关于抛物线焦点的公式
抛物线的焦点到准线的距离公式
抛物线的焦点到准线的距离公式在我们学习数学的奇妙旅程中，抛物线可是个相当重要的角色。
今天咱们就来好好唠唠抛物线的焦点到准线的距离公式。
先来说说啥是抛物线。
想象一下，你站在操场上，手里拿着一个装满水的喷壶，用力一挤，水喷出去形成的曲线，那就是抛物线的一种。
或者是投篮时，篮球在空中划过的轨迹，也可能是抛物线。
那抛物线的焦点到准线的距离公式到底是啥呢？其实就是 p = 2|y₀| （其中 y₀是抛物线顶点的纵坐标）。
这个公式看起来可能有点抽象，但咱们结合实际例子来理解一下。
就拿一个简单的抛物线方程 y = 2x²来说。
先把它变成标准形式 x² = 1/2 y ，这样一看，p = 1/4 。
这就意味着焦点到准线的距离是 1/4 。
我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生怎么都理解不了。
我就带着他来到操场，拿了个喷水壶，现场给他演示。
我让他仔细观察水喷出的轨迹，然后一点点给他解释抛物线的形状，以及焦点和准线的位置。
他一开始还是一脸懵，但是经过反复的观察和我的讲解，他终于恍然大悟，那一瞬间他脸上露出的那种兴奋和满足的表情，让我觉得当老师真是太有成就感了。
再比如说，在解决一些实际问题的时候，比如计算抛物线型的拱桥的相关参数。
知道了焦点到准线的距离，就能更准确地算出桥的跨度、高度等重要数据。
总之，抛物线的焦点到准线的距离公式虽然看似简单，但它在解决数学问题和实际应用中都有着非常重要的作用。
只要咱们多结合实际例子，多动手画一画，多思考，就一定能把它掌握得牢牢的。
所以啊，同学们在学习这个知识点的时候，别被它的外表吓到，多琢磨琢磨，多联系实际，相信大家都能轻松搞定！。
抛物线交点式公式_抛物线公式大全
抛物线交点式公式_抛物线公式大全抛物线是一种常见的曲线形式，它在数学以及物理等领域广泛应用。
抛物线可以用多种方式表示，其中一种常见的方式是使用交点式公式。
下面将详细介绍抛物线的交点式公式以及其他常见的抛物线公式。
1.抛物线的交点式公式抛物线的交点式公式是通过已知的抛物线上的两个点来确定抛物线的方程。
假设已知抛物线上的两个点为P(x₁,y₁)和Q(x₂,y₂)，那么抛物线的交点式公式可以表示为：y-y₁=(((xₐ-x₁)/(x₁-x₂))*(x-x₁))*((xₐ-x₂)/(x₁-x₂))其中，yₐ是抛物线的顶点的y坐标。
这个公式可以用来计算抛物线上任意一点的y坐标。
通过这个公式，我们可以确定抛物线的方程，进而计算抛物线与其他直线的交点。
2.抛物线的一般式公式抛物线的一般式公式是抛物线方程的最一般形式，可以表示为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数。
这个公式可以用来描述任意形状的抛物线，通过调整a、b、c的值可以改变抛物线的形状、位置等属性。
3.抛物线的顶点式公式抛物线的顶点式公式是通过抛物线的顶点来表示抛物线的方程。
抛物线的顶点(xₛ,yₛ)可以通过以下公式计算得到：xₛ=-b/(2a)yₛ=c-(b²/(4a))这个公式可以用来计算抛物线的顶点坐标。
通过抛物线的顶点坐标，我们可以得到抛物线的方程。
4.抛物线的焦点和准线抛物线的焦点和准线是抛物线的两个重要属性。
焦点是定义抛物线的一个特殊点，它位于抛物线的轴线上，与抛物线的顶点相等距离。
焦点的坐标可以通过以下公式计算得到：焦点坐标：(xₛ+(1/(4a)),yₛ+(1-(b²/(4a)²))/(4a))其中，xₛ和yₛ是抛物线的顶点坐标。
准线是与抛物线对称的一条直线。
准线的方程可以通过以下公式计算得到：准线方程：y=yₛ-(1/(4a))5.抛物线的标准形式抛物线的标准形式是指当抛物线的顶点位于原点(0,0)时的抛物线方程形式。
抛物线焦点弦公式
1.抛物线焦点弦公式是什么？
答：焦点弦公式2p/sina^2。
抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
在数学中，抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U 形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。
它适用于几个表面上不同的数学描述中的任何一个，这些描述都可以被证明是完全相同的曲线。
抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。
焦点并不在准线上。
抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。
抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。
第三个描述是代数。
抛物线焦点弦的性质所有公式推导
抛物线焦点弦的性质所有公式推导
抛物线焦点弦的性质在数学中是一项十分重要的内容，它涉及抛物线的函数特性和不定积分的求值，可以用来求解空间内特定形状的抛物线面积。
那么，抛物线焦点弦的性质的基本公式有哪些，如何推导呢？
最基本的抛物线焦点弦性质的公式是：抛物线面积S=2a（∫ sin ar+cos ar dr），其中a是焦点到原点距离，r是弦距离（由焦点渐近该弦的最近点）。
其推导方法是：首先设定抛物线函数为y=ax2+bx+c，其中a,b,c均为实数。
将抛物线延长为一直线y=x则可得到对应的抛物线焦点弦的性质以及两点之间的关系：一个点在x轴上，一个点在y轴上，两点之间的垂直距离即为抛物线焦点到原点的距离a，弦距离取负值即为x-c，总之两点之间垂直距离等于x-c。
接着，抛物线两边都可以用极坐标来表示，即r=x-c，θ=arcsin（r/a），令面积s积分，即可得出抛物线焦点弦的性质的基本公式：s=2a（∫sin ar+cos ar dr）。
从上述的推导来看，抛物线焦点弦的性质公式熟练掌握，可以获得任意空间内特定形状的抛物线面积求解，可以给我们的生活和娱乐活动带来更多惊喜和乐趣，可谓是大有裨益。
抛物线焦点准线公式
抛物线焦点准线公式抛物线焦点和准线1. 抛物线的定义和性质•抛物线是一个二次函数的图像，其数学定义为：y=ax2+bx+ c•抛物线具有关于对称轴的对称性，即，对称轴的方程为：x=−b2a•抛物线开口的方向由二次项系数a的正负决定。
当a<0时，抛物线开口向下，当a>0时，抛物线开口向上。
2. 抛物线焦点的计算公式•焦点是指抛物线上的点，其到抛物线准线的距离与到抛物线的任意一点的距离相等。
焦点的坐标为F(ℎ,k)。
•焦点的纵坐标可以通过以下公式计算得到：k=c−b 2−1 4a•焦点的横坐标可以通过对称轴的横坐标得到。
例子：考虑抛物线y=2x2−4x+1。
首先，我们可以通过求对称轴的横坐标来确定焦点的横坐标。
由于对称轴方程为x=−b2a，代入抛物线的系数，可得对称轴的横坐标为x=−−42(2)=1。
接下来，我们可以使用上述公式计算焦点的纵坐标。
代入抛物线的系数和对称轴的横坐标，可得焦点的纵坐标为k=1−(−4)2−14(2)=12。
因此，抛物线y=2x2−4x+1的焦点坐标为(1,12)。
3. 抛物线准线的计算公式•抛物线准线是与抛物线相切且与对称轴垂直的直线。
准线的方程为：y=c−b 2−1 4a例子：考虑抛物线y=x2−2x+3。
根据公式，我们可以计算准线的方程：y=3−(−2)2−14(1)=3−4−1 4=3−34=94。
因此，抛物线y=x2−2x+3的准线方程为y=94。
总结•抛物线是一个二次函数的图像，具有关于对称轴的对称性。
•焦点是抛物线上的一个点，其到准线的距离与到抛物线上任意一点的距离相等。
•焦点的计算可以通过公式来得到，其横坐标由对称轴决定，纵坐标由抛物线的系数计算得到。
•准线是与抛物线相切且与对称轴垂直的直线，其方程可以由抛物线的系数计算得到。
焦点准线抛物线公式
焦点准线抛物线公式
嘿，朋友！今天咱来聊聊焦点准线抛物线公式那些事儿。
抛物线的标准方程有好多呢，比如y² = 2px，这里的 p 可重要啦！就好像是抛物线的一个魔法数字。
哎呀，这就好比是一个游戏里决定角色能力的关键数值一样！比如说，y² = 4x，那这里的 p 就是 2 啦。
然后焦点坐标就是(p/2,0)，也就是(1,0)呀。
准线方程呢，就是 x = -p/2，那就是 x = -1 嘛。
这多清楚呀！
还有x² = 2py 这种呢，那焦点坐标就是(0,p/2)，准线方程就是 y = -p/2。
咱举个例子，x² = 4y，那 p 就是 2 咯，焦点不就是(0,1)，准线就是y = -1 嘛。
你说是不是很有趣呀？
这些公式就像一把钥匙，能打开抛物线这个神秘世界的大门哟，让我们更好地了解它的奥秘！你现在是不是对焦点准线抛物线公式更清楚一点啦？。
有关抛物线焦半径与焦点弦公式的推导及其应用
则f ′()t =-8()4t 2-12t +1()4t 2-12，当t ∈()-12,3-222时，f ′()t <0，函数单调递减；当t ∈()3-222,12时，f ′()t >0，函数单调递增，所以f ()t min =f()3-222=6+42.虽然无法直接运用简单基本函数的性质解答二元函数最值问题，但是我们可以通过换元、构造新函数模型的方式，将问题转化为单变量函数最值问题，再利用简单基本函数的性质、导数的性质解题.解法2.设t =y x ∈()-12,12，则3x 2-2xy x 24-y 2=12-8⋅yx 1-4()y x2=84t 2-1t -32，可将y x 看作双曲线x 24-y 2=1上的点()x,y 与原点()0,0连线的斜率.当直线y -1=k ()x -32与曲线相切时，斜率k 有最大值，此时k =12-82，所以3x 2-2xy 的最小值为812-82=6+42.通过换元将已知关系式变形，并把已知关系式看作双曲线，将y x 看作双曲线x24-y 2=1上的点()x ,y 与原点()0,0连线的斜率，通过讨论直线与曲线的位置关系，确定直线斜率k 的最值，从而求得问题的答案.总之，解答二元函数最值问题，需根据不等式的结构特征构造不等关系，将问题进行合理的转化，才能顺利求得最值.从上述分析可以看出，从不同的角度思考问题，可以得到不同的解法，但无论采用何种方法，都需灵活利用转化思想、方程思想、数形结合思想来辅助解题.（作者单位：江苏省蒋垛中学）解题宝典若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则以这两个点为端点的线段称为抛物线的焦点弦，如图1中的线段AB .以抛物线上的一点及抛物线的焦点为端点的线段称为抛物线的焦半径，如图1中的线段AF 、BF .求焦点弦长和焦半径问题在抛物线试题中比较常见.本文主要谈一谈有关抛物线焦半径与焦点弦公式的推导及其应用.一、抛物线的焦半径公式如图1，已知直线AB 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ,交抛物线于A ,B 两点，且点A (x 1,y 1)在x 轴的上方，点B (x 2,y 2)在x 轴的下方，直线AB 的倾斜角为α，则||AF =x 1+p 2=p 1-cos α，||BF =x 2+p 2=p1+cos α.证明：作抛物线的准线l :x =-p2,交x 轴于点P ，过点A 作l 的垂线，垂足为N .由于点A 是抛物线上的点，则||AF =||AN .而点A ,N 的横坐标分别是x 1,-p 2,所以||AN =x 1-()-p 2=x 1+p2,故||AF =x 1+p 2，同理可证||BF =x 2+p2.再证||AF =p 1-cos α，||BF =p1+cos α.过点A 作AM ⊥x 轴于M,则四边形AMPN 是矩形，可知||AF =||AN =||PF +||FM ,因为点F ()p2,0,所以||PF =p .在ΔAFM 中，||FM =||AF cos α,所以||AF =p +||AF cos α,得||AF =p1-cos α.同理可得||BF =p1+cos α.当直线AB 的倾斜角为钝（直）角时，上述结论也成立.在运用抛物线的焦半径公式解题时需注意：（1）焦点弦的端点A 、B 分别在x 轴的上方和下方，且焦半径的端点在x 轴上方和下方时所用的公式不一样；（2）当不知道直线AB 的倾斜角时，通常用点A 、B 的横坐标及p 来表示抛物线的焦半径；（3）当已知直线的倾斜角时，可通过倾斜角α和p 来求出抛物线的焦半径.例1.若点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，直线l 过点F ，交抛物线于A ,B 两点，且 AF =3FB ,则直线l 的倾斜角图143解题宝典为____.解：作出如图2所示的图形，由 AF =3FB 知||AF =3||FB ,由抛物线的方程知p =2,设直线l 的倾斜角为α,则||AF =21-cos α,||BF =21+cos α,可得21-cos α=3×21+cos α,解得cos α=12,因为α∈(0,π),所以α=π3，即直线l 的倾斜角为π3.由于直线l 过抛物线的焦点，所以要求直线l 的倾斜角，可直接利用抛物线的焦半径公式||AF =p1-cos α、||BF =p1+cos α，建立关于α的关系式，即可解题.二、抛物线的焦点弦公式已知直线l 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，且和抛物线交于两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的倾斜角为α,则弦AB 的长||AB =x 1+x 2+p =2psin 2α.证明：先证||AB =x 1+x 2+p .因为点A ,B 是抛物线上的点，所以根据抛物线的定义，可得||AF =x 1+p2，||BF =x 2+p2,所以||AB =||AF +||BF =x 1+x 2+p .再证||AB =2psin 2α.由于||AF =p 1-cos α,||BF =p1+cos α,所以||AB =||AF +||BF =p 1-cos α+p1+cos α=p (1+cos α)+p (1-cos α)(1-cos α)(1+cos α)=2psin 2α.综上所述，焦点弦AB 的长为||AB =x 1+x 2+p =2psin 2α.当不确定焦点弦所在直线的倾斜角时，通常可使用公式||AB =x 1+x 2+p 来求焦点弦长；若已知焦点弦所在直线的倾斜角，就要用公式||AB =2psin 2α来表示焦点弦长.例2.设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点，设O 为坐标原点，则S ΔOAB =_____.解：由抛物线C 的方程知2p =3,而焦点弦所在直线的倾斜角α=30°,则||AB =3sin 230°=12,可知原点到直线AB 的距离d =||OF ⋅sin30°=34×12=38,故ΔOAB 的面积为S ΔOAB =12×12×38=94.由于已知过F 的直线的倾斜角，所以可直接根据抛物线的焦点弦公式||AB =2psin 2α来求抛物线的焦点弦长||AB .再根据三角形的面积公式进行求解即可.值得注意的是，抛物线的开口方向不同，参数p 的值和符号不同，所对应的抛物线的焦半径公式和焦点弦公式也会有所不同.上述两个公式都是针对开口向右的抛物线，即抛物线的方程为y 2=2px (p >0)而言的.开口向其他方向的抛物线的焦点弦、焦半径公式如下表所示.同学们在运用抛物线的焦半径公式和焦点弦公式时，要关注抛物线的开口方向和参数p 的值，再选用与之相应的公式进行求解.（作者单位：陕西省神木市职业技术教育中心）标准方程图形焦半径公式焦点弦公式y 2=2px (p >0)||AF =x 1+p 2=p1-cos α,||BF =x 2+p 2=p1+cos α.||AB =x 1+x 2+p y 2=2px (p <0)||AF =p 2-x 1=p 1+cos α,||BF =p 2-x 2=p 1-cos α.||AB =p -()x 1+x 2x 2=2yp (p >0)||AF =y 1+p 2=p 1-sin α,||BF =y 2+p 2=p 1+sin α.||AB =y 1+y 2+p x 2=2yp (p <0)||AF =p 2-y 1=p1+sin α,||BF =p 2-y 2=p 1-sin α.||AB =p -()y 1+y 2图244。
圆锥曲线焦点公式
圆锥曲线焦点公式
圆锥曲线焦点公式可用于确定圆锥曲线上任意一点到焦点的距离。
根据圆锥曲
线的类型，焦点公式会有所不同。
对于椭圆、抛物线和双曲线，其焦点公式可分别表示为：
椭圆的焦点公式：c = √(a² - b²)
其中，c表示焦距，a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
抛物线的焦点公式：焦点为(x = h + p, y = k)，其中(h, k)为抛物线的顶点，p为
焦半径。
双曲线的焦点公式：c = √(a² + b²)
双曲线有两个焦点，分别位于双曲线的主轴上，c表示焦距，a和b分别表示
双曲线的长半轴和短半轴。
这些焦点公式有助于我们确定圆锥曲线上各个点与其对应焦点之间的距离，从
而更好地理解和分析圆锥曲线的性质和特点。
需要注意的是，焦点公式仅适用于标准形式的圆锥曲线，在一些特殊的情况下，可能需要根据具体曲线方程进行推导和计算。
抛物线的所有知识点
抛物线的所有知识点一、抛物线的定义。
平面内，与一定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
二、抛物线的标准方程。
1. 当抛物线的焦点在x轴正半轴上时，设其方程为y^2=2px(p>0)，焦点坐标为((p)/(2),0)，准线方程为x = -(p)/(2)。
2. 当抛物线的焦点在x轴负半轴上时，方程为y^2=-2px(p>0)，焦点坐标为(-(p)/(2),0)，准线方程为x=(p)/(2)。
3. 当抛物线的焦点在y轴正半轴上时，方程为x^2=2py(p>0)，焦点坐标为(0,(p)/(2))，准线方程为y = -(p)/(2)。
4. 当抛物线的焦点在y轴负半轴上时，方程为x^2=-2py(p>0)，焦点坐标为(0,-(p)/(2))，准线方程为y=(p)/(2)。
三、抛物线的性质。
1. 对称性。
- 对于抛物线y^2=2px(p>0)，关于x轴对称；对于x^2=2py(p>0)，关于y轴对称。
2. 顶点。
- 四种标准方程下的抛物线顶点都为坐标原点(0,0)。
3. 离心率。
- 抛物线的离心率e = 1。
4. 范围。
- 对于y^2=2px(p>0)，x≥slant0，y∈ R；对于y^2=-2px(p>0)，x≤slant0，y∈R；对于x^2=2py(p>0)，y≥slant0，x∈ R；对于x^2=-2py(p>0)，y≤slant0，x∈ R。
5. 焦半径公式。
- 对于抛物线y^2=2px(p>0)，抛物线上一点P(x_0,y_0)到焦点F((p)/(2),0)的距离| PF|=x_0+(p)/(2)。
- 对于y^2=-2px(p>0)，抛物线上一点P(x_0,y_0)到焦点F(-(p)/(2),0)的距离| PF|=-x_0+(p)/(2)。
- 对于x^2=2py(p>0)，抛物线上一点P(x_0,y_0)到焦点F(0,(p)/(2))的距离|PF|=y_0+(p)/(2)。
抛物线的焦半径公式推导
抛物线的焦半径公式推导
抛物线焦半径的公式推导：从几何角度出发，求出抛物线的焦半径。
抛物线的焦半径是表征不同函数在焦点处的曲率的量度，它也是椭圆周长的函数。
抛物线的焦半径一般可以用“焦点法则”和“极点法则”分别计算。
首先需要计算抛物线的极坐标系F1(α,β)，其中α和β可以用如下公式
表示：
α=acostθ+bsinθ
β=acostθ-bsinθ
其中θ是抛物线上任意一点夹角，a和b分别是抛物线上某点到焦点F1的横纵坐标。
然后通过极点法则求取抛物线的焦半径为：RF1=1/α’(α)，其中α’(α)表示抛物线的微分，α的三角函数中也就是其导数。
同样，抛物线的焦半径可以使用焦点法则求取，公式为：
RF1={2a2}/({2a2-2b2}) ，其中的a，b依然为抛物线上所求点到焦点的
距离。
注意，抛物式的焦半径公式只有抛物线的轨迹为标准二次抛物函数时才有效，否则无效。
因此，若要推导非标准两次抛物函数的焦半径，必须先将它们换成标准抛物函数来求解。
经过抛物线焦点的弦长公式
经过抛物线焦点的弦长公式1. 抛物线标准方程及焦点坐标回顾。
- 对于抛物线y^2=2px(p>0)，其焦点坐标为((p)/(2),0)。
- 对于抛物线y^2=-2px(p>0)，其焦点坐标为(-(p)/(2),0)。
- 对于抛物线x^2=2py(p>0)，其焦点坐标为(0,(p)/(2))。
- 对于抛物线x^2=-2py(p>0)，其焦点坐标为(0,-(p)/(2))。
2. 经过抛物线y^2=2px(p>0)焦点的弦长公式推导。
- 设过焦点((p)/(2),0)的直线方程为y = k(x-(p)/(2))（当直线斜率存在时），设直线与抛物线的交点为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。
- 将直线方程代入抛物线方程y^2=2px得：[k(x - (p)/(2))]^2=2px。
- 展开得k^2(x^2-px+frac{p^2}{4}) = 2px，即k^2x^2-(k^2p +2p)x+frac{k^2p^2}{4}=0。
- 由韦达定理得x_1 + x_2=frac{k^2p + 2p}{k^2}=p+(2p)/(k^2)。
- 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。
对于y^2=2px(p>0)，准线方程为x = -(p)/(2)。
- 弦长| AB|=x_1+(p)/(2)+x_2+(p)/(2)=x_1 + x_2 + p。
- 把x_1 + x_2=p+(2p)/(k^2)代入得| AB| = 2p+(2p)/(k^2)。
- 当直线斜率不存在时，过焦点((p)/(2),0)的直线方程为x=(p)/(2)，代入y^2=2px得y=± p，此时弦长| AB| = 2p，也满足| AB| = 2p+(2p)/(k^2)（当k→∞时）。
- 若设直线的倾斜角为θ（θ≠(π)/(2)），k = tanθ，则弦长| AB|=(2p)/(sin^2)θ。
抛物线焦点三角形的面积公式
抛物线焦点三角形的面积公式
1、有一边在坐标轴上：S=1/2xa-xb×yc，有一边与坐标轴（x轴）平行：S=1/2xa-xb×yc-ya。
（得出结论）
2、抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
（原因解释）
3、抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
（内容延伸）抛物线焦点三角形面积公式
P²／2Sina。
任意抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点做抛物线的切线l1，l2相交于P点。
那么△PAB称作阿基米德三角形。
该三角形满足以下特性：
1、P点必在抛物线的准线上
2、△PAB为直角三角形，且角P为直角
3、PF⊥AB（即符合射影定理）
另外，对于任意圆锥曲线（椭圆，双曲线、抛物线）均有如下特性
抛物线焦点三角形面积公式
焦点三角形面积=b*b*tan(r/2)(其中b为短半轴长，r表示椭圆周角)设焦点为f1，f2，椭圆上任意点为a，设角f1af2为角r推导方式是设三角形另外一点是a，af1+af2=2aaf1向量-af2向量=f2f1向量。
两式都两边平方再整理得mn=2b^2/(1-cosa)(0度可以不考虑)面积就是1/2mnsina，把上面带入即得。
{注：m，n为af1和af2的长}。
抛物线焦点弦性质很全
五、 CFD 900
CFO FCA AFC DFO FDB BFD CFO DFO AFC BFD 即有CFD AFC BFD
CFD 900
六、抛物线的焦点三角形的面积公式
S AOB
p2
2sin
S AOB
SAOF
SBOF
1 2
OF
y1
1 OF 2
y2
1 2 OF y1 y2
kMA kMB
2 py1 y12 p2
2 py2 y22 p2
kMA kMB
2 py1 y12 y1 y2
2 py2 y22 y1 y2
0
kMA kMB
MA, MB的倾斜角互补，即 AMF BMF
设：x my p ，代入y2 2 px可得
F
2
y1 y2 2 pm, y1 y2 p2
y1 y2 y1 y2 2 4 y1 y2 2 p m2 1
又k AB
tan
1 m
, 则m
1
tan
y1 y2 2 p
1
tan 2
1
2p
sin
SAOB
1 2
OF
y1 y2
1 p 2p
（1）若焦点在 x轴上，则 x1x2
p2 4
, y1 y2
p2
（2）若焦点在 y轴上，则 y1 y2
p2 4
, x1x2
p2
四、以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线
证明：
MM1
1 2 ( AA1
BB1 )
1 ( AF BF ) 2
1 AB 2
即有：AM1B 900
引申：以焦半径为直径的圆与y轴相切（学生完成）
2 2 sin
抛物线圆常用考点公式
抛物线圆常用考点公式抛物线和圆是数学中非常重要且常见的图形，其相关公式是学习和理解这些图形的基础。
本文将详细介绍抛物线和圆的常用考点公式，包括它们的定义、性质和相关定理。
一、抛物线抛物线是指平面上点到定点的距离等于点到直线的距离的轨迹。
距离定点距离的一根直线称为准线，准线上的一点称为焦点。
抛物线的定义方程是：y = ax² + bx + c (a ≠ 0)其中a、b、c是常数。
1.抛物线的标准方程通过平移和旋转可将抛物线的一般方程转换为标准方程。
一般来说，抛物线的标准方程可以表示为：y = 4ax (a ≠ 0)其中a是常数。
2.抛物线的焦点、顶点和准线在抛物线上，有几个重要的点和直线：-焦点(F)：是抛物线上的一个固定点，满足焦点到抛物线上任意点的距离等于该点到抛物线的准线的距离。
-顶点(V)：抛物线的最高（或最低）点。
-准线：焦点(F)到对称轴的垂线。
3.抛物线的性质抛物线具有以下性质：-对称性：抛物线关于准线对称。
-单调性：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
-零点：抛物线与x轴交点的坐标为(x,0)。
- 判别式：对于一般方程y = ax² + bx + c，其判别式Δ = b² -4ac 可用来判断抛物线与x轴的交点个数和性质。
4.抛物线的定理抛物线的相关定理有：-焦距定理：焦点到顶点的距离等于焦点到准线的距离。
-焦半径定理：离焦点距离为r的两个点与焦点的连线与准线的夹角是相等的。
二、圆圆是指平面上到一个固定点的距离等于一个固定长度的点的轨迹。
该固定点称为圆心，固定长度称为半径。
圆的定义方程是：(x-h)²+(y-k)²=r²其中(h,k)是圆心的坐标，r是半径的长度。
1.圆的标准方程圆的标准方程可表示为：x²+y²=r²其中圆心位于原点(0,0)。
若圆心不在原点，则标准方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²其中(h,k)是圆心的坐标。
抛物线焦点公式
抛物线的焦点坐标如下：
1、抛物线的标准方程为y²=2px，它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为（p/2，0），准线方程为x=-p/2。
离心率e=1，范围：x≥0。
2、抛物线的方程为y²=-2px，它表示抛物线的焦点在x的负半轴上，焦点坐标为（－p/2，0），准线方程为x=p/2。
离心率e=1，范围：x≤0。
3、抛物线的方程为x²=2py，它表示抛物线的焦点在y的正半轴上，焦点坐标为（0，p/2），准线方程为y=-p/2。
离心率e=1，范围：y≥0。
4、抛物线的方程为x²=-2py，它表示抛物线的焦点在y的负半轴上，焦点坐标为（0，－p/2），准线方程为y=p/2。
离心率e=1，范围：y≤0。
抛物线的定义
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
抛物线的所有公式
抛物线的所有公式好的，以下是为您生成的关于“抛物线的所有公式”的文章：咱先来说说抛物线这玩意儿，它在数学世界里那可是相当有个性的存在！抛物线的标准方程有好几种形式，比如 y² = 2px（p>0），这时候焦点在 x 轴正半轴上，准线方程是 x = -p/2 。
还有 x² = 2py（p>0），这种情况下焦点就在 y 轴正半轴上，准线方程是 y = -p/2 。
我给您讲讲我以前教学的时候碰到的一件有意思的事儿。
有一次课堂上，我刚讲到抛物线的公式，就发现有个学生一脸迷茫。
我就问他咋了，他挠挠头说：“老师，这抛物线的公式看着太复杂，感觉像一团乱麻。
”我一听，心里就琢磨着得想个办法让他明白。
于是我就拿起一支粉笔，在黑板上画了一个大大的抛物线，就像一个张开的大嘴巴。
然后我指着这个“大嘴巴”说：“你看啊，这抛物线就像咱们扔出去的一个球的轨迹。
”接着我又在焦点的位置点了一个点儿，说：“这个焦点就好比是球最终要奔向的目标。
”这学生眼睛一下子亮了，好像有点开窍了。
咱接着说抛物线的公式哈。
对于抛物线 y² = 2px ，它的顶点坐标是（0，0），对称轴就是 x 轴。
当 p 越大的时候，抛物线就越“开阔”，就像一个人把嘴巴张得更大了。
还有呢，抛物线的焦半径公式也很重要。
如果点 P（x₀，y₀）在抛物线 y² = 2px 上，那么焦半径 |PF| = x₀ + p/2 。
在解决抛物线相关的问题时，这些公式那可是“利器”。
比如说求抛物线与直线的交点，就可以把直线方程代入抛物线方程，然后用韦达定理来求解。
再比如，要判断一个点是不是在抛物线上，把点的坐标代入抛物线方程，如果等式成立，那就在，不成立就不在。
总之啊，抛物线的这些公式就像是一个个神奇的密码，掌握了它们，就能打开抛物线这个神秘世界的大门。
就像我之前提到的那个学生，后来他通过不断地练习和理解，终于把抛物线的公式给搞明白了。
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北京四中
撰稿：安东明编审：安东明责编：辛文升
本周重点：圆锥曲线的定义及应用
本周难点：圆锥曲线的综合应用
本周内容：
一、圆锥曲线的定义
1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）
2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）
3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）
三、圆锥曲线的性质
1.椭圆：+=1（a>b>0）
（1）范围：|x|≤a，|y|≤b
（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(0,1)
（5）准线：x=±
2.双曲线：-=1（a>0, b>0）
（1）范围：|x|≥a, y∈R
（2）顶点：(±a,0)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(1,+∞)
（5）准线：x=±
（6）渐近线：y=±x
3.抛物线：y2=2px(p>0)
（1）范围：x≥0, y∈R
（2）顶点：（0,0）
（3）焦点：（,0）
（4）离心率：e=1
（5）准线：x=-
四、例题选讲：
例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。
注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。
例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=___________。
解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2===m=8。
（2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2===m=2。
注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。
例3.如图：椭圆+=1（a>b>0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，
PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。
解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a,
∵PF1⊥x轴，∴|PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，
即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2,
∴|PF1|=。
∵PO//AB，∴ΔPF1O∽ΔBOA,
∴=c=b a=c, ∴e==。
又解，∵PF1⊥x轴，∴设P(-c, y)。
由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=,
由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=c e=。
例4.已知F1，F2为椭圆+=1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=，求ΔF1PF2的面积。
分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关
系，我们选用面积公式S=absinC。
解法一：SΔ=|PF1|·|PF2|·sin
|PF1|+|PF2|=2a=20，
4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos，
即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36，
|PF1|·|PF2|=
∴SΔ=××=。
解法二：SΔ=|F1F2|·|y P|=×12×y P=6|y P|，
由第二定义：=e|PF1|=a+ex P=10+x P，
由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-x P，
4c2=|F1F2|2=(10+x P)2+(10-x P)2-2(10+x P)(10-x P)cos，
144=100+=，=64(1-)=64×，
SΔ=6|y P|=6×=。
注意：两个定义联合运用解决问题。
从三角形面积公式均可得到结果。
初学时最好两种办法都试试。
例5.椭圆+=1 的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，求：|PF1|，|PF2|。
分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF1|，|PF2|的表达式写出来，再求解。
解：如图，∵O为F1F2中点，PF1中点在y轴上，∴PF2//y轴，∴PF2⊥x轴，
由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a=4，
|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2，
(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4×9=36，。
例6.椭圆：+=1内一点A（2，2），F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，求|PA|+|PF1|的最值。
解：
|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|≤|AF2|+10=2+10，
|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2。
注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边。
例7.已知：P为双曲线-=1（a>0, b>0）上一点，F1，F2为焦点，A1，A2为其顶点。
求证：以PF1为直径的圆与以A1，A2为直径的圆相切。
证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF1中点为O＇, A1A2
中点为O，
|OO＇|=|PF2|，圆O半径为|A1A2|，圆O＇半径为|PF1|
由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2|
|PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO'|
∴两个圆相内切。
注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。
例8.已知：过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P，
Q两点。
求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切。
证明：由定义知，如图：|PP＇|=|PF|, |QQ＇|=|QF|
|PQ|=|PP＇|+|QQ＇|，|PQ|=(|PP＇|+|QQ＇|)，
故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。
五、课后练习
1. 椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点连线互相垂直，则ΔPF1F2的面积为（）
A、20
B、22
C、28
D、24
2. 若点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为，则a+b=()
A、-
B、
C、-2
D、2
3. 焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是（）
A、y2=16x或x2=16y
B、y2=16x或x2=-16y
C、x2=-12y或y2=16x
D、x2=16y或y2=-12x
4. 已知：椭圆+=1（a>b>0）上两点P、Q，O为原点，OP⊥OQ，求证：+
为定值。
六、练习答案：
1. D
2. B
3. C
4. 设P(|OP|cosα, |OP|sinα), Q(|OQ|cos(α+90°), |OQ|sin(α+90°))，利用两点距离公式及三角公
式，+=。