极坐标与参数方程高考真题

极坐标与参数方程高考真题

1、（2018北京理10）在极坐标系中，直线cos sin a ρθρθ+=（0a >）与圆2cos ρθ=相切，则_______a =．

【解析】直线0x y a +-=，圆22

(1)1x y -+=，1

d =

=得1a = 2、（2018江苏21C ）在极坐标系中，直线l 的方程为π

sin()26

ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．

【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26

ρθ-=，

则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为

π

6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则π

6

OAB ∠=．

连结OB OB ，因为OA OA 为直径，从而π2OBA ∠=，所以π

4cos 6

AB ==

因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为

3、（2018新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2

2cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；

（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.

【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为2

2

(1)4x y ++=．

（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．

由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由

于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．学#科网 当

1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．

经检验，当0k

=时，1l 与2C 没有公共点；

当4

3

k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2

2=，故0k =或43k =．

经检验，当0k

=时，1l 与2C 没有公共点；当43

k =时，2l 与2C 没有公共点．

综上，所求1C 的方程为4

||23

y x =-

+． 4、（2018新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θ

y θ=⎧⎨

=⎩

（θ为参数），直线

l 的参数方程为1cos 2sin x t α

y t α

=+⎧⎨

=+⎩（t 为参数）．

（1）求C 和l 的直角坐标方程；

（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．

【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22

1416

x y +=．

当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．

（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程

22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )

13cos t t ααα

++=-

+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．

5、（2018新课标Ⅲ理22）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θ

θ

=⎧⎨

=⎩（θ为参数）

，过点

(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．

（1）求α的取值范围；

（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．

【解析】（1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点． 当时，记，则的方程为

与交于两点当且仅当，解得或，即或． 综上，的取值范围是．

O e 221x

y +=2

απ

=l O e 2απ≠

tan k α=l y kx =l O e 1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,

)24

απ3π

∈α(,)44

π3π

（2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足． 于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 6、（2018天津理12）已知圆22

20x y x +-=的圆心为C ，

直线1232

x y t ⎧

=-+⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩

(t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为_______.

【解析】直线方程为20x y +-=，圆22

(1)1x y -+=

，2d =

，||AB == ∴11

||22

S AB d =

⋅= 7、（2017新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θ

θ

=⎧⎨

=⎩（θ为参数），直线

l 的参数方程为41x a t

y t

=+⎧⎨

=-⎩（t 为参数）． （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l

a ．

解：（1）曲线C 的普通方程为2

219

x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．

由22

4301

9x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或2125

2425x y ⎧

=-

⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

． 从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124

(,)2525

-

．

l cos ,

(sin x t t y t αα

=⎧⎪⎨

=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2

A B

P t t t +=

A t B

t 2sin 10t α-+

=A B t t α+

=P t α=P (,)x

y cos ,

sin .

P P x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩

P 2,2222x y αα

⎧=

⎪⎪⎨

⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)