金融工程学 (第六章)

• 汇率风险分担 上面的货币互换中汇率风险由中介机构一家承担。 设计不同的互换合约，可以使合约不同的参与方 承担汇率风险，或者由甲方承担汇率风险，或者 由乙方承担汇率风险，或者由三方中的某两方承 担汇率风险，或者由三方共同承担汇率风险。 由于货币互换涉及到本金互换，因此当汇率变动 很大时，三方就将面临一定的信用风险。
B fix
k e0.0480.25 4
k e0.050.5 4
k e0.0510.75 4
k e0.0521 k e0.05151.25 k e0.0531.5
4
4
4
k e0.0531.75 10000 k e0.0542
4
4
10000万美元
即固定利率水平应确定为 5.43%（3个月计一次复 利）。
练习：货币互换中的协议利率与例2不同，其余 条件相同，当汇率变化时，三方收益如何变化？
港币利率6.1%
甲公司
人民币利率 7.9%
港币利率7.5%
中介机构
人民币利率
8.9%
乙公司
港币利率6.4%
人民币利率9.2%
三、互换的定价
1、利率互换的定价 假设：忽略天数计算（3个月以1/4年计）； 以国际市场上的互换为例，浮动利率使用 LIBOR； 贴现率也使用 LIBOR。
确定合理互换利率
互换合约签订之初，利率互换的定价就是确定合
理互换利率，即使得利率互换价值为零的固定利
率，即
B fl B fix
例：假设在一笔2年期的利率互换协议中，某一金 融机构支付3个月期的LIBOR，同时每3个月收取固 定利率（3个月计一次复利），名义本金为1亿美 元。目前 3 个月、6个月、9个月、12个月、15个 月、18个月、21个月与2年的贴现率（连续复利） 分别为4.8%、5%、5.1%、5.2%、5.15%、5.3%、 5.3%与5.4%。第一次支付的浮动利率即为当前3个 月期利率4.8%（连续复利）。试确定此笔利率互 换中合理的固定利率。
FRA 组合法 FRA 多头价值
AerF TT AerK TT er Tt
从利率期限结构中估计出 FRA 对应的远期利率， 即可得到每笔 FRA 的价值，加总即为利率互换多 头的价值。
例：假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构 支付 3 个月期的 LIBOR ，同时收取 4.8% 的年利率 （ 3 个月计一次复利），名义本金为 1 亿美元。 互换还有 9 个月的期限。目前 3 个月、 6 个月和 9 个月的 LIBOR （连续复利）分别为 4.8% 、 5% 和 5.1% 。试计算此笔利率互换对该金融机构的价值。
二、货币互换
货币互换（Currency Swaps）是将一种货币的本金 和固定利息与另一货币的等价本金和固定利息进 行交换。
例2：设甲公司需要人民币贷款，乙公司需要港币 贷款，已知甲、乙两公司可分别按如下的固定利 率获得人民币和港币的贷款
港币固定利率
甲公司 乙公司
6.40% 8.40%
人民币固定利率 8.80% 9.20%
ห้องสมุดไป่ตู้
• 每次付息时现金流计算 甲公司根据本金收支的利率有：支付借款的港币 利率6.4%；收取由中介机构支付的港币利率6.4%； 支付8.2%的人民币利率。 甲公司将6.4%的港币利率借款转换成8.2%的人民 币利率借款，这比他直接接受人民币借款的利率 低了0.6个百分点。
乙公司收支的利率有：支付借款的人民币利率 9.2%；接受中介机构支付的人民币利率9.2%；支 付7.8%的港币利率。 乙公司利用此互换将利率为9.2%的人民币借款转 换成了利率为7.8%的港币借款，这同样比其从市 场直接借款少了0.6个百分点。 中介机构从港币利率支付获取1.4个百分点的收益， 对人民币利率支付须支出1个百分点。
头寸分解（II） 列（4）= 行（I）＋…＋行（VIII） 除行（I）的现金流在互换签订时就已确定，其他 各行现金流都类似远期利率协议（FRA）的现金流。 利率互换可以分解为一系列 FRA 的组合。 利率互换定价的两种方法：等价于计算债券组合 的价值；等价于计算 FRA 组合的价值。由于两种 定价方法都是列（4）现金流的不同分解，这两种 定价结果必然是等价的。
t 2
rt
t 1
2、货币互换的定价 货币互换的分解：货币互换也可以分解为债券的 组合或远期协议的组合。 一份外币债券和一份本币债券的组合； 远期外汇协议的组合。
• 假设6个月期LIBOR的值为9.00% 实际互换过程 乙公司支付给中介机构利息为 1×(9.80%-9.00%-0.50%)×0.5=15万 中介机构支付给甲公司的利息为 1×(9.70%-9.00%-0.50%)×0.5=10万 中介机构的收益为5万，一次利率互换结束 在互换过程中没有本金和利息的交换，只发生利息差 额的交换，因此信用风险很小。
固定利率
浮动利率
甲公司 9.50% 6个月期LIBOR+50个基点 乙公司 10.50% 6个月期LIBOR+100个基点
• 比较优势。甲以固定利率借款比乙少支付1%，以 浮动利率借款比乙少支付50个基点=0.5%，因此甲 的比较优势在固定利率；同理乙的比较优势在浮 动利率。
• 情形1，不做利率互换，即甲以浮动利率借款，乙 以固定利率借款。6个月之后需要支付的利息为 甲=1×(LIBOR+50×0.01%)×0.5，乙 =1×10.50%×0.5，总利息=0.5×(LIBOR+11.00%)亿
列（4）= 列（2）+ 列（3） 在互换生效日与到期日增减 1 亿美元的本金现金 流，则
列（2） ⇒ 列（6） 列（3） ⇒ 列（7）
头寸分解（I） 甲银行：浮动利率债券多头（列6）＋固定利率债 券空头（列7） 乙公司：浮动利率债券空头（-列6）＋固定利率 债券多头（-列7） 利率互换可以分解为一个债券的多头与另一个债 券的空头的组合。
假设利率互换的互换周期为每半年一次，互换利
率为rs，在契约期间共互换n次。则契约到期日可
视为n/2年，固定利率债券的价值Bfix在t=0时为
B fix
100(
rs
)(e
1 2
r1
2
e
2 2
r2
e
3 2
r3
L
e
n 2
rn
)
100e
n 2
rn
Bfix Bfl 100
2(1
e
n 2
rn
)
rs
e n
第六章 互换
一、利率互换
利率互换（Interest Rate Swaps）是指双方同意在 未来的一定期限内根据同种货币的相同名义本金 交换现金流，其中一方的现金流根据浮动利率计 算，另一方的现金流根据固定利率计算。 常见期限包括1 年、2 年、3 年、4 年、5 年、7 年 与10 年。
例1：假定甲、乙公司都想借入5年期的1亿美元， 甲希望以浮动利率借款，乙希望以固定利率借款。 但两家公司信用等级不同，故市场向它们提供的 利率也不同，如下表所示（1个基点=0.01% ）。
债券组合定价法
互换多头：支付固定利率者 V互换 B fl B fix
互换空头 ：收取固定利率者 V互换 B fix B fl
固定利率债券定价
n
B fix k eriti Ae rntn i 1
浮动利率债券定价
Bfl A k er1t1
例：假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构 支付 3 个月期的 LIBOR ，同时收取 4.8% 的年利率 （ 3 个月计一次复利），名义本金为 1 亿美元。 互换还有 9 个月的期限。目前 3 个月、 6 个月和 9 个月的 LIBOR （连续复利）分别为 4.8% 、 5% 和 5.1% 。试计算此笔利率互换对该金融机构的价值。
• 同利率互换的名义本金不同，在货币互换中的本 金由于货币品种不同，一般需要交换本金，本金 数量根据合约生效日的两种货币之间的即期汇率 应是等值的。假设在例2中互换合约生效当日人民 币与港币的兑换率为0.8:1，如果甲公司要借贷的 是1000万港币，则乙公司的借贷应是等值的800万 人民币。
• 实际互换过程： 合约生效当日，甲公司将所借贷的1000万港币经 由中介机构交给乙公司；乙公司将所借的800万人 民币经由中介机构交给甲公司。 合约确定的付息日（设一年付息两次） 甲公司接收中介机构支付的港币利息 1000×6.4%×0.5=32万港币 并向中介机构支付人民币800×8.2%×0.5=32.8万
• 互换通常经过中介实现，下图是一个可能的利率 互换
甲公司
LIBOR+0.5%
中介机构
LIBOR+0.5%
乙公司
9.7%
9.8%
9.5%
LIBOR+1%
• 具体互换过程 根据这个利率互换合约，甲公司按固定利率，乙公司 按浮动利率各自借款1亿元； 甲公司每6个月应该按LIBOR+0.5%的浮动利率向中介 机构支付利息，并从中介机构按9.7%的固定利率收取 利息，实际只支付利差；
• 比较优势。甲公司以港币贷款比乙公司少支付利 率2%，以人民币贷款比乙公司少支付利率0.4%， 显然甲公司的比较优势在港币贷款，同理乙公司 的比较优势在人民币贷款。
• 进行货币互换。甲以港币贷款，乙以人民币贷款， 1年之后需要支付的利率为甲= 6.40% ，乙= 9.20% 。
• 一个可能的货币互换
乙公司应该按9.8%的固定利率向中介机构支付利息， 并从中介机构按LIBOR+.05%的浮动利率收取利息，实 际只支付利差。
• 每次付息时现金流计算 甲公司支付现金流的利率为 9.5%+LIBOR+0.5%-9.7%=LIBOR+0.3%， 比直接借款的浮动利率低了20个基本点； 乙公司支付现金流的利率为 LIBOR+1%+9.8%-LIBOR-0.5%=10.3%， 比直接借款的固定利率低了20个基本点； 中介机构获得的现金流的利率为 9.8%+LIBOR+0.5%-9.7%-LIBOR-0.5%=0.1%
港币利率6.4%
甲公司
人民币利率 8.2%
港币利率7.8%
中介机构
人民币利率 9.2%
乙公司
港币利率6.4%
人民币利率9.2%
• 具体互换过程 根据这个货币互换合约，甲公司在市场上以6.4% 借入港元，乙公司以9.2%借入人民币； 甲公司以人民币8.2%向中介机构支付利息，并从 中介机构按港币6.4%的利率收取利息； 乙公司按7.8%的港币利率向中介机构支付利息， 并从中介机构按9.2%的人民币利率收取利息。
利率互换定价有两种情形：
(i) 利率互换的初始价值为零。在协议签订时，一 个公平的利率互换协议应使得双方的互换价值相 等。因此协议签订时的互换定价，就是选择一个 使得互换的初始价值为零的互换利率。
(ii) 利率互换的价值随着市场利率的变化而 变化。 在协议签订后的互换定价，是根据协议内容与市 场利率水平确定利率互换合约的价值，可能为正， 也可能为负。
考虑一个 2005 年 9 月 1 日生效的两年期利率互换， 名义本金为 1 亿美元。甲银行同意支付给乙公司 年利率为 2.8% 的利息，同时乙公司同意支付给甲 银行 3 个月期 LIBOR 的利息，利息每 3 个月交换 一次。事后可知利率互换中甲银行的现金流量如 下表：
该利率互换的净现金流反映在列（4）中，这是互 换的本质，即预期系列现金流的组合：
乙公司接受中介机构支付的人民币利息 800×9.2%×0.5=36.8万人民币，并向中介机构支 付港币利息1000×7.8%×0.5=39万港币。 两公司再各自向债权人付息。至互换合约到期日， 甲、乙两公司除各自交纳相应的利息外，同时应 交换本金额以归还各自的债权人。
• 付息日三方收益 甲公司收益：直接贷款支付人民币利息-互换支付 人民币利息=800×8.8%×0.5-32.8=2.4万人民币 乙公司收益：直接贷款支付港币利息-互换支付港 币利息= 1000×8.4%×0.5-39=42-39=3万港币 中介机构收益：港币收益+人民币收益=(39-32) ×0.8+(32.8-36.8) =1.6万人民币
• 情形2，做利率互换，即甲以固定利率借款，乙以 浮动利率借款。6个月之后需要支付的利息为 甲=1×9.50%×0.5，乙=1×(LIBOR+100×0.01%)× 0.5，总利息=0.5×(LIBOR+10.50%)亿。 显然，通过利率互换合约，无论6个月后LIBOR是 多少，两公司通过利率互换总利息支付减少。