南通大学计科院胡彬老师论文

计算机图形学课程报告作者：专业：学号：完成日期：目录一Bezier简介 (3)1.1历史演变 (3)1.2研究背景和意义 (3)二Bezier知识概论 (4)2.1Bezier曲线 (4)2.1.1Bezier曲线的定义和性质 (4)2.1.2Bernstein基函数的性质 (5)2.2.3Bezier曲线的性质 (7)2.1.4 Bezier曲线的几何作图法及其应用 (8)2.2Bezier曲线算法 (8)2.2.1Bezier曲线的递归分割算法 (8)2.3Bezier曲线的拼接 (9)2.3.1Bezier曲线的升阶与降阶 (11)2.4Bezier曲线中的等周问题 (14)2.4.1等周问题的概述 (14)2.4.2等周问题的一些总结 (14)三Bezier应用和发展 (14)3.1应用 (14)3.2发展 (15)3.2.1求解最优化问题的常用方法 (16)3.2.2全局最优化方面的发展 (16)四总结与致谢 (16)本文总结 (16)致谢 (17)参考文献 (17)一Bezier简介1.1历史演变曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。

1963年美国波音公司的Ferguson提出用于飞机设计的参数三次方程；1962年法国雷诺汽车公司的Bézier于提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统UNISURF，此前de Casteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD 系统中有同样的设计，但因为保密的原因而没有公布；1964年Coons提出了一类布尔和形式的曲面；1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法；1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的Versprille研究了有理B样条曲线曲面，20世纪80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline，简称NURBS)；1991年国际标准组织(ISO)正式颁布了产品数据交换的国际标准STEP，NURBS是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面。

1.2研究背景和意义计算机辅助几何设计始兴于上世纪60年代，最初始于飞机、船舶的外形放样（Lofting）工艺。

在当时计算机发展的影响下，为了利用计算机更高效地进行设计，人们开始寻找研究曲线曲面的各种表示方法，其中最著名、最实用的技术当是由法国雷诺（Renault）汽车公司的工程师提出的Bezier技术和美国机械工程师教授Coons 提出的Coons技术（本文只涉及Bezier曲线，故只讨论Bezier技术）。

在大多情况下，描述产品外形的曲线只有大概形状或者只知道它所通过的一系列空间点列，这些点称为型值点，这类曲线叫自由曲线；而计算机辅助几何设计就是研究自由曲线的表示、设计、显示、分析与综合以及处理等问题。

在Bezier曲线的表示中，预先给定一批控制顶点，通过这些控制顶点生成Bezier曲线，其形状当然由控制顶点来控制，当然形状的改变也受这些控制顶点位置改变的影响，因此我们可以通过这些顶点的位置改变来调控曲线的形状。

在工程设计和科学实验当中，我们经常要设计或描绘一些不规则的曲线，当利用计算机对这些不规则曲线进行表达、分析和研究时首要的任务就是对特定的不规则曲线要建立一个数学模型去描述它，因为在计算机内部图是以二进制的形式存贮着。

一般，碰到的实际问题有以下三种情况：(1)由已知的一系列准确的数据点来定义曲线，也就是说，要求曲线必须经过所有的数据点。

一般，经常采用多项式插值法，例如样条方程来解决这个问题。

(2)给定一些离散的数据点，这些数据点仅是某些未知真实值的近似数据。

要求用一条曲线来指出这些数据点的正确趋势。

这条曲线可能只通过一部分数据点，或根本不通过任何数据点。

根据实验或观察所测定的近似的有时是随机的数据来画出曲线，就属这种情况。

一般要用曲线拟合的方法去逼近这些数据点。

(3)在工程中设计曲线轮廊时，有时先给出控制曲线的特征多边形，然后再用参数曲线去逼近它，这种方法有易于控制曲线趋向的许多优点，在工程实际中用得很多。

Bezier曲线方程，就是其中常见的一种方法。

二Bezier知识概论2.1Bezier曲线2.1.1Bezier曲线的定义和性质Bezier曲线的定义在空间给定n+1个控制点，其位置矢量表示为P i（i= 0, 1, …, n）。

可以逼近生成如下的n次Bezier曲线：其中，称为伯恩斯坦（Bernstein）基函数，它的多项式表示为：依次用直线段连接相邻的两个控制点Pi，Pi+1，（i = 0, 1, …, n –1），便得到一条n边的折线P0P1P2…Pn，将这样一条n边的折线称为Bezier控制多边形（或特征多边形），简称为Bezier多边形。

Bezier曲线和它的控制多边形十分逼近，通常认为控制多边形是对Bezier 曲线的大致勾画，因此在设计中可以通过调整控制多边形的形状来控制Bezier曲线的形状。

1．一次Bezier曲线（n=1）一次多项式，有两个控制点，其矩阵表示为：显然，它是一条以P0为起点、以P1为终点的直线段。

2．二次Bezier曲线（n=2）二次多项式，有三个控制点，其矩阵表示为：显然，它是一条以P0为起点、以P2为终点的抛物线。

3．三次Bezier曲线（n=3）三次多项式，有四个控制点，其矩阵表示为：2.1.2Bernstein基函数的性质1．正性2．权性（规范性）Bernstein多项式之和恒等于1，表示为3．对称性4．最大值5．递推性6．导函数2.2.3Bezier曲线的性质1．端点性质切矢量Bezier曲线和特征多边形的首边，末边相切，模长分别等于首，末边长的n倍。

n为Bezier曲线的幂次二阶导失Bezier曲线在起点和终点处的二阶导数取决于与端点最靠近的两段折线段或最靠近的3个控制顶点。

2．对称性可以从首点开始构造曲线也可以从末点开始构造曲线，虽然参数化方向相反，但形状相同。

3．凸包性由于Bernstein基函数的正性和权性，曲线上任一点的位置是控制点位置的加权和，在几何上曲线上各点落在顶点构成的凸包内，不会发生震荡。

4．几何不变性Bezier曲线的形状仅与控制多边形各顶点的相对位置有关，而与坐标系的选择无关。

2.1.4 Bezier曲线的几何作图法及其应用Bezier曲线的几何作图法给定特定的参数u,在特征多变形的每一条边上确定一个分割点，使分割后的两线段之比为u:(1-u)，由此可得分割点的点失为：上式中上标1表示第一次分割，第一次分4割得到n个分割点，由此组成新的多变形，其边数为n-1.根据相同的过程分割n-1次后，仅剩两个顶点对再分割一次就得到点，该点为Bezier曲线上跟参数u相对应的点，为曲线在处的切线。

2.2Bezier曲线算法2.2.1Bezier曲线的递归分割算法2.3Bezier曲线的拼接曲线连接处若仅要求一阶和二阶连续性，则可以用图解法求得：其中：两曲线应满足一阶连续性要求：曲线P(u)在末端P m处的一阶导矢：曲线Q(w)在首端Q0处的一阶导矢：要达到一阶连续，则需满足：由上，可得：由此，我们可知两曲线拼接时，要达到一阶连续，P m(=Q0)与Q1必须共线则顶点P m-1，两曲线应满足二阶连续性要求：分别计算P(u)与Q(w)在拼接处的二阶导失：二者应满足的关系：两曲线应满足曲率连续性要求时：两曲线拼接并满足曲率连续性要求时的必要条件：综上，得：其表示的几何意义：P m-2，P m-1，P m(=Q0)，Q1和Q2五者共面2.3.1Bezier曲线的升阶与降阶升阶公式升阶后曲线的三次表达式有理Bezier曲线二次有理Bezier曲线用二次有理Bezier曲线表示圆弧2.4Bezier曲线中的等周问题2.4.1等周问题的概述两曲线在它们的周长相等时称为等周。

在给定长为L的曲线中，求所围面积为最大曲线，这就是经典的等周问题，也称为特殊等周问题，这个问题的答案为圆周。

很多学者对这个问题给出了不同的解法和证明。

2.4.2等周问题的一些总结封闭Bezie1r曲线中的等周问题研究了在该曲线周长和次数给定的情况下，求其所围区域的最大面积并返回其控制点，然后绘制出该极值曲线，通过拉格朗日函数求条件极值的知识以及Bezier曲线的性质提出了解决n次封闭Bezier曲线中等周12.2问题的算法。

该算法的复杂度主要在于计算特征值和特征向量上，误差的出现是在求控制点的过程中。

三Bezier应用和发展3.1应用Bezier曲线是应用于二维图形应用程序的数学曲线，翻译成中文是“贝塞尔曲线”。

曲线的定义有四个点：起始点、终止点（也称锚点）以及两个相互分离的中间点。

滑动两个中间点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。

贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。

在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。

贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”，也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。

1962年，法国数学家PierreBézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，也就是“贝塞尔曲线”。

由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。

即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。

这一点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。

使用贝塞尔工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。

贝塞尔曲线是计算机图形图像造型的基本工具，是图形造型运用得最多的基本线条之一。

它通过控制曲线上的四个点（起始点、终止点以及两个相互分离的中间点）来创造、编辑图形。

其中起重要作用的是位于曲线中央的控制线。

这条线是虚拟的，中间与贝塞尔曲线交叉，两端是控制端点。

移动两端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率（弯曲的程度）；移动中间点（也就是移动虚拟的控制线）时，贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。

注意，贝塞尔曲线上的所有控制点、节点均可编辑。

这种“智能化”的矢量线条为艺术家提供了一种理想的图形编辑与创造的工具。

“贝赛尔”工具在photoshop中叫“钢笔工具”；在CorelDraw中翻译成“贝塞尔工具”；而在Fireworks中叫“画笔”，它是用来“画线”造型的一种专业工具。

用“贝塞尔”工具无论是画直线或是曲线，都非常简单，随手可得。