基本不等式说课稿

必修五3、4 《基本不等式》说课稿
尊敬的各位评委、各位老师大家好！我叫汤吉珍，我说课的题目是《基本不等式》，我将从四个方面来阐述我对这节课的设计．
一、教材分析
不等式与在实际生活和相关学科的学习中有广泛的应用。

基本不等式承接具体不等式的解法和应用，更深层次的展示“不等式”与“等式”的关系，在不等式的证明和求最值中有广泛的应用。

基本不等式的证明过程中蕴含诸多的数学思想，-对于进一步探索不等式的证明和解决实际问题有重要的启发作用。

本节课应实现以下教学目标：
知识与技能使学生了解基本不等式的代数，几何背景及基本不等式的证明过程。

过程与方法引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，学会从不同的角度体验探索基本不等式，明确其简单应用。

培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观在不等式证明探索的过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，根据上述教学目标，本节课的教学重点是应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

本节课的学习难点是对基本不等式的理解和掌握，并利用它求最大值和最小值。

二、教法学法
为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：
1、通过赵爽弦图引入课题，为探究学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．
2、在不等式证明过程中创设情景引导学生积极思考给出科学严谨证明，并用代换和数形结合的方法得到基本不等式。

3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要学生深刻理解公式成立的条件，在解决实际问题中深化对公式的理解和应用。

在学法上我重视了：
1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过分析法证明和几何图例，来完成对基本不等式的证明。

2、让学生从问题中尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．
三、教学过程
应用数形结合的思想来证明基本不等式是本节课的重难点，为突破这一点，在教学设计上采用下列四个环节。

（一）、创设情景，提出问题
（问题情景—数学故事）如图是中国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”，他用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明。

以弦为边长的正方形ABCD是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。

每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为(b-a)，则面积为(b-a)2。

于是便可得如下的式子：
4×(ab/2）+(b-a)2=c2
化简后便可得：a2+b2=c2
上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

（教师活动）引导学生观察图像，提出问题：
问题1、比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积和,你会得到怎样的不等式? 问题2、当直角三角形的边长满足什么条件时，它们的面积相等？
问题3、通过问题你能得到什么结论，能否给出证明？
（设计意图）问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里，通过三个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．
（二）探究发现，得出结论
（学生活动）对于问题1学生不难给出答案。

b a 2
2>+
问题2引导学生得出结论并作出图像
当a=b 时 ab b a 222=+， 图像如右图。

问题3由学生总结得出结论并引导证明。

一般地，对于任意实数a,b.我们都有ab b a 222≥+,证明：因为 ()()0;02
2=-=>-≠b a b a b a b a 时当时，当 所以()时等号成立。

，当且仅当即b a ab b a b a =≥+≥-2,0222
（教师引导）类比代换，论证新知
对ab b a 22
2≥+（当且仅当b a =时等号成立）能否再进行一定的代换，得到类似的相关其他不等式呢？ 2222()a b ab a b +-=-
引导：分别以一个大于0的数如a ，b 替代22,b a 会如何呢？ 探究得到基本不等式ab b a ≥+2 ()0,0>>b a 当且仅当a=b 时等号成立。

分析基本不等式两边的特征，注意与前面不等式的区别，并证明（学生自行完成）。

问题4、我们已经从直观的图形感知了不等关系，从
代数角度利用不等式的性质及分析法证明了基本不等式，
说明了其科学性，那么在几何图形中有没有相关的几何解 释呢？给出图形请学生探究。

（学生探究）利用相似三角形得出CD 的长度ab DE ab x x
b a x x CD 2,=∴=⇒==令 圆内直径大于等于弦长即)0,0(2,>>≥+≥b a ab b a DE AB 所以当且仅当a=b 时等号成立。

（设计意图）从不同的方面理解不等式的实质。

培养学生的发散思维。

（教师活动）引导学生从代数角度理解基本不等式-----均值定理
总结：
几何意义；直径大于等于弦长
代数意义:：正数a 、b 的算术平均数不小于它们的几何平均数
（三）、自我尝试，运用结论
基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具。

见课本例题1
（教师活动）问题5、分别设矩形的长为x 米,宽为y 米，找出两个问题中的区别和联系作出答案并且总结得出你的结论。

（学生活动）
第一个问题中乘积xy 为常数100，求何时（x+y ）最小？
第二个问题中和式（x+y ）为常数，求何时乘积xy 最大？
应用基本不等式作出答案，和同学探讨可能得出的结论。

教师引导学生总结：
两个正数的乘积为定值，其和有最小值。

两个正数的和为定值时，其乘积有最大值。

应用基本不等式求最值时应注意三个关键：一正、二定、三相等。

（设计意图）在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生进一步加深对基本不等式
的理解，充分认识基本不等式的实用价值。

（学生活动）练习课本例题2，熟练应用基本不等式。

（教师活动）问题6、
？取何值时，取得最小值当问题情景的最小值是时，求证：当x x
x x :8160+
> 反馈练习：此值为多少？有最大值还是最小值？时，问当x
x x 160+< 的最大值求已知)1(,10x x y x -=<<
问题情境：如何构造基本不等式的应用条件?
（教师引导）8162)16(16;0,0-=-≤---=+>-∴<x
x x x x x x x 当且仅当时即416-=--
=-x x
x 等号成立。

此处要注意不等式应用的条件：“一正” 等号成立即当且仅当21)1(41)1()1(2)1(1=-=≤-⇒-≥-+=x x x x x x x x x 此处注意构造和式定值得出乘积的最大值。

（设计意图）进一步巩固不等式，深刻体会应用求最值时的条件和方法，培养学生的发散思
维和创造思维。

（四）、回顾反思，深化概念
（教师活动）给出一组题目，学生自行证明。

例1、已知P xy S y x R y x ==+∈,,、
，求证： （1）如果P 是定值，那么当且仅当y x =时，
S 的值最小，且最小值为P 2；
（2）如果S 是定值，那么当且仅当y x =时，
P 的值最大，且最小值为42
S 。

（学生活动）学生互相讨论，探求问题的证明过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.
（设计意图）过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对基本不等式认识的再次深化.
（教师活动）作业布置；
必做：阅读教材P110-111
教材P114练习1、2、3
选做：的最大值求已知)21(,2
10x x y x -=<<
（设计意图）通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．基于基本不等式内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题和拓展提高题．学生完成作业的形式为必做、选做两种，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．
四、教学评价
学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题串的设计可以让更多的学生主动参与，师生对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础．。