2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第十一节轨迹方程的求法 文

十一节轨迹方程的求法
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
知识梳理
一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
二、求曲线的(轨迹)方程
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力．
它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程．因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用．
(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤．
①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标M(x，y)；
②列几何等式：写出适合条件的点的集合P＝{M|P(M)}，关键是根据条件列出适合条件的等式；
③化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；
④化简：把方程f(x，y)＝0化成最简形式；
⑤证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程．
除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤⑤可以省略不写．如有特殊情况，可适当加以说明，步骤②也可省略．
(2)求曲线轨迹方程应注意的问题．
①要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明x ，y 的取值范围，保证轨迹的纯粹性；
②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；
③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置、类型．
基础自测
1．(2013·衡水中学模拟)下列说法正确的是( )
A ．在△ABC 中，已知A (1,1)，
B (4,1)，
C (2,3)，则AB 边上的高的方程是x ＝2 B ．方程y ＝x 2(x ≥0)的曲线是抛物线
C ．已知平面上两定点A 、B ，动点P 满足|P A |－|PB |＝1
2|AB |，则P 点的轨迹是双曲线
D ．第一、三象限角平分线的方程是y ＝x
解析：A 选项中高线为线段，B 选项中为抛物线的一部分，C 选项中是双曲线的一支．故选D.
答案：D
2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →
＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线
D ．双曲线
解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，则P A →
＝(－2－x ，－y )， PB →＝(3－x ，－y )，由P A →·PB →＝x 2，得y 2＝x ＋6.故选C. 答案：C
3．已知椭圆x 24＋y 2
3
＝1的左、右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是这个椭圆上的一个动点，
延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|F 2P |，则Q 的轨迹方程是______________．
解析：提示：用定义法求轨迹方程． 答案：(x ＋1)2＋y 2＝16
1．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于1
2a 2.
其中，所有正确结论的序号是____________．
解析： ①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a ＝1，与条件不符；
②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF 1||PF 2|＝a 2，关于原点的对称点处也一定符合|PF 1||PF 2|＝a 2；
③三角形的面积S △F 1F 2P ≤a 22，因为S △F 1F 2P ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1|·|PF 2|＝a 2
2
.
所以②③正确．
答案：②③
2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.
(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为2
2
，求圆P 的方程．
解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则
|x 0－y 0|2
＝2
2，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.
①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1得(x 0＋1)2－x 20＝1.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.
②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1得(x 0－1)2－x 20＝1.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝0，y 0＝－1，
∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.
1．(2013·盐城模拟)设M 、N 为拋物线C ：y ＝x 2上的两个动点，过M 、N 分别作拋物线C 的切线l 1、l 2，与x 轴分别交于A 、B 两点，且l 1与l 2相交于点P ，若AB ＝1.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)求证：△MNP 的面积为一个定值，并求出这个定值．
(1)解析：y ′＝2x ，设M (m ，m 2)，N (n ，n 2)，则依题意知，切线l 1，l 2的斜率分别为k 1
＝2m ，k 2＝2n ，切线方程分别为y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2，
则A ⎝⎛⎭⎫m 2，0，B ⎝⎛⎭⎫n 2，0，设P (x ，y )，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝m ＋n 2，
y ＝mn .
① 因为AB ＝1，所以|n －m |＝2，
即(m ＋n )2－4mn ＝4，将①代入上式得：y ＝x 2－1， 所以点P 的轨迹方程为y ＝x 2－1.
(2)证明：设直线MN 的方程为y ＝kx ＋b (b >0)．
联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b ，y ＝x 2
.消去y 得x 2－kx －b ＝0， 所以m ＋n ＝k ，mn ＝－b ，②
点P 到直线MN 的距离d ＝
⎪⎪⎪
⎪
k ⎝⎛⎭⎫m ＋n 2－mn ＋b 1＋k 2
，MN ＝1＋k 2|m －n |，所以S △MNP ＝1
2
d ·MN
＝12⎪⎪⎪
⎪k ⎝⎛⎭⎫m ＋n 2－mn ＋b ·|m －n |＝14·(m －n )2·|m －n |＝2. 即△MNP 的面积为定值2.
2．(2012·天津六校联考)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点.
(1)求椭圆的方程．
(2)在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得|MP |＝|MQ |？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析：(1)因为椭圆的短轴长2b ＝2，b ＝1，
又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以b ＝c ，得a 2＝b 2＋c 2
＝2.故椭圆的方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)①若l 与x 轴重合，显然M 与原点重合，m ＝0.
②若直线l 的斜率k ≠0，则可设l ：y ＝k (x －1)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k (x －1)，x 2＋2y 2
－2＝0，
消去y 得x 2＋2k 2(x 2－2x ＋1)－2＝0，整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.
x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2⇒PQ 的中点横坐标为2k 2
1＋2k 2
，
代入l ：y ＝k (x －1)可得：PQ 的中点为N ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2k 2
1＋2k 2，－k 1＋2k 2， 由|MP |＝|MQ |得MN ⊥PQ ，
则k MN ·k ＝－1，可得m ＝k 21＋2k 2，所以m ＝k 21＋2k 2＝1
1
k 2＋2
∈⎝⎛⎭⎫0，12，综合①②得m ∈⎣⎡⎭⎫0，12.。