7解析几何的诞生解析
解析几何发展史
解析几何发展史解析几何是几何学的一个分支，主要研究几何图形的性质和结构，通过运用代数方法和分析方法来分析和解答几何问题。
解析几何的发展历史可以追溯到古希腊时期，但其真正的发展始于17世纪。
在古希腊几何学中，欧几里德的《几何原本》被视为几何学的基石，其中包含了许多几何定理和证明。
然而，欧几里德几何主要基于直观和直觉，缺乏严格的数学证明。
这一局限性在17世纪得到了克服，解析几何因此得以诞生。
法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人之一。
他在1637年出版的《几何学》一书中，首次将代数和几何相结合，建立了坐标系和坐标表示方法。
笛卡尔利用代数的符号和方程式，将几何问题转化为代数问题，从而实现了几何的解析化。
笛卡尔的贡献不仅在于引入了坐标系，而且还发展了直角坐标系下的几何分析方法。
他将几何问题转化为代数方程，通过对方程进行分析和求解，得出了许多几何图形的性质和结论。
这种代数方法的引入，不仅使几何学变得更加严谨和精确，还为后来的数学家提供了重要的工具和思路。
在笛卡尔之后，解析几何得到了进一步的发展和完善。
牛顿和莱布尼兹的微积分理论为解析几何提供了新的思想和方法。
微积分的引入，使得解析几何成为了研究曲线、曲面和其他复杂几何图形的有力工具。
通过微积分的运算和分析，数学家们能够更加深入地研究几何图形的性质和变化规律。
19世纪的数学家高斯和黎曼等人进一步推动了解析几何的发展。
高斯提出了非欧几何学的概念，打破了欧几里德几何的限制，开创了新的几何学分支。
黎曼则在复变函数理论中引入了黎曼曲面的概念，为解析几何和复变函数的研究提供了重要的理论基础。
20世纪以后，随着计算机的发展和数值计算方法的成熟，解析几何得到了更广泛的应用和发展。
计算机辅助几何设计（CAGD）成为了解析几何的一个重要分支，广泛应用于计算机图形学、工程设计和制造等领域。
通过计算机的高速运算和精确计算，解析几何得以更加深入地研究和应用。
解析几何作为几何学的一个重要分支，通过代数和分析的方法，实现了几何问题的解析化。
解析几何产生的历史
解析几何产生的历史实际背景和数学条件解析几何与射影几何几乎同时在文艺复兴的法国产生，虽然产生于同一个时代，但实际背景和数学条件却很不一样．解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求．文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代．机械的广泛使用，促使人们对机械性能进行研究，这需要运动学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛、河道和堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题，这些问题的合理解决需要正确的数学计算；航海事业的发展向天文学，实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度、计算各种不同形状船体的面积、体积以及确定重心的方法，望远镜与显微镜的发明，提出了研究凹凸透镜的曲面形状问题．在数学上就需要研究求曲线的切线问题．所有这些都难以仅用初等几何或仅用初等代数在常量数学的范围内解决，于是，人们就试图创设变量数学．作为代数与几何相结合的产物――解析几何，也就在这种背景下问世了．解析几何的核心思想是通过坐标把几何问题表示成代数形式，然后通过代数方程来表示和研究曲线．要做到这一点，得有数学自身的条件：一是几何学已出现解决问题的乏力状态；二是代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度．几何学形成得很早，公元前3世纪产生了具有完整体系的欧几里得的《原本》．半个世纪后，古希腊另一位数学家阿波罗尼斯又著《圆锥曲线论》．如果说《原本》的伟大功绩在于首次建立起几何学的完整演绎体系的话，那么阿波罗尼斯的8卷《圆锥曲线论》以其几乎将圆锥曲线的全部性质网罗殆尽而永垂史册．可以这样说，在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著作中，没有一本达到像《圆锥曲线论》那样的对圆锥曲线研究得如此详尽的程度．但是，像古希腊所有的几何学一样，阿波罗尼斯的几何是一种静态的几何．它既不把曲线看作是一种动点的轨迹，更没有给它以一般的表示方法．这种局限性在16世纪前，并没有引起注意，因为实践没有向几何学提出可能引起麻烦的课题．16世纪以后的情况就不同了．哥白尼（Copernicus，1473－1543）提出日心说，伽利略（Galileo，1564－1642）由物体运动的研究，得出惯性定律和自由落体定律，这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题．地球绕太阳运转的轨道是椭圆、物体斜抛运动的轨道是抛物线，这些远不是靠建立在用平面截圆锥而得到的椭圆和抛物线的概念所能把握的．几何学要能反映这类运动的轨道的性质，就必须从观点到方法来一个变革，创立起一种建立在运动观点上的几何学．16世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件．我们知道，解析几何的方法是在引进坐标的基础上，把由曲线所决定的两个坐标之间的关系用方程表示出来，通过对方程的研究来反映图形的性质．如果代数尚未符号化，那么即使煞费苦心地引进坐标概念，也不可能建立一般的曲线方程，发挥其具有普遍性的方法的作用．1591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使用了字母，他不仅用字母表示未知数（这在他之前早有人做了），而且用以表示已知数，包括方程中的系数和常数．这样，代数就从一门以分别解决各种特殊问题的侧重于计算的数学分支，成为一门以研究一般类型的形式和方程的学问．这就为几何曲线建立代数方程铺平了道路．当然，符号代数的形成不只出于韦达一人之手，他之前，斯台文等人曾为建立幂指数概念和符号的使用作出过努力，而像今天这样用a、b、c…表示已知数，用x、y、z…表示未知数却是笛卡尔创始的．总之，17世纪的社会背景和数学自身条件都为解析几何的创建作好了准备，它将等待创立者去完成．费尔玛的贡献解析几何是由费尔玛和笛卡尔分别创立的．1601年8月20日费尔玛（Fermat，1601－1665）生于法国图卢兹附近的一个皮革商家庭，大学时专攻法律，毕业后以当律师谋生，曾担任图卢兹地方议会议员和顾问三十余年．费尔玛虽是一位业余数学家，而且认真研究数学还是在他30岁之后，但他却在17世纪数学史上独占鳌头．在牛顿、莱布尼兹大体完成微积分之前，他是为创立微积分作出贡献最多的人．事实上，如果要在牛顿、莱布尼兹之后再添上一位创立者名字的话，那么写上费尔玛是十分恰当的；他又与惠更斯、帕斯卡一起被誉为概率论的创始人；17世纪的数论更几乎是费尔玛的世界，著名的费尔玛大定理至今仍吸引着一批追求者．从费尔玛与帕斯卡等人的通信中可知，早在笛卡尔的《几何》发表以前，费尔玛已经用解析几何的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充．1630年，他把这一工作写成《平面与立体轨迹引论》一本小册子，其中费尔玛通过引进坐标，以一种统一的方式把几何问题翻译为代数的语言――方程，从而通过对方程的研究来揭示图形的几何性质．费尔玛所用的坐标系与现在常用的直角坐标系不同，它是斜坐标，而且也没有y轴．如考虑一条曲线和它上面的任一点P，选定一条以O为原点的射线，那么P就用线段OQ和PQ表示出来（见图1），它相当于我们现在所说的x与y．如果仅就研究的对象而言，费尔玛与阿波罗尼斯并没有什么不同，不同的只是研究的方法．费尔玛的成功之处就在于他把阿波罗尼斯所发现的圆锥曲线的性质通过引进坐标译成了代数的语言，这不仅使得圆锥曲线从圆锥的附属地位解放了出来，而且使各种不同的曲线有了代数方程这种一般的表示方法和统一的研究手段．虽然坐标不是费尔玛发明的，将代数用于几何研究他也不是第一人，但是，除了费尔玛和笛卡尔以外，谁都没有把这两者结合起来，达到用代数方程来表示和研究几何曲线的程度．笛卡尔的贡献笛卡尔（René Descartes，1596－1650）生于法国杜朗（Touraine）一个小镇的名门之家．笛卡尔从小多病，加上母亲去世早，更受父亲的溺爱．父亲答应他早睡晚起，这就养成了他在晨睡中进行思考的习惯．一则趣话说，他的坐标思想最早就是在朝寝中，躺在床上观察小虫从床顶爬向天花板时发现可以用天花板的框架作基准来确定运动中的小虫位置．当时法国的习俗，名门出身的人常以在军界和教会里任职为荣，笛卡尔也于1617年在荷兰奥兰治（Orange）的利斯公爵的军队里当了一名骑兵士官．在这期间，有一次笛卡尔上街看到一张用荷兰文写的招贴，引起了他的好奇．正值这时走来了一个荷兰人，笛卡尔便向他询问了招贴里的意思．这个人是荷兰多尔德雷赫特（Dordrecht）大学的校长伊萨克?皮克曼（Isaac Beeckman），校长告诉了笛卡尔招贴上所写的内容，同时也试探一下笛卡尔的数学水平．原来这是一张征解数学难题的广告，带有竞赛的味道．没想到笛卡儿却以不多的时间解答了这些问题，为此深受皮克曼的赞赏．从此极大地增强了笛卡尔学习数学的自信心，并与皮克曼保持了长久的友谊．1619年正值欧洲“三十年战争”，笛卡尔随军来到德国多瑙河畔的诺伊堡（Neuberg）军营，这时他老是在想着他的哲学和数学问题．1619年11月10日他一连三次做梦构思着他的新哲学和坐标几何学，据说这个梦成了他人生的一个转折点，他决定离开军队去进行哲学和数学研究．1621年笛卡尔辞去了军职，开始从事数学研究和光学仪器的制造．这期间他听取了几何学家笛沙格和米多尔奇（Mydorge，1585―1647）的讲课，受到很大的启发，同时还与旧友数学家梅尔生（Mersenne，1558―1648）重新建立了联系，接受帮助．1629年，笛卡尔为避开在巴黎生活中的烦恼，移居到了荷兰．在这以后的20年间，他潜心进行了哲学和数学研究．前四年，他撰写了《宇宙》一书，这本以阐述宇宙物理学为主要内容的著作，也像以往论宇宙的著作一样，遭到了教会的反对和攻击．为了免受哥白尼等人那样的灾祸，笛卡尔只得将书稿搁置下来，直到1664年才发表．1633年～1637年，笛卡尔主要从事《方法论》一书，包括它的三篇附录《折光》、《气象》、《几何》的创作，于1637年6月8日在莱顿发表．书中，笛卡尔论述了正确思想方法的重要性．他认为数学是其他一切科学最可靠的思想方法，只有借助于数学而得出的结论才是可信的．笛卡尔的这一认识与培根宣扬的以实验为基础的归纳法，以两个不同的侧面成为促进早期资本主义时代科学技术发展的主要方法1641年与1644年，笛卡尔又先后发表了哲学名著《形而上学的沉思》和《哲学原理》．笛卡尔的巨大成就使他的名望与日俱增，1647年他享受了直接接受法兰西皇帝供薪的荣誉．1649年他又受瑞典女皇克利斯蒂娜（Christina，1626―1689）的邀请，为女皇讲授数学．不幸在瑞典仅几个月，笛卡儿就得了肺炎而去世了．笛卡尔的解析几何是作为《方法论》一书的附录《几何》出现的，这部分共三卷，第一卷题名为“关于只用圆和直线的作图可能问题”，它的前半部分介绍了用代数方法解解析几何问题的几个例子，尚未使用坐标，因此还不是真正的解析几何．后半部分通过解“帕普斯问题”的具体过程，介绍了解析几何方法，所谓笛卡尔解析几何主要就体现在这一部分中．第二卷题为“曲线的性质”，这里，笛卡尔在批判地吸收古希腊数学家的曲线分类思想的基础上，叙述了对曲线按方程的次数进行系统分类的方法．第三卷题为“关于立体和超立体的作图”，介绍了利用圆锥曲线在代数方法下解立体问题的方法，其中包括笛卡尔在代数学上的两个著名结果：“代数学基本定理”以及“笛卡尔符号法则”．笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样，给读者展现出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程，但是他通过具体的实例，确定表达了他的新思想和新方法．这种思想和方法尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整，但是在本质上它却是地道的解析几何．笛卡尔表达解析几何的例子，是他对帕普斯（Pappus，约3世纪）问题的解法．帕普斯问题是这样的：“设给定四条直线AB、AD、EF、GH，然后从某点C引直线CB、CD、CF、CH，各与一条所给定直线构成已知角CBA、CDA、CFE、CHG．要求满足CB?CF=CD?CH（*）的点的轨迹．”笛卡尔的解法是：先假定点已经找出来了，为了使问题有个一般的形式，他采取了一个重大的步骤，即把给定直线之一与所求直线之一，例如AB与BC 作为主线来考虑，然后使其他的线与它们发生关系．这相当于将AB与BC选作坐标轴．笛卡尔记AB为x，BC为y，因为三角形ARB的所有的角都是给定的，所以边AB与BR的比一定．若令AB：BR=z：b，那么由于AB=x，因此BR=．因为B在C与R之间，所以CR=y+．假如R在C与B之间，则CR=y-．假如C 在B与R之间，则CR=-y+．根据同样的思想，考虑三角形DRC、ESB及FSC，分别提出：注意到CB、CD、CF、CH都是关于未知数x、y的一次式，因此把它们代入(*)时，等式两边关于x、y的次数都不会高于二次．即满足帕普斯问题的C点轨迹方程的一般形式应是：其中A、B、C、D是由已知量组成的简单的代数式．然后，笛卡尔强调指出：“如果我们逐次地给线段y以无限多个不同的值，对于线段x也可找到无限个值．这样被表示出来的C点就可以有无限多个，由此可把所求的曲线表示出来．”就这样，笛卡尔把以往对立着的两个研究对象“数”与“形”统一起来了，并在数学中引入了变量的思想，从而完成了数学史上一项划时代的变革．这一工作不仅使整个古典几何领域处于代数学的支配之下，而且从此开拓了一个变量数学领域，从而加速了微积分的成熟．恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想．他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生了……”。
解析几何的萌芽诞生
解析几何的萌芽诞生、发展及其应用结题报告高二（4）班周雪瑾解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。
平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。
17世纪以来，由于航海、天文、力学、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。
在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。
解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。
作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。
当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。
笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。
后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。
从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。
他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。
x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。
这就是解析几何的基本思想。
具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。
解析几何的发展史
总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。
运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案。
坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。
解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变书，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，……”
坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。先前被看作几何学中的难题，一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具。
回答者：nanzong-举人四级 2-22 16:23
解析几何是数学中最基本的学科之一，也是科学技术中最基本的数学工具之一。
解析几何的诞生
《论平面和立体的轨迹引论》定义以下曲线： 直线: d (a x) by
圆： b 2 x 2 y 2 椭圆： b 2 x 2 k y2 2 2 抛物线：x dy, y dx 双曲线： xy k 2 ; x 2 b 2 新曲线： x m y n a, y n
费马是解析几何的两位独立发明人之一，但他不是职业数学家， 甚至都没有教过数学。费马对曲线的兴趣，始于研究希腊数学家阿 波罗尼奥斯的著作《论平面轨迹》。1629年撰写了《平面和立体轨 迹引论》，试图展开关于轨迹的一般性研究。书中清晰地阐述了费 马的解析几何原理，指出：“只要在最后的方程中出现两个未知量， 我们就有一条轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线。 直线只有一种，曲线的种类则是无限的，有圆、抛物线、椭圆等等” 如图：
（一）射影几何的产生 欧洲几何学创造性活动的复兴晚于代数学。中世纪宗教绘画 具有象征性和超现实性，而文艺复兴时期，描绘现实世界成 为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到 三维的画布上，面临这样一些问题： （1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？ （2）从两个光源分别对两个物体投影得同一物影，那么这两 个物体有何共同的几何性质？ 正是由于绘画、制图中提出的这类问题的刺激而导致了富有 文艺复兴特色的学科——透视学的兴起，进而诞生了射影几 何学。意大利人布努雷契是第一个认真研究透视法并试图运 用几何方法进行绘画的艺术家。数学透视法的天才阿尔贝蒂 的《论绘画》一书，则是早期数学透视法的代表作，书中除 引入投影线、截影等一些概念外，还讨论了截影的数学性质， 成为射影几何学发展的起点。
[讲解]解析几何的创立
![[讲解]解析几何的创立](https://img.taocdn.com/s3/m/b0cae8d40d22590102020740be1e650e52eacfb0.png)
解析几何的诞生近代数学本质上可以说成是变量数学。
文艺复兴以来资本主义生产力的兴起，对科学技术提出了全新的要求，机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确地研究天体运行的规律；武器的改进刺激了弹道问题的探讨，等等；总之，到了十六世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，这就迫切地需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。
变量数学的第一个里程碑是解析几何的诞生。
解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种左边在平面上的点和有序实数对(x , y)之间建立一一对应的关系。
每一对实数(x , y)都对应于平面上的一个点，反之，每一个点都对应于它的坐标(x , y)，以这种方式可以将一个代数方程f (x , y) = 0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。
借助坐标来确定点的位置的思想古代曾经出现过，古希腊阿波罗尼乌斯(apollonius,约bc262~bc190)关于圆锥曲线性质的推导、阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究，都蕴涵这种思想。
解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆(nicole oresme, 1323~1382)，他在《论形态幅度》这部著作中提出的形态幅度原理（或称图线原理），甚至已接触到直角坐标系中用曲线表示函数的图象，在这里，奥雷斯姆借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来叙述他的图线，相当于纵坐标与横坐标。
不过他的图线概念是模糊的，至多是一种图表，还未形成清晰的坐标与函数图象的概念，是解析几何的酝酿阶段。
解析几何的真正发明还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿(r.descartes , 1596~1650)与费尔马(p. de fermat, 1601~1665)。
他们工作的出发点不同，但方式都是采用代数方法来研究几何问题。
解析几何发展史
解析几何发展史解析几何在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。
解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。
解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。
平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。
17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。
文艺复兴的300年间，各种技术都在发展，新技术的发明比当时人类历史上曾经有过的总和还要多，其中包括一系列重大的发明，正是这些发明为数学和科学的突飞猛进扫清了障碍，激发了人们探索自然和了解关于数与形之间奥秘的热情。
文艺复兴运动大大解放了人们的思想，在这场运动中，科学得到了复兴，数学有了很大的发展，数学思想进入了一个新阶段。
首先，阿拉伯人的代数学的思想方法得到了发展，整个16世纪乃至17世纪的数学都表现出这样的倾向：一是大多数国家都采用了印度—阿拉伯数码，由此使记数和算术运算得以简化，大大提高了人们的数学能力。
二是系统地采用了数学符号，使文艺复兴后的数学不同与古代数学。
这一大进步是现代数学思想方法的重要基础之一。
三是这一时期的数学逐渐脱离了古代希腊数学的逻辑基础，离开了严格的公理法，人们所关注的实际上属于现在所谓代数和分析这些数学门类，这就为解析几何的产生创造了条件。
随着欧洲封建社会的解体和资本主义工场手工业向机器大生产的过渡，自然科学从神学中解放出来，开始大踏步前进。
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。
比如德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上，提出了行星运动三大定律；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。
解析几何的产生及意义
解析几何的产生及意义解析几何的产生人们认为，解析几何的产生是数学史上划时代的重大事件。
而解析几何的产生，通常以笛卡儿《几何学》一文(发表于1637年的《方法论》的附录)为标志。
解析几何的产生当然有时代背景，例如开普勒用椭圆描述行星绕日运动的轨道，推动人们去研究圆锥曲线；伽里略利用望远镜来进行天文观测，望远镜中透镜的研制涉及到对曲面母线的研究；力学中对抛射体轨迹的研究也涉及曲线旷这些科学的发展都提出研究各种曲我的要求，最起码的是画出这些曲线。
笛卡儿使用了代数方法去研究曲线的问题，解析几何就这样开始了。
实际上，笛卡儿在《方法论》的另两个附录《论折光》和《流星论》中分别探讨了透镜曲线和气象的—些问题。
（1）解析几何的基本思想解析几何得以建立的基本思想有两个：实数和平面上的一条直线上的点作成一一对应；有序实数对与平面上的点作成一一对应。
很早以前人们就有了初步的坐标观念，例如古埃及人和罗马人用于测量的、希腊人用于绘制地图的坐标思想；奥雷姆(法国人，约1320一1382)在14世纪曾试图用图线来表示变量之间的关系。
但是在明确提出上述两个原则之前，无法用代数方法来研究几何学。
笛卡儿解决了贯彻这两个原则的方法问题，那就是建立坐标系。
（2）解析几何的意义解析几何的产生在数学史上具有划时代的意义。
●在数学中引入了变量概念建立坐标系，把几何曲线和代数方程对应起来实际上就已用到了变量概念：方程无非是两个变量的关系，几何曲线上的点的坐标就是变量在变化过程中所取的值。
●提供了一种解决一般问题的方法古希腊几何中的许多问题都是个别地解决的，而引入解析几何后就可以用解析方法(代数方法)作一般性的处理。
例如几何作图问题就是在有限次使用没有刻度的直尺和圆规的条件下作出所要求的图形的问题，即所谓“尺规作图”。
如果能够按条件作出所求图形，则称这个问题为作图可能问题，这时图形叫做可作的；如果作不出所求图形，那么可分为两种情况：一是所求的图形实际不存在，这时，就可说这个问题是不成立的；一是所求的图形是存在的，但只用尺规无法作出，这时，就可说这个问题是作图不可能的。
解析几何公式归纳及演变过程分析
解析几何公式归纳及演变过程分析近代数学的一个分支是解析几何。
解析几何是几何学的一种方法，它使用代数方程来描述平面和空间几何图形。
这些方程通常是多项式方程，解析几何旨在研究它们的性质和关系。
下面将解析几何公式进行归纳和演变的过程进行分析。
一、解析几何公式的归纳解析几何公式在历史上经历了数百年的演变。
最初的解析几何公式是圆锥曲线的公式。
圆锥曲线是通过一个锥体和一个平面截断锥体而形成的。
依据截面的方位，圆锥曲线可以是圆、椭圆、双曲线或抛物线。
以椭圆为例，如果在一个水平平面上截取一个圆锥，水平方向的直线将生成圆。
但是如果截取平面的角度逐渐趋向于锥面的倾斜角度，我们将看到水平线开始变成椭圆的形状。
在解析几何中，椭圆可以通过下列代数方程表示：$$ \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1 $$其中$a$和$b$分别是椭圆在$x$和$y$轴上的半长轴和半短轴。
马上，其他的圆锥曲线公式也被发现了。
然而，通过解析几何公式来描述它们是一项极具挑战性的任务。
二、解析几何公式的演变十八世纪中叶，法国数学家拉格朗日(Lagrange)开创了解析几何新的时期。
他发现了一种新的方法：在同一个坐标系中考虑多个椭圆。
He把他的研究方向转向圆锥曲线的旋转。
通过将平面旋转，拉格朗日发现，任何圆锥曲线都可以写成下列形式的代数式：$$ Ax^2 +Bxy+ Cy^2 +Dx + Ey + F =0 $$其中$x$和$y$是坐标变量，以$A,B,C,D,E,F$为代数常数。
这个方程也被称为岛屿方程。
由$Ax^2+Cy^2+F=0$产生的曲线称为一类圆锥曲线。
这个方程描述的椭圆、双曲线和抛物线属于这一类圆锥曲线。
通过添加$Bxy$项，我们可以创建第二类圆锥曲线。
这些曲线是非中心的圆锥曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线和与它们不同的曲线。
三、应用解析几何公式解析几何公式之所以重要，是因为它们能够帮助解决一些几何问题，如曲线求交问题、曲线两点之间的距离和曲线的弧长等。
2019解析几何简介精品教育.doc
解析几何简介一、解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。
当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。
笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。
后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。
从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。
他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。
x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。
这就是解析几何的基本思想。
具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。
从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。
解析几何的产生并不是偶然的。
在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。
7解析几何的诞生
四、解析几何完善和发展
由笛卡尔与费马创立的解析几何，随后得到了进一步 的发展。 1748年，瑞士人欧拉的《分析引论》对现代形式的解析 几何做了系统地叙述，成为现代意义的第一本解析几何教 程。到19世纪，解析几何获得了充分的发展广泛地应用到物理学 和各种工程技术领域。实现了笛卡尔把解析几何应用于科 学的夙愿。
1629年，费马于便有了解析几何的思想，（比笛卡尔 的《几何学》早了8年），费马在认识到阿波罗尼兹所用 几何方法的困难之后，萌生了用代数来研究曲线性质的想 法。力图把阿波罗尼兹关于轨迹的某些久已失传的证明补 充起来，进行关于轨迹的一般研究，通过坐标建立了代数 方程和曲线联系，并利用方程来研究曲线的性质。这种研 究是希腊人没有做到的。 在他《平面和立体轨迹引论》这部关于解析几何的最早 著作中，已经有了解析几何的两个基本概念：坐标概念以 及通过坐标把代数方程同曲线相联系的概念。
二、笛卡尔和《几何学》
3.笛卡尔的《几何学》
《几何学》共分三个部分: 第一部分包括对一些代数式作几何的原则解释,在这一部 分中,笛卡儿把几何算术化了; 第二部分讨论了曲线的分类法以及作曲线的切线的方法; 第三部分涉及高于二次方程的解法,指出了方程可能有和 它的次数一样多的根,还提出了著名的笛卡儿符号法则： 多项式方程的正根的最多数目等于系数变化的次数,而负 根的最多数目等于两个正号和两个负号连续出现的次数, 但他没有给出证明.
追溯早期的解析几何思想：
1.公元前2000年的巴比伦人已能用数字表示从一点到另一 固定点、线或物体的距离，已有原始坐标的思想.
2.公元前4世纪，中国战国时代的天文学家绘制恒星方位 表时已利用了坐标方法.同时的古希腊数学家门奈赫莫斯 发现了圆锥曲线，并对这些曲线的性质作了研究.
解析几何的发展简史
绪论“解析几何”又名“坐标几何”,是几何学的一个分支。
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题，基本方法是坐标法。
就是通过坐标把几何问题表示成代数形式，然后通过代数方程来表示和研究曲线。
它包括“平面解析几何”和“空间解析几何”两部分。
前一部分除研究直线的有关性质外，主要研究圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。
后一部分除研究平面、直线的有关性质外，主要研究二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面等）的有关性质。
1.解析几何产生的实际背景和数学条件解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。
解析几何产生数学自身的条件：几何学已出现解决问题的乏力状态；代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度.解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。
从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代。
生产实践积累了大量的新经验，并提出了大量的新问题。
可是，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有的常量数学已无能为力，人们迫切地寻求解决变量问题的新数学方法。
解析几何产生前的几何学平面几何，立体几何（欧几里得的《几何原本》），圆锥曲线论（阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》），特点：静态的几何,既不把曲线看成是一种动点的轨迹，更没有给它以一般的表示方法.几何学出现解决问题的乏力状态16世纪以后,哥白尼提出日心说，伽利略得出惯性定律和自由落体定律，这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题．几何．学必须从观点到方法来一个变革，创立起一种建立在运动观点上的几何学．16世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件．1591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使用了字母，他不仅用字母表示未知数,而且用以表示已知数，包括方程中的系数和常数．这样，代数就从一门以分别解决各种特殊问题的侧重于计算的数学分支，成为一门以研究一般类型的形式和方程的学问．这就为几何曲线建立代数方程铺平了道路．代数的符号化，使坐标概念的引进成为可能，从而可建立一般的曲线方程，发挥其具有普遍性的方法的作用．2.解析几何的创立17世纪前半叶，解析几何创立，其中法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650)和费尔玛（fermat，1601-1665）作出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。
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1819年移入圣日耳曼圣心堂中,其墓碑上刻着:笛卡儿, 欧洲文艺复兴以来,第一个为争取并保证理性权利的人.
2.费马的解析几何
1629年，费马于便有了解析几何的思想，（比笛卡尔 的《几何学》早了8年），费马在认识到阿波罗尼兹所用 几何方法的困难之后，萌生了用代数来研究曲线性质的想 法。力图把阿波罗尼兹关于轨迹的某些久已失传的证明补 充起来，进行关于轨迹的一般研究，通过坐标建立了代数 方程和曲线联系，并利用方程来研究曲线的性质。这种研 究是希腊人没有做到的。
三、费马与他的解析几何
1.费马生平简介
费马（1601～1665），出生于法 国的一个皮革商之家，儿时受到良 好的家庭教育，入大学后研习法律， 毕业后出任律师。
30岁之后利用业余时间钻研数学， 在微积分、解析几何、概率论和数 论等方面均有开创性的贡献，被称 为“业余数学家之王”。
三、费马与他的解析几何
3.公元前200年左右，阿波罗尼奥斯用类似于直角坐标系 的轴线研究圆锥曲线，以圆锥体底面的直径作横坐标，过 顶点的垂线作为纵坐标，是解析几何的萌芽.此外，埃及 人和罗马人在测量地形时，希腊人在绘制地图时都使用了 坐标概念.
追溯早期的解析几何思想：
4.约1350年，法国数学家奥雷姆提出一种坐标几何：用两 个坐标确定平面上点的位置，用水平线上的点表示时间， 称为经度；而所对应的速度则用纵线表示，称为纬度.这 样用经纬两个坐标就将物体运动情况在图上表示出来.这 是从天文、地理坐标向坐标几何学的过渡.
——M.克莱因
第六章 解析几何的诞生
解析产生的背景 笛卡尔与《几何学》 费马与他的解析几何
一、解析几何产生的背景
（一）数学本身发展具备的条件
1.初等数学日臻成熟：欧几里德的《几何原本》、阿波 罗尼斯的《圆锥曲线》、缪勒(穆勒)的名著《三角全书》 成为第一部使三角学获取独立地位的系统理论研究的著 作；
2. 阿拉伯人的代数学的思想方法得到了发展，印度—阿 拉伯数码的标准化，记数和算术运算得以简化；
3.数学观和数学方法论的重大变化：这一时期的数学逐渐 脱离了古希腊数学的逻辑基础，离开了严格的公理化， 人们所关注的实际上属于所谓的代数和分析这些数学门 类。
一、解析几何产生的背景
（二）数学发展的外部条件
I
E
OA
三、费马与他的解析几何
3.笛卡尔和费马
费马与笛卡尔分别用不同的方法，各自独立的、差不 多同时创立了解析几何。
笛卡尔与费马的解析几何研究方法是完全不同的。费 马着眼于继承希腊人的思想，重新表述阿波罗尼兹的工作。 尽管他的工作比笛卡尔更全面的叙述了解析几何的基本原 理，但费马的工作主要是技术性成就。笛卡尔则抛弃了希 腊人的思想方法，使代数的方法成为数学的一种普遍使用 的方法。
5.16世纪末，韦达提出了用代数方法解决几何问题的设想. 例如，在尺规作图研究中将化圆为方问题归为二次方程， 倍立方和三等分角问题归为三次方程等.
二、笛卡尔和《几何学》
1.笛卡尔生平简介
笛卡尔出生于法国，父亲是相 当富有的律师。笛卡尔八岁时，父 亲把他送到教会学校，希望他成为 王权和神权的继承人。因为他身体 不好，学校允许他早上在床上读书 和思考问题，这种习惯他一直保持 到老。笛卡尔十六岁离开家乡出外 读书，二十岁毕业于普瓦界大学， 从事律师工作。
数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数 论的发展，历经三百多年的历史，最终在1995年被英 国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
作业
1.解析几何产生的时代背景，在哪些问题导 致人们对运用代数方法处理几何问题的兴趣？
2.比较笛卡尔和费马的思想方法与现代解析几 何的异同。
二、笛卡尔和《几何学》
3.笛卡尔的《几何学》
笛卡尔引进了本质上可以代表任何一种量的符号体系。 在《几何学》中，他用字母表中的小写字母a ，b ，c等 代表已知量，x， y ，z等代表未知量，这种用法一直延 续至今。
笛卡尔顺着用代数方程研究曲线的思路，得到一系列 新颖的想法与结果：曲线的次数与坐标的选择无关；轴系 的选取应使曲线对应的方程尽量简单；把几何曲线定义为 可以用x 和y的有限次代数方程表出的曲线；依据代数方 程的次数对相应的几何曲线分类；求平面曲线的法线的方 法等。
在他《平面和立体轨迹引论》这部关于解析几何的最早 著作中，已经有了解析几何的两个基本概念：坐标概念以 及通过坐标把代数方程同曲线相联系的概念。
三、费马与他的解析几何
2.费马的解析几何
费马考虑任意曲线和它上面的一般点I，I的位置用A、E 两个字母定出：A是从原点Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ底线到点J的距离，E是从J 到I的距离，它所用的坐标，就是我们现在用的斜坐标，它 的A,E就是我们现在的x，y。但是y轴没有明确出现，而且 不用负数。
数学史是研究数学发展规律的科学
第六章 解析几何的诞生
数学中转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运 动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有 了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了.
——恩格斯
只要代数同几何分道扬镳，他们的进展就缓 慢，他们的应用就狭窄。但是当这两门科学结 合成伴侣时，他们就相互吸取新鲜的活力，从 那以后，就以快速的步伐走向完善。
二、笛卡尔和《几何学》
3.笛卡尔的《几何学》
《几何学》共分三个部分: 第一部分包括对一些代数式作几何的原则解释,在这一部 分中,笛卡儿把几何算术化了;
第二部分讨论了曲线的分类法以及作曲线的切线的方法;
第三部分涉及高于二次方程的解法,指出了方程可能有和 它的次数一样多的根,还提出了著名的笛卡儿符号法则： 多项式方程的正根的最多数目等于系数变化的次数,而负 根的最多数目等于两个正号和两个负号连续出现的次数, 但他没有给出证明.
五、解析几何诞生的意义
数学的研究方向发生了一次重大转折。古代 以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导 的数学；以常量为主导的数学转变为以变量为主 导的数学，为微积分的诞生奠定了基础，使代数 和几何融合为一体。使得几何概念可以用代数表 示，几何的目标可以通过代数达到；反过来，给 代数语言以几何的解释，可以直观地掌握那些语 言的意义，又可以从中得到启发去提出新的结论.
四、解析几何完善和发展
1.约翰.瓦里士引进负的纵、横坐标，从而使笛 卡尔坐标几何中所考虑的曲线扩大到整个平面;
2.第一次正式使用y（纵）轴的是克拉梅; 3.雅各.伯努利 引入了极坐标系，是极坐标的 发明者; 4.约翰.伯努利第一次引入我们现在通用的三个 坐标平面，把解析几何推广到三维空间; 5.拉格朗日以类似后来的向量形式表示力、速 度等具有方向的量，19世纪80年代一门名叫向量 代数的学科诞生.
六、笛卡尔轶事和费马定理 1.心形线
六、笛卡尔轶事和费马定理 1.心形线
六、笛卡尔轶事和费马定理 叶形线
六、笛卡尔轶事和费马定理
2.费马大定理
费马大定理，又被称为“费马最后的定理”。费 马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷 第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和， 或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一 个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。 关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里 空白的地方太小，写不下。”
四、解析几何完善和发展
由笛卡尔与费马创立的解析几何，随后得到了进一步 的发展。
1748年，瑞士人欧拉的《分析引论》对现代形式的解析 几何做了系统地叙述，成为现代意义的第一本解析几何教 程。到19世纪，解析几何获得了充分的发展，并渗透到数 学的各个学科（如向量代数），而且广泛地应用到物理学 和各种工程技术领域。实现了笛卡尔把解析几何应用于科 学的夙愿。
二、笛卡尔和《几何学》
1616年获该校博士学位.取得学位之后,他就暗下决心:今 后不再仅限于书本里求知识,更要向“世界这本大书”求 教,以“获得经验”,而且要靠理性的探索来区别真理和 谬误.
1618年起,先在军队里当过几年兵,离开军队之后便到德 国,丹麦,荷兰,瑞士,意大利等国游历,所见所闻丰富了 他的见识,更重要的是对当时科学的最新成果增强了了 解.
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的 曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这要求数学从 运动变化的观点研究和解决问题.这些工作成为解析几何 建立的外部动力.
追溯早期的解析几何思想：
1.公元前2000年的巴比伦人已能用数字表示从一点到另一 固定点、线或物体的距离，已有原始坐标的思想.
2.公元前4世纪，中国战国时代的天文学家绘制恒星方位 表时已利用了坐标方法.同时的古希腊数学家门奈赫莫斯 发现了圆锥曲线，并对这些曲线的性质作了研究.
16世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、 航海等方面都对几何学提出了新的需要.
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着 椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大 利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的.再如 钟表摆动、炮弹弹道、透镜形状等，所有这些，都已超出 欧几里得几何学的范围.
二、笛卡尔和《几何学》
2.主要的数学成就
笛卡儿对数学的最大贡献是创立了解析几何学.他的 基本思想事要建立起一种普通的数学,使算术,代数和几 何统一起来.为此他写了《几何学》.在他的《几何学》 中第一次出现变量与函数的思想.
笛卡儿所谓的变量,是指具有变化长度而不变方向的 线段,还指连续经过坐标轴上所有点的数字变量,正是变 量的这两种形式使笛卡儿试图创造一种几何与代数互相 渗透的科学.笛卡儿的功绩是把数学中两个研究对象“形” 与“数”统一起来,并在数学中引入“变量”,完成了数 学史上一项划时代的变革.
笛卡尔的这些成就为牛顿、莱布尼兹等一大批数学家 的新发现开辟了道路。