1.4 光谱线增宽

一般情况下光束进入介质后的变化规律，当光线沿z轴方 向传输，而且没有发散时，可以取介质中的一片来分析：
I(0)
I (z)
I(z)+dI
z z +d z
z
图1-20 光穿过厚度为dz的介质的情况
通过光线在z处穿过厚度为为dz单位截面的一薄层，由I变 到I+ dI，来研究光线穿过整个介质的变化规律。
28
成
0 (1
v)
c
17
光的横向多普勒效应
当光源与接收器之间的相对速度在垂直于两者连线方向时，
此时的频率为
1
( v c
)2 0
➢ 式中 v 为垂直于光源与接收器连线方向的相对速度 一般光的横向多普勒效应量值更小，予以忽略
18
气体发光的多普勒增宽
气体放电管中一个静止原子的发光频率为 0 ，原子的运
7
三种增宽之一：自然增宽
《物理光学》（ 《工程光学2》 ）中讲过，原子发光形成 的电磁波是有一定长度的振幅按指数规律衰减的波列：
t
U U0e2 cos 20t
t 0
➢ 式中 为原子自发辐射的平均寿命， 0为余弦函数频率
➢ U0 I0 为 t =0时的振幅 ➢ I0 为t =0时的光强
➢ 如不衰减线宽为零
光谱线宽度 定义为相对光强为最大值的一半处的频率
间隔，即：
2 1
➢ 式中各频率处光强满足：
f
(1)
f
( 2 )
1 2
f
( 0 )
➢ 光谱曲线是可以用实验方法测量的
4
光谱线型对光与物质的作用的影响
考虑光谱线线型的影响后，在单位时间内，对应于频率
~ d
间隔，自发辐射、受激辐射、受激吸收
的原子跃迁数密度公式分别为
12
三种增宽之二：碰撞增宽
当发光原子同时具有碰撞增宽 （c 与气体压强P成正比） 和自然增宽 N 时，可以证明所得的线型仍为洛仑兹线型， 其线宽为两者之和
H N c
固体、气体发光都会造成碰撞增宽，一般气体发光时碰撞 增宽大于自然增宽 ，固体发光的碰撞增宽是由相邻原子 之间作用力
13
三种增宽之三：多普勒增宽
当
1
0
Leabharlann Baidu
1
4
时， fN ( )
fN (1)
fN ( 2 )
2
1 2
fN ( 0 )
因而洛仑兹半宽度即自然增宽为
N
2
1
1
2
一般原子发光平均寿命为10-5 -10-8 秒，
自然增宽在十分之几兆到几百兆
fN
(
)
(
N
0)2
2 (
N
2)2
几百兆的谱宽是什么概念？
图（1-13）洛仑兹线型函数
思考：钠光谱中两条黄色谱 线的波长分别为589.0nm和 589.6nm，计算谱宽。11
At A D V
v
ρ为光能密度
I
c
29
介质中的受激辐射与吸收
厚度为dz单位截面的一薄层，在dt时间内由于介质吸收而 减少的光子数密度为
dN1 n1B12(z) f ( )dt
dt时间内由于受激辐射增加的光子数密度为
dN2 n2B21(z) f ( )dt
光穿过dz介质后净增加的光子数密度为
dN dN1 dN2 (n2B21 n1B12 )(z) f ( )dt
f ( ) I ( )
I0
称为光谱线的线型函数。 2
光谱线的线型函数
线型函数定义： 单位频率间隔的
相对光强分布f()。
理想线型为矩形
图(1-10) 光谱的线型函数
线型函数的归一化条件：相对光强之和（积分）为1
f ( )d
I ( )d 1
I ( )d 1
0
0 I0
I0 0
3
谱线宽度
ln
2)1 2
代入
fD
(
)
(
m 2kT
)1
2
mc2
e 2kT
(
0
0
)2
c 0
高斯线型函数
常用表达式
fD ( )
2
D
(ln 2)1
[4ln 2( 0 )2 ]
2e
D
23
常用的两种激光器的多普勒增宽
原子(或分子)质量为 1.661027 molkg ,并代入波尔兹曼常数
和真空光速有
D 7.16107
0t
查数学手册可得其傅里叶变换（当然可以积分，但要学会
查手册）
U FU t
U0
对应光强分布为
i2 ( 0 ) 1 2
I ( ) U ( )2
4 2 (
U
2 0
0 )2 (1 2 )2
9
洛仑兹线型函数
线形函数是相对光强分布，可写成
fN
(
)
4
2 (
A
0 )2
(1
2 )2
由归一化条件可计算出（也可查数学手册的积分表）
介质中光强与单色能量密度的关系
受激辐射与吸收时粒子数密度变化和单色能量密度的关系， 可以用来研究介质中单色能量密度的变化。为了得到光强 的变化规律，需要进一步建立光强与单色能量密度的关系。 考虑平行光通过面积为A，厚度为D的情况，光强为单位 时间内单位面积上通过的总光能
I E E E v c
➢总的受激辐射原子数密度
0 dn2 ( )
0 B21n2 f ( )d
➢总的受激吸收原子数密度
0 dn2 ( )
0 B12n1 f ( )d
5
入射光比被激原子发光谱线宽度小很多
单位时间内
总的受激辐射原子数密度
0 dn2 ( ) 0 B21n2 f ( )d
0 B21n2 f ( )d
三种增宽之二：碰撞增宽
碰撞增宽是考虑了发光原子间的相互作用造成的。这种碰 撞会使原子发光中断或光波位相发生突变，即使发光波列 缩短，这样引起谱线的增宽叫碰撞增宽，用 c 表示
图（1-15）碰撞增宽的形成机理
同理，可由傅立叶变换求出由碰撞增宽引起的谱线线型函数
fc (
)
(
c 0)2
2 ( c
2)2
n2 B21 f ( 0 ) 0 d
n2 B21 f ( 0 )
这种情况表明总能量密度为 的外来光，只能使频率为 0 附近原子造成受激辐射，跃迁几率与被激原子发光线形函
数有关
此时受激辐射跃迁几率为: W21 B21 f (0 )
同理受激吸收跃迁几率为: W12 B12 f (0 )
6
由于光的多普勒效应，光源或接收器之间存在相对运动时， 接收器接受到的光波频率不等于光源与接收器相对静止时 的频率。
多普勒增宽：作为光源的每个发光原子的运动速率和方向 都不同造成的发光光波频率变化也不同，因而发光的谱线 被增宽。
14
超声多普勒效应测血流速
警察用多普勒测速仪测速
15
彩色多普勒超声
16
入射光比被激原子发光谱线宽度大很多
单位时间内 总的受激辐射原子数密度
0 dn2 ( ) 0 B21n2 f ( )d
n2B21 0 0 f ( )d
n2 B21 0
此时受激辐射的跃迁几率为: W21 B21 0
同理，受激吸收跃迁几率为： W12 B12 0
在入射光线宽度远大于原子光谱线宽的 情况下，受激跃迁与原子谱线中心频率 处的外来光单色能量密度有关，跃迁几 率与被激发原子光谱线型函数无关。
动速度为v，在z方向的分量为vz，一般有vz<<c，则接收器 接收到的光频率为
0 (1
vz c
)
图(1-16) 发光原子相对接收器的运动
要得到接受器收到光的线型函数就要知道发光原子的速度 分布规律，即不同速度原子的概率分布
19
气体运动的麦克斯韦分布
麦克斯韦分布律：单位体积内的原子(或分子)数为n，则在
(
m
2k T
)1
2
m
v
2 z
e 2kT
d
vz
21
多普勒增宽的线型函数、高斯线型函数
由多普勒效应可以导出速度和光源静止时光的频率、光源 运动时光的频率之间的关系
0 (1
vz c
)
vz
( 0 0
)c
以及速度微分和频率微分之间的关系
d
vz
c
0
d
代入前式可得高斯型线型函数表
达式：
fD
(
)
(
m
2kT
)1
这两种线型函数都是“钟形”曲线，但它 们大不相同
fD
(0 )
2 D
ln 2
1/ 2
0.939 D
f
H
(
0
)
2
H
0.637
H
实际的光谱线型是均匀增宽线型和非均匀增宽线型的迭加，是“综合 增宽”，一般非均匀增宽占主导，因此出射激光一般为高斯光束。
25
线宽数量级(He-Ne)
N:自然线宽 10MHz L:碰撞线宽 102MHz D:多普勒线宽 103MHz
➢自发辐射 dn2 ( ) A21n2 f ( )d
➢受激辐射 dn2 ( ) B21n2 f ( )d
➢受激吸收 dn2 ( ) B12n1 f ( )d
单位时间内总原子数密度与外来光的单色能量密度及光谱
的线型函数有关
➢总的自发辐射原子数密度 0 dn2 ( ) A21n2 0 f ( )d A21n2
图(1-12) 电偶极子辐射场的衰减振动 8
衰减振动（阻尼振荡）的频谱分析
衰减的阻尼振荡可以分解成无数余弦振动的叠加，每一 组余弦振动都有其特征频率
用傅里叶变换可导出其频谱的数学表达式，
cn
1
0
f (t) exp( j2nt)dt
但首先要把它表示为复指数函数的形式
U
(t
)
U
0e
t 2
e i 2
1.4 光谱线增宽
1
光谱线的线型和宽度
用分辨率极高的摄谱仪拍摄出的每一条原子发光谱线都具 有有限宽度，决不是单一频率的光
光谱片
就每一条光谱线而言，在有限宽度的频率范围内，光强的 相对强度也不一样。设某一条光谱线的总光强为I0，频率 附近单位频率间隔的光强为 I ( )，则频率 附近单位频率 间隔的相对光强 I ( ) I0 表示为
n1)B21 (z)
I(0)
I (z)
I(z)+dI
z z +d z
z
图1-20 光穿过厚度为dz的介质的
情况
30
光能密度微分方程
dN dN1 dN2 (n2B21 n1B12 )(z) f ( )dt
又因为
dt
dz v
c
dz而且g1B12
g 2 B21
(1-40)
净增加的光子数密度可以表示为
dN
(n2
g2 g1
2
mc2
e 2kT
( 0 0
)2
c
0
图(1-17)高斯线型函数 22
高斯线型函数的半宽度
在光源静止时达到线型函数最大值
fD ( 0 )
c
0
(m
2k T
)1
2
在半极大值时对应的频率为
1
0
(
2k T
mc 2
2 0
ln
2)1
2
2
0
(
2k T
mc 2
2 0
ln
2)1
2
多普勒增宽为
D
2
1
2
0
(
2kT mc2
习题
习题P28: 11，12，13
26
1.5 激光形成的条件
要能形成激光，首先必须使介质中的受激辐射大 于受激吸收； 本节由光束进入介质后的变化规律出发研究介质 中的受激辐射大于受激吸收的条件； 从受激辐射大于受激吸收的条件出发再确定激光 器的基本结构，即对应了激光产生的基本条件。
27
受激辐射与吸收时光强的变化
e
m
v
2 z
2kT
d
vz
20
气体发光的线型函数
大量同类原子的发光，由于原子的运动速度各不相同，不 同速度的原子所发出的光被接收时的频率也各不相同。频 率在 , 之间的光强与总光强之比与速度分量为 vz-vz+dv z的原子数占总数的百分比相等
fD ( )d
dnz n
因而
fD ( )d
dnz n
光的多普勒效应
纵向多普勒效应：设光源与接收器在两者连线方向的相对 速度为v，则光的频率为
1 1
v v
c
c
0
➢ 式中 0 为光源与接收器相对静止时的频率。一般情况下v
远小于真空光速，并且光源与接收器相对趋近时，v取正
值；两者背离时，v取负值。上式取一级近似可得
0 (1
v) c
若在介质中传播时，光速应为 c ，则此时的频率可写
T
0
式中 mol 为原子(或分子)量
对于氦氖激光器中氖原子发出的激光0.6328微米，原子量
为20，取T=400K，因此 D 1500 MHz
对于二氧化碳激光器发出的10.6微米波长激光，分子量为
44，同样取T=400K，则 D 60MHz
频宽小很多是因为波长长很多而粒子重量也大很多
再和钠黄光频带做比较。
24
均匀增宽和非均匀增宽
如果发光的每一原子对于谱线增宽的贡献都是相同的，这种增宽为均 匀增宽。自然增宽和碰撞增宽中每一个原子所发的光对谱线内任一频 率都有贡献，遵循洛仑兹线型公式，都是均匀增宽． 不同原子的增宽不同，这种增宽叫非均匀增宽。多普勒增宽中，各种 不同速度的原子对 fD ( ) 中不同频率有贡献。不同原子的作用是不同 的，是非均匀增宽。其线型函数为高斯分布函数
0 fN ( )d A 1 A 1
洛仑兹线型函数用原子辐射的平均寿命表达的形式
fN
(
)
4
2 (
1 0 )2
(1
2 )2
自然增宽: 作为电偶极子看待的原子作衰减振动而造成的 谱线增宽。
10
自然增宽的线形分布函数
由
fN
(
)
4
2 (
1 0 )2
(1
2
)2
当 0 时，f N ( 0 ) 4
沿某方向（朝向接收器方向）具有速度分量在区间为(vz， vz+ dvz)的原子(或分子)数为
dnz
n(
m
) e d 1 2
m
v
2 z
2kT
2k T
vz
➢ 式中m为原子(或分子)质量，T为绝对温度，k为波尔兹曼 常数。
速度分量为vz～vz+ dv z的原子数占总数的百分比为
dnz n
(
m
2k T
)1
2