大学物理(第二版)中国矿业大学出版社

1.1有一质点沿着x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为23

4.52x t t =-，试求：⑴ 第2秒内的平均速度⑵ 第2秒末的瞬时速度⑶ 第2秒内的路程。

解：⑴ 当1t s =时，1 2.5x m = 当2t s =时，218162x m =-=平均速度为 ()212 2.50.5m v x x =-=-=-⑵第2秒末的瞬时速度()22966m s t dx

v t t dt

==

=-=-⑶ 第2秒内的路程：

（在此问题中必须注意有往回走的现象）当1.5t s =时，速度0v =，2 3.375x m =;当1t s =时，1 2.5x m = ;当2t s =时，32x m =;所以路程为：

3.375 2.5 3.3752 2.25m -+-=

1.8一艘正在沿直线行驶的电船，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，即dv/dt=-k v ∧2,试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为v=v0e ∧-kx 式中，v0是关闭发动机后的速度。 证明：由题可知：

2dv dx kv kv dt dt =-=- 所以有： d v k v d x

=- 变换为： dv

kdx v

=- 两边同时积分就可得到：00v

x v dv kdx v =-⎰⎰ 0

ln v v v kx =-即0

ln v kx v =- 所以有0k x

v v e -=

1.9迫击炮射击山顶上的一个目标，已知初速度为v0，抛射角为⊙,上坡与水平面成a 角，求炮弹的射程及到达山坡时的速度。 解：

炮弹的运动轨迹如上图的虚线所示，如图建立坐标轴,x y 。将初速

度0v 沿坐标轴分解可得0000cos sin x y

v v v v θ

θ=⎧⎨=⎩ ⑴ 加速度g 沿坐标轴分解可得

s i n

c o s x y

a g a g αα=-⎧⎨

=-⎩ ⑵ 在任意时刻t 的速度为 0000cos sin sin cos x x x y

y y v v a t v gt v v a t v gt θα

θα=+=-⎧⎨

=+=-⎩⑶任意时刻t 的位移为

22002200

11cos sin 22

11sin cos 22

x x y y x v t a t v t gt y v t a t v t gt θαθα⎧

=+=-⎪⎪⎨

⎪=+=-⎪⎩⑷ ⑴ 炮弹射程为0y =时，所对应的x 。 0y =对应的时刻02sin cos v t g θα=，代入可得()()220022

2sin cos cos sin sin 2sin cos cos cos v v x g g θθαθαθθααα

-+== ⑵ 将02sin cos v t g θ

α

=

代入方程组⑶可得

g

00000002sin cos sin cos 2sin tan cos 2sin sin cos sin cos x

y v v v g v v g v v v g v g θθαθθααθθαθ

α⎧

=-=-⎪⎪

⎨

⎪=-=-⎪⎩

速度的大小为

v =

s i n α=

c o s

=

= 方向可以由 t a n 2t a n c o t

y x

v v βαθ=

=-

()arctan 2tan cot βαθ=-

1.14一质点沿半径为0.1（m ）的圆周运动，其角坐标⊙可用下式来表示：⊙=2+4t ∧3 请问：（1）当t=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当⊙角等于多少时，其总加速度与半径成45°角。 解：3

24rad t θ=+，角速度为212rad d t dt

θ

ϖ== 角加速度为224

r a d s t β= ⑴ 当2s t =时，2

48rad s β=

2220.148230.4m n a r ϖ==⨯= 20.148 4.8m a r τβ==⨯=

⑵ 在t 时刻，法向加速度与切向加速度分别为

()2

22420.11214.4m s n a r t t ϖ==⨯= ()20.124 2.4m a r t t τβ==⨯=

总加速度与半径夹角为45时，n a a τ= 可得 3

1

0.1676

t =≈，即 2.167rad θ=

2.1 质量为2kg 的质点的运动方程为()()

22ˆˆ61331r t i t t j =++++，求证质点受恒力而运动，并求力的方向和大小，

采用国际单位制。

解：质点的运动方程为()(

)

22ˆˆ61331r t i t t j =++++，

那么通过对上式两边求导，便可得到速度()ˆˆ1263v t i t j

=++ 加速度为：ˆˆ126a i

j =+ 因此质点所受的力为ˆˆ2412N F m a i j ==+

2.2 质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，质点的运动方程为ˆˆcos sin r a t i

b t j ϖϖ=+，,,a b ϖ为正常数，⑴ 求质点的动量；⑵ 证明作用于质点的合力总指向原点。

解：⑴ 由质点的运动方程可得质点的速度为：ˆˆsin cos v a t i

b t j ϖϖϖϖ=-+