幂的运算法则及整式的乘除

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专题04 整式的乘除(原卷版)

专题04整式的乘除【热考题型】【知识要点】知识点一幂的运算同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

nm n m a a a +=·（其中m、n 为正整数）【注意事项】1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。

2）不能疏忽指数为1的情况。

例：a·a 2＝a 1＋2＝a 33）乘数a 可能是有理数、单项式或多项式。

4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。

5）逆用公式：n m n m a a a ·=+（m,n 都是正整数）【扩展】三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即pn m p n m a a a a ++=··（m，n，p 都是正整数）考查题型一同底数幂的乘法典例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a 2·a （）A．aB．3aC．2a2D．a3变式1-1．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（）A．810B．1210C．1610D．2410变式1-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若42222m ⨯=，则m 的值为（）A．8B．6C．5D．2变式1-3．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为1210a ⨯，则a 的值是（）A．0.11B．1.1C．11D．11000易错点总结：幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.mnnm a a =)((其中m，n 都是正整数).【注意事项】1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。

七年级下册数学整式的乘除

七年级下册数学整式的乘除
在七年级下册数学中，学习了一些关于整式的乘除运算。

下面是一些相关的知识点：
1. 整式的乘法：整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。

乘法的运算法则包括：同底数幂相乘、同底数幂相除、乘法分配律等。

例如，(2x + 3)(4x - 5) = 8x^2 - 10x + 12x - 15 = 8x^2 + 2x - 15。

2. 整式的除法：整式的除法是指将一个整式除以另一个整式
的运算。

在整式除法中，除数不能为零。

除法的运算法则包括：整式除整式、整式除单项式、整式除多项式等。

例如，(6x^2 + 3x) ÷ 3x = 2x + 1。

3. 整式的约分：整式的约分是指将一个整式的各项的公因式
提取出来并约去的运算。

约分可以简化整式的形式，使其更简洁。

例如，6x^2 + 9x可以约分为3x(2x + 3)。

这些是七年级下册数学中关于整式的乘除运算的一些基本知识点。

希望对你有帮助！。

期末复习---幂的运算性质和整式的乘除

期末复习---幂的运算性质和整式的乘除一知识要点：一）幂的运算性质1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．n m a a ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 2、幂的乘方，底数不变，指数相乘mn n m a a =)( （m 、n 为正整数）．3、积的乘方等于各因式分别乘方的积．再把所得的幂相乘。

（n 为正整数） 4、同底数幂的除法同底数幂相除法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减公式：a m ÷a n =a n m -（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）5、（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1。

公式：a 0=1（2）任何不等于零的数的-p （p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。

公式：a p -=pa 1 二）整式的乘法1.单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减】2.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：a (m+n+p)=a m+a n+a p .【注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号.本质是乘法分配律。

】3.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想.(a +b)(m+n)=(a +b)m+(a +b)n=a m+bm+a n+bn .计算时是首先把(a +b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算.【温馨提示】 1.在单项式(多项式)乘以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算．()n n n b a ab =2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．3．单项式与多项式相乘中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．多项式与多项式相乘中，展开式的项数与两个多项式的项数的积相同，不要漏项．三）、整式的除法1.单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

(完整版)最新北师大版数学七年级下册第一章_整式的乘除知识点总结及练习题

☆☆☆ 北师大版数学七年级【下册】第一章整式的乘除一、同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则: n m n ma a a +=⋅（m,n 都是正数）是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点：①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式;②指数是1时，不要误以为没有指数;③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n ma a a a ++=⋅⋅(其中m 、n 、p 均为正数）；⑤公式还可以逆用：n m nm a a a⋅=+（m 、n 均为正整数）二．幂的乘方与积的乘方1。

幂的乘方法则：mnnm a a =)((m ，n 都是正数）是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆.2. ),()()(都为正数n m a a a mn mn nm ==.3。

底数有负号时，运算时要注意，底数是a 与(-a ）时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将(-a ）3化成—a 3⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n4．底数有时形式不同,但可以化成相同。

5．要注意区别（ab ）n与（a+b)n意义是不同的,不要误以为（a+b ）n=a n+b n（a 、b 均不为零）.6．积的乘方法则:积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘，即nnnb a ab =)(（n 为正整数）。

7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

三. 同底数幂的除法1。

同底数幂的除法法则:同底数幂相除，底数不变,指数相减,即n m n ma a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数,且m 〉n ）.2。

在应用时需要注意以下几点：①法则使用的前提条件是“同底数幂相除"而且0不能做除数，所以法则中a ≠0。

初二数学上册讲义(第五章整式的乘除)

第五章整式的乘除一、幂的运算1.同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+∙+同底数幂的乘法法则可以逆用：即n m n m p a a a a ∙==+如：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⋅==+++434352526617x x x x x x x x x x【例题分析】1、()()________45=-∙-x y y x2、若a m ＝2，a n ＝3，则a m+n =3、若6422=-a ，则a= ；若8)3(327-=⨯n ，则n= .【同类练习】1. ()()()=-⋅-⋅-232x y x y y x2. 若,35,25==n m 那么35++n m 的值为。

3.已知x m －n ·x 2n+1=x 11，且y m －1·y 4－n =y 7，则m =____，n =____.4. 若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。

2.幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn p a a a a )()(=== 如：23326)4()4(4==【例题分析】1.若2,x a =则3x a =2.计算()[]()[]mnx y y x 2322--=3. 已知63m =，29=n ，求1423++n m 的值。

【同类练习】1.若32=n a ，则n a 6= .2.设4x =8y−1,且9y =27x−1,则x-y 等于。

3. 若,512=+n a 求36+n a 的值。

3.积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。

积的乘方等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙- 积的乘方法则可以逆用：即()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=,为奇数，1为偶数，11)1(1,11)1(1常见：,n n a a a a a a a a ab b a nnn n n n nn n nn 【例题分析】 1. 计算：()[]()()[]43p pm n n m m n -⋅-⋅-2. 已知332=-b a ，求96b a 的值为 3. 若13310052+++=⨯x x x ，求x 的值。

代数复习：幂的运算、整式乘法与因式分解

二.代数式的运算（一）整式的运算：●整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.整式的乘除●幂的运算1.概念：负数的奇数次幂是负数；负数的偶数次幂是正数2.运算：注意：1）底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了.2）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1●整式乘法：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：●因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．因式分解的两种基本方法：①提公因式法：②运用公式法：平方差公式：完全平方公式：十字相乘法：探索：阅读理解。

（1）计算后填空：①（x+1）（x+2）=②（x+3）（x-1）=（2）归纳、猜想后填空：（x+a ）（x+b ）= +（＿＿＿＿＿）x+＿＿＿＿＿（3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m ）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x 2-5x+6=＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②x 2-3x-10=＿＿＿＿＿＿＿＿＿第一部分：幂的运算例题：考点1．幂的运算法则例1．计算（1）26()a a -⋅；（2） 32()()a b b a -⋅-；（3）12()n a +；（4）2232⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （5）53()a a -÷；（6）32(1)(1)a a +÷+ 变式计算（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+ （2）3223()()x x -⋅-；（3）41n n a a ++÷；考点2．幂的法则的逆运算例2．（1）已知23m =，24n =，求2m n +的值；（2）比较55544433334,5，的大小（3）计算：2013201253()(2)135⨯ （4）已知323=+n m ，求n m 48⋅的值变式1．若n 为正整数，且72=n x ，求n n x x 2223)(4)3(-的值；2．已知4432=--c b a ，求4)161(84-⨯÷c b n 的值。

整式的乘除知识点整理

一、知识点归纳：（一）幂的四种运算：1、同底数幂的乘法：⑴语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ⑵字母表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ；⑶逆运用：a m+n = a m ·a n2、幂的乘方：⑴语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘； ⑵字母表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)； ⑶逆运用：a mn =(a m )n =(a n )m ；3、积的乘方：⑴语言叙述：积的乘方，等于每个因式乘方的积； ⑵字母表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； ⑶逆运用：a n b n = (a b)n ；4、同底数幂的除法：⑴语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；⑵字母表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)； ⑶逆运用：a m-n = a m ÷a n .（二）整式的乘法：1、单项式乘以单项式：⑴语言叙述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

⑵实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、单项式乘以多项式：⑴语言叙述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

⑵字母表示：c)＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！） 3、多项式乘以多项式：(1)语言叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；(2)字母表示：＝mn ＋mb ＋an ＋ab ；（注意各项之间的符号！）注意点：⑴在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。

⑵多项式的每一项都包含它前面的符号，确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。

⑶运算结果中如果有同类项，则要合并同类项（三）乘法公式： 1、平方差公式：(1)语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。

整式的乘除

整式的乘除一、同底数幂的乘法1.幂:求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方的结果叫作幂。

2. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m,n，都有a m・a n=a m+n 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加注意：（1）同底数幂的乘法性质只有在底数相同时才能使用（2）单个字母或数字可以看成是指数为1的幂。

（3）底数可以是单项式或多项式。

3.推广：a m・a n・a p=a m+n+p (m,n,p都是正整数）4.逆用：a m+n =a m・a n5.当互为相反数的底数幂相乘时，要化为相同底数再乘（-a）n =a n（n为偶数）（-a）n =-a n（n为奇数）二、幂的乘方1.意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘。

（a m）n 读作a的m次幂的n次方，表示n个a m相乘。

2.性质：一般地，对于任意底数a与任意正整数m,n,都有（a m）n =a mn 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘3.推广：[(a m)n]p=a mnp(m,n,p都是正整数）4.逆用：a mn=（a m）n (m,n,都是正整数）三、积的乘方1.意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如（ab）3,（ab）n2.性质：一般地，对于任意底数a,b与任意正整数n,都有（ab）n =a n b n语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

3.推广：（abc）n =a n b n c n(n都是正整数）4.逆用：a n b n=（ab）n (n都是正整数）四、同底数幂的除法1.性质：一般地，对于不为0的底数 a与任意正整数m,n(m>n），都有a m÷a n=a m-n语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减注意：（1）同底数幂的除法性质只有在底数相同时才能使用（2）单个字母或数字可以看成是指数为1的幂。

（3）底数a可以是不为0的单项式或多项式。

2.推广：a m÷a n÷a p=a m-n-p (a≠0,m,n,p都是正整数且m>n+p）3.逆用：a m-n =a m÷a n(a≠0,m,n都是正整数且m>n）五、零指数幂和负指数幂1.规定：a0=1（a≠0）语言叙述：任何不等于0的0次幂都等于1。

幂的运算法则及其运算技巧

幂的运算法则及其运算技巧幂的运算法则是《整式的乘除》一章的重要内容,是整式运算的基础,怎样学好用好幂的运算法则呢?学习中应注意以下几点.一,弄清法则的结构特征1.同底数幂相乘:a?an:a;(Ill,n都是正整数)2.幂的乘方:(a)n_amn;(n,n都是正整数)3.积的乘方:(ab)n=a"b;(n是正整数)4.同底数幂相除:a÷aa…;(a4-0,m>n,ITI,n都是正整数)5.商的乘方:()n_;(a4-0,n为正整数)6.零次幂:a.=1;(a4-0)7.负整数指数:a.(a4-0,P是正整数)二,明确运算法则的异同法则的相同点:1.幂的运算法则的运算都是底数不变,只是对指数进行运算;2.法则中作为公式的底数具有普遍性,即可以是数,也可以是式(单项式或多项式); 3.指数都是正整数.法则的不同点:1.同底数的幂相乘(除),底数不变,指数相加(减);2.幂的乘方是指数相乘;3.积(商)的乘方是每个因式各自乘方.三,避免发生以下错误1.法则混淆不清,乱用法则例如计算:(1)(a.);(2)a3a;(3)(÷)2.往往易出现:(1)(a)ka3-=a;(2)J^^,■a?a2--~-a:a;(3)(争)=等=÷等错误.出JJJ现错误的原因是没有真正弄清法则的意义.2.忽视看不见的指数1例如计算:(1)X?X?X;(2)a÷a.往往易出现:(1)x?x?X3-----X;(2)a3÷a:a等错误,出现错误的原因是忽视字母指数为1的情况, 把指数看为0而不是1.3.忽视应用法则的前提条件例如计算:(1)x3+x;(2)8a一5.a;(3)(,/2一,/2)..往往易出现:(1)X3+x=x';(2)8a一5a.=3a;(3)(,/2一,/2).:1等错误.出现错误的原因是只关注幂的运算法则的计算,而又忽视了法则应用的前提条件.四,学会灵活运用法则进行计算运用幂的运算法则进行计算,除了能正确地进行正向运算外,还要学会逆向运用,正逆互用就可很好地解有关问题.下面举例予以说明. 例1计算:一3x5-?4xYZ(x2yZ)2.解:原式:一3x2y?4x3YZ?x4yZ一12x"¨¨.=一12xYz.例2下列计算正确的是()(A)a+a=a..(B)X?x=x,(C)x.+x3--2x.(D)(a2bC)=a4bC.例3若a2n=2,则a"+a=——.解:因为an:=2,所以a"+a8n=(a")+(a")=2+2=8+16=24.例4若3x=3—5y,则8?32——,解:由3x=3—5y,得3x+Sy:3.-..8?32:2?2Y=23x+52k8.例5若10=27,求1O.解:由10=27,得(10)=3,则1O=3...10=1010=3X10=30.—L例6若20=2,20Y=3,求3Or.二次一二次根式运算是初中数学的重要内容,也是中考和竞赛试题中常见的题型.不少题1/1用常规方法解决比较繁琐,若能抓住题t/l的数字和结构特征,找出其本质和规律性,采用灵活巧妙的方法,则可驭繁就简,化难为易,达到事半功倍之效.一,整体代入例1若x=x/T丽-x/T,y=而V-5-+x/Y,求X2--xy+y的值.解:'.x/T丽-x/Y,,~.x=S-2V7-?同理y=5+2,/..'.x+y=10.x'y1...原式=(x+y)一3xy=10一3x197.例2若a+b=6ab=4(a>h).gx,//7a-十xv/bb-的值.解:?.?(+)=a+b+2=10,..,/+,/:,/又...(一)z=a+b一2=2,.a>b...x/a—x/b=x/2. ..原式x/T孚?二,配方例3化简.解:?.?2=2?,厂,(x/2-).+(,/).一(,/)=0,.'.原式::2X/~—"X/'5—+(X/2-)2+(X/'5)2-(X/-7-)2 x/2+,/5+,/7,/+,/)z一(,/2+x/5+x/7,/+,/一,/.三,换元例4当x时,求代数式一x+l?一,/F一一解:设P=q=.则P=1+x.q2=1一x..'.原式P一q+2辫:±±二:l+x一(卜X)X'.'.当x时,原式x/Y+?四,逆用法则例5计算(2一,/)..(2+,/)2001.解:原式=【(2一,/)(2+x/T)】解:?.?30=20x3——20x20y20=20y一. 壁Y—:土一...30竹一=(20'+y-x)1+y-x=20川=20?20Y=2X3=6.练习:1.计算:(一0.125)...?4姗.2.比较:3sss,4似,5的大小.3.填空:24.+34.+74.的个位数字是——.4.已知:x=2+2,y=4～4,若用X的代表式表示Y,则Y参考答案:①1;②53<3<4似;③8; x一4x.2aa4/5初尹窖学习技巧.。

八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点

整式的乘除与因式分解基本知识点一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a __________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例如：________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：10=a例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 6、单项式乘法法则y x 32⋅ )5)(2(22xy y x - )2()3(22xy xy -⋅ 2232)()(b a b a ⋅- 7、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.y x y x 2324÷ ()xy y x 6242-÷ ()()58103106⨯÷⨯8、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.)(c b a m ++ )532(2+--y x x )25(32b ab a ab +--9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.)6)(2(-+x x )12)(32(+--y x y x ))((22b ab a b a +-+10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.()x x xy ÷+56； ()()a ab a 4482-÷-()b a b a b a 232454520÷- c c b c a 2121222÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.例如：（4a －1）（4a+1）=___________；（3a －2b ）（2b+3a ）=___________；()()11-+mn mn = ； =--+-)3)(3(x x ；12、整式乘法的完全平方公式：(a +b)2=a 2+2a b+b 2，(a -b)2=a 2-2a b+b 2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍. 例如：()____________522=+b a ； ()_______________32=-y x()_____________22=+-ab ； ()______________122=--m二、因式分解： 1、提公因式法：4y xy - 32x x + x 2+12x 3+4x )1()1(-+-a n a m 2、公式法.：（1）、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-12-x 2294b a - 22)(16z y x +- 22)2()2(b a b a --+（2）、完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-442+-m m 2269y xy x ++ 924162++x x 36)(12)(2++-+b a b a3、分组分解法：1a b ab +++ ab －c ＋b －ac a 2－2ab ＋b 2－c 24、“十字相乘法”：即式子x 2+(p+q)x+pq 的因式分解. x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x 2＋7x ＋6 （2）、x 2－5x －6 （3）、x 2－5x ＋6整式的乘法[同底数幂的乘法]a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数） [幂的乘方](a m )n ＝a mn (m ，n 都是正整数) [积的乘方](ab)n ＝a n b n (n 是正整数) [单项式乘以单项式]单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． [单项式乘以多项式]单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． [多项式乘以多项式]多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．平方差公式[平方差公式] (a ＋b)(a －b)＝a 2－b 21. 公式的结构特征：⑴左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.⑵右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反数的项的平方差（同号项2－异号项2）.2. 公式的应用：⑴公式中的字母a ，b 可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.⑵公式中的a b22是不可颠倒的，注意是同号项的平方减去异号项的平方，还要注意字母的系数和指数.⑶为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数.如：(a+b)( a - b)= a2 －b2↓↓↓↓↓↓计算：(1+2x)(1-2x)= ( 1 )2－( 2x )2 =1-4x2[完全平方公式]两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的2倍.公式特征：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式（首平方，尾平方，二倍乘积在中央）．公式变形：(a+b)2=(a-b)2+4ab a2 + b2 = (a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab a2 + b2 = (a-b)2+2ab(a+b)2- (a-b)2=4ab[公式的推广] (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac[同底数幂的除法]a m÷a n=a m-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．a0=1(a≠0)任何非零数的零次幂是1.[单项式除以单项式]单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．[多项式除以单项式]多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．[因式分解]把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）. [提公因式法]ac ＋bc=（a ＋b ）c[公式法][十字相乘法]一、训练平台1.下列各式中，计算正确的是( ) ×27=28×22=210+26=27+26=2122.当x=23时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( )239 D.239 3.已知x-y=3，x-z=21，则(y-z)2+5(y-z)+425的值等于( )A.425 B.25 254.设n 为正整数，若a 2n =5，则2a 6n -4的值为( )D.不能确定5.(a +b)(a -2b)= .6.(2a +2= .7.(a +4b)(m+n)= . 8.计算.(1)(2a -b 2)(b 2+2a )= ；(2)(5a -b)(-5a +b)= .9.分解因式. (1)1-4m+4m 2；(2)7x 3-7x.10.先化简，再求值.[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x ，其中x=3，y=. 二、探究平台1.分解因式(a -b)(a 2-a b+b 2)-a b(b-a )为( ) A.(a -b)(a 2+b 2)B.(a -b)2(a +b)C.(a -b)3(a -b)32.下列计算正确的是( ) ÷a 2=a 4(a ≠0) ÷a 4=a (a ≠0) ÷a 6=a 3(a ≠0)D.(a 2b)3=a 6b3.下列各题是在有理数范围内分解因式，结果正确的是( )=(-x+4)(-x-4) +x 3n =x n (2+x 3)41=41(1+2x)(1-2x) 4.分解因式：-a 2+4a b-4b 2= .5.如果x 2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m 的值是 .6.(3x 3+3x)÷(x 2+1)= . . 8.计算.(1)12345678921234567890123456789112345678902⨯-；(2)20032002200220002002220022323-+-⨯-.9.分解因式.(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)； (2)x 4-81x 2y 2.10.112--x x +x(1+x1)，其中x=2-1.三、交流平台1.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a=2，b=时的面积.2.已知多项式x3+kx+6有一个因式x+3，当k为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.3.如果x+y=0，试求x3+x2y+xy2+y3的值.4.试说明无论m，n为任何有理数，多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值为非负数.第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2-b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式（1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx11+. 【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值. 5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--；（2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x xx xx x ；（4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）a b abb b a a ----222；（3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；（4）b a b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-；（6）2121111x x x ++++-；（7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a （2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值. 题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- （2）322231)()3(-----⋅n m n m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab（4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.第二讲分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）xx 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）4441=+++x x x x ；（2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程：（1）021211=-++-x xx x ；（2）3423-=--x x x ；（3）22322=--+x x x ；（4）171372222--+=--+x x x x xx （5）2123524245--+=--x x x x（6）41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程：（1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xbb x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x 二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。

整式的乘法和因式分解知识点汇总

整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解在研究代数的过程中，整式乘除与因式分解是非常重要的知识点。

下面将对这些知识点进行详细讲解。

一．幂的运算性质幂的运算性质是代数中最基本的知识之一。

其中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘。

例如，对于表达式(－2a)2(－3a2)3，可以先计算幂的乘方，然后再将同底数幂相乘。

二．乘方的运算乘方的运算也是代数中的基本知识。

根据乘方的运算法则，积的乘方等于各因式乘方的积。

例如，对于表达式(－a5)5，可以将其分解为a的5次方的积，然后再进行乘方运算。

三．同底数幂的除法同底数幂的除法也是代数中的基本知识之一。

根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减。

例如，对于表达式x÷x，可以将其化简为x的0次方，即1.四．零指数幂和负指数幂在代数中，零指数幂和负指数幂也是非常重要的概念。

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；任何一个不等于零的数的负指数幂，等于这个数的指数幂的倒数。

例如，对于表达式(2a3b)1，可以通过代数式的运算，求出a和b的取值范围。

五．单项式和多项式的乘法单项式和多项式的乘法也是代数中的基本知识之一。

对于单项式相乘，需要将系数和同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

对于单项式与多项式相乘，需要用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。

对于多项式与多项式相乘，需要先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

通过对整式乘除与因式分解的研究，可以更好地理解代数的基本概念和运算法则，为后续的研究打下坚实的基础。

1.计算 (3×10^8)×(-4×10^4) = -1.2×10^132.计算 2x·(-2xy)·(-3) = 12x^2y3.若n为正整数，且x^(2n)=3，则(3x^(3n))^2的值为 274.如果 (anb·abm)^3 = a^9b^15，那么 mn 的值是 55.-[-a^2(2a^3-a)] = 2a^5 - a^36.(-4x^2+6x-8)·(-1/2x) = 2x^3-3x^2+4x7.2n(-1+3mn^2) = -6mn^2+2n8.若 k(2k-5)+2k(1-k) = 32，则 k = 49.(-3x^2)+(2x-3y)(2x-5y)-3y(4x-5y) = -10x^2+31xy-15y^210.在 (ax^2+bx-3)(x^2-x+8) 的结果中不含 x^3 和 x 项，则a = 1/2，b = -311.一个长方体的长为 (a+4)cm，宽为 (a-3)cm，高为(a+5)cm，则它的表面积为 2a^2+22a+32，体积为 (a+4)(a-3)(a+5) = a^3+6a^2-7a-60.若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了 8cm^2.12.一个长方形的长是 10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 40cm^2.当长和都扩大了2cm时，面积增大了 44cm^2.13.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。

第一章：整式的乘除(1)

第一章：整式的乘除知识要求：1、理解、掌握整式的有关概念2、牢固地掌握幂的运算性质和整式乘除的运算法则，理解、掌握乘法公式；3、加强运算能力，以及分析问题、解决问题的能力知识重点：整式的乘法及乘法公式，幂的相关运算性质。

知识难点：熟练掌握整式的有关计算及相关运用：幂的运算，整式乘法，整式除法。

知识点：一、整式的有关概念整式：可以看成是分母不含有字母的代数式，注意：一是分母不含有字母但可以是数字，二要是代数式不能含有等号或表示数量关系的符号。

单项式与多项式统称为整式。

(1)定义：表示数与字母的积的代数式。

单独的一个数是单项式。

1、单独字母也是单项式。

单 (2)系数:单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

项注意系数包括前面的符号，式系数是1时通常省略，π是系数，72xyz -的系数是72- 单独字母的系数是1。

a=1×a单独数字的系数是本身。

3=3×a 0(3)次数：单项式的次数是指所有字母的指数的和。

单独字母的次数是1.单独一个非零数字的次数是0.2、多项式：（1）几个单项式的和叫做多项式。

（几次几项式）（2）每一个单项式叫做多项式的项，注意项包括前面的符号。

（3）多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。

项的次数是几就叫做几次项，（4）不含字母的项叫做常数项。

2、多项式二、整式的加减：实质是合并同类项①先去括号；（注意括号前有数字因数）②再合并同类项。

（系数相加，字母与字母指数不变）三、幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。

m n m n a a a +=• ⇔ m n a a •=+m n a （m,n 都是正整数）2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。

nm m n a a =)( ⇔ m n a )(a nm =（m,n 都是正整数）3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。

n n n b a ab =)( ⇔ n ab)（=n n b a （n 为正整数）4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。

八年级上册数学- 整式的乘除

第十四章整式的乘法与因式分解第19讲整式的乘除知识导航1．幂的运算：同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方；2．整式的乘法：单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式；3．整式的除法：单项式除以单项式，多项式除以单项式，多项式除以多项式【板块一】幂的运算运算法则：（1）同底数幂相乘：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）．（2）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，用式子表示为：()n m mn a a =（m ，n 都是正整数）．（3）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，用式子表示为：()n n n ab a b =（n 都是正整数）．（4）同底数幂相除：同底数的幂相除，底数不变，指数相减，用式子表示为：m n m n a a a -÷=（m ＞n ）（5）规定：01a =（a ≠0），零的零次幂无意义．（6）负整数幂的运算法则：1n na a -=（n 是正整数，a ≠0）．方法技巧：1．从已知出发，构造出结果所需要的式子；2．从结果出发，构造符合已知条件的式子．题型一基本计算【例1】计算：（1）()()32x x -⋅-；（2）()()2332a a -⋅-；（3）()22248x yy ÷；（4）323221334a b ab ⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【例2】计算：()()()2014201420150.12524-⨯-⨯-．题型二逆向运用幂运算【例3】（1）已知2228162x x ⋅⋅=，求x 的值；（2）已知4a y =，16b y =，求22a b y +的值．题型三灵活进行公式变形【例4】已知：5210a b ==，求11a b+的值．题型四比较大小【例5】已知552a =，334b =，225c =，试比较a ，b ，c 的大小．针对练习11．计算：（1）3224a a a a a ⋅⋅+⋅；（2）()57x x -⋅；（3）()()57x y x y +⋅--；（4）()()2332y y ⋅．2．计算：（1）6660.12524⨯⨯；（2）599329961255⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（3）()()2018201720172 1.513⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭；（4）4322023452%3%4%5%103456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．3．（1）若()3915n m a b ba b =，求m ，n 的值；（2）已知27a =，86b =，求()322a b +的值；（3）若a +3b -2=0，求327a b ⋅的值；（4）已知：21233324m m ++=，求m 的值；（5）已知124x y +=，1273x -=，求x －y 的值；（6）已知129372n n +-=，求n 的值．4．已知252000x =，802000y =，求11x y+的值．5．已知k ＞x ＞y ＞z ，且16522228k x y z +++=，k ，x ，y ，z 是整数，求k 的值．6．是否存在整数a ，b ，c 使9101628915a b c⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭？若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，说明理由．7．比较653，524，396，2615四个数的大小．8．你能比较两个数20122011和20112012的大小吗？为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较1n n +与(1)n +n 的大小(n 是自然数），然后，我们分析1n =，2n =，3n =，⋯中发现规律，经过归纳，猜想得出结论．（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格内填写“>”、“ =”、“<”号）①21 12；②32 23；③43 34；④54 45；⑤65 56…．（2）从第（1）题的结果经过归纳，可猜想出1n n +与(1)n n +的大小关系是．（3）根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下面两个数的大小20122011，20112012．9．（1）已知()432a =，()342b =，()423c =，()234d =，()324e =，比较a ，b ，c ，d ，e 的大小关系；（2）已知：220002001200220012002200120022001200220012002a =+⨯+⨯++⨯+⨯，20022002b =，试比较a 与b 的大小．【板块二】整式的乘法方法技巧：（1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里还有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a +b +c 为单项式．（3）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++．题型一基本计算【例6】计算：（1）()()23234x y x y -⋅＝；（2）()()223234x y x y -⋅＝；（3）()254342x x y xy -⋅-＝；（4）()()22323253a b ab a b ⋅-+＝；（5）()()322a b x y +-＝；（6）()()332a b a b +-＝．题型二混合运算【例7】计算：()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．题型三展开后不含某项【例8】若()()2283x ax x x b ++-+的乘积中不含x 2项和x 3项，则a ＝，b ＝．题型四比较对应项的系数求值【例9】已知()()2226x my x ny x xy y ++=+-，求()m n mn +的值．【板块二】整式的乘法方法技巧（1）单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里还有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为: m (a＋b＋c) ＝ma＋mb＋mc，其中m为单项式，a＋b＋c为多项式.（3）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：(m＋n)( a＋b) ＝ma＋mb＋na＋nb.题型一基本计算【例6】计算：（1）(－3x2y)·(4x3y2)＝__________;（2）(－3x2y) 2·(4x3y2)＝__________;（3）－3x2·(4x5y－2xy4)＝__________;（4）(2a2b3)·(－5ab2＋3a3b)＝__________;（5）(3a＋2b)·(2x－y)＝__________;（6）(3a＋b)·(3a－2b)＝__________;题型二混合运算【例7】计算：(3x2＋2)( 5x4＋2x2＋3)－(5x4＋x2＋3)( 3x2＋3)题型三展开后不含某项【例8】若(x2＋ax＋8)( x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a＝__________，b＝__________.题型四比较对应项的系数求值【例9】已知(x＋my)( x－ny)＝x2＋2xy－6y2，求(m＋n) mn的值题型五巧设特殊值【例10】设()5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a 1x＋a0（1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a0的值；（2）a0－a1＋a2－a3＋a4－a5的值；（3）a0＋a2＋a4的值；针对练习21．计算：（1）(x＋2y)(4a＋3b)＝__________；（2）(3x－y)( x＋2y)＝__________；（3）(x＋3)( x－4)＝__________；（4）(43a2b－83a3b2＋1)×(－0.25ab)＝__________；（5）3a b2 [(－ab) 2－2b2 (a2－23a3b)]＝__________；（6）(5x3＋2x－x2－3)(2－x＋4x2)＝__________；2．计算：（1）(x2－2x＋3)(x－1)( x＋1)；（2）[(12x－y)2＋(12x＋y)2] (12x2－2y2);（3）(－x3＋2x2－5)(2x2－3x＋1);（4）(x＋y)( x2－xy＋y2);（5）(x－y)( x2＋xy＋y2);（6）(－2x－y)(4x2－2xy＋y2).3．（1）多项式x2＋ax＋2和x2＋2x－b的积中没有x2和x3两项，求a，b的值；（2）若(1＋x)(2x2＋ax＋1)的结果中x2项的系数为－2，求a的值；（3）已知多项式3x2＋ax＋1与bx2＋x＋2的积中不含x2和x项，求系数a，b的值.4．（1）已知多项式x4＋x3＋x2＋2＝(x 2＋m x＋1)( x 2＋n x＋2)，求m与n的值；（2）若不论x取何值，多项式x3－2x3－4x－1与(x＋1)(x2＋m x＋n)都相等，求m和n的值；（3）已知(x＋a y)(2 x－b y)＝2x2－3xy－5y 2，则2a2b－ab2的值.5．已知ab2＝6，求ab (a 2b5－ab3－b)的值.6．已知x－y＝－1，xy＝2，求(x－1)( y＋1)的值.7．已知2 a 2＋3 a－6，求3a (2a＋1)－(2a＋1)( 2a－1)的值.8．已知x2－8x－3＝0，求(x－1)( x－3)( x－5)( x－7)的值.9．已知2 x＋3x (x＋1)( x＋2)( x＋3)的值.【板块三】整式的除法方法技巧（1）单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.（2）多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，公式为：（3）多项式除以多项式：大除法.题型一基本计算【例11】计算：（1）(23a4b2－19a2b8)÷(－12ab3)2（2）(35a3b7－65a3b4－1.8a2b3)÷0.6ab2题型二大除法【例12】计算：（1）(x3－1)÷(x－1);（2）(3 x4－5x3＋x2＋2)÷(x2＋3);。

整式的乘除

整式的乘除概念总汇1、同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则，其推到过程是特殊到一般的过程，即由103· 102，33· 32到a 3· a 2到a m· a n，把幂的底数与指数分两步进行概括抽象，要注意推出这一法则每一步的依据（2）同底数幂的乘法法则是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 a m· a n= anm +（字母m ，n 表示正整数）当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这样的性质，即： a m · a n · a p = a pn m ++（字母m ，n ，p 表示正整数）说明：（1）同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项。

两者不能混淆。

（2）、—a ²的底数a ，不是—a 。

计算—a ²·a ²的结果是—（a ²·a ²）=—a 4 ，而不是（—a 2+ 2）=a 4 。

（3）、若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算 2、幂的乘方（1）、幂的乘方的性质推导当乘方的运算中底数变成幂时，这种运算就变成一种新的运算：即幂的乘方，其运算法则可由乘方运算的定义和同底数幂的乘法法则推导出来。

（2）、幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。

用字母表示就是（a m ）n =a mn （m 、n 都是正整数）。

如（103 ）2=106说明：（1）、幂的乘方是单项式乘除运算的基础，应学会运用乘方的定义及同底数幂乘法推导其运算法则，同时注意与同底数幂乘法法则的区别，应用时不能混淆。

（2）、不管是同底数幂的乘法运算，还是幂的乘方运算，要学会正确识别幂的“底”是什么？幂的指数是什么？乘方的“指数”是什么？若在底数中有负号，则要根据指数的奇偶性决定正负号，即乘方的指数为奇数，负号保留，乘方的指数为偶数，负号去掉。

3、积的乘方（1）积的乘方当幂的底数有两个或两个以上数或字母相乘时，就是积的乘方。

《整式的乘法与因式分解》复习导学案【精品】

《整式的乘法与因式分解》复习导学案【学习目标】1.记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式。

2.会运用法则进行整式的乘除运算。

3.培养学生的独立思考能力和合作交流意识。

【学习重点】记住公式及法则。

【学习难点】会运用法则进行整式乘除运算。

一、考点归纳1、幂的运算法则（基础）2、整式的乘法单项式乘以单项式：单项式乘以多项式：多项式乘以多项式：乘法公式：（重点）3．整式的除法单项式除以单项式：多项式除以单项式：4.因式分解（1）因式分解是把一个______化为的形式．（2）因式分解的方法（3）因式分解的步骤二、专题归纳专题一：幂的运算1、下列运算正确的是（）A 、6318a a a ⋅=B 、()()639a a a -⋅-=-C 、632a a a ÷=D 、()()639a a a -⋅-=2、若4x m =，则2______x m =3、=-2)3(m n b a n m a a ⋅3)(= （y 3）2+（y 2）3=4、()120=+x ，则x 的范围是计算0)2(-π= 专题二：整式的乘除5、计算：2x 3·（－3x ）2= ．6、下列运算正确的是（）A. x 3·x 4＝x 12B. （－6x 6）÷（－2x 2）＝3x 3C. 2a －3a ＝－aD. （x －2）2＝x 2－47、若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2，x 3项，则p = ，q = ．8、当m = 时，多项式2249x mxy y ++是一个完全平方式。

9、若12a a +=，则221a a +的值为（） A 、2 B 、4 C 、0 D 、4-10、计算（1）2332)61()3(y x xy - （2）)21()52(42533422xy a y x a x a -÷-。

整式的乘除——幂的乘方课件

a 解： (3)(a2m )4 a2m4
8m
(4) ( y3)2 y32 y6
例2 计算：
(1)a2 a4 (a3 )2
(2)( x3 )2 ( x4 )2
x x a a 解:原式= 24
32 原式= 32
42
a6 a6
x6 x8
2a6
x68
x14
例3 把 [( x y)2 ]4 化成
(am)n n个am
=am·am·… ·am n个m
=am+m+ … +m
（幂的意义）（同底数幂的乘法性质）
=amn
（乘法的意义）
3、幂的乘方计算法则：
(其中m ，n都是正整数)
则可得出其运算的法则: 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例1 计算：
(3)(a 2m )4 ; (4) ( y 3 )2 ;
=a2+3=a5 ⑵ (y3)4·(y4)3 =y12•y12=y24
=y5×5=y25
⑶ －(xn)2·(x3)2m =-x2n•x6m=-x6m+2n
=y5+5=y10 ⑷ (a2)3+a3 ·a3 =a6+a6=a12
思考题： 1、若 am = 2, 则a3m =__8___.
2、若 mx = 2, my = 3 , 则 mx+y =__6_, m3x+2y =_7_2_.
第一章整式的乘除（北师大版七下） 1.2.1幂的乘方
学习小目标：
1、能理解幂的乘方的运算法则,了解幂的乘方法则与同底数幂的乘法的区别与联系。
2、能运用幂的乘方法则解决简单的计算问题。
认识幂的乘方：
1、比如（62）4、（a2)3、(am)3、(102)3 等这些就是幂的乘方。

分式、因式分解整式乘除综合知识点及练习

整式的乘除法。

因式分解和分式复习基本概念一．整式的除乘法 1。

同底数幂的乘法：mn m n a a a +=,（m,n 都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

2。

幂的乘方：()m nmna a=,(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：()n n nab a b =，（n 为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。

4。

整式的乘法：(1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示:m （a +b +c )=ma +mb +mc (a 、b 、c 都表示单项式）（3)多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式：平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差"，即用字母表示为：（a +b )(a －b )=a 2－b 2;其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式:完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差)的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：（a +b )2=a 2+2ab +b 2;（a －b )2=a 2－2ab +b 2;其结构特征是:左边是“两个数的和或差”的平方,右边是三项，首末两项是平方项,且符号相同，中间项是2ab ，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a 、 b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式（3）添括号时,如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。

幂的运算法则及整式的乘除

专题04 整式的乘除(原卷版)

七年级下册数学整式的乘除

期末复习---幂的运算性质和整式的乘除

(完整版)最新北师大版数学七年级下册第一章_整式的乘除知识点总结及练习题

初二数学上册讲义(第五章 整式的乘除)

代数复习：幂的运算、整式乘法与因式分解

整式的乘除知识点整理

整式的乘除

幂的运算法则及其运算技巧

八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点

整式的乘法和因式分解知识点汇总

第一章：整式的乘除(1)

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