信号与系统分析第8章 数字滤波器

H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则
H1(
z)
1
0.3276 z 1 1.0328z1 0.247z
2
H
2
(
z)
1
0.0485z 1 1.9307z1 0.9375z
2
转换时，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)
式进行转换。首先将Ha(s)写成(6.3.13)式的 形式，如极点
k H (s) sk在左半平面 (s s1)(s s2 ) (s sn )
思考
1) n 2 系统函数及归一化的系
统函数是多少？
I (s)
sL
2)图示低通滤 波器的系统函 U(s) 数？
1/sC
R Y(s)
8.2 数字滤波器的基本概念和类型
若滤波器的输入，输出都是离散时间信号，而 离散信号经过量化后成为数字信号，那么，该 滤波器的冲激响应也必然是离散的，则称这种 滤波器为数字滤波器。 数字滤波器从功能上分为四种，即低通（LP ），高通（HP），带通（BP）和带阻（BS） 滤波器。
H ( jw)
1
(n 1, 2 )
1 2( w )2n
wc
wc 为通带截止频率，
n 为滤波器的阶数。
巴特沃兹滤波器的几个基本特点： 1）对于任意阶数n，总有
H ( jw) 1 w0
H ( jw) 1
ww c
1 2
2）愈小，愈大，通带内 H( jw) 愈平坦，且wr愈靠近wc
故滤波器特性愈逼近理想滤波器。
多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s) 用部分分式表示：
N
Ha (s)
i1
Ai s pi
式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行 逆拉氏变换得到ha(t)：
N
ha (Leabharlann Baidu)
Aie pit
对ha(t)进行等间隔采样i1，采样间隔为T，得
到：
N
h(k) ha (t) |tkTS
1．概述
为了保证转换后的H(z)稳定且满足 技术要求，对转换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤 波器，仍是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波 器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单 位圆，相应的频率之间成线性关系。
用直接的方法进行模拟滤波器到数字滤波器的 转换。
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第8章 数字滤波器
重点：
1.模拟滤波器的设计 2.IIR数字滤波器的设计 3.FIR数字滤波器的设计 4.数字滤波器的结构
8.1 模拟滤波器（AF）的设计
实际滤波器与理想滤波器之间有一定偏差：
图8-1 实际滤波器与理想滤波器的幅频特性
滤波器的技术指标：工作衰耗。工作衰耗取决 于系统功率增益的幅度平方或称模方函数 H ( jw) 2 定义为：
3）n愈大，滤波器愈逼近理想特性。
2．巴特沃兹滤波器参数的设计
滤波器阶数的确定：
n lg 100.1A r 1 (n为整数） lg wr wc
采用归一化频率 wc 1
n lg 100.1A r 1 (n为整数） lg wr
2．巴特沃兹滤波器的物理实现
由于巴特沃兹滤波器，通常取 1
H ( jw)
虚线为实际的AF，实线部分是四种类型的 理想数字滤波器DF：
对于数字滤波器，从单位响应的长度上来 分，又分为无限脉冲数字滤波器IIR DF 和 有限脉冲数字滤波器FIR DF 两类。
单位响应分别为：
N
H(z)
Ai z
i1 z p i
M
H (z) bi zi i 1
8.3 IIR数字滤波器的设计
A ePikTS i
i 1
对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数
H(z)：
N
H (z)
i 1
Ai 1 ePiTS z 1
已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为
Ha (s)
s2
0.5012 0.6449s
0.7079
用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的 系统函数H(z)。
解 首先将Ha(s)写成部分分式：
由S平面到Z平面的映射关系为
z eSTS 或者s 1 ln z, w 将H(s)转换为H(z)的直接T方S 法为
TS
H (z) H (s) s 1 ln z TS
2．脉冲响应不变法
设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单 位冲激响应是ha(t)
Ha (s) LT[ha (t)]
设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母
极点为
j ( 2k 1 )
sk wce 2 2n (k 1, 2,
, 2n)
三阶巴特沃斯滤波器极点分布
极点具有以下特点：
1）极点分布在半径为 wc的圆周上。
2）极点以原点对称成对出现，以横轴为对称共 轭出现。
3)当n为奇数时，必有极点在横轴上。
4）对于稳定系统，虚轴上不可能有极点。
根据以上特点，可以得出巴特沃兹滤波器的系 统函数的极点在s平面的左平面。得出巴特沃兹 滤波器的系统函数为
H (0) 2 A(w) 10 lg H ( jw) 2 (dB)
对于理想滤波器，通带衰耗为零，阻带衰耗为
无限大；对于实际低通滤波器，通带衰耗记为
Ap A；(w阻c )带衰耗记为
Ar A(wr )
Ap
越小
A
越大则越逼近理想滤波器。
r
1．巴特沃兹滤波器的定义与性质
巴特沃兹低通滤波器的幅频特性定义为：
1
则
1 ( w )2n wc
H
(
jw)
2
H(
jw)
H(
jw)
H(
jw)H
(
jw)
1
1 ( w )2n
由 H ( jw) H (s) s jw
wc
H (s) 2 H (s)H (s) 1 1 ( s )2n jwc
可见 H (s有) 2 2n个极点，求得
1 ( s )2n 0
得
jwc
1
s jwc (1)2n
Ha (s)
s
j0.3224 0.3224 j0.7772
s
j0.3224 0.3224 j0.7772
极点为
s1 (0.3224 j0.772), s2 (0.3224 j0.7772)
那么H(z)的极点为
z1 es1T , z2 es2T
按照(6.3.4)式，并经过整理，得到设T=1s时用
s1,2=σ1±jΩ1,则
Ha (s)
0.5012 1
1
(s 1)2
12
0.6449
(s
1
1)2
12
再按照(6.3.14)式，H(z)为
H
(
z)
0.6449
1
z1e1T sin 1T 2z e 1 1T cos 1T z e 2 21T
3．双线性变换法
正切变换实现频率压缩：