《电机设计》课件之七

三、一元插值 电机设计中有许多曲线和图表，都是一元函数，例如磁化曲线 BFe=f(HFe)、感应电机的饱和系数等。采用计算机计算函数值替代 查曲线或图表，程序框图如下：
输入数据x
i=0
输出结果
x(i)<x<x(i+1)?
是
否
i=i+1
按线性插值公式计算y(x)
四、二元插值 在设计中，也会遇到读取二元函数表示的曲线族（例如求谐波 漏抗中的∑s，该值既与q 有关也与β有关），即z=f(x,y)。对此可 以采用两次一元插值的办法予以解决。一元插值可以是线性的也 可以是抛物线的。如图所示。 插值步骤如下： z x xi z1 = z( i , j ) + ( z( i +1, j ) z(i , j ) ) yj+1 xi +1 xi
y yi+1 y yi
0
xi x xi+1
x
二、抛物插值 所谓抛物插值，是拿三个已知函数点来构造函数关系。 若已知曲线上顺序的三个点，x1，x2，x3及其所对应的函数 y1，y2，y3，则计算在区间x1<x<x3内的函数y(x)的插值公式如 下：
( x x2 )( x x3 ) ( x x1 )( x x3 ) ( x x1 )( x x2 ) y ( x) = y1 + y2 + y3 ( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x3 x1 )( x3 x2 )
求F ( Bt(i ) )
ABS ( F ( Bt(i ) )) < 标准 ?
是
求H t(i )并输出Bt( i )与H t( i )
否
x xi z 2 = z( i , j +1) + ( z( i +1, j +1) z(i , j +1) ) xi +1 xi z = z1 + y yj y j +1 y j
z
z(i+1,j+1)
z(i,j+1) z(i,j)
z2 z(i+1,j)
y yj z1
( z 2 z1 )
是
输出Bt(i +1) , H t(i +1)
(二）对分法 所谓“对分法”，本质上也是一种迭代法。先将被求解的方程作变形
Bt = Bt' 0 k s H t (1) ( 2) H t = f ( Bt ) H t = f ( Bt )是硅钢片的磁化曲线 将(1)式变形为 Bt' Bt Ht = 0ks (3) Bt' Bt 将(3) (2)得 F ( Bt ) = f ( Bt ) 0ks
H x = aBx + b ( B2 < B x )
Bx B1
Bx
0
Hx
Hx
Hx
H
§11-4 计算机辅助设计中常用的数值计算方法 概述 用数值计算的方法来改造原有的计算公式。例如，计算槽形比 较复杂的槽比漏磁导λs；计算饱和时的齿槽并联磁路等。 一、数值积分 介绍数值积分中的最简单的梯形法。 已知函数f ( x), 求在区间[a, b]上的积分.根据定积分的定义
(一）直线 令函数为：y=A+Bx，其中A、B为待定系数，取直线上的已 知两点(x1，y1)及(x2，y2)代入该式得：
y1 = A + Bx1 y2 = A + Bx2 由该方程解出A和B的值即确定了该线性函数
（二）抛物线 令方程为y=A+Bx+Cx2，其中A、B、C为待定系数，由曲线上使 用范围内的已知三点(x1，y1)，（x2，y2），（x3，y3）数据代入 该式得方程：
相 = Bt'
由H t = f ( Bt )得H t( i +1)
Bt(i ) = Bt(i +1) ; i = i + 1
由Bt = Bt' 0 k s H t 得Bt( i +1)
否
ABS ( Bt(i +1) Bt(i ) ) < 误差精度
当F ( Bt(i ) )值的绝对值小于设定 的精度, 则求解结束Bt(i )即为所求 的根 → 由Bt(i ) 得H t(i )
F (B )
求解过程如图所示： 程序框图如下：
BM = Bt( 0 )
0
BM
Bt(1) BN
B
输入Bt 求区间[ BM , BN ]; i = 0
BM + BN 2
对分 : Bt(i ) =
B x1 A B x2
其方程的表达式为y =
A
B
, 其中A , B为待定系数
解上式得B =
ln y1 ln y 2 B B , A = x1 y1或x2 y 2 ln x2 ln x1
（四）双曲线的变型表达
应用于磁化曲线的表达。
CB 可令H = , 其中C , D为待定系数, 取磁化曲线上的两点 ( D B) ( B1 , H1 )及( B2 , H 2 )代入上式得 : CB1 H1 = D B 1 CB2 H 2 = D B2 求解该方程得C , D值为 H H ( B B1 ) C= 1 2 2 H 2 B1 H1 B2 D= B1 B2 ( H 2 H1 ) H 2 B1 H1 B2
h
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x =b =a
用数值积分的方法可以计算出一般槽形的比漏磁导λs。公式为：
Ax 2 dx Ax 2 1 λs = ∫ ( ) 令f ( x) = ( ) , 及a = 0 , b = h应用数值积分公式即可求出λs A bx A bx 0
二、解非线性联立方程组 在电机设计中会遇到求解非线性方程组的情况。 例如，当齿部视在磁密Bt’数值大于1.8T，于是就有部分磁密 通过槽部，而使齿中的实际磁密Bt比Bt’小。 求齿部磁密Bt ，归结为求下列非线性方程组。
K dpν 2 N 对于分数槽(q = ,60 相带绕组), 有 : ∑ s = ∑ ( ) ν d ν ≠1 1 其中, 当d为奇数时ν = , = 1, 5, 7, , d 2 当d为偶数时ν = , = 1, 2, 4, 5, d 二、用相应公式模拟曲线
对硅钢片磁化曲线、其它计算过份复杂的曲线可以用较为简单 又较为精确的公式替代，称为公式化。 公式化的步骤是：先根据曲线形状确定公式类型，然后用待 定系数法在常用的范围内由曲线上的已知点求公式的系数。
第十一章
电子计算机在电机设计中的应用
§11-1 概述
实例讨论
bT1
Di1 Lef
利用计算机进行电机设计的程序可以分成以下三种类型： 1、设计分析；设计人员事先将估计好的若干设计参量，交给计 算机，按规定的程序步骤计算产品性能。对计算结果的评价及 设计方案的调整则由设计者决定。 2、设计综合；计算机根据给定的性能要求，自动地选择适当的 技术参数和结构尺寸，从而得出可行的设计方案。即由计算机决 定电机各设计参量的程序。 3、设计优化；对设计问题提出明确的数学模型，依据数学寻优 理论及优化方法，自动获得较优或最优的设计方案。 目前应用较多的是“设计分析” §11-2 曲线和图表的数学处理方法之一—插值法 对于有y=f(x)的函数关系的一条曲线，只提供有限个对应数据， 例如铁心的磁化曲线BFe=f(HFe)。如果要得到两相邻的离散点之间的 数据，则必须依据人为构造出的函数关系来确定，这就是插值法。 一、线性插值
每个小区间的面积Ai = f ( xi ) + f ( xi +1 ) = xi 2 ba = [ f ( xi ) + f ( xi +1 )] 2n 于是有：
f
∫
a
b
f ( x)dx ≈ ∑ Ai =
k =0
n 1
b a f ( x0 ) + f ( x1 ) [ + 2 n
0
f ( x1 ) + f ( x2 ) f ( x2 ) + f ( x3 ) f ( xn 2 ) + f ( xn 1 ) f ( xn 1 ) + f ( xn ) ] + ++ + 2 2 2 2 ba 1 1 = [ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn 1 ) + f ( xn )] n 2 2
给定n + 1个插值结点x0 < x1 < x2 < xn 及所对应的函数值y0 , y1 , y 2 , y n 则计算x点的函数值y ( x)的线性插值公式如下 : x xi ( yi +1 yi ) y ( x ) = yi + xi +1 xi 0 x ≤ x1 式中 i = j x j < x < x j +1 j = 1 ,2 , n 2 n 1 x > xn 1 上式含意是将整条曲线用分段的直线来替代, 分段越多, 显然已知点数越多, 则插值精度越高.
Bt = Bt' 0 k s H t H t = f ( Bt ) H t = f ( Bt )是硅钢片的磁化曲线
该方程组有两个未知量Bt和Ht。可以采用作图的办法来求解， 但精度较低，又比较麻烦。而用数值方法可以获得满意的结果。 （一）迭代法 迭代法的原理及过程如图所示。
先给定Bt的初值Bt
0
Y
xi
x
xi+1
x
二元插值示意图
§11-3 曲线和图表的数学处理方法之二—公式化 采用插值办法处理曲线，需要占用较多的计算机内存。如果有 可能找出函数关系式y=f(x)来表达原曲线，那么可以节省内存， 又可使程序简单。 一、恢复使用原始公式 例如在三相60°计算谐波漏磁导系数∑s的曲线是源于以下公式：