科学计算方法第七章
地下结构的地层结构计算方法
模型建立要点
midas地层结构算例
第七章 地层结构法的适用性
位移清零
模型建立要点
midas地层结构算例
初始地 应力场
计算开挖边界 等效结点力
删除开挖网格 反向施加结点力
确定释放系数
第七章 地层结构法的适用性
荷载分步释放 与围岩特性
岩爆
模型建立要点
midas地层结构算例
高地应 力
0.7m
E砼＝23Gpa A砼＝0.28m2 I砼＝0.00183m4
E钢＝210Gpa A钢＝39.578×10-4m2 I钢＝2500×10-8m4
E A ＝ E砼 A砼+ E钢A钢/S E I ＝ E砼 I砼+ E钢I钢/S
取E ＝ E砼
A ＝ A砼+ E钢A钢/(SE砼) =0.3316 I ＝ I砼+ E钢I钢/(SE砼) =0.002155
岩土材料
• 根据岩土性质和计算目的选择适合的本构模型。 • 定量分析时应注意材料参数的确定，必要时采用反分析。
结构材料
• 弹性或弹塑性 • 初期支护内的钢拱架与喷射砼一般视为整体计算
加固地层材料
• 直接模拟 • 不模拟，作为安全储备 • 提高地层材料参数
第七章 地层结构法的适用性
边界条件
模型建立要点
576个四边形单元
35个梁单元
第七章 地层结构法的适用性
模型建立要点
midas地层结构算例
地层与结构连接
公共节点，变形协调
. . . 1 node . A. B.
不同节点，相互独立
. . .. . 2 nodes . A. B.
摩擦接触，接触单元
计算方法第七章(r)
为使 a ( k ) = 0 ，必须 pq
tg2θ =
2a(k−1) pq a
(k −1) pp
−a
(k −1) qq
在这里，我们通常， 在这里，我们通常，限制
k (k θ ≤ π / 4 ，如果 a (pp−1) = aqq −1) ，
当 a ( k −1) > 0 时，取 θ = π / 4 ，当 a ( k −1) < 0 时， = −π / 4 θ pq pq 迭代矩阵的元素时， 在具体计算第 k 步迭代矩阵的元素时，需要计算正弦值和余弦 通常按如下步骤计算： 值，通常按如下步骤计算：
λ2 显然，乘幂法的收敛速度依赖 λ ，如此比值接近1，则收敛 显然， 如此比值接近 ， 1
速度会很慢。 速度会很慢。 代替A，进行乘幂法 迭代速度可能会大大加快。 乘幂法。 用 A－ pI 代替 ，进行乘幂法。迭代速度可能会大大加快。 这叫原点移位法。 这叫原点移位法。
1.2 加速技术： 加速技术：
以上是计算特征向量的埃特金加速，同样可以得到关于计算特 以上是计算特征向量的埃特金加速，同样可以得到关于计算特 计算特征向量的埃特金加速 征值的埃特金加速， 征值的埃特金加速， 的埃特金加速
mk mk + 2 − mk2+1 Mk = mk − 2mk +1 + mk + 2
M k → λ1
1.3 反幂法
Q Τ = Q −1 , QQ Τ = I
数不变。 数不变。
, QAQ Τ = Λ
（2）一个矩阵左乘一个正交矩阵或右乘一个正交矩阵，其E范 ）一个矩阵左乘一个正交矩阵或右乘一个正交矩阵， 范
A
2 E
= ∑∑ a = trace( A A) = trace( A Q QA) = QA
数值计算方法教案
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。
第七章-颗粒大小测定
材料科学与工程学院
第七章
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颗粒大小测定
厚德 博学
笃行 创新
h气流中含尘气体的取样 对于从气流中获取粉尘试样基本程序为： ① 选择适当的取样点（包括断面位臵和断面上个测量点的分布）。 ② 测量气体温度和流速。 ③ 组装和标定取样仪器。 ④ 在预定的时间内在选定的取样点进行等动取样。 因只有当吸入取样嘴的流速与该点气流相等时，试样才具有代表性。因此在去除代表 着一点气流的试样有一定的困难，等动取样就是这个意思，在等动条件下气流没有扰 动而且所有颗粒并且只有这些颗粒进入取样嘴。 ⑤ 取出已收集有固体颗粒的仪器。 ⑥ 重复测速和测温。 ⑦重复④⑤⑥各步骤。 ⑧测定收集的试样的重量和颗粒级配进行必要的计算和填写报告。上述这些测试方法 ，我们在测试技术里都讲述了
通过细孔法
液相沉降法
风筛法（气相沉降） 离心沉降法
500~0.5
100~1 5~0.01
反应速度法
光线散射法 光散射法
50~0.1
10~0.001 0.05~0.001
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第七章
颗粒大小测定
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上述这些方法的选择取决于粒度范围、粒度 使用目的、物料的物理性质，测定精度记忆测定 方法的难易程度，在我们硅酸盐行业使用最多的 方法有筛析法、显微镜法、沉降法、吸附法和散 射法。
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第七章
颗粒大小测定
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三、颗粒大小测定方法 1、筛分 筛子按制造方法可分为扁丝筛和冲孔筛。筛子通常是用来分级用的，在以 前筛孔的大小还没有标准化，在1867年Rittinger首先建议以75um为基础用递增 筛孔大小作为标准筛。现代标准筛以递增而法国的AFNOR系列用为基础递增 。 筛子常用“目”来表示筛孔大小称Mesh，“目”是每英寸长度内有若干根 编丝的数字。目前各种标准筛逐步修改到ISO制系列了。该系列是以45um为基 础， 递增。目前常用的标准筛有日本工业规格（JIS）,美国标准（ASTM） ,Tyler公司标准，英国标准（BS）,法国标准（DIN）.晒分析师一种简单的最广 泛应用于颗粒大小分析的方法，应用范围是20um~125mm的编织丝筛。微孔 筛可使使用范围下限至5um或更小，而用板冲孔筛可是上限增大。几种常见的 筛分方法。
第七章土压力计算
1. 土的自重引起的土压力zKp
2. 粘聚力c引起的侧压力2c√Kp 说明：侧压力是一种正压力，在计算 Ep 中应考虑
土压力合力
E p(1/2)h2K p2chK p
1.粘性土被动土压力强度不存在负侧压力区 2.合力大小为分布图形的面积，即梯形分布图形面积 3.合力作用点在梯形形心
被动朗 肯状态
处于被动朗肯状态，σ3方向竖直，剪切
破坏面与竖直面夹角为45o＋/2
二、主动土压力
挡土墙在土压力作用下，产生离开
土体的位移，竖向应力保持不变，
水平应力逐渐减小，位移增大到
h
z
z(σ1)
-△a，墙后土体处于朗肯主动状态
时，墙后土体出现一组滑裂面，剪
45o＋/2
pa(σ3) 切破坏面与大主应力作用面夹角
z
pp
主动极限 水平方向均匀伸展 土体处于水平方向均匀压缩 被动极限
平衡状态
弹性平衡
平衡状态
状态
主动朗 肯状态
处于主动朗肯状态，σ1方向竖直，剪切
破坏面与竖直面夹角为45o-/2
被动朗 肯状态
处于被动朗肯状态，σ3方向竖直，剪切
破坏面与竖直面夹角为45o＋/2
成层填土情况（以无粘性土为例）
A pa A
ppzK p2c Kp
pp zKp
h
h/3
Ep (1/2)h2Kp
hKp 1.无粘性土被动土压力强度与z成正比，沿墙高呈三角形分布 2.合力大小为分布图形的面积，即三角形面积 3.合力作用点在三角形形心，即作用在离墙底h/3处
h
hp
当c＞0, 粘性土
2c√Kp
hKp ＋2c√Kp
现代科学工程计算基础课后答案
现代科学工程计算基础课后答案《现代科学与工程计算基础》较为详细地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法、基本概念及有关的理论和应用。
全书共分八章，主要内容有误差分析，函数的插值与逼近，数值积分与数值微分，线性代数方程组的直接解法与迭代解法，非线性方程及非线性方程组的数值解法，矩阵特征值和特征向量的数值解法，以及常微分方程初、边值问题的数值解法等。
使用对象为高等院校工科类研究生及理工科类非“信息与计算科学”专业本科生，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考。
《现代科学与工程计算基础》讲授由浅人深，通俗易懂，具备高等数学、线性代数知识者均可学习。
基本信息出版社: 四川大学出版社; 第1版 (2003年9月1日)平装: 378页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7561426879条形码: 9787561426876商品尺寸: 20 x 13.8 x 1.6 cm商品重量: 399 g品牌: 四川大学出版社ASIN: B004XLDT8C《研究生系列教材:现代科学与工程计算基础》是我们在长期从事数值分析教学和研究工作的基础上，根据多年的教学经验和实际计算经验编写而成。
其目的是使大学生和研究生了解数值计算的重要性及其基本内容，熟悉基本算法并能在计算机上实现，掌握如何构造、评估、选取、甚至改进算法的数学理论依据，培养和提高读者独立解决数值计算问题的能力。
目录第一章绪论§1 研究对象§2 误差的来源及其基本概念2.1 误差的来源2.2 误差的基本概念2.3 和、差、积、商的误差§3 数值计算中几点注意事项习题第二章函数的插值与逼近§1 引言1.1 多项式插值1.2 最佳逼近1.3 曲线拟合§2 Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值2.2 n次Lagrange插值多项式2.3 插值余项§3 迭代插值§4 Newton插值4.1 Newton均差插值公式4.2 Newton差分插值公式§5 Hermite插值§6 分段多项式插值6.1 分段线性插值6.2 分段三次Hermite插值§7 样条插值7.1 三次样条插值函数的定义7.2 插值函数的构造7.3 三次样条插值的算法7.4 三次样条插值的收敛性§8 最小二乘曲线拟合8.1 问题的引入及最小二乘原理8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合8.4 多变量的最小二乘拟合§9 连续函数的量佳平方逼近9.1 利用多项式作平方逼近9.2 利用正交函数组作平方逼近§10 富利叶变换及快速富利叶变换10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换10.2 快速富利叶变换习题第三章数值积分与数值微分§1 数值积分的基本概念1.1 数值求积的基本思想1.2 代数精度的概念1.3 插值型求积公式§2 等距节点求积公式2.1 Newton—CoteS公式2.2 复化求积法及其收敛性2.3 求积步长的自适应选取§3 Romberg 求积法3.1 Romberg求积公式3.2 Richardson外推加速技术§4 Gauss型求积公式4.1 Gauss型求积公式的一般理论4.2几种常见的Gauss型求积公式§5 奇异积分和振荡函数积分的计算5.1 奇异积分的计算5.2 振荡函数积分的计算§6 多重积分的计算6.1 基本思想6.2 复化求积公式6.3 Gauss型求积公式§7 数值微分7.1 Taylor级数展开法7.2 插值型求导公式习题第四章解线性代数方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 主元素消去法2.1 全主元素消去法2.2 列主元素消去法§3 矩阵三角分解法3.1 Doolittle分解法（或LU分解）3.2 列主元素三角分解法3.3 平方根法3.4 三对角方程组的追赶法§4 向量范数、矩阵范数及条件数4.1 向量和矩阵的范数4.2 矩阵条件数及方程组性态习题第五章解线性代数方程组的迭代法§1 Jacobi迭代法§2 Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛迭代法§4 共轭梯度法习题第六章非线性方程求根§1 逐步搜索法及二分法1.1 逐步搜索法1.2 二分法§2 迭代法2.1 迭代法的算法2.2 迭代法的基本理论2.3 局部收敛性及收敛阶§3 迭代收敛的加速3.1 松弛法3.2 Aitken方法§4 New-ton迭代法4.1 Newton迭代法及收敛性4.2 Newton迭代法的修正4.3 重根的处理§5 弦割法与抛物线法5.1 弦割法5.2 抛物线法§6 代数方程求根6.1 多项式方程求根的Newton法6.2 劈因子法§7 解非线性方程组的Newton迭代法习题……第七章矩阵特征值和特征向量的计算第八章常微方分程数值解法附录参考文献欢迎下载，资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!。
信息与计算科学专业计算方法习题参考解答(教师用)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1. 若误差限为0.5×10－5，那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2. 14159.3=π，具有4，5位有效数字的近似值分别是多少？（有效数字的计算） 3. 已知 1.2031,0.978a b ==是经过四舍五入后得到的近似值，问,a b a b +⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）4. 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0|*|≤-，cm r r 1.0|*|≤-，求圆柱体体积h r V2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）5. 设ny x =，求y 的相对误差与x 的相对误差的关系。
设x 的相对误差为%a ,求nx 的相对误差.（函数误差的计算）6. 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大何？（函数误差的计算）7. 设110n x n I e x e dx -=⎰求证：（1）11(0,1,2,)n n I nI n -=-=（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。
（计算方法的比较选择）第二章 插值法姓名 学号 班级习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1.求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：，，，（插值多项式的构造）2. 已知：，，，求的Lagrange 插值多项式。
（拉格朗日插值）3. 已知y=x ，0x =4，1x =9，用线性插值求7的近似值。
（拉格朗日线性插值）4. 若(0,1,,)j x j n = 为互异节点，且有01110111()()()()()()()()()()()j j n j j j j j j j j n x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x -+-+-----=-----5. 证明(),0,1,,nk kj jj x l x xk n =≡=∑ （拉格朗日插值基函数的性质）6. 已知sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274，用抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
第七章框架-剪力墙结构在水平荷载下的近似计算方法
第七章 框架－剪力墙结构在水平荷载下的近似计算方法 本章导学框架：剪力墙结构是由框架和剪力墙组成的一种复合结构体系，它兼 具框架结构和剪力墙结构的优点，因而成为高层建筑的主要结构体 系。
在水平荷载作用下，因为框架与剪力墙的变形性质不同，不能 直接把总水平剪力按抗侧刚度的比例分配到每榀结构上，而是必须 采用协同工作方法求得侧移和各自的水平层剪力及内力。
框架剪力墙结构计算的近似方法是将结构分解成平面结构单元，它适用 于比较规则的结构，而且只能计算平移时的剪力分配，如果有扭转 ，要单独进行扭转计算，再将两部分内力叠加。
这种方法概念清楚 ，结果的规律性较好。
本章主要学习框架：剪力墙结构计算的近似方法，学习中要求同学们熟练掌握协同 工作方法的两种计算简图，熟练掌握铰接体系和刚接体系的计算方 法的区别与联系。
知识学习第一节 概述一．基本假定框剪结构体系在水平荷载作用下的内力分析是一个三维空间超 静定问题，通常把它简化为平面结构来计算，并在结构分析中作如 下基本假定：①楼板在自身平面内刚度无限大。
这一假定保证楼板将整个计 算区段内的框架和剪力墙连成一个整体，在水平荷载作用下，框架 和剪力墙之间不产生相对位移。
②当结构体型规则、剪力墙布置比较对称均匀时，结构在水平 荷载作用下不计扭转的影响；否则应考虑扭转的影响。
③不考虑剪力墙和框架柱的轴向变形及基础转动的影响。
④结构为线弹性结构。
二．计算简图用连续化解法求总剪力墙与总框架之间的相互作用力，都要解 决如何合并总剪力墙、总框架，以及确定总剪力墙和总框架之间的 连接和相互作用关系，以便于确定计算简图。
框剪结构用连续化方 法求解时，根据连杆刚度情况可以确定两种计算简图：铰接体系和 刚接体系。
1.铰接体系在基本假定的前提下，计算区段内结构在水平荷载作用下，处 于同一楼面标高处各片剪力墙及框架的水平位移相同。
此时可把平 行于水平荷载作用方向的所有剪力墙综合在一起成总剪力墙（一般 简化为整体墙），把平行于水平荷载作用方向的所有框架综合在一 起成总框架。
007第七章 水文频率计算1110.ppt
在x近=曲线当度在为a0线α曲曲β相当密点2=的线 线切，2α度处时起呈的>，右曲与2，点铃起右端时线x并轴型点端以C，呈在S相，，以x铃=C轴该切左起x2S型轴为1点<，端点/，2为渐2处右，截斜在1渐近与/端密止率2起线，
以x轴为渐近线
x
4 CS 2
铃形比较符合实际
结合水文随机变量物理性质，从理论上讲，在水文中应用 P-Ⅲ型分布时，三参数应满足以下二个关系：
0.04 3.807 3.619 3.357 3.148 2.927 2.613 2.356 2.075 1.898 …
0.06 3.849 3.657 3.389 3.176 2.951 2.632 2.37 2.086 1.906 …
0.08 3.892 3.695 3.422 3.205 2.976 2.651 2.385 2.096 1.914 …
1, P-Ⅲ型分布频率计算
(1) P-Ⅲ型分布的密度曲线形状
f
(x)
(
)
(x
a0 )
1e
( x a0
)
x a0
式中a0,, 0为参数。
E(X )
a0，
D( X
)
2
2
。
CV
a0
CS
2。
由此，三个原始参数，，a0可以用
基本参数E(X ),CV ,CS表示如下
a0
EX
(1
2CV CS
当 Cs 0, ，此时 为标准化正体分布∴结论是对的
x EX,由于x与是严格单调函数，故
f
f
x
x
dx
d
EX a e 1 EX a
2
EX
a
计算方法 第七章 常微分方程数值解法
7.1.1 欧拉法及其截断误差
4、欧拉公式的截断误差是O(h2)，公式是1 阶的。
因为
yi+ 1 ? yi
1
h f ( x i , y i ) = y ( x i ) + h y ¢( x i )
1 2
1
2n ) ( n y ( x ) y (( x)i 1 ) ( y i()x i ) y y ( ) ( x h i ) ( )yh ( ( x x i ) xi y x ) ( xi ) x y y 2 n! 2
y0 y( x0 )
i1 i i i
(欧拉公式)
9
7.1.1 欧拉法及其截断误差
例 取步长 h=0.1，用欧拉法求解初值问题
ì y ¢= x + y ï ï í ï y (0) = 1 ï î
y i 1 y i h f ( x i , y i ) , i 0 ,1 , 2 , y0 y( x0 )
y f ( x , y ), y( x0 ) y0
x [a , b ]
23
7.1 欧拉法和改进的欧拉法
欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i , y i ) , i 0 ,1 , 2 , y0 y( x0 )
h y i 1 y i [ f ( x i , y i ) f ( x i 1 , y i 1 )] , i 0 ,1 , 2 , 2 y y( x ) 0 0
( p)
1.2 ? 1.24
1.528
y 2 = y 1 + 0 .1[( x1 + y 1 ) + ( x 2 + y 2 )] = 1 .2 4 + 0 .1(0 .2 + 1 .2 4 + 0 .4 + 1 .5 2 8) = 1 .5 7 6 8
计算方法引论-第七章
计算方法引论：数值代数⏹解线性方程组的直接法⏹解线性方程组最小二乘问题⏹解线性方程组的迭代法⏹矩阵特征值和特征向量的计算⏹非线性方程及非线性方程组解法第七章线性方程组最小二乘问题•线性最小二乘问题•满秩分解•广义逆矩阵•Gram-Schmidt方法•Householder变换•Givens变换•奇异值分解线性最小二乘问题•线性代数方程组Ax=b(1)–相容:有解, 可能有无穷多解(欠定).–不相容(矛盾,超定):无解.–广义解:最小二乘解.总存在,可能有无穷多.•最小二乘解–求剩余平方和║Ax -b ║2的最小值点–求正规方程(法方程)A T Ax =A T b (通常意义)的解–二者等价:象数据拟合法那样用微分法可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111满秩分解与广义逆矩阵•满秩矩阵:A,rank(A)=min{m,n}m×n–行满秩:A,rank(A)=mm×n–列满秩:A,rank(A)=nm×n•满秩分解A= B m×r A r×n,rank(A)=rm×n–(不惟一)可取A的线性无关列为B,它们表出A各列的系数对应为C•广义逆矩阵(惟一)–A+=C T(CC T)-1(B T B)-1B T•注:广义逆矩阵可多个方式定义并确认其惟一性.似乎用奇异值分解更简明实用A+计算•满秩矩阵–行满秩: A+=A T(AA T)-1–列满秩: A+=(A T A)-1A T •非零向量–行向量:x=(x1,x2 ,…,x n)x +=x T/(x12+…+x n2)–列向量x=(x1, x2,…,x n) Tx +=x T/ (x12+…+x n2) •例[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21211012151112111212211AA +计算又例•A 作满秩分解消元所有列都用1、3列表出131042611713013⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 0.0535710.0178570.0714290.160710.0535710.214290.369050.0119050.380950.422620.0297620.452380.208330.0416670.16667+-⎛⎫⎪- ⎪⎪=-- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 消元矩阵解释•求A +–·–·1–·1131040011100000⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎝⎭131040011100111⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎝⎭ ③–②·1 ②–①·2 ③–①·1 1113013210011110⎛⎫⎛⎫⎪=⎪⎪-⎝⎭⎪⎝⎭A 100131042100011111100*********4210011111⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪⎝⎭AA+性质•X=A+满足Penrose方程–AXA=A(P1)–XAX=X(P2)–(AX)T=(AX)(P3)–(XA)T=(XA)(P4)•性质–A可逆A+=A-1–(A T)+= (A+)T–(A T A)+=A+(A T)+–(A+A)2=A+A,(AA+)2=AA+•注:不具有逆的某些性质[][]2222))(())((乃知)(1141))(()()()(故2/1)()(,1)(1121)()()(1)(,1121)(,01,11++++++++++++++≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≠==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡===⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xyxyxyxyxyyxyxyxyxxyxyyxyx方程组(1)的解•方程组(1)有解iff AA+b=b–充分性:AA+b=b,则x=A+b满足(1)–必要性:有Ax=b即有AA+(Ax)=b, AA+b=b •(1)有解则其通解为(2)x=A+b+(I-A+A)z, z任意n维向量–(1)有解则A+b是解而A(I-A+A)=A-AA+A=O–设y是解.令z=y-A+b则Az=o.于是z=(I-A+A)z,从而y=A+b+z=A+b+(I-A+A)z.方程组(1)的解(续)•(1)有解时A+b为其通解(2)中惟一2-范数最小者.一般情况下(1)的最小二乘解通解亦(2), A+b仍为其通解中惟一2-范数最小者–(1)有解通解是(2).由于(A+)T(I-A+A)=(A+)T (A+A)T(I-A+A)=(A+)T (A+A-A+A)=O.得║x ║2 = ║A+b║2+║(I-A+A)z║2 +(A+b)T(I-A+A)z= ║A+b║2+║(I-A+A)z║2>0,当(I-A+A)z≠o–一般情况下.令b=c+d, c=AA+b,d=(I-AA+)b,则c T d=0,A T d=o,Ax=c有解y=A+c+(I-A+A)z=A+b+(I-A+A)z,且║b-Ax║2=║c+d-Ax║2 =║c-Ax║2 +║d║2 > ║d║2 ,当Ax≠c.乃证得(1)的最小二乘解通解亦(2).其中A+b为惟一2-范数最小者前己证得.Gram-Schmidt 正交化•G-S 方法可将线性无关的向量组正交化–β1=α1, r 11=║β1║,q 1=β1/r 11–β2=α2-r 12q 1, r 12=(α2, q 1), r 22=║β2║,q 2=β2/r 22–βk =αk -r 1k q 1 -r 2k q 2 -…-r k-1,,k q k , r ik =(αk , q i ), i =1,2, …,k -1, r kk =║βk ║, q k =βk /r kk , k =3, …,n•矩阵表示–A=QR–(α1α2 …αn )=(q 1q 2…q n )⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n r r r r r r22211111•G-S 方法•修改的G-S 方法–后一算法改变原算法:算出后立即修改使之皆与正交,以后对它们逐个作类似处理.–二算法主要运算量是乘法和加法运算各mn 2次1112/||||=βααfor j = 2:nT T T 112211j j j j j j j --=----βαβαββαββαβ 2/||||j j j =βββ endfor j = 1:n2/||||j j j =βαα for k = j +1:nT k k j k j =-ααβαβ endend1β211,,,n j j j =-：ααααβαβ211,,,2,3,,.n j j j j n =-=：ααααβαβT 211,,,2n j j j j =-=：ααααβαβ1β•A =QR•各列正交化过程5251103202230012---⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 0.980580.0377430.176600.0764720.196120.188710.883020.3823600.981310.176600.07647200.397360.91766-⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪⎪-⎝⎭Q 5.0990 1.9612 5.49130.588350 2.0381 1.5852 2.528800 2.5166 3.267200.76472---⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪⎝⎭R T T 22121(0.076923,0.38462,2,0)=-=-βαβαβ22|||| 2.0381=βT 2(0.037743,0.18871,0.98131,0)=-βT T13235.4913, 1.5852=-=βαβαT T T33131232(0.44444,2.2222,0.44444,1)=--=-βαβαββαβ32|||| 2.5166=βT3(0.17660,0.88302,0.17660,0.39736)=-β-3.2672T4(0.058480,0.29240,0.058480,0.70175)=---β42||||0.76472=βT4(0.076472,0.38236,0.076472,0.91766)=--β12|||| 5.0990=αT1(0.98058,0.19612,0,0)=βT 12 1.9612=-βαT T T 1424340.58835, 2.5288,0.32672=-=-=-βαβαβαHouseholder 变换•定义–H =I -2ww T , ║ w ║ =1•性质–H T =H–H T H =H 2=I–任一x ,║Hx ║=║x ║–任给x 及y ,║y ║=║x ║≠0,总有H 使Hx=y , 不难验证:取w =(x-y )/ ║x-y ║即可.–y 常取坐标轴方向,如y = -sign(x 1 )║x ║ e 1v =x +sign(x 1)║x ║ e 1(w =v / ║v ║)H =I -βvv T ,β=2/v T v用此变换可将矩阵化成上三角(消元)Household变换:算法•变换Hx= -αe1:计算v(存入x)及α=sign(x1)║x║,β–η=max{|xi|}计算v及β时引入的比例因子–xi=x i/η, 1≤i≤n–α= sign(x1)║x║–x1=x1+α, β =(αx1)-1, α= ηα•计算A=HA(H由β,v给出)–设A=(a1… aq)则HA=A-βvv T A=(…a j -βvv T a j…)–算法:对j=1,2,…,qσ=v T aja j =a j -σβv•由此不难导出化上三角的算法Household 正交化•Householder 变换可实现QR 分解–A =QR , Q m ×m 正交阵, R m ×n 上三角阵–实现:作Q p …Q 2Q 1A=R , Q k 是H-变换.p =min{m -1,n }, 即得A =QR , Q =Q 1Q 2…Q p -1•典型步(对照右边矩阵表示)–象消元法那样将右下角矩阵第一列对角元下全变成零(己是则免,H =I )–Ĥ=I -βvv T ,β=2/v T v同前,H =diag(I Ĥ)也是H-变换T⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*⎥⎦⎤⎢⎣⎡v o v o I H A o r A H A O R H I β•Householder 正交化(QR 分解)算法1．输入m n ⨯∈A R ，置1,min(1,).k p m n ==- 2．max(||,,1,,).ik a i k k m η==+ 3．若0η=，则0,0k kk d r ==，否则221/,,,sign()(),1,,,,,,1,,ik ik kk kkmkkk kk k kk kk m j ik ij k i k ij ij j ik a a i k ma a a a a d a r a a d j k n a a a i k m j k n ηαααηαττ-====++=+==-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭=-==+∑ 4．若k <p ，则k = k +1，转步骤2；否则，结束. 11213111(1)(2)2223222(1)(2)(3)333333(1)(2)(3)444,,r r r r r r βββ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭A r d v v v v v v v v v (1)11213(1)(2)2223(1)(2)(3)333(1)(2)(3)444,r r r ⎛⎫ ⎪⎛ ⎪==⎪⎪⎝ ⎪⎝⎭A r v v v v v v v v v 运算量:乘、加各次求Q=H 1…H P I 另需乘、加次数各存储方式: 2313mn n -22312()3m n mn n -+2.0198 1.9612 5.49130.588350.20.39223 1.9652 2.157302230012⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭•A =QR•正交化过程k = 1525110320223012---⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 5.0990 1.9612 5.49130.588350 2.0381 1.5852 2.528800 2.51663.2672000.76472-⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-⎪-⎝⎭R 0.980580.0377430.176600.0764720.196120.188710.883020.3823600.981310.176600.076472000.397360.91766---⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪---⎪-⎝⎭Q a 1 = (5,1,0,0)T ,5η= 1.0198α=T11(2.0198,0.2,0,0)==a v 11110.48548, 5.0990d r β===-a 1 = (1,0.2,0,0)T ,a 11 =1+1.098= 2.019 8用以变换A 的后三列得到1Household 正交化算例(续)•正交化过程k = 2•正交化过程k = 3T2(0.39223,2,0),2η==a 220.19612 1.0190 1.2152a =+=T22(1.2152,1,0)==a v 22220.80755, 2.0381d r β===-2.0198 1.9612 5.49130.588350.2 1.2152 1.5852 2.528801 2.3094 2.6943012⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-⎝⎭用以变换A 的最后一列得到用以变换A 的后二列得到T3(2.3094,1), 2.3094η==a T3(1,0.43301)=a 1.0897α=T33(2.0897,0.43301)==a v 33330.43913, 2.5166d r β===-2.01981.9612 5.49130.588350.21.2152 1.58522.528801 2.08973.2672000.433010.76472⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭T2(0.19612,1,0), 1.0190α==a T 11T 22T330.48548,(2.0198,0.2,0,0)0.80755,(1.2152,1,0)0.43913,(2.0897,0.43301)βββ======v v v R 如前，Q 可由下面的信息生成Givens 变换•定义–G =G (i ,k ,θ)=I +s (e i e k T -e k e i T )+c (e i e i T +e k e k T )•性质–G T G =I–任给x 可使y =G x 的k 分量为零:r =(x i 2+x k 2)1/2 ≠0c =x i /r ,s =x k /r•可用以化上三角形一如消元过程⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=11),,(c s s c k i G θendend ,11, else ,11, if else 0,1 0 if 22cts tc x x t stc ts x x t x x s c x i k k i ik k =+===+==≥===Givens 正交化算例•算例•过程525110320223012---⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 0.980580.0377430.176600.0764720.196120.188710.883020.3823600.981310.176600.076472000.397360.91766--⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎝⎭Q 5.09901.9612 5.49130.5883502.0381 1.5852 2.528800 2.51663.267200.76472---⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭R (2,1)元变为零，t = 0.2, c = 0.980 58, s = 0.196 12.一行：5.099 0 –1.961 2 –5.491 3 –0.588 35二行：0 0.392 23 –1.961 2 2.157 3(3,2)元变零，t = 0.196 12, c = 0.192 45, s = 0.981 31.二行：0 2.038 1 1.585 2 –2.528 8三行：0 0 2.309 4 –2.694 3(4,3)元变零，t = 0.433 01, c = 0.917 66, s = 0.397 36.QR 分解定理•定理设A 是m ×n (m ≥ n ) 矩阵,则A 有QR 分解, 其中Q 是m ×n 的正交矩阵,R 是具有非负对角元的上三角矩阵;而且当m = n 且A 非奇异时R 的对角元皆正上述分解还是唯一的•证⎛⎫= ⎪⎝⎭R A Q O 于是，有T 12T11||||⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭Q A A v α 1 n –1对(1)(1)m n -⨯-矩阵A 1应用数学归纳法假定，得 212⎛⎫= ⎪⎝⎭R A Q O 其中，Q 2是(m –1)×(m –1)正交矩阵，R 2是具有非负对角元的(1)(1)n n -⨯-上三角矩阵. 这样，令T 121221||||,⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q Q R Q R αv 000 则Q 和R 满足定理的要求. 存在性得证.再证唯一性. 设m = n 且A 非奇异，易知R 对角元皆正，假定==A QR QR ，其中，Q , Q 是m m ⨯正交矩阵，R , R 是具有正对角元的上三角矩阵. A 非奇异蕴含着R , R 的对角元均为正数，因此，有 T 1-=Q Q RR 既是正交矩阵又是对角元均为正数的上三角矩阵，只能是单位矩阵. 从而，必有=Q Q ，=R R 即分解是唯一的先证存在性，用数学归纳法. 当n = 1时，定理显然成立. 现假定已经对所有p ×(n –1)矩阵成立，这里假设(1)p n ≥-，设m n ⨯矩阵A 的第一列为1α(可为零向量)，则由定理7.5知，存在m m ⨯正交矩阵Q 1，使得T 11121||||=Q e αα于是，有T 12T11||||⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭0Q A A v α 1 n –1 对(1)(1)m n -⨯-矩阵A 1应用数学归纳法假定，得212⎛⎫= ⎪⎝⎭R A Q O 1m –1最小二乘解:列满秩•列满秩时求(1)的最小二乘解–形成正规方程A T Ax=A T b(n阶)(乘法和加法各mn2/2次) 用平方根法(乘法和加法各n3/6次)用G-S作A=QR:R T Rx=R T Q T b,Rx=Q T b(各mn2次) –用Householder变换或Givens变换作QR分解║Ax-b║2 =║Q T Ax-Q T b║2==║Rx-c1║2+║c2║2,解x=R-1c1,最小值║c2║2注: 若记Qm×m =(Q1 Q2), Q1是m×n阵则有c1=Q1b,c2=Q2b⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡21ccxOR最小二乘解:列满秩算例•求最小二乘解•求最小二乘解L123525110320223012x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭⎝⎭12326102831081442814399x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭正规方程5.0190001.9912 2.038105.4913 1.58522.5166⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭T( 1.6023,0.23099, 1.2982)=---x 5.09901.9612 5.49130.5883502.0381 1.5852 2.528800 2.51663.26720000.76472-⎛⎫ ⎪-- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭R 5251103202230012---⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 方程H-正交化增广矩阵T ( 1.6023,0.23099, 1.2982)=---x 剩余是0.764 721.9612奇异值分解(SVD)•矩阵奇异值–A m ×n 的奇异值σ1≥σ2≥…≥σr >σr+1=…=σn =0是A T A 的特征值λ1, …,λn 的平方根•奇异值分解定理),,diag(正交阵,1Tr n n m m σσΣV U V O O O ΣU A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯⨯形式阵即得矩,,1,连同,得,,,1由),,,(阵 正交增.则,,1,/令,,),,,(证.取TTT21T TT21分解補成r k u Av o Av o Av A v o Av A n r k u u u U u u r k Av u v Av A I V V v v v V k k k k k kk m kj j k k k k k k k n =====+========σδσλ奇异值分解(续)•推论(记号同前)–分解形式A=σ1u1v1T+σ2u2v2T+…+σr u r v r TA=ÛΣŴT, Û=(u1u2…u r),Ŵ =(v1v2…v r)–空间关系R(A)=Span{u1,u2,…,u r}N(A)=Span{v r+1,v r+2,…,v n}R(A T)=Span{v1,v2,…,v r}N(A T)=Span{u r+1,u r+2,…,u m}R(A)=N(A T)⊥, R(A T)=N(A)⊥SVD 与A+•X =A +满足Penrose 方程–AXA =A (P1)–XAX =X (P2)–(AX )T =(AX )(P3)–(XA )T =(XA )(P4)•由SVD 解出X =A +T T 111T111rr ru v u v UO O O ΣV A σσ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+T 11T:乃得唯一解得(P4)代入得(P3)代入得(P2)代入得(P1)代入对应分块SVD 解.取U O OO ΣV X O L O K K L ΣM ΣS U M L K S V X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--图示A与A+•SVD绐出A与A+在标准正交基下向量对应关系V1= Span{v,v2,…,v r}, V2= Span{v r+1,v r+2,…,v n},1U1= Span{u,u2,…,u r}, U2=Span{u r+1,u r+2,…,u m}1最小二乘解•(1)的最小二乘解–推导:按前述标准正交基分解,再求║Ax-b║2最小x=c1v1+c2v2+…+c n v nA x=c1σ1u1+c2σ2u2+…+c rσr u rb=u1T b u1+u2T b u2+…+u m T bu m║Ax-b║2最小:c=u k T b/σk,k≤r,其余任意k–最小二乘解通解x=1/σ1u1T b v1+1/σ2u2T b v2+…+1/σr u r T b v r+ v r +…+c n v n, c r+1, …, c n任意c r+1–最小2-范数最小二乘解y=1/σ1u1T b v1+1/σ2u2T b v2+…+1/σr u r T b v rSVD与最小二乘解•上述结果亦可借助SVD得到–A, A+代入通解(2)x=A+b+(I-A+A)z(z任意n维向量)2-范数最小A+b=(1/σ1v1u1T+…+1/σr v r u r T)b(I-A+A)z=(I-(v1v1T+v2v2T+…+v r v r T) )z=(v r+1v r+1T+…+v n v n T)z =c r+1v r+…+c n v n –由SVD直接推出最小二乘解║Ax-b║2=║UΛV T x-b║2=║ΛV T x-U T b║2=║Λc-U T b║2 ,这里Λ=diag(ΣO),c=V T x的i,U T b的i分量u i T b.从而可得结果.分量ci代入正规方程A T Ax=A T b关于A +的定义•A +有多个等价定义–由满秩分解:C T (CC T )-1(B T B )-1B T–由Penrose 方程.–由SVD:–由最小二乘解:(1)中任一b 对应唯一最小2-范数最小二乘解x 所确定的矩阵.–由线性算子确定的矩阵.线性算子f :R m →R nf (y )=x ,当y ∈R (A ), Ax =y f (y )=o ,当y ⊥R (A )•注.一个或几个Penrose 方程可定义多种广义逆T1V O O O ΣU ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-。
第七章受扭构件承载力计算
第七章 受扭构件承载力计算7.1 概述工程中的钢筋砼受扭构件有两类：● 一类是 —— 平衡扭矩：是静定结构由于荷载的直接作用所产生的扭矩，这种构件所承受的扭矩可由静力平衡条件求得，与构件的抗扭刚度无关。
如：教材图7·1a 、b 所示受檐口竖向荷载作用的挑檐梁，及受水平制动力作用的吊车梁以及平面曲梁、折线梁、螺旋楼梯等。
● 另一类是 —— 协调扭矩：是超静定结构中由于变形协调条件使截面产生的扭矩，构件所承受的扭矩与其抗扭刚度有关。
如：教材图7·2 所示现浇框架的边梁。
由于次梁在支座（边梁）处的转角产生的扭转，边梁开裂后其抗扭刚度降低，对次梁转角的约束作用减小，相应地边梁的扭矩也减小。
● 本章只讨论平衡扭转情况下的受扭构件承载力计算。
在工程结构中，直接承受扭矩、弯矩、剪力和轴向力复合作用的构件是常遇的。
但规范对弯扭、剪扭和弯剪扭构件的设计计算，是以抗弯、抗剪能力计算理论和纯扭构件的承载力计算理论为基础，采用分别计算和叠加配筋的方法进行的，故有必要先了解纯扭构件的受力性能和承载力的计算方法。
7.2 纯扭构件的受力性能7.2.1 素砼纯扭构件的受力性能素砼构件也能承受一定的扭矩。
素砼构件在扭矩T 的作用下，在构件截面中产生剪应力τ及相应的主拉应力tp σ 和主压应力cp σ（教材图7·3）。
根据微元体平衡条件可知：τστσ==cp tp ,由于砼的抗拉强度远低于它的抗压程度，因此当主拉应力达到砼的抗拉强度时，即t tp f ≥=τσ时，砼就会沿垂直于主拉应力方向裂开（教材图7·3）。
所以在纯扭矩作用下的砼构件的裂缝方向总是与构件轴线成45o的角度。
并且砼开裂时的扭矩T 也就是相当于t f =τ时的扭矩，即砼纯扭构件的受扭承载力co T 。
为了求得co T ，需要建立扭矩和剪应力之间的关系，然后根据强度条件，即砼纯扭构件的破坏条件求出受扭承载力co T 。
7.2.2 素砼纯扭构件的承载力计算(一) 、弹性分析法：用弹性分析方法计算砼纯扭构件承载力时，认为砼构件为单一匀质弹性材料。
(完整word版)苏科版九年级数学下册第七章《锐角三角函数》教学案
课题7.1正切(1) 自主空间学习目标知识与技能:1.理解正切的概念, 能通过画图求出一个角的正切的近似值。
能运用正切解决与直角三角形有关的简单问题。
过程与方法:1.经历探索表示物体倾斜程度, 形成正切的概念的过程, 练就创造性解决问题的能力。
1.经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。
学习重点理解并掌握正切的含义, 会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
学习难点计算一个锐角的正切值的方法。
教学流程预习导航观察回答: 如图某体育馆, 为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。
下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1）图（2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答: 图的台阶更陡, 理由合作探究一、新知探究:1.思考与探索一:除了用台阶的倾斜角度大小外, 还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？可通过测量BC与AC的长度,再算出它们的比, 来说明台阶的倾斜程度。
（思考: BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答: _________________. 讨论: 你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答: ________________________. 2.思考与探索二:（1）如图, 一般地, 如果锐角A的大小已确定,我们可以作出无数个相似的RtAB1C1, RtAB2C2, RtAB3C3……, 那么有: Rt△AB1C1∽_____∽____……根据相似三角形的性质,得: ＝_________＝_________＝……（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定, 那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。
3.正切的定义如图, 在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。
我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______, 记作______。
即: tanA ＝________＝__________（你能写出∠B 的正切表达式吗？ ）试试看.4．思考: 当锐角α越来越大时, α的正切值有什么变化？ 二. 例题分析:例1：⑴某楼梯的踏板宽为30cm, 一个台阶的高度为15cm, 求 楼梯倾斜角的正切值。
第七章.正压原始方程谱模式
二、球谐函数的性质
1.对称性
P ( −μ ) = ( −1) Pm ( μ ) n 该式表明： Pm • 当 n − m 为偶数时， n ( μ ) 是关于赤道对称的 • 当 n − m 为奇数时， nm ( μ ) 是关于赤道反对称的 P
m n n− m
由(8.14)式可得到连带勒让德函数的一个很重要的性质 (8.15)
(8.7)
Ynm ( λ , ϕ ) = sin m λ Pnm ( sin ϕ )
Ynm ( λ , ϕ ) = cos m λ Pnm ( sin ϕ )
( m = 0,1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n; n = 0,1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )
称为球谐函数的阶
兰州大学大气科学学院 10
都不连续，给它们的谱展开造成了困难。
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6
在设计球面谱模式时，选择
⎧U = u cosϕ ⎨ ⎩V = v cosϕ
⎧U ≡ 0 ⎨ ⎩V ≡ 0
`
(8.1)
作为因变量来描述水平风场。因为在南、北极点， U
V 满足关系式
(8.2)
即在整个球面上 U 水平风速矢量
二、因变量的选择
设计球面谱模式时，选择的因变量应尽量避免在球面上出现间断情形。 位势高度和温度等物理量在球面上是连续的。 应该注意的是：水平风场一般并不是在整个球面上都连续的。 水平风速矢量
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V 可用向东的风速矢量 u 和向北的风速矢量v 来描述。
5
2 m 2 n+ m
(8.10)
是连带勒让德函数，它有多种解析表达式。罗德里格(Rodrigues)公式是 比较经典的一个微分表达式
P
n07第七章 消化率的测定
回肠—直肠吻合术
优点
手术过程相对简单，猪恢复快，易于收集到代表 性的样本， 日粮类型不受限制
缺点
由于游离大肠，使得受术猪的正常生理状况受到 影响，能量、氮、水、电解质均有不同程度的改 变
回 直 肠 吻 合 术
—
家 禽 盲 肠 切 除 法
4、活动尼龙袋技术(MBNT)
采用体外胃蛋白酶预消化，然后用作了回直肠吻合术的猪，经十二
第二组
基础日粮 + 被测饲料
试验期
基础日粮
消化率的计算
D(％) ＝ (B-A) X100 ＋ A F
式中：D为被测饲料养分消化率 A为基础饲粮养分消化率 B为混合饲粮养分消化率
F为被测饲料养分占混合饲粮该养分的比例。
假定
基础饲粮养分消化率不变 养分间无互作效应
四、消化试验的基本步骤与要求
1、动物选择 2、日粮配制 3、试验步骤 4、食糜的收集和处理
优缺点
属于全取样法，样本代表性好，可不用指示剂 操作复杂
H
绵羊内脏肠管结构模型图（引自Huntington等，1989） a、隔膜；b、肝脏；c、胆囊；d、门静脉；e、胃脾静脉；f、空肠；g、前肠系膜静脉；h、肠系膜 静脉侧枝；i、肠系膜静脉远端分枝；j、盲肠；k、回盲静脉；l、大肠； I、灌注对氨基马尿酸（PAH）需做插管处；M、采集肠系膜血液需做插管处；P、采集门静脉血液需 做插管处；H、采集肝静脉需做插管处
培养不同的时间，最长培养时间：
精料：12—36h 优质饲草：24—60h 劣质饲草：48—72h
在一定的时间里4、8、16、24、48h（精料）， 8、16、24、 48、72h（粗饲料） 取出，冲洗，干燥，恒重
第七章分类法
23000
0.23 12035.9 0.3 42870.2
20
2016/6/1531686.6
（二）定额成本比例法
1.概念： 在确定类别成本后，根据类内各产品 的定额分配类别总成本，计算出类内各 产品的单位成本和总成本的方法。
2016/6/15
21
1、直接材料费用的计算
某产成品直接 该产成品的 该产成品直接 直接材料费用 ＝ 材料费用 实际产量 材料费用定额 分配率
标准 产量
3=1×2
完工 率 5
0.5 0.5 0.5
标准 产量
6=1×4 ×5
实际 产量 7
30000 100000 90000
完工 率 8
0.9 0.9 0.2
标准 产量 9=1× 7×8
1#产品 2#产品 3#产品 4#产品
1.3
40000
200
0.5
80000
0.2
合计
2016/6/15 17
成本计算方法——分类法
分类法计算方法之一：
品种分类法
一、分类法的基本特点
（一）概念
以产品类别作为成本核算对象，汇集 生产费用，再采用一定方法向类内产品 进行分配，从而计算产品成本的一种方 法。
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2
适用范围
（1）产品品种或规格繁多，但可以按
一定标准分为若干类的产品； （2）用同一种原材料可以加工成几种 主要产品的生产。 搪瓷厂、针织厂、食品厂、无线电元件 厂等。
2016/6/15 3
如：某些化工厂、烟厂、酒厂、制革厂、
（二）基本特点
1、每类产品作为成本核算对象，汇集生 产费用，先计算各类产品总成本，然后 再按一定标准计算各类产品中每种产品 的总成本和单位成本。 2、定期按月计算产品成本，成本计算期 与会计报告期一致。 3、根据具体情况计算在产品成本。