2014年湖南高考数学(理科)真题--word高清版
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2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类)
一、选择题:本题共10个小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合
1. 满足(z i i i z
+=为虚数单位)的复数z = ( ) A .1122i + B .1122i - C .1122i -+ D .1122
i -- 2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则 ( )
A .123p p p =<
B .231p p p =<
C .132p p p =<
D .123p p p ==
3.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1,f x g x x x -=++ (1)(1)f g +则= ( )
A .-3
B .-1
C .1
D .3
4.5
1
(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是( ) A .-20 B .-5 C .5 D .20
5.已知命题22
:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题
①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中,真命题是 ( )
A .①③
B .①④
C .②③
D .②④
6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )
A .[6,2]--
B .[5,1]--
C .[4,5]-
D .[3,6]-
7.一块石材表示的几何何的三视图如图2所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于
A .1
B .2
C .3
D .4
8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为
A .2p q +
B .(1)(1)12
p q ++- C .pq D .(1)(1)1p q ++- 9.已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且
则函数()f x 的图象的一条对称轴是 A .56x π= B .712x π= C .3x π= D .6
x π= 10.已知函数221()(0)()ln()2
x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是
A .1(,)e -∞
B .(,)e -∞
C .1(,)e e -
D .1(,)e e
- 二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.
(一)选做题(请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)
11.在平面直角坐标系中,倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y ααα
=+⎧⎨=+⎩为参数)交于A B ,两点,则AB ||=2,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是
12.如图3,已知,AB BC 是O 的两条弦,,3,22,AO BC AB BC ⊥==则O 的半径等于
13.若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33
x x -
<<,则a = (二)必做题(14-16题) 14.若变量,x y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
,且2z x y =+的最小值为-6,则k =
15.如图4,正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <,原点O 为AD 的中点,抛物线
22(0)y px p =>经过,b C F a
=两点,则 16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0),(0,3),(3,0),A B C -动点D 满足||1,CD OA OB OD =++则||的最大值是
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为2335
和.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立.
(I ) 求至少有一种新产品研发成功的概率;
(II ) 若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B 研发成功,预计企业可获
利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.
18. (本小题满分12分)
如图5,在平面四边形ABCD 中,127.AD CD AC =,=,= (I )
求cos CAD ∠的值; (II ) 若721cos ,sin ,146
BAD CBA ∠=-∠=求BC 的长.
19. (本小题满分12分)
如图6,四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等,11111,,AC BD O AC B D O ==四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形.
(I )
证明:1;O O ABCD ⊥底面 (II ) 若1160,CBA C OB D ∠=--求二面角的余弦值.
20. (本小题满分13分)
已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈
(I )
若{n a }是递增数列,且12,3,23a a a 成等差数列,求p 的值; (II ) 若12
p =,且{21n a -}是递增数列,{2n a }是递减数列,求数列{n a }的通项公式.
21. (本小题满分13分)
如图7,O 为坐标原点,椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线22222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为34,F F ,离心率为2e .已知123,2e e =且24||3 1.F F =- (I )
求12,C C 的方程; (II ) 过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦
AB 的中点.当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.
22. (本小题满分13分) 已知常数20,()ln(1).2x a f x ax x >=+-
+函数 (I )
讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性; (II )
若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的取值范围.