关于抛物线焦点弦的一个优美结论
抛物线过焦点的弦的八个结论
抛物线过焦点的弦的八个结论关于抛物线过焦点的弦，基本上我们可以得出八个结论。
首先，任何抛物线都可以用焦点和直线来描述，而这些直线就是抛物线的弦。
这些弦是由焦点和抛物线的两个端点组成的，它们可以帮助我们确定抛物线的方向和形状。
其次，这些弦经常穿过抛物线上的焦点。
它们是从抛物线的端点到焦点的一条直线，这条直线是抛物线的一部分。
这通常被称为“焦点弦”，它可以帮助我们更好地理解抛物线的形状，特别是当它穿过焦点时。
第三，这些弦有时也会穿过抛物线上的端点。
这可以帮助我们更好地理解抛物线的形状，特别是当抛物线的两个端点在同一条直线上时。
第四，这些弦可以帮助我们确定抛物线的方向和形状。
例如，如果抛物线的弦是从左到右的，那么它的焦点就会位于右侧，这意味着抛物线会向右延伸。
第五，抛物线的弦可以用来求出抛物线的长度。
这是因为弦的长度就是两个端点之间的距离，而抛物线的长度就是两个端点之间的距离。
第六，抛物线的弦可以帮助我们求出抛物线的面积。
这是因为抛物线的面积是由两个端点之间的弦组成的，而弦的面积就是这些端点之间的距离。
第七，抛物线的弦可以用来求出抛物线的切线。
这是因为弦的切线也是由两个端点之间的距离组成的，而抛物线的切线也是由两个端点之间的距离组成的。
最后，抛物线的弦还可以用来计算抛物线的曲率。
这是因为抛物线的曲率是由两个端点之间的弦组成的，而弦的曲率也是由两个端点之间的距离组成的。
总的来说，焦点弦对于理解抛物线的形状和方向至关重要，它们还可以帮助我们求出抛物线的长度、面积、切线和曲率。
因此，了解抛物线的弦可以帮助我们更好地理解抛物线的特性，从而帮助我们更好地求解抛物线的问题。
抛物线中两条垂直的焦点弦的几个优美结论
2021341抛物线中两条垂直的焦点弦的几个优美结论南京市栖霞中学(210046)刘建国摘要关于圆锥曲线焦点弦问题,很多文献做了深入的研究,本文主要研究抛物线中两条垂直的焦点弦相关问题,主要涉及有关定值、定点、最值的研究,得出一系列结论,并对结论进行证明.关键词抛物线;焦点弦;定值;定点;最值近期,笔者整理有关圆锥曲线焦点弦的问题时,拜读文[1]后通过类比联想,将椭圆的有关两条垂直焦点弦的问题推广到抛物线中,得出了一系列结论,并对其进行整理.结论1已知AB 、CD 是抛物线E :y 2=2px (p >0)中经过焦点F 的两条相互垂直的弦,抛物线在A,B 两点处的切线交于点Q ,则直线CD 必过Q 点.图1证明如图1所示:设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)(其中y 1<0,y 2>0),则A,B 两点的坐标满足x 1=y 212p1⃝x 2=y 222p ,设直线AB 的方程为:y =k (x −p 2),则直线CD 的方程为:y =−1k (x −p2);在x 轴上方所对应的抛物线方程为:y =√2px ,则y ′=√2p 2√x =√p 2x =p y ;在x 轴下方所对应的抛物线方程为:y =−√2px ,则y ′=−√2p 2√x=−√p 2x =p y ,则在A 点的切线方程为:l A :y −y 1=py 1(x −x 1),将1⃝代入化简可得:l A :y =p y 1x +y 12,同理可得:B 处的切线方程为:l B :y =p y 2x +y 22,将l A 、l B 联立的:y =p y 1x +y 12,y =p y 2x +y 22,解得:x =y 1y 22p ,y =y 1+y 22,即Q (y 1y 22p ,y 1+y 22).将直线AB 与抛物线E 联立得:y =k (x −p 2),y 2=2px,整理得:k 2x 2−(pk 2+2p )x +p 2k 24=0,根据韦达定理可知:x 1+x 2=p +2p k 2,x 1x 2=p 242⃝y 1y 2=k 2(x 1−p 2)(x 2−p 2)=−p 2,y 1+y 2=2pk3⃝将3⃝代入Q 点坐标得Q (−p 2,pk),则点Q 满足直线CD 的方程,所以直线CD 必过Q 点.结论2已知AB 、CD 是抛物线E :y 2=2px (p >0)中经过焦点F 的两条相互垂直的弦,抛物线在A,B 两点处的切线交于点Q ,令s =1|QC |,t =1|QD |,u =1|QF |,则s +t =2u .图2证明如图2所示,设直线CD 的方程为:y =−1k (x −p 2),C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2),由结论1可知:Q (−p 2,p k ),且C,D,Q 三点共线,所以:|QF |−|QC |=|CF |,|QD |−|QF |=|DF |,则:s −u =1|QC |−1|QF |=|QF |−|QC ||QC |·|QF |=|CF ||QC |·|QF |=x 1+p 2|QF |·√(x 1+p 2)2+(y 1−p k)24⃝H ′(x )>0.所以,H (x )与h (x )均在(0,2−√2)单调递减,在(2−√2,1)单调递增.从而,当x =2−√2时,h (x )取得最小值2√4−2√2,h (x )<h (0)=h (1)=√2+1.又由探究四可知,i (x )=2f (x ).所以,当x ∈(0,2−√2)时,i ′(x )<0;当x ∈(2−√2,1)时,i ′(x )>0.故,i (x )在(0,2−√2)单调递减,在(2−√2,1)单调递增.从而,当x =2−√2时,i (x )取得最小值2√2−2.i (x )<i (0)=i (1)=1.所以,∆CP Q 的周长的取值范围是[2√4−2√2+2√2−2,√2+2).一点感悟这一试题本是高中数学内容“三角恒等变换”下的一道复习参考题.在探究中却发现,它与平面向量、解三角形、平面几何、解析几何、函数与导数等内容都有联系.内涵之丰富实属预料之外.这给我们的高考复习提供了一种借鉴,即应当对教材习题做深入研究,探索其隐藏的问题、与其他内容之间的联系及蕴含的解题思想方法,让复习更为高效.4220213同理可得:u−t=1|QF|−1|QD|=|QD|−|QF||QD|·|QF|=|DF||QD|·|QF|=x2+p2|QF|·√(x2+p2)2+(y2−pk)25⃝因为C,D满足直线CD的方程,所以:y1=−1k(x1−p2),且y2=−1k(x2−p2),将y1、y2代入4⃝5⃝可得:s−u=x1+p 2|QF|·√(1+1k2)(x1+p2)2=1|QF|√1+1k2,u−t= x2+p2|QF|·√(1+1k2)(x2+p2)2=1|QF|√1+1k2,所以s−u=u−t,即s+t=2u.结论3已知AB、CD是抛物线E:y2=2px(p>0)中经过焦点F的两条相互垂直的弦,则1|AB|+1|CD|=12p(即1|AB|+1|CD|为定值).证明如图3,设A(x1,y1)、B(x2,y2)(其中y1<0,y2> 0),直线AB的方程为:y=k(x−p2),因为AB⊥CD,则直线CD的方程为:y=−1 k (x−p2),所以|AB|=√(x2−x1)2+(y2−y1)2=图3√1+k2√(x1+x1)2−4x1x2,将2⃝代入得:|AB|=2p(1+k 2)k2,同理,|CD|=2p(1+k2)6⃝由6⃝可知:1|AB|+1|CD|=1+k22p(1+k2)=12p,即1|AB|+1|CD|为定值.结论4已知AB、CD是抛物线E:y2=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦,M、N分别是AB、CD的中点,则直线MN恒过定点(32p,0).证明如图4,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),直线AB的方程为:y=k(x−p2),则直线CD的方程为:y=−1k(x−p2),由中点坐标公式得:M (x1+x22,y1+y22)、N(x3+x42,y3+y42),由结论1的证明中2⃝式和3⃝式可知:M (p2+pk2,pk),将直线CD与抛物线E联立得:y=−1k(x−p2),y2=2px,整理得:x2−(p+2pk2)x+p24=0.根据韦达定理可得:x3+x4=p+2pk2,所以y3+y4=−1k(x3+x4−p)=−2pk,所以N(p2+pk2,−pk),当直线MN的斜率不存在时,满足:p2+pk2=p2+pk2,所以k=±1,直此时直线MN的图4方程为:x=32p,直线MN过定点(32p,0);当直线MN的斜率存在时,即:k=±1,由M,N两点的坐标可知直线MN的方程为:y+pk=pk+kppk2−pk2(x−p2−pk2),化简得:(1k−k)y=x−32p,即直线MN过定点(32p,0).综上所述:直线MN恒过定点(32p,0).结论5已知AB、CD是抛物线E:y2=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦,|AB|+|CD|存在最小值,且最小值为8p.证明由结论3的证明中6⃝式可知:|AB|+|CD|=2p(1+k2)k2+2p(1+k2)=4p+2p(k2+1k2) 4p+2p×2√k2×1k2=8p(当且仅当k=±1时等式成立),所以|AB|+|CD|的最小值为8p.结论6已知AB、CD是抛物线E:y2=2px(p>0)中过焦点F的两条相互垂直的弦,则四边形ACBD的面积的最小值为8p2.图5证明如图5,因为AB⊥CD,由结论3的证明中6⃝式可知四边形ACBD的面积为:S四边形ABCD=12|AB|×|CD|=2p(1+k2)k2×2p(1+k2)=2p(1+k2)k2×2p(1+k2)=2p(1+k2)k2×2p(1+k2)=2p2(1+k2+1+1k2) 2p2(2+2√k2×1k2)=8p2,(当且仅当k=±1时等式成立),所以四边形ACBD的面积的最小值为8p2.参考文献[1]邹玲平,陈静.椭圆中过焦点的两条垂直弦的几个优美性质[J].中学数学研究(江西),2018(11):31-33.。
过焦点的抛物线弦的结论
过焦点的抛物线弦的结论
过焦点的抛物线弦的结论是：对于任意一条过抛物线焦点的弦，其两个端点和焦点构成的三角形总是一个等腰三角形。
抛物线是一个特殊的曲线，其定义是到焦点和直线的距离相等的点的轨迹。
抛物线有一个重要的性质，即焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到抛物线的准线的垂直距离。
考虑一条过抛物线焦点的弦，设其两个端点分别为A和B，焦点为F。
我们需要证明三角形ABF是一个等腰三角形。
首先，我们可以利用抛物线的性质得到焦点到A点和B点的距离相等，即AF = BF。
这是因为F是焦点，所以FA和FB到准线的垂直距离相等，而根据三角形AFB，我们知道FA=FB。
其次，我们注意到焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到抛物线准线的垂直距离。
假设弦AB与焦点F的连线与抛物线的准线相交于点C，则可以得到FA = FC以及FB = FC。
综上所述，我们得出结论：对于任意一条过抛物线焦点的弦AB，其两个端点和焦点F构成的三角形ABF是一个等腰三角形。
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论
抛物线是一种椭圆形的函数图形，它是由抛物线焦点弦决定的。
抛物线焦点弦是指抛物线的两个焦点和连接它们的弦段。
围绕抛物线焦点弦可以建立18个结论。
1. 两个焦点之间的距离与抛物线弦段长度相同，即它们之间的距离等于抛物线弦段的1倍。
2. 弦段连接抛物线的两个焦点，因此，任何一点的垂直距离都等于其焦点的距离。
3. 对抛物线的焦点取中对称，则其两点之间的距离一定是直线的1倍．
5. 相对于一个焦点而言，另一个焦点总是处于弦段的同一边，而且位于弦段上面。
6. 抛物线是对称的，即抛物线的对称轴是连接两个焦点的直线段。
8. 抛物线准线与切线交于抛物线的焦点。
12. 对任意点A而言，从A点向任意点B连线便构成一条直线，此直线连接A点和B 点的距离有正有负，正值表示线段到抛物线焦点的距离是它的弦段长度所乘以2倍的直线段距离，负值则表示抛物线焦点到线段的距离也是它的弦段长度乘以2倍的直线段距离。
17. 抛物线的对称轴与它的弦段垂直，因此它的弦段将对称轴分为2个相等的距离。
以上就是抛物线焦点弦的十八个结论，也是其对称性规律、准确性和完整性的总结。
抛物线焦点弦的这些结论，既给抛物线函数提供了数学化的更直观的解释，又为描述抛物线的属性提供了一定的参考依据。
抛物线焦点弦22条结论
抛物线焦点弦22条结论1、抛物线的焦点总是在数轴上的对称轴上。
2、抛物线的无穷近点总处在顶点上。
3、抛物线的顶点的坐标总是（h，k）的形式。
4、抛物线的斜率在顶点处最大，向两侧无穷远时最小。
5、抛物线不同于椭圆，即使在斜率为零时也不会平行于y轴。
6、抛物线焦点弦中椭圆内的焦点和斜率有关。
7、抛物线焦点弦中椭圆外的焦点和斜率有关。
8、抛物线焦点弦中椭圆内的线段始末点在椭圆上。
9、抛物线焦点弦中椭圆外的线段始末点在椭圆外。
10、抛物线焦点弦中，两个焦点分别对应一条双曲直线，而外圆的直径线段是两个焦点的连线。
11、抛物线的弦一定位于双曲线的两侧且是双曲线的垂直线段。
12、抛物线的焦点弦外圆的周长是抛物线的一象限周长的二倍。
13、抛物线焦点弦的另一圆的面积等于抛物线的一象限面积的两倍。
14、抛物线的焦点弦中，双曲线内外的直线段条数是一样多的。
15、抛物线焦点弦中，双曲线外的直线段总是比双曲线内的长。
16、抛物线焦点弦中，椭圆内及其外圆的线段总是一模一样的。
17、抛物线焦点弦中，双曲线外圆的形状是矩形，两个顶点在焦点上，其他两个顶点位于y轴上。
18、抛物线焦点弦中，双曲线内的所有线段的总长比双曲线外的总长要短。
19、抛物线焦点弦中，双曲线外的直线段均贯穿原点。
20、抛物线焦点弦中，两条分别从两个焦点开始，沿着双曲线直线段向原点靠近的线段，称为弦线。
21、抛物线焦点弦中，椭圆的焦点到顶点的距离，称为长轴半径的大小等于抛物线机小数a的值。
22、抛物线焦点弦中，椭圆的焦点到其他顶点的距离，称为短轴半径的大小等于抛物线机小数b的值。
焦点弦的八大结论
焦点弦的八大结论焦点弦是一种常见的数学问题，它的研究有助于我们更深入地理解数学中的一些重要概念和定理。
在这篇文章中，我们将讨论焦点弦的八大结论，了解它们分别是什么以及它们的意义。
最后，我们还将介绍焦点弦在实际应用中的一些例子。
一、焦点弦与抛物线的关系抛物线是一种经典的二次函数图像，它的形状是一个开口朝上或朝下的U字形曲线。
而焦点弦则是经过抛物线焦点的一条线段，根据抛物线的性质，焦点弦与抛物线的顶点在同一条直线上。
二、焦点弦的长度焦点弦的长度等于抛物线顶点到焦点的距离的两倍，这个结论很容易证明，只需要利用抛物线的定义式和距离公式即可得出。
三、焦点弦的中点焦点弦的中点恰好落在抛物线的准线上，这个结论也很容易证明，只需要利用抛物线的对称性即可。
四、焦点弦的垂线焦点弦的垂线恰好与抛物线相切，并且与抛物线准线垂直，这个结论涉及到了抛物线的切线和法线的概念。
五、抛物线对称性抛物线的对称轴恰好与焦点弦重合，这个结论是由于焦点弦的中点在对称轴上。
六、焦距的作用焦点弦和焦距有着密切的关系，焦点弦的长度等于焦距的两倍，这个结论是逆向推导出来的，也就是我们通过焦距来求出焦点弦的长度。
七、焦点弦的作用焦点弦在数学中有着重要的作用，它可以用来推导一些抛物线的性质，例如抛物线的切线和法线。
此外，在工程中，焦点弦也有广泛的应用，它可以用来设计一些光学系统和声学系统。
八、应用实例我们举个例子，考虑一个天线系统，它的辐射方向呈现出一条抛物线形状，我们可以通过焦点弦来设计这个天线系统的形状和大小，以达到最优的信号接收和传输效果。
类似的应用还包括椭圆镜头和声学降噪系统等。
综上所述，焦点弦是一个重要的数学问题，它在抛物线的研究和实际应用中有着广泛的应用。
理解焦点弦的八大结论有助于我们更深入地理解抛物线的概念和性质，同时也为我们提供了一些实际应用的思路和方法。
因此，学习和掌握焦点弦的八大结论是非常有益的。
抛物线的有关结论
圆锥曲线中抛物线的有关结论山东省德州市实验中学 肖成荣由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。
下面就抛物线的结论作以归整，供参考！ 一、焦点)0,2(pF 处的结论 1、焦半径长：),(11y x A ，)0,2(p F ，2||1p x AF +=；2、焦点弦长：),(11y x A 、),(22y x B 在抛物线上，且AB 过焦点F ，则p x x AB ++=21||，或θ2sin 2||pAB =（θ为直线l 与抛物线对称轴的夹角）；3、过焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，MN 的中点为G 。
（1）两相切：①以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；②以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.（2）三直角：①∠AGB ②090=∠MFN ③GF （3）六定值：),(11y x A 、),(22y x B 的乘积是定值：21x x =243p OB OA -=⋅；②n BF m AF ==,mn GF =||.③22sin AOBp S θ∆= 二、点)0,(p D 处的结论例：抛物线px y 22=上的点到)0,(a A 的最近距离是多少？结论：)0,(p D 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点，)0,(a A 在)0,(p D 左边顶点到点)0,(a A 的距离最近，右边横坐标为p a -的那两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近. 三、点)0,2(p E 处的结论B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，OB OA ⊥，),(11y x A ，),(22y x B ，则ⅰ.2214p x x =，2214p y y -=；ⅱ.直线AB 过定点)0,2(p ；ⅲ.求AB 中点的轨迹方程；ⅳ.过O 向AB 引垂线，求垂足T 的轨迹方程；ⅴ.求AOB ∆面积的最小值.结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p E .（2）2214p x x =，2214p y y -=.四、准线上的有关结论过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。
抛物线焦点弦22条结论
抛物线焦点弦22条结论抛物线是一种经典的数学曲线，被广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域。
在研究抛物线的性质和应用过程中，焦点和弦是两个重要的概念。
本文将介绍抛物线焦点弦的22条结论。
1. 抛物线的焦点是由平行于抛物线的直线反射后汇聚而成的点。
2. 抛物线的焦点是离抛物线顶点等距离的点。
3. 抛物线的焦点是所有平行于抛物线的直线的交点。
4. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点的对称轴的交点。
5. 抛物线的焦点是所有与抛物线相切的直线的交点。
6. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线平行的直线的交点。
7. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线垂直的直线的交点。
8. 抛物线的焦点是所有经过抛物线的两个端点并且与抛物线垂直的直线的交点。
9. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线垂直的直线的交点。
10. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线平行的直线的交点。
11. 抛物线的焦点是所有与抛物线相交的直线的交点。
12. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线相交的直线的交点。
13. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线相交的直线的交点。
14. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线平行且相交于抛物线的焦点的直线的交点。
15. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线切线垂直且相交于抛物线的焦点的直线的交点。
16. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线切线平行于抛物线的对称轴的直线的交点。
17. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点并且与抛物线切线垂直于抛物线的对称轴的直线的交点。
18. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线对称轴平行的直线的交点。
19. 抛物线的焦点是所有过抛物线的顶点且与抛物线对称轴垂直的直线的交点。
20. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线对称轴平行的直线的交点。
21. 抛物线的焦点是所有通过抛物线的两个端点且与抛物线对称轴垂直的直线的交点。
抛物线的一个优美结论及推广
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第 ３ 卷 第 ４期 ｌ
２１ ０ ２年 ４月
数 学 教 学 研 究
４ ｌ
抛 物 线 的一 个优 美 结论 及推 广
励 志 明
（ 江省 鄞 州 区姜 山 中学 浙 ３５９） １１１
圆 的切 割 线 定 理 是 一 个 众 所 周 知 的 结 论 ， 么抛 物线是 否 也有类 似 的性 质定理 呢 ？ 那 本人 经过 探 索 发 现 确 实 有 一 个 很 优 美 的结 论 ． 面就对 标准 位 置的情 形作 一研 究． 下 引理 若 过 圆 锥 曲 线 焦 点 Ｆ 的 弦 ＡＢ 的两端作 切 线 ｚ， ｆ’ ｌ，１ｚ 。的交 点 为 Ｐ（ 设 假 ｚ， 会 相 交 ） 则 Ｐ与 相应 焦 点 Ｆ 的连 线 必 ｌ ， 垂 直于 弦 ＡＢ． 证 明 （ｉ 当 圆锥 曲线 为 抛物线 时． ） 设 抛 物 线 的 方 程 为 Ｙ ＝２ ｘ ｐ Ｏ ， 。 ｐ （ ＞ ） 过焦 点
Ｙ ｌ ｐ（ Ｙ— ｘ＋ １ ， ） Ｙ ２ 户（ Ｙ一 ｚ＋ ２ ． ）
（） ２ （） ｌ ３ ×Ｘ 一 ４ ×ｚ 得
ａ （ ２ ｌ ｙ ｘ１ 一 口 ｂ （ ２ 。ｚ Ｙ － ｚ ） 。 。 ｚ 一 １ ， ）
由（ ） ２ ２ ×ｙ 得 １ ×Ｙ 一（ ） 。
ｘ（ ２ ｙ ） Ｙ Ｘ － ｙ Ｘ ． ｙ－ ａ＝ ｌ２ ｚ１
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。
2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。
因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。
证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。
而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。
4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。
证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。
5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。
证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。
7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。
证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以抛物线焦点弦经过焦点。
另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。
9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。
证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。
另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。
10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。
抛物线焦点弦8个结论
抛物线焦点弦8个结论抛物线是一种常见的二次曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。
抛物线的焦点是其特殊的性质之一，下面将介绍抛物线焦点的八个结论。
一、焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
抛物线的焦半径是从焦点到抛物线的准线的垂直距离，而抛物线的顶点是其最高点。
这个结论表明，焦点到顶点的距离等于焦半径的长度。
二、焦半径与准线垂直。
焦半径是从焦点到抛物线上的任意一点的线段，而准线是抛物线的对称轴。
这个结论说明，焦半径与准线垂直。
三、焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的准线的垂直距离。
这个结论说明，焦点到直线的距离等于焦半径的长度。
四、焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
抛物线上的任意一点与其焦点之间的距离等于该点到抛物线的切线的垂直距离。
这个结论表明，焦点到抛物线的切线的距离等于焦半径的长度。
五、焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有切线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有切线都会经过焦点。
六、抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有切线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有切线都会与准线在焦点上相交。
七、焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而焦点是抛物线上的所有法线的焦点。
这个结论说明，抛物线上的所有法线都会经过焦点。
八、抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
抛物线上的任意一点都可以作为抛物线的切点，而抛物线上的所有法线与准线的交点都在焦点上。
这个结论表明，抛物线上的所有法线都会与准线在焦点上相交。
通过以上八个结论，我们可以更好地理解抛物线的性质和特点。
抛物线焦点的研究不仅对于数学学科有重要意义，也在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
对于工程设计、物理实验等方面的问题，我们可以利用抛物线焦点的性质来解决。
抛物线焦点弦8个常用结论
抛物线焦点弦8个常用结论
，
弦与抛物线的关系是最常见的平面曲线，由此可得出8个常用的结论，这对于求解抛物线和计算它的相关特性是非常有帮助的。
抛物线与弦的结论一：抛物线的根与弦的焦点、顶点与因弦而开的弦同线。
其中，焦点所在的弦和根所在的因弦相互垂直，且它们之间距离相等。
抛物线与弦的结论二：可在抛物线上定义满足恒等式的两个特点弦。
这两条弦包括了抛物线的上准线和下准线，它们经过抛物线的关键位置。
抛物线与弦的结论三：所有抛物线的焦点弦的斜率是抛物线的解析根。
这种斜率表明抛物线的方程是关于两个变数的二阶方程。
抛物线与弦的结论四：考虑抛物线和它的焦点弦时，它们必定有一些共线点，这个点也就是抛物线因弦所垂直的焦点弦的根处。
抛物线与弦的结论五：任一焦点弦上的点都是抛物线上准线或是抛物线下准线的顶点所确定的弦同线上的一点。
抛物线与弦的结论六：如果焦点弦的斜率与因弦弦同线的斜率不相等，那么在焦点弦上的任一点P都是抛物线的一个顶点。
抛物线与弦的结论七：若抛物线的焦点F1、F2分别与弦A存在关系，则另一顶点V1也在弦A上，那么另一顶点V2也在弦A上。
抛物线与弦的结论八：若抛物线在它的两个上下准线上都有一个点，那么这个点必定位于该抛物线的焦点弦上。
总的来说，抛物线与弦的关系是一种极其重要的数学关系，可以为解决抛物线特性和其它一些复杂问题提供有力的帮助。
高等教育学与高校，可以用到上述8个结论，有助于更好地搞好教学、科研，进而更好地提升教育水平，密切社会实际。
与抛物线焦点弦有关的几个结论
与抛物线焦点弦有关的几个结论
抛物线是一种二次曲线，它的两个焦点和准线重要的概念。
在抛物线的作图中，弦也
是一个非常重要的元素。
抛物线的焦点弦指的是通过焦点连成的直线，它可以有助于更好地了解抛物线的特点。
下面将介绍抛物线与焦点弦之间的几个结论：
一、抛物线的焦点弦与抛物线的准线垂直：抛物线的准线是一条垂直于x轴或y轴的
直线，而抛物线的焦点弦也是垂直于这条准线的。
二、焦点弦是抛物线的对称轴：抛物线是一个对称图形，焦点弦也是抛物线的一个
对称轴。
因此，在进行图形操作时，如旋转、剪切等，我们可以以焦点弦作为对称轴，借
助它来操作图形。
三、抛物线的焦点距离等于它的准线距离的两倍：根据抛物线的定义，其准线距离为
它左右两个焦点的距离，那么抛物线的焦点弦距离就是准线距离的两倍。
四、抛物线的焦点弦与抛物线的坐标原点有关联：由于抛物线的准线与它的焦点弦都
是垂直的，那么抛物线弦的中心点就与抛物线的坐标原点关联起来了。
总而言之，抛物线的焦点弦是一个非常重要的概念，它与抛物线的准线有着十分密切
的关系，而且与抛物线的坐标原点也有一定的联系，有助于更好地描绘出抛物线图形，从
而更好地理解抛物线。
[很全]抛物线焦点弦的有关结论
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[很全]抛物线焦点弦的有关结论
抛物线焦点弦，又称抛物线弦或抛物线，是经典代数几何中最常见的曲线之一，其关
于抛物线的有关结论有如下：
1. 抛物线的方程为y²=2px，或x²=2py，其中p为抛物线的焦距，“焦点”F(p，0)
和“直径”2p定义如下：
2. 抛物线呈对称性，它的轴对称轴是一条直线，被称为“抛物线弦”。
3. 给定两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，抛物线的焦距p及对称轴的方程为：
p=(x1x2+y1y2)/2，
y=kx+(x1x2+y1y2)/2，
其中k=(y2-y1)/(x2-x1)；
4. 关于抛物线的离心率，抛物线的离心率是1/2的抛物线的离心率；
5. 关于抛物线的焦点，抛物线的焦点是抛物线围绕其中心旋转的法线，焦点的距离
是抛物线弦的长；
6. 抛物线弦所得到的线段，其投影与原点构成的线段n、n1相等。
7. 抛物线弦的位置关系，抛物线弦若与坐标轴垂直，则与坐标轴的切点的距离的平
方等于抛物线的焦距的两倍；若抛物线弦与坐标轴平行，则抛物线弦与坐标轴的切点的距
离相等；
8. 抛物线弦上的点对抛物线有特殊意义，“拱点”是抛物线可能拱起的点，“切点”是抛物线可能与其他直线相交的点，“焦点”是抛物线的中心，而“弦定点”则是抛物线
弦中心和焦点的中点。
总之，抛物线焦点弦是经典代数几何中最常见的曲线之一，其关于抛物线的诸多结论
都可以从对称轴的方程、焦点弦的长度及相关点的位置关系中得出。
关于抛物线焦点弦的一个优美结论
关于抛物线焦点弦的一个优美结论在抛物线的教学过程中，不少老师应该遇到过这样一道关于抛物线的焦点弦的题目.题目过抛物线y=ax²(a>0)的焦点F作直线交抛物线于P.Q两点，若线段|PF|与l的长度分别为p 则这道题目有一个快速而且准确的解法，就是我们在解选择题时常用的特殊值法”或称“特例检验法”.我们可假设直线PQ 与》轴垂直，则p 与4相等，这里还有个特别注意的就是很多学生在解题的时候会犯的一个低级错误，认为抛物线的标准方程中2p 对应的就是α,其实这里我们要稍微转化下，本题中与2p 对应的应该是,故本题答案是C 而不是D.但是我们作为老师，不是解完这道题目就了了，我们还可以再仔细分析一下本题，这题很有意思，四个选择支全是常数，也就是说抛物线的焦点弦被焦点分成两部分的线段的长度的倒数和与焦点弦的倾斜程度好象没有关系，那么这样的猜想到底对还是错呢?若这个猜想是正确的，那么这样的倒数和到底是多少呢?下面我以焦点在x轴正半轴的标准抛物线来研究这个问题题目：过抛物线y²=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于P,Q两点且/PF|=m.Fgl=x 试求的值.探究：因为直线PQ 可以垂直于x轴，故我们有必要先分类讨论.().若直线PQ 垂直于x轴.如图1,若PQ⊥x轴，由易得Vp=P,Pg= P. 则m=g=p. 于是，有到这里，我们可以猜测，行分析.若为定值的话，那么这个值估计就是下面对般情形进(二).如图2,令直线P2 的倾斜角为方法 一 令P,Q 在x 轴上的射影分别为A,B;在准线上的射影分别为Z,N; 准线与x 轴的交 点为M.由抛物线的定义，有|PL=PH,又四边形PLMA 为矩形有/PL|=|44则 |PE|=|a4而 4 ∠4=|AF|+|FA=p+PB|c08.于是m=p+mcosα,解此关于m 的方程，得同理：为定值.当然，在 时，同理可以证明这个结论.结论成立，在证明此结论的过程中，还得到了个副产品，即： 由时，si n ²α最大，则|PQ|最小，此时，称PQ 为通径.在研究一般情形时，还可以采用下面一种方法，也是比较简便的.方法二如图3,不妨仍令直线PQ 的倾斜角为点在PL上的射影为K,易知整理，得p(m+n)=2mn, 即有当然，在时，同理可以证明这个结论.结论成立.。
抛物线中两条垂直的焦点弦的几个优美结论
抛物线中两条垂直的焦点弦的几个优美结论第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类就是由焦点弦得出结论有关直线横向的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
1、以焦点弦为直径的圆与准线切线（用抛物线的定义与梯形的中位线定理融合证明）。
2、1/|af|+1/|bf|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）。
3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴横向（此时的焦点弦称作“通径”）时，焦点弦的长度获得最小值2p。
4、如果焦点弦的两个端点是a、b，那么向量oa与向量ob的数量积是-0.75p^2。
抛物线具备这样的性质，如果它们由反射光的材料做成，则平行于抛物线的对称轴前进并喷发其凹面的光被散射至其焦点，而不管抛物线在哪里出现散射。
恰好相反，从焦点处的点源产生的光被散射成平行（“电子束”）光束，并使抛物线平行于对称轴。
声音和其他形式的能量也可以产生相同的效果。
这种散射性质就是抛物线的许多实际应用领域的基础。
与抛物线焦点弦有关的几个结论
与抛物线焦点弦有关的几个结论在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点，准线l的方程：.过焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，又作AA1⊥l, BB1⊥l，垂足分别为A1、B1.AB⊥x轴时，, , 此时弦AB叫抛物线的通径，它的长|AB|＝2p．AB与x轴不垂直也不平行时，设弦AB所在直线的斜率为k(k≠0)，则方程为(如图)．由方程组消去y，得, 或消去x, 得.结论1：(定值)，,结论2：y1y2＝-p2(定值)，.结论3：弦长.结论4：若此焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分，则为定值．事实上，若AB⊥x轴，则m＝n＝p，.若AB与x轴不垂直，则..结论5：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦中通径最小．证法1：设弦AB所在的直线方程为.由方程组消去x，得y2-2pmy-p2=0.∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2.当且仅当m＝0，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．证法2：设过焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为，则|AF|=|AA1|=p+|AF|cos, |BF|=|BB1|=p-|BF|cos,∴.,当且仅当=90°时，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．结论6：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切(如图)．事实上，取弦AB的中点C，作CC1⊥l，垂足为C1. 则.这表明圆心C到准线l的距离等于半径，故以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切．结论7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．事实上，.设AF的中点为D，则，∴D到y轴的距离.这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．结论8：A1F⊥B1F（如图）事实上，设，则，。
由结论2有y1y2=-p2, ∴, 即A1F⊥B1F。
利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题
利用几个常用结论解决抛物线垂直焦点弦问题kuing近几日，在群内连续两次出现抛物线焦点弦问题，且我发现两题很相似，都可以用一些常用的熟知结论，几何化地去解决，不需要麻烦的代数化去解。
现整理如下。
先以引理结出这些常用结论，其详细证明这里略去，有兴趣可以自己试试证。
引理一：过抛物线焦点F 的直线交抛物线于两点A 、B 两点，过这两点分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，则有：（1）AM BM ⊥；（2）FM AB ⊥；（3）点M 必在抛物线的准线上；引理二：（光学性质——抛物线）过抛物线焦点F 的光线经抛物线反射后的光线必定平行于抛物线的对称轴；引理三：过离心率为e ，焦准距为p 的圆锥曲线的焦点F 作两条互相垂直的直线，若这两条直线分别交圆锥曲线于A 、B 及C 、D ，且F 在A 、B 之间，F 在C 、D 之间，则有：21122e AB CD ep−+=； 引理四：梯形ABCD 中，AD 平行BC ，AC 与BD 交于点P ，过P 作与梯形两底边平行的直线交梯形两腰于E 、F ，则有211EF AD BC=+。
（注：前三个引理我均在人教论坛中某收集解释几何常用结论的贴中结出过；引理三我在论坛中贴过详细证明，用的是极坐标方法，搜索我的主题可以找到；引理四是初中内容）题一：解：（I ）如图所示：由引理一，可知AMB ∆为直角三角形，M 为直角，点M 在准线上，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，取AB 的中点G ，连结GM 。
由于AMB ∆为直角三角形且M 为直角且GM 为其斜边上的中线，于是易得12∠=∠，引理二，可知234∠=∠=∠，因此得到14∠=∠，于是易知GM 也与准线垂直，即GM 为直角梯形AA 1B 1B 的中位线，所以显然A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列，得证。
（II ）由引理一，可知FM AB ⊥，因此由引理三以及抛物线离心率是e=1以及本题中易知焦准距为p=2，代入即知1114AB CD +=， 又易知四边形ABCD 的面积为12S AB CD =⋅，又由基本不等式有4111AB CD AB CD AB CD≥⋅+===+， 即得32S ≥，且等号成立当且仅当AB=CD 可取到，即四边形ABCD 的面积的最小值为32。
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关于抛物线焦点弦的一个优美结论
江苏省兴化中学章庭远
在抛物线的教学过程中,不少老师应该遇到过这样一道关于抛物线的焦点弦的题目.
题目：过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长度分别为则（）
Ａ. B. C. D.
这道题目有一个快速而且准确的解法,就是我们在解选择题时常用的“特殊值法”或称“特例检验法”.我们可假设直线与轴垂直,则与相等,这里还有个特别注意的就是很多学生在解题的时候会犯的一个低级错误,认为抛物线的标准方程中对应的就是,其实这里我们要稍微转化一下,本题中与
对应的应该是,故本题答案是而不是
但是我们作为老师,不是解完这道题目就了了,我们还可以再仔细分析一下本题,这题很有意思,四个选择支全是常数,也就是说抛物线的焦点弦被焦点分成两部分的线段的长度的倒数和与焦点弦的倾斜程度好象没有关系,那么这样的猜想到底对还是错呢?若这个猜想是正确的,那么这样的倒数和到底是多少呢?下面我以焦点在轴正半轴的标准抛物线来研究这个问题
题目：过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,且
试求的值.
探究：因为直线可以垂直于轴,故我们有必要先分类讨论.
(一).若直线垂直于轴.如图1,若轴,由易得
.则于是,有
到这里,我们可以猜测, 若为定值的话,那么这个值估计就是下面对一般情形进行分析.
(二).如图2,令直线的倾斜角为
方法一令在轴上的射影分别为在准线上的射影分别为准
线与轴的交点为由抛物线的定义,有,又四边形为矩形,有则而.于是
,解此关于的方程,得同理：则
为定值.
当然,在时,同理可以证明这个结论.结论成立,在证明此结论的过程中,还得到了一个副产品,即：由
.当时,最大,则最小,此时,称为通径.
在研究一般情形时,还可以采用下面一种方法,也是比较简便的.
方法二如图3,不妨仍令直线的倾斜角为点在上的射影为易知则
整理,得,即有
当然,在时,同理可以证明这个结论.结论成立.。