v z ) dxdydzdt dxdydzdt ； Z方向： y z
2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速
分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边
的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。
navier stokes方程组的方程
navier stokes方程组的方程Navier-Stokes equations, named after Claude-Louis Navier and George Gabriel Stokes, represent the fundamental principles of fluid dynamics. These equations describe the motion of viscous fluid substances, taking into account the forces acting on the fluid and the changes in pressure, velocity, and density. They are a set of partial differential equations that govern the flow of fluids, and are widely used in various fields such as aerodynamics, hydrodynamics, and meteorology.Navier-Stokes方程组是以克劳德-路易·纳维尔和乔治·加布里埃尔·斯托克斯的名字命名的，它代表了流体动力学的基本原理。
这组方程描述了粘性流体物质的运动，考虑了作用在流体上的力以及压力、速度和密度的变化。
它们是一组偏微分方程，支配着流体的流动，并被广泛应用于空气动力学、水动力学和气象学等多个领域。
The equations consist of a momentum equation that expresses the conservation of momentum, and a continuity equation that expresses the conservation of mass. The momentum equation takes into account the effects of pressure gradients, viscous stresses, and external forces on the fluid. On the other hand, the continuity equation ensures that mass is conserved within the fluid as it flows.方程组包含动量方程和连续性方程。
纳维-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。
它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。
这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。
用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。
这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。
实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。
这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。
对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。
这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。
一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。
斯托克顿流体方程
斯托克顿流体方程
维－斯托克斯方程是牛顿第二定律在不可压缩粘性流动量守恒的运动方程，简称N-S方程。
粘性流体的运动方程首先由纳维在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。
泊松在1831年提出可压缩流体的运动方程。
圣维南与斯托克斯在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。
三维空间中的N-S方程组光滑解的存在性问题被美国克雷数学研究所设定为七个千禧年大奖难题之一。
方程的影响及意义
后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。
以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。
N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。
它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，在求解思路或技术没有进一步发展和突破前只有在某些十分简单的特例流动问题上才能求得其精确解；但在部分情况下，可以简化方程而得到近似解。
例如当雷诺数时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。
在计算机问世和迅速发展以来，N-S方程的数值求解才有了较大的发展。
维纳斯托克斯方程
维纳斯托克斯方程维纳斯托克斯方程是一种描述水波运动的偏微分方程，它是由法国数学家维纳斯托克斯于1871年首次提出的。
这个方程在海洋学、气象学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将从以下几个方面来介绍和解释维纳斯托克斯方程。
一、方程的定义和基本形式维纳斯托克斯方程是描述水波运动的偏微分方程，它的基本形式如下：$\frac{\partial \eta}{\partial t} + c\frac{\partial\eta}{\partial x} + h\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} =0$其中，$\eta$表示水面高度的扰动，$t$表示时间，$x$表示水平位置，$c$为波速，$h$为水深。
二、方程的简化形式在实际应用中，维纳斯托克斯方程有时会被简化为以下形式：$\frac{\partial \eta}{\partial t} + c\frac{\partial\eta}{\partial x} = 0$这是因为在某些情况下，水波运动的扰动很小，可以忽略掉扰动的二阶导数。
三、方程的物理意义维纳斯托克斯方程描述的是水波运动的传播过程，方程中的波速$c$和水深$h$是影响波传播的两个重要因素。
当波速和水深不同时，波的形状和速度都会发生变化。
四、方程的数学解法解维纳斯托克斯方程通常使用波动方程的解法，例如使用傅里叶变换或有限差分法等方法进行数值求解。
五、方程的应用领域维纳斯托克斯方程在海洋学、气象学、工程学等领域有着广泛的应用。
例如，在海洋工程中，维纳斯托克斯方程被用来研究海浪对海上结构物和海洋能源设备的影响。
总的来说，维纳斯托克斯方程是一种重要的偏微分方程，它描述了水波运动的传播过程，并在不同领域的应用中发挥着关键作用。
纳维尔·斯托克斯方程
纳维尔·斯托克斯方程
纳维尔-斯托克斯方程是一组描述流体运动的偏微分方程。
它可以用来描述流体的连续性、动量守恒和能量守恒。
纳维尔-斯托克斯方程的一般形式如下：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
∂(ρv)/∂t + ∇·(ρv⃗v) = -∇p + μ∇²v
其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度，p是流体的压力，μ是流体的粘度。
∇表示对空间坐标的梯度运算符，∇·表示对速度场的散度运算符，∇²表示速度场的拉普拉斯运算符。
第一个方程是连续性方程，描述流体的质量守恒，它表达了在任意空间点流体密度变化率与流体速度散度的关系。
第二个方程是动量守恒方程，描述流体的动量守恒，它表达了流体动量变化率与压力梯度和粘性力的关系。
纳维尔-斯托克斯方程可以用于描述各种流体运动，从简单的层流到复杂的湍流都适用。
这些方程的求解可以通过数值方法或近似解析方法进行，用于研究流体流动的特性和行为，对于工程、物理学、气象学等领域都有广泛的应用。
naiver-stokes方程
naiver-stokes方程
Navier-Stokes方程，又称为纳维-斯托克斯方程，是描述流体运动的基本方程之一，也是物理学中的重要方程之一。
它可以被应用于液体和气体的动力学计算，以及其他各种流体运动的描述。
这个方程组包括两个方程，分别是连续性方程和动量守恒方程。
连续性方程描述的是质量守恒，即在任何给定时间和空间内，质量都是不会消失或产生的，而是会被转移和转化。
动量守恒方程描述的是动量的守恒，即质量在运动中的速度和方向的变化。
Navier-Stokes方程被广泛用于描述各种流体运动，包括水流、气流、血液流动等。
它们的应用范围涵盖了从大气科学、海洋学、流体动力学、材料科学和生物学等领域。
在流体动力学领域，Navier-Stokes方程被广泛应用于模拟流体运动，例如，用于计算飞机、船只和汽车的气流运动、水流的运动和其他流体系统的运动。
在材料科学领域，这个方程组可以帮助研究材料的流变性质，以及研究流体的输运性质。
然而，Navier-Stokes方程也存在一些问题。
由于它的复杂性，很难准确地解决这个方程组，所以需要使用一些数值方法来近似解决问题。
这些数值方法需要计算机支持，因此需要计算机的高性能和算法的优化。
此外，Navier-Stokes方程也存在一些数学问题，如方程的解是否存在、是否唯一等等。
Navier-Stokes方程是流体动力学研究中的基本方程之一，可以用于描述各种流体运动，具有广泛的应用领域和重要的理论意义。
虽然存在一些问题，但是随着计算机技术和算法的发展，相信这个方程组会在未来的研究中得到更加深入和广泛的应用。
纳维-斯托克斯方程
牛顿流体： zx
v x z
yx
v x y
xx
v x x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⑶ 作用力的总和
z
x方向：PA x方向合压力为 x方向的总压力为
PB
PA
P x
dx
PA
P
A
PA PB x dx
y
P dx dy dz x
ax
2vx x 2
2vx y2
2vx z 2
P x
gx
ay
2vy x 2
2vy y2
2vy z 2
P y
gy
az
2vz x 2
2vz y2
2vz z 2
P z
gz
惯
压重
性 力
黏性力
力力
流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡 关系是统一的
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
1.动量平衡的定义
流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡
作用力形式 动量形式
根据牛顿第二定律：
F ma mdv d
F 0，静止，静力平衡 F 0，运动，动力平衡
作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
⒋ 动量平衡方程的推导
建立方法 元体分析法
建立依据 牛顿第二定律分析法
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
Y
纳维-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程：
纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
粘性流体的运动方程首先由纳维在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。
泊松在1831年提出可压缩流体的运动方程。
圣维南与斯托克斯在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。
三维空间中的N-S方程组光滑解的存在性问题被美国克雷数学研究所设定为七个千禧年大奖难题之一。
注意：
纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。
在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。
由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。
例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。
纳维斯托克斯方程求解方法
纳维斯托克斯方程求解方法
纳维斯托克斯方程是描述流体运动的方程，其一般形式为：∂u/∂t + (u·∇)u = -∇p + ν∇²u + F
其中，u是流体速度场，p是压力场，ν是流体动力粘度，F是体积力，∇是梯度算子。
求解纳维斯托克斯方程可以使用多种不同的方法，以下是几种常用的方法：
1.有限差分法（Finite Difference Method）：将时间和空间上的偏导数转化为离散形式的差分近似，然后使用迭代算法求解差分方程组。
2.有限体积法（Finite Volume Method）：将流体域划分为有限个控制体积，对方程进行积分得到离散格式，然后使用数值积分求解。
3.有限元法（Finite Element Method）：将流体域划分为有限个互不重叠的单元，对方程进行弱形式求解，建立有限元方程组，然后使用迭代算法求解。
4.谱方法（Spectral Method）：以傅里叶级数或其他基函数为基础展开流体变量，将方程转化为代数方程组，然后使用迭代算法求解。
值得注意的是，纳维斯托克斯方程复杂度较高，非线性性和不可压缩性带来了求解的挑战。
因此，通常需要结合适当的数值方法和算法，如迭代算法、时间步进算法等来求解。
此外，还需要注意边界条件的设定和处理，以及模型的适用性和稳定性的分析。
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导ppt课件
粘性流体动力学基础
本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月
1
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
内容提要
• 流体运动分析及理想流体基本方程 • 真实流体受力分析 • 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程
2
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1
3
g
x
Dvy Dt
fy
1
p y
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
z 2
1
3
r
g
y
r
Dvz Dt
fz
1
p z
2z
x2
2z
y2
2z
z 2
1
3
g
z
矢量形式：
r Dv
ur f
1
p
r
2
1(gr )
Dt
3
28
本构方程和NS方程
粘性流体动适力学用基于础 牛顿流体
不可压缩流体的N－S方程： const
dx
vx
vx
x
dx
dydz
x
y
微元体及其表面的质量通量
＝
微元体内的 质量变化率
9
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入与输出的
质量差：
vx
dydzdt
vx
(vx
x
)
dx
dydzdt
(vx
x
)
dxdydzdt
纳维斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。
它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。
这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。
用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。
这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。
实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。
这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。
对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。
这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。
一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。
volume force field 纳维-斯托克斯方程
volume force field 纳维-斯托克斯方程
体积力场纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一。
它是将流体运动和流体力学的基本规律表达为数学方程形式的一种方式。
该方程式可以用以下形式来表示：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
ρ[(∂v/∂t)+ (v·∇)v] = -∇p + f
其中，ρ表示流体的密度，v是速度矢量，p是压强，f是体积力场，如重力和电磁力等。
具体来讲，第一项表示质量守恒，即流体密度的变化率等于体积流量的发散。
第二项表示动量守恒，即流体的加速度受到内部和外部力的影响。
该方程式在流体力学研究和工程实践中得到广泛应用，如工业过程控制、地下水流动模拟、天气和气候模拟等。
纳维-斯托克斯方程的归一化代换公式
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有关
B
h2
U
dP dx
图（3.1.2）上表示出各种压力梯度下的速度分布。对于B
＞0，即压力沿流动方向下降，称为顺压力梯度，在整个
槽道内速度为正值。当B＜0，压力沿流动方向增加，称 为逆压力梯度。当B小于某个负值后，槽道内靠近静止壁
面的某些区域内的速度为负，即出现逆流。开始出现逆 流的条件是
du 0 dy yh
第三章 纳维-斯托克斯方程组 的精确解
在第二章里建立了粘性流体动力学的基本方程组，从 本章开始将讨论由此方程组描写的粘性流体运动的物 理属性和特征以及方程组的解法。一般情况下寻求纳 维-斯托克斯方程组精确解的问题在数学上遇到了巨大 的困难，这主要是由方程组的非线性引起的。由于这 些困难，迄今只在一些特定的条件下求得了方程组的 精确解。这些精确解从不同方面反映了粘性流体运动 的性质。由于对大多数实际关心的问题不能求得精确 解，因而不得不引入不同程度的物理的或数学的近似 以示得其近似解，其中边界层近似则是很好的例子。 随着高速计算机的发展，数值求解起着越来越大的作 用。这些将在以后各章中讨论。
由于P只是x的函数, 而u只是y的函数, 若要方程(3.1.3)
成立, 必须
dP dx
d2u dy 2
常数
将此式对y积分, 考虑到边界条件(3.1.4),则
u
h2
2
dP dx
1
y h
2
可见速度剖面为抛物型.等式右端的负号表示速度指向压力
降低的方向.若用umax
h2
2
dPபைடு நூலகம்dx
表示中线上的最大速度, 则
方程(3.1.3)满足此边界条件的解为
u
U 2
1
y h
h2
2
dP dx
1
y h
2
当压力梯度为零时
u
U 2
1
y h
这种特殊情况称为简单库埃特流动，即流体完全由运 动壁面通过粘性力而拖动。一般的库埃特流动是在这
简单流动上迭加一个由式（3.1.6）描写的有压力梯度
的流动。压力梯度的影响与如下的无量纲压力梯度B
速度剖面可表示为
u
umax
1
y h
2
2.库埃特流动
这是另一种平行直壁之间
的流动，其中一个直壁静
止不动，另一直壁在自身
所在平面内沿流向移动 （图3.1.2）。这时方程 (3.1.3)仍然成立，因而式 （3.1.5）也成立，但边 界条件应改为
y h : u 0
y h:u U
其中U为上壁面平移速度.
u t
dP dx
2u y 2
2u z 2
此即关于u( y, z,t)的线性微分方程.以下分几种
情况分别求解.
1.二维泊肃叶流动
对于两个平行直壁之间的定常二维流动, 方程(3.1.2)成为
dP dx
d2u dy 2
若两平行壁面都是静止的,
如图3.1.1所示, 则边界条件
为
y h :u 0 其中2h为壁间距离.
§3-1 平行定常流动中的 速度分布
平行流动是特别简单的一类流动, 其定义是只有一个速度分量 不为零, 所有流体微团沿同一方向运动.不失一般性, 可设全流场 v和w都为零,则由不可压流量连续方程式(2.1.3)可知, u 0,即
x 分量u不随x变化, 所以对于平行流可得
u u( y, z,t), v 0, w 0 设彻体力Fv有势,即存在势函数H 使
本章讨论的精确解包括两大类。第一类是解析 解，即未知函数完全由自变量解析地描述，且 描述关系中不再包含导数或积分号。第二类是 相似解，它在二维（包括轴对称）问题时可以 化成一维问题，即可由常微分方程（组）的解 表示。在所得出的这些常微分方程（组）中， 有些至今未找到解析解，而只有数值解。由于 这些常微分方程（组）具有通用性，其数值解 也有通用性，故常列表给出。
guv 0
uv (uvg)uv 1 p
t
则它也满足对应的粘性方程组
guv 0
uv (uvg)uv 1 p 2uv
t
因它使2uv 0.
但是位势解一般不能满足无滑移边界条件，因为， 若在固壁边界处保证法向速度为零，则由位势函数 可决定其切向分速，因而一般情况下不能保证为零。 所以，不能把位势流看成是纳维-斯托克斯方程的有 物理意义的解。但也有例外情况，当固体边界运动 时，位势函数可能构成纳维-斯托克斯方程的有实际 意义的解（见§3-3）。
v F H 则可引入压力函数P, 使
P p H
于是由不可压纳维 斯托克斯方程(2.2.8)关于y
和z向的分量可得P / y 0和P / z 0,即压力
函数P只是坐标x和时间t的函数, P P(t, x).由平
行流定义式(3.1.1)可得, 动量方程(2.2.8)关于x向
的分量方程中平流项为零,于是
在开始讨论真正的精确解之前还应附带指出， 不可压位势流的解也可看成是纳维-斯托克斯方 程组的精确解，因为这时位势函数也使粘性项 变为零。
若存在位函数 , 使 uv grad
则由连续方程可得
guv g(grad) 2 0
于是得
2uv 2 (grad) grad(2) 0
可见, 若此位函数满足不可压无粘运动方程组
由式(3.1.8)可知此条件对应于
dP U
dx 2h2 B 1/ 2
当B p 1 时, 速度大的流层对静止壁面附近流体微团的 2
拖动力不足以克服逆压力梯度,因而出现逆流.
3.哈根-泊肃叶流动
这是直圆管中的平行 流动。为保证是真正 的平行流动，需要满 足两个条件：第一， 以管道直径为特征长 度的雷诺数应低于某 临界值以保证流动为 层流（第七章）；第 二，管道足够长，以 形成充分发展了的管 道流(§10-6)。
迄今得到的精确解几乎都是对不可压常值物性 的流体做出的，这种流体的密度、粘性系数和 热传导系数为常数。这时不需将能量方程与质 量和动量方程耦合，可在解得速度、压力后单 独求解温度（§2-4）
在第七章将说明，在高雷诺数下流体运动将变 得不稳定，可能最终转变为湍流。下面将要讨 论的这些精确解尽管在高雷诺数下其数学解析 关系仍是正确的，但这种解是不稳定的，因而 物理上是不存在的。所以这些精确解只对低雷 诺数有效，即本质上是层流解。
现以管道中心线为圆柱坐标系轴线,并用x表示 (图3.1.3), 该方向速度为u.对于平行流动, 径向 和周向分速度为零, 故可按照与前面类似的讨论 得知 : u不随x变化,只随径向位置r变化;压力P不