高等数学同济大学版第八章典型习题

第八章典型习题

一.求函数的表达式

1.

设z x y f =++，且当0y =时2z x =，则z = .

2.设22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝

⎭，则(),f x y = . 3.设(

)(,ln f x y x =，其中0x y >>，则(),f x y x y +-= .

二.求定义域 1.

ln 1z x y =--

2.u =

3.()2ln 21z y x =-+

三.求极限

1.0x y →→= .

2.00

sin lim x y xy x →→= . 3.()322300

1lim sin x y x y x y →→+= . 4.()1

00

lim 1xy x y xy →→+= . 四．求偏导数和全微分 1.设2,,y z f x x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭，则dz = . 2.设y z x =，则dz = .

3.设(),y

z yf xy e =，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂. 4.设(),,,y

z f u x y u xe ==，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂. 5.设函数(),z z x y =由方程5431z xz yz -+=确定，求dz .

6.设函数(),z z x y =由方程0z e xyz -=确定，求dz .

7.设函数(),z z x y =由方程z x y ze xe ye =+确定，求dz .

五.多元函数连续、可导、可微之间的关系

P72.总习题八4

六.多元函数微分法的几何应用

1.曲线sin ,1cos ,4sin 2t x t t y t z =-=-=在对应于2

t π=的点处的 切线方程为 ，法平面方程为 ，

2.曲面3z e z xy -+=在点()2,1,0P 处的切平面方程为 ， 法线方程为 ，

3.若函数()22,22425f x y x xy y x y =++++-有驻点()03,1M -， 且0xx M A f ''== ，0xy M B f ''== ，

0yy M C f ''== ，2B AC -= ，

由此可判定函数(),f x y 在0M 有 值.

4.设曲线22sin :sin cos cos x a t y b t t z c t ⎧=⎪Γ=⎨⎪=⎩，则它在对应4t π=的点处的法平面必（ ） (A)平行于ox 轴 (B)平行于oy 轴

(C)垂直于xoy 面 (D)垂直于yoz 面

5.曲面222426x y z -+=上点()2,2,3处法线方程是 .

七.条件极值

1.求曲面21z xy -=上到原点最近的点.

2.求平面1345

x y z ++=和柱面221x y +=的交线上到xoy 面距离最短的点. 3.要设计一个容量为0V 的长方体开口水箱，试问

水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？

4.已知曲面方程为()22210,0,0x y z x y z ++=≥≥≥.

⑴.求曲面上任一点()000,,P x y z 处的切平面方程；

⑵.求在曲面上哪一点的切平面与三坐标面构成的四面体体积最小.