浅谈埃舍尔的数学艺术
埃舍尔作品中数学图像运用及其哲学内涵研究
埃舍尔作品中数学图像运用及其哲学内涵研究在艺术的长河中，莫里茨·科内利斯·埃舍尔（Maurits Cornelis Escher）以其独特而令人惊叹的作品独树一帜。
他巧妙地将数学图像融入艺术创作，赋予作品深刻的哲学内涵，引发了人们对空间、秩序和无限的思考。
埃舍尔的作品常常呈现出复杂而精确的几何结构，这并非偶然。
他对数学的热爱和深刻理解使他能够运用各种数学概念和图像，创造出看似不可能却又令人着迷的视觉效果。
数学中的对称概念在埃舍尔的作品中得到了精彩的展现。
他通过精确的构图和巧妙的线条运用，创造出具有完美对称性的图案。
比如在《反射球》中，球体的反射和对称不仅在视觉上给人以强烈的冲击，更让我们感受到了对称之美所蕴含的秩序和平衡。
这种对称不仅仅是形式上的美，更暗示了宇宙中某种潜在的规律和秩序，仿佛在告诉我们，世界在某种程度上是遵循着一定的对称原则运行的。
而在数学的镶嵌图案方面，埃舍尔同样有着非凡的表现。
他的作品《蜥蜴》就运用了镶嵌的手法，将不同形状的蜥蜴巧妙地组合在一起，形成了一个无缝的整体。
这种镶嵌图案的运用不仅展示了数学的严谨性和规律性，同时也让我们思考个体与整体之间的关系。
每一只蜥蜴既是独特的个体，又在整体中扮演着不可或缺的角色，这仿佛在隐喻着人类社会中个体与集体的相互依存。
除了对称和镶嵌，埃舍尔还对拓扑学有着深入的探索和运用。
在作品《莫比乌斯带》中，他通过对这个特殊的拓扑结构的描绘，打破了我们对常规空间的认知。
原本二维的平面似乎在莫比乌斯带上变得模糊，空间的界限被重新定义。
这让我们不禁思考，我们所认为的“真实”空间是否只是一种局限的认知，而在更广阔的维度中，存在着无数超乎想象的可能性。
埃舍尔作品中的数学图像运用，不仅仅是一种艺术表现手法，更蕴含着深刻的哲学思考。
他的作品常常让我们对现实与幻觉之间的界限产生疑惑。
比如在《相对性》中，不同角度的楼梯和人物似乎都在合理地存在着，但又相互矛盾。
浅谈埃舍尔的数学艺术
一般来说,对于几维空间的思考，从来都是数学家物理学家思考的问题.著名的英国剑桥大学应用数学及理论物理学系教授，当代最重要的广义相对论和宇宙论家霍金在《时间简史》对于宇宙学的完美演绎,对于思维空间的描述就体现了这一点.当霍金的时间简史完美的展现四维世界而向更高一步探索时埃舍尔在他的艺术世界中是否已建起了五维的世界观？
埃舍尔多次表达数学上有趣的茂比乌斯带.但这种曲面带的现象若由平面图画表达出来则毫不容易的，1963年的《红蚁》便是这种题材的作品，也是一件稀有的埃舍尔套色版画.埃舍尔在他的著作中，指出特别偏好两色的外型结构，因为图形的本质需要，他才加上颜色。在作品《红蚁》中，仔细看你会发现作品中的蚂蚁不是在相同的面上爬行而是在同一个面上爬行，可以一次性将丝带的每一个部分走完。与此相同的还有作品《天鹅》《骑马的人》。
极限思想的应用
看上面第三幅镶嵌图形中，黑白灰三种壁虎相互镶嵌在一起,不仅仅形成了一幅完美的镶嵌图形，并且替下了数学中无穷小的极限思想。
或许正是由于他对数学、建筑学和哲学的过深理解，阻碍了他与同道的交流,他在艺术界几乎总是特立独行，后无来者。他甚至至今无法被归入20世纪艺术的任何一个流派。但是，他却被众多的科学家视为知己。他的版画曾被许多科学著作和杂志用作封面，1954年的“国际数学协会”在阿姆斯特丹专门为他举办了个人画展，这是现代艺术史上罕见的。
埃舍尔的神奇艺术，把数学玩弄于股掌之间的骚年
埃舍尔的神奇艺术，把数学玩弄于股掌之间的骚年今天秒总来介绍一个大牛M.C.埃舍尔首先他老人家长这样用一句话形容埃舍尔就是【埃舍尔=艺术+数学】这是他的一幅代表作简~直~吊~炸~天这张图从头到尾撸了一遍之后我默默地献出了膝盖以后都要跪着走路了埃舍尔的这种作品叫做“镶嵌画”也就是镶嵌在地板上或墙壁上的那种拼图进行无缝拼接要知道以前的人只想得到用几何图形做镶嵌画家里钱多的话可能会做得更复杂一些：不过埃舍尔企图绘制出超级无敌宇宙第一复杂的镶嵌画譬如他绘制了这幅“羊驼”看着这些天马行空的画面眼花缭乱惊讶于这种巧妙的拼接居然具象的马的造型也能作为拼图我的小心肝受到一百点的暴击其实埃舍尔运用了最基本的数学原理来产生图像看完之后我狗眼已瞎埃舍尔将简单的正方形经过剪切和平移转变成了一个复杂的镶嵌图形“简单”是“复杂”的基础数学与艺术完美结合其实你可以拿一张普通的正方形便条贴亲手做一个诡异的镶嵌画实在太简单了以下是秒总的绝作个人认为美到爆表！！不服来战！！除此之外埃舍尔还创作了更更更复杂的图形“一群猥琐的蜥蜴”使用了正六边形为基础进行旋转运动埃舍尔！感觉你每一个脑细胞都在跳广场舞自嗨地不要不要哈！！不过老铁的智商还没完呢下面这张是用平行四边形为基础通过某种不可描述的数学运动创作而成别问我要GIF动态图别问我怎么作出来的你猜！！然后留言给我哦亲！！还有更加巧妙的结合天衣无缝的一群鸟哦不一~~坨~~鸟别看这图画得很形象背后都是一整套深奥抽象的数学模型譬如这幅由无数条鱼组成的圆利用的是数学里的“分形学”“微积分”“极限”等数学理论具体解释可以看秒总的另一篇文章这幅画里所要表现的是无数条鱼但是因为越往外围鱼越小所以“无限”被锁定在一个圆圈里了否则如果真有无数条鱼埃舍尔估计早就画得累死了下面这一幅画带了些宗教思想天使与恶魔是相辅相成的正邪对立却又融为一体这一幅涉及种族话题黑人与白人这一幅更流弊天上的鸟和水里的鱼渐变过渡反应了当时的物种演化理论达尔文的死忠粉昼夜更替代表二元论老子阴阳学说的完美图式这幅挤满了各种东西看完之后秒总的脑洞闲不住寂寞将它变成了一个游戏一个埃舍尔版的“俄罗斯方块”觉得真是毫无违和感妥妥的其实埃舍尔的很多作品都可以变成游戏这是真的【总结】————————埃舍尔研究的镶嵌画是平面密铺图形他用精密的图形和构造展示数学的严谨但是却又用另一系列作品展示数学的不严谨也就是悖论的一面下一集秒总接着给大家叨叨~~~先别离开允许我厚颜无耻地求你点赞呗然后再厚颜无耻地求你打个评论尺度太大，我有点hold不住达芬奇名作经历540年的真相揭秘，深刻中我被逗乐了。
埃舍尔——一个画家的数学素养
埃舍尔——一个画家的数学素养1898年出生在荷兰的埃舍尔，自称是一个“图形艺术家”，他专门从事木版画和平版画。
他的家庭为他设想希望他将来能从事他父亲的建筑事业，但由于他对绘画和设计的偏爱，最终还是选择了从事图形艺术的职业。
1956年，他举办了他生平第一次重要的画展，这个画展得到了《时代》杂志的好评，使他获得了世界范围的名望。
在对他热情的赞美者中不乏有许多的数学家，他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。
由于这位荷兰艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而尤其令人赞叹。
随着他的创作的发展，他从自己读到的数学思想中获得了巨大的灵感，他经常直接运用平面几何和射影几何的结构，这使得他的作品中深刻地反映了非欧几何学的精髓。
他也被悖论和“不可能”的图形结构所迷住，创造了许多引人入胜的艺术成果，下面我们将看到这一点。
1.镶嵌图形规则的平面分割叫做“镶嵌”，镶嵌图形是完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。
一般说来，构成一个镶嵌的封闭图形的基本单元是多边形或类似的常规形状。
然而，更使埃舍尔着迷的是那些不规则的、形状特别的平面镶嵌。
他用几何学中的反射、变换和旋转来获得更多的变化图案，他也精心地使这些基本图案扭曲变形为动物、鸟和其他的形状。
这样的效果既是惊人的，又是美丽的。
下面选录了埃舍尔的“骑士平面镶嵌”和“黑白鸟的镶嵌”两幅平面镶嵌图（图1、图2)供读者欣赏。
其中，“骑士平面镶嵌”曾被诺贝尔奖获得者杨振宁作为他的名著《基本粒子小史》的封面，显示了物理大师的艺术底蕴。
图1呈现了某种怪异的对称现象（把白骑士看作图形，黑色骑士就成了“衬底”。
把衬底揭起来，翻转180°，就能够同原图形重叠)，而杨振宁、李政道所发现的，就是物理世界某种“对称”的破坏和缺损——在弱相互作用下的“宇称不守恒”。
图1而在黑白鸟的平面镶嵌里，我们看到的是向西北方向飞去的黑色的鸟和向西飞去的白色的鸟。
图22.多面体规则的几何体，例如多面体，对埃舍尔而言具有特殊的魅力。
【高中数学】数学与埃舍尔的艺术
【高中数学】数学与埃舍尔的艺术仅是人类的发明或创造。
它们本来就“是”如此；它们的存在完全不依赖于人类的智慧。
具有敏锐领悟能力的任何人所能做的事至多是发现它们的存在并认识它们而已。
──m.c.埃舍尔m.c.埃舍尔的确就是重新认识数学的。
用数学的眼光去观测他的许多工作，就是令人激动的事情。
我们中大多数人都熟识埃舍尔有关平面方形图案的美妙缔造。
他的工作远远比不上传统的平面方形图案。
他给与他所方形的对象以运动和生命，这从《变形》、《天和水》、《昼和夜》、《鱼和鳞》和《遭遇》等知名作品可以获得证明。
除了转换平面以外，被方形对象本身也抵挡转换。
此外，人们看见他对周期铺成结构中的位移、转动和散射的概念掌控得较好。
埃舍尔也利用拓扑学领域中的对象和概念。
麦比乌斯带在他的木刻《麦比乌斯带ⅰ》、《麦比乌斯带ⅱ》和《骑手》中起着关键作用。
他在他的作品《纽结》中精巧地作成三叶形纽结。
埃舍尔的《蛇》是介绍纽结理论主题的一件完美的艺术品，即使他可能并非有意这样做。
《画廊》和《阳台》是拓扑变形的奇妙例子。
这些版画看来几乎好像是印刷在经过奇妙的拓扑变形的橡皮薄板上的。
人们在埃舍尔的许多作品中辨认出的另外两个数学主题就是操作方式和混合佩。
在《爬虫》中，埃舍尔的二维蜥蜴诡异地变为了在现实三维空间中跳跃的生命。
相似的转换出现在《魔镜》和《循环》中。
他利用射影几何中的概念──投影、传统意义上的憋屈点和他自己的曲线憋屈点，并使《圣彼得的罗马》、《通天塔》和《低与高》中产生深度和维度的感觉。
圆、椭圆、螺线、多面体和其他立体是我们在埃舍尔作品中看到的几种几何对象。
例如，《三个球》创造出关于球形的三维错觉，虽然它是完全由圆和椭圆组成的。
在《星》中，我们看到各种不同的立体，包括柏拉图立体在内，而四面体则是《四面类星体》的中心所在。
在《重力》中高中化学，有着星形十二面体。
埃舍尔并使无穷大的概念养了出来。
不须要用什么话去给它下定义，他的作品就说明了它的意义。
埃舍尔——融数学思想于艺术设计的大师
埃舍尔——融数学思想于艺术设计的大师打开文本图片集埃舍尔1898年出生在荷兰的一个水利工程师家庭.在中學时代，他的成绩一般，只有绘画成绩相对好一点.1919年进入哈勒姆建筑与美术学院，在此期间他得到美术老师的鼓励，从此对平版画、木刻版画和雕版画产生了浓厚兴趣.正是出于对绘画的偏爱，最终埃舍尔走上了图形艺术设计的道路，埃舍尔的作品之所以引起数学家的兴趣是源于1954年在荷兰首都阿姆斯特丹召开的国际数学家大会.数学家彭罗斯在一次偶然的机会下参观了会场附近展出的埃舍尔画作，回到会场就成了埃舍尔作品的超级粉丝，在他的影响下，埃舍尔的作品首先在这群数学家中传播开来.彭罗斯在他花了整整八年才写成的数学物理学巨著《通往实在之路——宇宙法则的完全指南》中，就是用埃舍尔的画作来解释罗巴切夫空间的.无独有偶，杨振宁的《基本粒子发现简史》也用了埃舍尔的作品《骑士》作为封面（如图1）.虽然埃舍尔没有接受过中学数学以外的正式的数学训练，但他的创作中数学与艺术得到了完美的结合，数学的思想得到了非同寻常的形象化，他在数学的匀称、精准、规则、连续、循环等抽象的特性中发现了难以言喻的美，并结合了他那娴熟的技巧、天才的想象，创作出了广受欢迎、带着数学意味的作品，镶嵌是埃舍尔作品中的一个重要主题.在镶嵌中，埃舍尔找到了在有限的平面中表达极限的方法，作品《蝴蝶》中我们看到一个大而有限的圆周之中有无数多的蝴蝶正在不断地沿着边缘逐渐靠近圆中心，当蝴蝶越来越靠近圆中心时它们的数量会越来越多，但与此同时，它们会变得越来越小，最终消失在我们的眼际，令我们感到惊奇的是，虽然蝴蝶最终没能到达圆中心，但无限多消失的蝴蝶给我们留下了一个神奇而又充满想象的小圈，图的中央究竟是什么呢？埃舍尔汲取来自数学对称理论、射影几何、拓扑学等数学理论的灵感，创作了许多以极限、变换、易维、镶嵌等为主题风格独特的作品，这使得埃舍尔在艺术界特立独行.作为一位伟大的艺术家，埃舍尔对世界各地的众多艺术家和设计师都有着深刻的影响，日本著名平面设计师福田繁雄就是其中的典型.当代的艺术设计作品中也经常可以捕捉到埃舍尔元素，比如手表表盘设计、广告设计等等.从以上图形设计中我们可以看出埃舍尔的图形思想已经渗透到了设计的方方面面.埃舍尔图形设计中的数学美还将继续影响后世.。
解读埃舍尔镶嵌图形
Word文档可进行编辑解读埃舍尔镶嵌图形埃舍尔,全名毛里茨·科内流斯·埃舍尔（mauritscorneliusescher）,一名对现代艺术妨碍深远,却被史学家遗忘得、世界艺术史上“绝无仅有得”艺术家.和其他依靠感性进行创作得艺术家不同,埃舍尔得作品是通过复杂得理性思维得产物.他从事物得精确、规则、秩序等特性中发觉了美,制造了美.一、埃舍尔得镶嵌图形关于平面规则分割（平面镶嵌图形）,埃舍尔写到：“在数学领域,平面规则分割差不多从理论上获得了充分得研究……数学家打开了一扇通向无限可能性得大门,然而他们自身并没有进入其中看看.他们特别得禀赋使他们对如何打开这扇门得方式更感兴趣,而对隐藏在其后得花园不感兴趣.”埃舍尔正是从一个艺术家得角度,利用数学家得发觉,发掘了美,制造了美.他得平面规则分割作品令许多数学家吃惊.他在已知得17种抽象平面分割群组形式上制造了许多具象镶嵌图案.这种把抽象得几何形状给予具象得形象事实上是一种复杂得图形思维过程.要完成具象镶嵌图案得创作,对各个图形得考虑必须要特别严谨,每个镶嵌图形既要考虑它得镶嵌可能性,又要给予具体得形象,而且这种镶嵌是四面无限延伸得,这就必须要具备非常强得图形（图像）联想能力.埃舍尔得图形镶嵌作品,能够将其分为单体镶嵌、双体镶嵌、多体镶嵌和渐变镶嵌四种形式.二、镶嵌图形得构思过程1．几何形状得演变通过对埃舍尔得镶嵌图形得研究发觉,其作品基本上通过对简单得几何形状得具象思维而逐渐演绎而来得.WwwC假如将其作品中得镶嵌图形作逆向思维,即向简单得几何形状演化,我们会发觉——到最后只是一个简单得正方形而已.由此可见,正方形是镶嵌得最差不多图形,一切复杂得能够用作镶嵌得图形基本上由其演化而来得（如图1）.通过对正方形作可镶嵌式分割,会得到非常多几何形,假如把这些几何形再作进一步细化分割,就会形成具象得可用于镶嵌得图形.如此看起来大概特别简单,事实上不然,由简单得几何形状到演化为具象得图形得过程,事实上是非常复杂得一种思维过程,需要具备专门强得图形思维及联想能力才可能做到.2．几何群组得运用除了几何形状得演化外,为了便于从整体上把握镶嵌图形镶嵌得可能性,运用几何群组得形式是非常有必要得.迄今为止,数学家共寻到17种可用于镶嵌得几何群组,令数学家吃惊得是,埃舍尔得镶嵌图形作品恰巧有目得或无目得地运用了这些几何群组.如埃舍尔得鱼得镶嵌作品确实是采纳得几何群组形式而创作得（如图2）.无疑,这些几何群组得运用加大了镶嵌图形得可行性,也能够更好地从整体上去把握它,但这些同样需要具备一定得图形思维能力,否则,非常难做到.3．形状得多重思维即空域形状得多重性具象思维（如图3）.关于空域形状能够联想到大雁,也能够联想到飞鱼.4．在镶嵌图形基础上得渐变在镶嵌图形得基础上作渐变,看起来要比创作镶嵌图形容易得多,但事实上这一过程也异常复杂.我们明白,镶嵌图形是给简单得几何形状给予复杂得具象图形得一种空域思维,那个空域是固定得,因此是静态得.而把镶嵌图形作进一步得渐变处理则是动态得,这种动态性表现在对不同空域得连续性思维,它要求我们具备一定得动态性思维才有可能完成.也确实是讲,当我们得眼睛盯着一个空域时,要求我们头脑中还要去考虑第二个、第三个、第四个等等.因此,不具备动态性思维是不可能制造出渐变镶嵌图形得.三、埃舍尔镶嵌图形关于图形思维能力得培养通过研究埃舍尔镶嵌图形得构思过程,我们不难发觉,要使图形得镶嵌成为可能,需要具有超强得空域图形思维、联想,图形整体把握及图形得动态思维能力.这些能力是图形思维必须具备得能力,而镶嵌图形得创作过程关于这些能力得培养是非常有关心得.假如拿一张画面中心画有一个黑点得白纸让学生看,就会发觉,几乎100%得同学都会盯住那个黑点,而对黑点周围得大面积白则熟视无睹、视而不见.这种现象被称为“黑点式黑暗性思维”.笔者也曾做过一个测验,让学生通过六楼得窗户看楼下得甬道,结果同样,几乎所有人都在注意交错得甬道及甬道上得行人,没有一个人去留意甬道之间形成得空隙得形状.这种思维得局限性是非常可悲得.而埃舍尔得镶嵌图形恰是训练这些平常熟视无睹、视而不见得思维空白区域.在把那个空白区域给予具象得形象得同时,既要考虑其镶嵌得可能性,又要给予其具象得形象,而且,每个具象形象得边缘线基本上两个形状得共用线.因此,要时刻注意“一线两形”得咨询题,这就拓展了思维,增强了思维得能动性.这种思维过程是一种复杂得图形思维过程,它对图形得联想能力、图形得整体把握能力以及图形得动态思维能力得培养是特别有关心得.参考文献：[1]埃舍尔大师图典(紫图大师图典丛书)陕西师范大学出版社,2003年10月[2]布鲁诺·恩斯特著王蓓,王松译魔镜：埃舍尔得不可能世界上海科技教育出版社,2002年10月。
埃舍尔：艺术世界里的数学家，数学家中的艺术天才
埃舍尔：艺术世界里的数学家，数学家中的艺术天才“I’m always wandering around inenigmas.”(我永远都在神秘中徘徊)——毛里茨·科内利斯·埃舍尔想象中的世界、不可能的楼梯、荒谬的走廊、神秘的图案等等都是用来形容荷兰艺术家毛里茨·科内利斯·埃舍尔（Maurits Cornelia Escher，1898—1972）的标志性语句。
如科学家一般的思考方式、作品中浓厚的数学特质，使其作品具有极高的辨识度。
○ 埃舍尔，1963年。
埃舍尔出生在一个科学之家，父亲是工程师，四个兄弟都是科学家，包括一名晶体学家，全家只有他一人从事艺术工作。
如今，极富盛名的埃舍尔，他的作品很长一段时间并不被艺术界看好，大部分批评家无法理解他的作品，或者再直白些说，他没有被当作艺术家。
不过由于独特的创作方式，吸引了很多数学家、晶体学家和物理学家的关注。
为埃舍尔写传记的布鲁诺·恩斯特（Bruno Ernst）就是位数学家。
许多艺术家觉得他的作品太过理性，少了艺术该有的感性。
连埃舍尔本人也说：我是要更多地去思考而不是去感受。
○ 《海豚》（Dolphins），1923年埃舍尔早年作品大量来自旅行见闻，还看不到太多数学的影子，主要体现了他扎实的版画功底。
○ 《巴别塔》（Tower of Babel），1928年埃舍尔的矛盾空间在这幅作品中初现雏形。
○ 欧洲旅行途中某地（Fiumara，Calabria），1930年埃舍尔第一次的作品回顾展直到70岁时才在荷兰举办。
波士顿美术博物馆（Museum of Fine Arts, Boston）资深策展人Baer曾说：“即使你没有在纯艺术的范畴内了解埃舍尔，仍可以很好地欣赏他的作品，这大概也是为什么艺术界很难意识到他的才华。
”制造“不可能的世界”在计算机三维图形出现之前，埃舍尔就已经在二维的纸面上，建立了自己一套与三维空间的联系方式。
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浅谈埃舍尔的数学艺术2011/01/01浅谈埃舍尔的数学艺术摘要：埃舍尔在世界艺术中占有独一无二的位置。
他的作品，主要是带有数学意味的作品无法归属于任何一家流派。
在他之前，从未有艺术家创作出同类的作品，在他之后，迄今为止也没有艺术家追随他发现的道路。
接下来主要谈谈埃舍尔艺术作品中的数学特征。
Summary:had occupies a unique position in art world. His art works —mainly with mathematical means art works —can’t belong to any one genre. Before him, never had artists to create similar works of him. After him, no artist follow he found ways until now. The next major talk, the mathematical characteristics in art works.关键词：矛盾空间莫比乌斯带拓扑学极限思想空间思想镶嵌图形正文：埃舍尔（Cornelius Escher）.出生于荷兰北部。
世界艺术史上“绝无仅有的”艺术家。
把自己称为一个"图形艺术家"，他专门从事于木版画和平版画。
早于1916年，他已经熟识油耗浮雕印刷术。
1917年，他在画家实地格纹的印刷公司制作蚀刻版画。
1919年，在贺林的建筑装饰艺术学院修读建筑学。
当时收美术老师熏陶，对装饰设计艺术产生浓厚兴趣，尤其是木刻版画。
自这个时候开始，埃舍尔的生活便与他的作品完美的结合。
随着他的创作的发展，他从他读到的数学的思想中获得了巨大灵感，他工作中经常直接用平面几何和射影几何的结构，这使他的作品深刻地反映了非欧几里德几何学的精髓，这样, 对于学数学的学生，埃舍尔的工作围绕了两个广阔的区域："空间几何学"。
欣赏家王丽丽所描绘的:"埃舍尔的画很美丽,可是仔细研究,就会发现他的荒谬.而恰恰愈是荒谬,对我们的吸引力也就愈大.太阳神阿波罗的光环固然诱人,可是埃舍尔那种荒谬透顶的完美则更值得推崇.''看埃舍尔的画，感觉就是像在玩游戏，第一印象就是一副具有极强的装饰美感的画，精致，没有丝毫的缺陷。
然后，从画面的内容上看，有很多都违背了常理。
让你的头脑发晕，匪夷所思但富有趣味性。
发散你的理科思维。
从我所学的专业知识中（设计课中所提到的），有很多范画中都拿埃舍尔的画作为典型的例子，比如说矛盾空间，图形渐变，图形同构，联想，图形替换。
埃舍尔画画的形式涉及到：悖论，幻觉，双重意义，多面体，空间形状，镶嵌图形，空间逻辑，自我复制和信息科学。
埃舍尔缜密的思维在画面上的体现从一部分作品的名称来看，埃舍尔的画体现除了事物的相对和矛盾。
比如《水和天》《上行与下行》《凹与凸》《递增与递减》《有序和无序》《天使与恶魔》《相对论》……在一张纸上，将一组完全相对的事物完美的组合起来，没有丝毫的缺陷，体现出了埃舍尔思维的缜密和独特。
从精确、规则、秩序等特性中发现了美，创造了美。
埃舍尔的传记作家布鲁诺·恩斯特看着即将完成的《画廊》原稿，对画家抱怨说，画面左上角的柱子太难看了，埃舍尔听后沉思了片刻，然后表情严肃地说：“可你要知道，那根柱子只能那样，我经过了非常精密的计算才把它造出来，不会有别的可能！”这个事例完全体现的埃舍尔讲缜密的数学性思维应用的他的画面上。
我看《走廊》这幅画的第一感觉就是，这幅画的扭转部分非常到位，没有丝毫可以给别人的地方，精细，到位。
从目前的大众语境看，埃舍尔是一位艺术家。
但是，由于埃舍尔所思考的问题，以及他思考问题的方式，更接近于科学家而不是艺术家；所以毫不奇怪，他的作品首先为科学家所接受，是科学家发现了埃舍尔作品的价值和意义。
数学家、物理学家以及心理学家如侯世达一般各自从自己的角度解释埃舍尔，或者用埃舍尔说明自己的理论。
一位艺术家表达了“科学的思想”，并能为科学家所欣赏，是艺术家的荣耀。
所以，也经常会引发一个问题：他到底是艺术家还是科学家。
矛盾空间的应用关于矛盾空间这个问题，当时在上设计课上老师所展示出的作品都让同学们觉得饶有趣味，重点拿出埃舍尔的作品讲解。
《景观楼》《瀑布》等都是著名的矛盾空间的作品。
《景观楼》可以体现出矛盾空间的特点。
若完成画中的一個面，其他的面就不能成立。
看一幅画的一部分成立，另一部分成立，综合在一起就矛盾了。
具体分析一下《瀑布》中矛盾的地方。
1.水在封闭的环境下流动违背了能量守恒定律；2.水从下往上流动违背了重力势能；3.单看水流的道路（M型）是在一个平面中。
但是结合了两个塔又感觉是在三维空间里。
其实，《瀑布》中应用了几个彭罗斯三角形在加上两个个辅助的塔，形成了矛盾的空间。
二维空间和三维空间空间是一个集合，最基本的元素是点。
一维指线性的交通，二维指平面的区域环境，三维指太阳园的整体设计，四维当然是时间上的，指未来的可持续发展，简单的说五维就是由于四维运动产生。
埃舍尔作品中经常出现由二维平面转换成三维立体。
比如说一下两幅画都是空间转换的一种体现，其实也可以划分为矛盾空间的一种。
一只手正在描绘另一只快要画完的手。
而被画得这一只手也在纸上描画那一只手。
第二幅则是平面画纸中的壁画逐渐爬出纸张，爬到三维空间中，再爬回纸里面去。
一般来说，对于几维空间的思考，从来都是数学家物理学家思考的问题。
著名的英国剑桥大学应用数学及理论物理学系教授，当代最重要的广义相对论和宇宙论家霍金在《时间简史》对于宇宙学的完美演绎，对于思维空间的描述就体现了这一点。
当霍金的时间简史完美的展现四维世界而向更高一步探索时埃舍尔在他的艺术世界中是否已建起了五维的世界观？人们发现，埃舍尔30年前作品中的视觉模拟和今天的虚拟三维视像与数字方法是如此相像，而他的各种图像美学也几乎是今天电脑图像视觉的翻版，充满电子时代和中世纪智性的混合气息。
因此，有人说，埃舍尔的艺术是真正超越时代，深入自我理性的现代艺术。
也有人把他称为三维空间图画的鼻祖。
拓扑学和莫比乌斯带的应用拓扑学是数学领域的一个分支，是研究集合对象在连续变换下保持不变的性质学问，保持不变的性质就是拓扑性质。
研究集合图形连续改变形状是的特征和规律。
莫比乌斯带是最有趣的但侧面问题之一。
莫比乌斯带(Möbius strip, Möbius band)是一种单侧、不可定向的曲面。
因A.F.莫比乌斯(August Ferdinand Möbius, 1790-1868)发现而得名。
当一条丝带被扭曲180度后，将两端连在一起，则丝带的正面和反面是相间地连接起来的。
得到的曲面就是麦比乌斯带。
关于麦比乌斯圈的单侧性，可如下直观地了解，如果给麦比乌斯圈着色，色笔始终沿曲面移动，且不越过它的边界，最后可把麦比乌斯圈两面均涂上颜色，即区分不出何是正面，何是反面。
对圆柱面则不同，在一侧着色不通过边界不可能对另一侧也着色。
单侧性又称不可定向性。
以曲面上除边缘外的每一点为圆心各画一个小圆，对每个小圆周指定一个方向，称为相伴麦比乌斯圈单侧曲面圆心点的指向，若能使相邻两点相伴的指向相同，则称曲面可定向，否则称为不可定向。
所以麦比乌斯圈是不可定向的。
埃舍尔多次表达数学上有趣的茂比乌斯带。
但这种曲面带的现象若由平面图画表达出来则毫不容易的，1963年的《红蚁》便是这种题材的作品，也是一件稀有的埃舍尔套色版画。
埃舍尔在他的著作中，指出特别偏好两色的外型结构，因为图形的本质需要，他才加上颜色。
在作品《红蚁》中，仔细看你会发现作品中的蚂蚁不是在相同的面上爬行而是在同一个面上爬行，可以一次性将丝带的每一个部分走完。
与此相同的还有作品《天鹅》《骑马的人》。
莫比乌斯带就像变魔术一样的神奇。
将莫比乌斯带沿纵向剪开，照理应得到两个圈儿，但是得到的是一个大的双侧曲面；而纵向将莫比乌斯带分成3等份，沿线剪开，得到一个小的莫比乌斯带与一个大的双侧双侧曲面相扣。
埃舍尔在他的艺术作品中不仅仅应用了完整的莫比乌斯带，还运用到了剪开的莫比乌斯带。
例如：《果皮》《婚姻的联结》《结》《鱼与球面螺旋》。
都是由剪开的莫比乌斯带组合而成的。
非常完美的将数学原理与美术结合镶嵌图形平面镶嵌图形让我想到了最简单的一个运用了镶嵌图形的物体—足球。
由五边形和六边形镶嵌而成组成一个球体。
还有地板上的三角形与正方形的镶嵌。
这些都只是简单的集合图形的镶嵌。
从埃舍尔的镶嵌图形的作品中我们看到的都是复杂的具象图形之间的完美的镶嵌，没有一点空隙。
《天使与恶魔》《鸟与鱼》都是镶嵌图形的经典之作。
本人最喜欢的镶嵌图形就是《天使与恶魔》，两个形象都如期之具象，完美的结合成一个圆圈，这两个形象都是彼此相对的，就像那句话：“天使与恶魔往往只有一步之遥。
”埃舍尔镶嵌图形是一种基于数学原理的图形绘画方式，大概可分为单体镶嵌、双体镶嵌、多体镶嵌和渐变镶嵌等四种。
平面镶嵌图形，埃舍尔写到：“在数学领域，平面规则分割已经从理论上获得了充分的研究……数学家打开了一扇通向无限可能性的大门，但是他们自身并没有进入其中看看。
他们特殊的禀赋使他们对如何打开这扇门的方式更感兴趣，而对隐藏在其后的花园不感兴趣。
”埃舍尔正是从一个艺术家的角度，利用数学家的发现，发掘了美，创造了美。
他的平面规则分割作品令许多数学家吃惊。
他在已知的17种抽象平面分割群组形式上创造了许多具象镶嵌图案。
这种把抽象的几何形状赋予具象的形象其实是一种复杂的图形思维过程。
要完成具象镶嵌图案的创作，对各个图形的思考必须要非常严谨，每个镶嵌图形既要考虑它的镶嵌可能性，又要赋予具体的形象，而且这种镶嵌是四面无限延伸的，这就必须要具备很强的图形联想能力。
（参考文献）。
极限思想的应用看上面第三幅镶嵌图形中，黑白灰三种壁虎相互镶嵌在一起，不仅仅形成了一幅完美的镶嵌图形，并且替下了数学中无穷小的极限思想。
或许正是由于他对数学、建筑学和哲学的过深理解，阻碍了他与同道的交流，他在艺术界几乎总是特立独行，后无来者。
他甚至至今无法被归入20世纪艺术的任何一个流派。
但是，他却被众多的科学家视为知己。
他的版画曾被许多科学著作和杂志用作封面，1954年的“国际数学协会”在阿姆斯特丹专门为他举办了个人画展，这是现代艺术史上罕见的。
也许，数学是他的艺术之魂，他没有故意表达的数学思想，而是在表达他自己的思想。
埃舍尔用他这种独特的理科思维结合他无与伦比的艺术禀赋，创作出广受欢迎的迷人作品。
参考文献：[1].《埃舍尔大师图典》.陕西师范大学出版社，2003年10月.[2].《魔镜—埃舍尔的不可能世界》作者：布鲁诺•恩斯特著上海科技教育出版社2002年10月[3].《[4].《好玩的数学：数学美拾趣（普及版）》作者：易南轩出版社科学出版社[5].《错视——设计一点通》作者：周景秋出版社：广西美术（2004-5-1）。