关于抛物线焦点弦的一个优美结论

关于抛物线焦点弦的一个优美结论

江苏省兴化中学章庭远

在抛物线的教学过程中,不少老师应该遇到过这样一道关于抛物线的焦点弦的题目.

题目：过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长度分别为则（）

Ａ. B. C. D.

这道题目有一个快速而且准确的解法,就是我们在解选择题时常用的“特殊值法”或称“特例检验法”.我们可假设直线与轴垂直,则与相等,这里还有个特别注意的就是很多学生在解题的时候会犯的一个低级错误,认为抛物线的标准方程中对应的就是,其实这里我们要稍微转化一下,本题中与

对应的应该是,故本题答案是而不是

但是我们作为老师,不是解完这道题目就了了,我们还可以再仔细分析一下本题,这题很有意思,四个选择支全是常数,也就是说抛物线的焦点弦被焦点分成两部分的线段的长度的倒数和与焦点弦的倾斜程度好象没有关系,那么这样的猜想到底对还是错呢?若这个猜想是正确的,那么这样的倒数和到底是多少呢?下面我以焦点在轴正半轴的标准抛物线来研究这个问题

题目：过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,且

试求的值.

探究：因为直线可以垂直于轴,故我们有必要先分类讨论.

(一).若直线垂直于轴.如图1,若轴,由易得

.则于是,有

到这里,我们可以猜测, 若为定值的话,那么这个值估计就是下面对一般情形进行分析.

(二).如图2,令直线的倾斜角为

方法一令在轴上的射影分别为在准线上的射影分别为准

线与轴的交点为由抛物线的定义,有,又四边形为矩形,有则而.于是

,解此关于的方程,得同理：则

为定值.

当然,在时,同理可以证明这个结论.结论成立,在证明此结论的过程中,还得到了一个副产品,即：由

.当时,最大,则最小,此时,称为通径.

在研究一般情形时,还可以采用下面一种方法,也是比较简便的.

方法二如图3,不妨仍令直线的倾斜角为点在上的射影为易知则

整理,得,即有

当然,在时,同理可以证明这个结论.结论成立.