抛物线焦点弦最小值的5种求法

， ， 设弦两端坐标为 Ａ （ 则ｘ ｘ Ｂ（ ｘ ｘ ｙ ｙ １， １） ２， ２） １ ２＝
槡
注意 ： 要分直线斜率存在与不存在 ２ 种情况分类 讨论 ．
ｐ 设抛物线的焦点 Ｆ（ ， ０） ． ２ ｐ （ ， 设Ａ １）当 Ａ Ｂ 斜率 存 在 时 ， Ｂ∶ ｘ－ ） ｙ ＝ｋ（ ２ ｐ 烄 ， ｋ（ ｘ－ ） ｙ２ ｙ＝ ２ 解方程组烅 得 ｘ＝ ，整理得 ２ ｐ ２ ｘ， ｙ ＝２ ｐ 烆 ｋ ２ ｋ ｙ － ｙ－ ｐ＝０， ２ ２ ｐ ２ ｐ ２ ， 由根与系数的关系 ： ｙ１ ＋ ｙ２ ＝ ｙ１ ｙ２ ＝－ｐ ， ｋ １ ２ ｐ ２ １ ２ Ａ Ｂ １＋ ２ ） ． ｜ ｜＝ １＋ ２ · （ ） ＋４ ｐ ＝２ ｐ（ ｋ ｋ ｋ 因为 ｋ２ 无最大值 ， 所以｜ Ａ Ｂ ｜无最小值 ．
１ ８
为２ ｐ． 以上３ 种解法是利用斜率求弦长的最小值， 下面 ２ 种方法是利用倾斜角求弦长的最小值． 思路 ４ 设 弦 所 在 直 线 的 倾 斜 角 为 θ， 方程为
ｐ ， 这个方程中也包含斜率不存 ｃ ｏ ｓ ｉ ｎ ｘ－ ） θ＝ｓ θ（ ｙ ２
在的情况 ， 再利 用 公 式｜ Ａ Ｂ｜＝｜ Ａ Ｆ｜＋｜ Ｂ Ｆ｜＝ｘ１ ＋
２ ２ ｐ（ ２ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ２ ｐ θ＋ θ） ＋ ｐ＝ ２ ． ２ ｓ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ θ θ
◇ 湖北 肖菊姣
１ 定积分性质 性质 １ 若 在［ 上 是 减 函 数， ｘ） １， ＋ ∞） ｙ＝ｆ（ 且 ｆ（ 则 ｘ） ＞０，
ｎ ｎ＋ １
１
ｎ
ｎ
ｋ＝１
ｋ）≥ ∑ｆ（
∫
１ 思路 １ 利 用 弦 长 公 式｜ Ａ Ｂ｜＝ １＋ ２ ｜ ｙ１ － ｋ ｙ２｜求解 ；
Ａ Ｂ ＝ ｘ ｘ ｘ ｘ ２ ｜ ｜ ｐ≥槡 ｐ＝ ｐ． １＋ ２＋ １ ２ ＋ ２ ， （ 斜率存在时 抛物线ｙ ＝ 的焦点弦 ２ ｘ ｐ＞ ０） ｐ ｐ ２ 与抛物线 ｙ 所在直线方程为 ｙ＝ ｋ（ ｘ－ ） ＝ ２ 消ｙ 得： ２ ｘ 联立， ｐ ２ ２ ｋ ｘ ２ ２ ２ ｋ ｘ － ｋ ＋ ２） ｘ＋ ＝ ０． ｐ（ ４
ｎ
∫
１
ｋ＝２
ｋ）≤ ∑ｆ（
ｘ） ｄ ｘ． ｆ（ ∫
１
在Ｒ ｔ Ａ Ｆ Ｇ 中， Δ
图 １ 图 ２
Ａ Ｆ ＡＡ ′ Ａ Ｆ ｃ ｏ ｓ ｜ ｜＝｜ ｜＝ｐ＋｜ ｜ θ， ｐ 所以｜ Ａ Ｆ ． ｜＝ １－ｃ ｏ ｓ θ 在Ｒ ｔ Ｅ Ｆ 中， △Ｂ Ｂ Ｆ Ｂ Ｂ ′ Ｂ Ｆ ｃ ｏ ｓ ｜ ｜＝｜ ｜＝ｐ－｜ ｜ θ， ｐ 所以｜ Ｂ Ｆ ． ｜＝ １＋ｃ ｏ ｓ θ Ａ Ｂ Ａ Ｆ Ｂ Ｆ ｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝ ｐ ｐ ２ ｐ ＋ ＝ ２ ． １－ｃ ｏ ｓ ｏ ｓ ｉ ｎθ θ １＋ｃ θ ｓ ２ 当ｓ ｉ ｎ Ａ Ｂ ２ θ＝１ 时 ， ｜ ｜ ｐ． ｍ ｉ ｎ＝ 这就是我对抛 物 线 焦 点 弦 最 小 值 的 ２ 种 考 虑 角
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Ａ Ｂ ２ ｜ ｜ ｐ． ｍ ｉ ｎ＝ 思路 ２ 为避免讨论可以在直线方程的设法上做 ｐ 文章 ． 如果把直线设成 ｘ＝ｍ ｙ＋ 形式则直线包含斜 ２
率不存在的情况 ．
ｐ ， 抛物 线 的 焦 点 Ｆ （ ， 直线 Ａ ０） Ｂ 的方程 ２
◇ 河北 王海蕊
在 关 于 抛 物 线 焦 点 弦 教 学 目 标 的 确 立 上 有 如 下 ）知识目标 ： 要求 ： 掌握抛物线焦点弦的要领及性质 ， １ 能写出命题与 逆 命 题 ， 并 判 断 其 真 假； ２）能 力 目 标 ： 学会用解析法及几何法解 决 问 题 ， 养成独立分析问题 ）情感目标 ： 与解决问题的能力 ； 学会欣赏教学动静 ３ 结合的美 ， 学会合作 ．教 学 重 点 则 放 在 依 据 焦 点 弦 的 特征研究焦 点 弦 的 定 值 、 定 量 问 题， 培养学生对问题 研究的兴趣及研究能力 ，下面引例说明焦点弦最小值 的几种求法 ． 引例 求抛物线 ｙ２ ＝２ 的焦点弦的最 ｘ（ ｐ＞０） ｐ 小值 ．
根据定积分的定义 ， 其 ｋ）的 ｎ 个小矩形面积之和 ， ｆ（ 面 积 不 小 于
ｎ＋ １ ｎ
ｘ） ｄ ｘ． ∫ ｆ（
１
ｎ＋ １
∫
１
ｘ） ｄ ｘ， 即 ｆ（
ｋ＝１
ｋ） ∑ｆ（
≥
ｎ
如图 ２，
ｋ＝２
表示边长为１， 高为ｆ（ 的ｎ－ ｋ） ｋ） ∑ｆ（
ｎ ｎ
根据定积分的定义 ， 其面积 不 大 １ 个小矩形面积之和 ， 于 ｆ（ ｘ） ｄ ｘ ，即
ｐ ｐ ｐ ， ， ， 当Ａ 易求 Ａ（ ， 则 Ｂ 斜率不存在时， Ｂ（ ， － ｐ） ｐ） ４ ２ ２
２ ２ ｐ ｐ 综上所证， 由抛物线定义 ｘ ｘ ． ｘ ｘ ． １ ２＝ １ ２＝ ４ ４
２
Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｆ ＋ Ｂ Ｆ ＝ Ａ Ａ ′ ＋ Ｂ Ｂ ′ ＝ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｐ ｐ ｘ ＋ ｘ ＝ ｘ ｘ ｐ． １＋ ２＋ １＋ ２＋ ２ ２
因为ｘ 所以ｘ ｘ ｘ ２槡 ｘ ｘ ｐ， １， ２ 均大于 ０， １＋ ２≥ １ ２ ＝
槡
槡
ｐ 所以 当且仅当ｘ 时取 Ａ Ｂ ＝ ｘ ｘ ２ ｘ ｜ ｜ ｐ≥ ｐ， １＋ ２＋ １＝ ２＝ ２
２ 等号． 所以抛物线 ｙ 的焦点弦的最小值 ＝２ ｘ（ ｐ ｐ ＞０）
ｐ （ 把 ｘ＝ 代 入 抛 物 线 ２）当 Ａ Ｂ 斜率不存 在 时 ， ２ ２ ， 得 ｘ ｙ ＝２ ｐ ｙ＝±ｐ． ｐ ｐ ， ，所以｜ 所以 Ａ （ ， Ｂ（ ， －ｐ） Ａ Ｂ ｜＝２ ｐ） ｐ． ２ ２ １ １ 因为 ２ ＞０， 所以 ２ 所以 １＋ ２ ） ＞２ ｐ（ ｐ， ｋ ｋ
ｘ） ｄ ｘ，∑ｆ（ ｋ）≤ ｆ（
ｋ＝２ ｎ
ｘ） ｄ ｘ． ｆ（ ∫
１
ｋ）表 示 边 长 为 １，高 为 证 明 如 图 １，∑ｆ（
ｋ＝１
π ２ 所以当ｓ 即θ＝ 时， 取最小值 ２ ｉ ｎ １， Ａ Ｂ θ＝ ｜ ｜ ｐ． ２ 思 路 ５ 利 用 直 线 倾 斜 角 表 示 焦 半 径 ｜Ａ Ｆ Ｂ Ｆ ｜和｜ ｜． 如 下 图 所 示 ，设 直 线 的 倾 斜 角 为 θ， 在Ｒ 如图 ： 过 Ａ、 ｔ Ｆ Ｇ 中， Ｂ 分 别 作 ＡＡ ′、 △Ａ 垂足分别为 Ａ 分别过 Ａ 、 Ｂ Ｂ ′与直线 Ａ ′ Ｂ ′垂直 ， ′、 Ｂ ′， 、 ， 、 Ｂ 作Ａ ＧＢ Ｅ 与ｘ 轴垂直 垂足分别为 Ｇ Ｅ ．
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ｘ２ ＋ｐ 求弦长的最小值 ． 设焦点弦所在直线的倾斜角为θ， 则直线 Ａ Ｂ ｐ ， 的方程为ｙ 设焦点弦 ｃ ｏ ｓ ｉ ｎθ（ ｘ－ ） θ＝ｓ ２ ， 端点 Ａ （ ｘ１ ， Ｂ（ ｘ２ ， ． ｙ１ ） ｙ２ ） ｐ 烄 ， ｃ ｏ ｓ ｉ ｎ ｘ－ ） θ＝ｓ θ（ ｙ ２ 由方程组烅 消ｙ 得： ２ ｘ， ｙ ＝２ ｐ 烆 ｐ２ ２ ２ ２ ２ · ｓ ｉ ｎ ｘ２ － ２ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ｘ＋ ｓ ｉ ｎ ０， θ θ＋ θ） θ＝ ｐ（ ４ ２ ２ ｐ（ ２ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ θ＋ θ） 所以 ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ． ２ ｓ ｉ ｎ θ 所以 Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｆ ＋ Ｂ Ｆ ＝ ｘ１ ＋ ｘ２ ＋ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｐ＝
ｎ
∫
， ｆ（ ｘ） ｆ（ ∑ ｋ）≥
ｋ＝２
ｘ） ｄ ｘ． ｆ（ ∫
１
∑
ｘ） ｄ ｘ． ∫ ｆ（
１
ｎ＋ １
图３
证明 如图 ３， １ ９
度， ５ 种解法 ． （ 作者单位 ： 河北乐亭新寨高级中学 ）
性质 ２ 若 ｙ＝ｆ（ 在［ 上是增函数 ， 且 ｘ） １， ＋∞ ） 则 ｘ） ＞０， ｆ（
ｎ ｋ＝１
ｋ）≤ ∑ｆ（
ｎ＋ １
１
ｎ
ｎ
性质 ２ 的证明同性质１． 性质 ３ 若 ｙ＝ｆ（ 在［ 上是凹函数 ， 且 ｘ） １， ＋∞ ） （ ） ， 则 ｆ ｘ ＞０ ） ｆ（ ｋ） ｋ ＋１ ＋ｆ（ ＞ ２ ｋ＝１
ｐ 为： ｘ＝ｍ ｙ＋ ． ２ ，Ｂ （ ，由 方 程 组 设 Ａ （ ｘ１ ， ｘ２ ， ｙ１ ） ｙ２ ） ｐ 烄 ｘ＝ｍ ｙ＋ ， ２ 消ｘ 得： 烅
２ ｘ， ｙ ＝２ ｐ 烆 ２ ２ ｙ －２ ｐｍ ｙ－ｐ ＝０， ２ ｍ， ｙ１ ＋ ｙ２ ＝２ ｙ１ ｙ２ ＝－ｐ ， ｐ ２ ２ （ Ａ Ｂ １＋ｍ２·槡 ２ ｍ） ＋４ １＋ｍ２ ） ． ｜ ｜＝ 槡 ｐ ｐ ＝２ ｐ（ 当 ｍ ＝０ 时 ， Ａ Ｂ ２ ｜ ｜ ｐ． ｍ ｉ ｎ＝ 思路 ３ 由定义 Ａ Ｂ Ａ Ｆ Ｂ Ｆ ｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝ｘ１ ＋ｘ２ ＋ｐ， 再利用均值不等式