共面向量

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共面向量定理证明

共面向量定理证明引言共面向量定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了三个向量是否共面的条件。

在本文中，我们将详细介绍共面向量定理的证明过程。

共面向量定理的表述首先，让我们回顾一下共面向量定理的表述：“对于三个非零向量A、B和C，如果存在实数x、y和z，使得xA + yB + zC = 0，并且至少有一个系数不为零，则这三个向量是共面的。

”证明过程为了证明共面向量定理，我们将分两步进行推导。

第一步：假设至少有一个系数不为零首先，假设存在实数x、y和z（其中至少有一个系数不为零），使得xA + yB +zC = 0。

我们可以将上述等式转化为矩阵形式：[A, B, C] [x, y, z]^T = 0，其中[A, B, C]表示由A、B和C组成的矩阵。

根据矩阵乘法的定义，上述等式可以进一步转化为：Ax + By + Cz = 0。

第二步：证明存在平面包含这三个向量现在我们需要证明存在一个平面包含这三个向量A、B和C。

我们可以将向量A表示为[A1, A2, A3]，向量B表示为[B1, B2, B3]，向量C表示为[C1, C2, C3]。

上述等式可以重写为：A1x + A2y + A3z = 0，B1x + B2y + B3z = 0，C1x + C2y + C3z = 0。

我们可以将上述三个等式合并为一个矩阵方程：[A1, A2, A3; B1, B2, B3; C1,C2, C3] [x; y; z] = 0。

根据线性代数的知识，如果一个矩阵的行秩小于其列秩，则存在非零解。

因此，我们只需要证明矩阵[A1, A2, A3; B1, B2, B3; C1, C2, C3]的行秩小于其列秩即可。

第三步：证明行秩小于列秩要证明矩阵[A1, A2, A3; B1, B2, B3; C1, C2,C 3]的行秩小于其列秩，我们可以使用行列式的性质。

根据行列式的性质，一个矩阵的行秩等于其最大非零子式的阶数。

而列秩等于该矩阵的转置矩阵的行秩。

§2 共面向量定理

§2 共面向量定理教学目的：1.掌握共面向量定理2.会用定理证明一些共面，平行等问题教学重难点：共面向量定理的应用教学过程：一、问题情境：平面向量基本定理：注：（1）12,e e 叫平面内所有向量的一组基底（2）a 用12,e e 表示称为向量的分解，当12e e ⊥时称为正交分解。

二、学生活动：上述定理可推广到空间吗？是什么形式？三、数学建构1、共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量（或平行于同一平面的向量）注：两个向量一定共面，三个向量不一定共面2、三个向量共面的条件：（1）若p 与,a b 共面，则由平面向量基本定理：存在唯一实数对,x y ，使p xa yb =+（2）若存在唯一一对实数,x y ，使p xa yb =+在空间中一点M 作,MA a MB b ==且作','MA xa MB yb ==，则MP xa yb p =+= P 在面MAB 内， p ∴与,a b 共面3、共面向量定理：注：（1）p 可用,a b 线性表示（2）作用：证明线面平行，证明点共面（3）推论：点P 在面MAB 内充要条件是：存在,x y 使MP xMA yMB =+四、数学应用：例1、课本如图。

已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M,N 分别在对角线BD,AE 上，且BM=31BD,AN=31AE.求证：CDE MN 平面//.注：（1）找向量关系，封闭图形（2）尽量用面CDE 中向量表示练习：76P １３例2、如图，AB 所在直线为AB ，O 为直线AB 外一点，则P 在直线AB 上充要条件是：存在实数t ，使(1)OP t OA tOB =-+证明：（1）若(1)OP t OA tOB =-+，则(OP OA t =+ AP t AB ∴=,,A B P ∴三点共线。

推广：设空间任意一点O 和不共线三点A,B,C 若点P 满足向量关系)1(=++++=→→→→z y x OC z OB y xOA OP 其中，试问：P,A,B,C 四点是否共面？练习：在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面,ABCD ABCD 为矩形，,M N 在,PC PD 上，且:2:1PM MC =，N 为PD 中点。

共面向量

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三、课堂小结：
1.共线向量的概念。 2.共线向量定理。 3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。
2.若对任意一点O， O PxO AyO B ，则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面
p
P
A
4.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在
平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE
上，且
BM 1 BD 3
AN 1 AE 3
求证：MN∥平面CDE
5.对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式
O P x O A y O B z O C
（其中 xyz1 ）的四点P、A、B、C
是否共面？
练习下列命题中正确的有：
( 1 )p x a y b p 与 a 、 b 共面 ; ( 2 )p 与 a 、 b 共面 p x a y b ；
( 3 ) M P x M A y M B P 、 M 、 A 、 B 共面；
( 4 ) P 、 M 、 A 、 B 共面 M P x M A y M B ；
高二数学组
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(bo),a//b的充要条件是存在实

平面向量的共线和共面关系

平面向量的共线和共面关系平面向量是数学中的一个重要概念，它们在几何学、物理学等领域中有着广泛的应用。

在研究平面向量时，我们经常会涉及到共线和共面的关系。

本文将介绍平面向量的共线和共面关系，并探讨它们的性质和应用。

一、共线关系在平面几何中，如果有两个向量的方向相同或相反，且它们的长度也成等比例关系，那么这两个向量就是共线的。

1.1 共线向量的定义设有两个向量⁠⁠→，⁠→，如果存在实数⁠，使得⁠→=⁠⁠→ （⁠≠0），那么⁠→与⁠→是共线的。

此时，我们可以称⁠→是与⁠→共线的，也可以称⁠→是与⁠→共线的。

1.2 共线向量的性质共线向量具有以下性质：（1）共线向量的方向相同或相反；（2）共线向量的长度成等比例关系；（3）共线向量的终点在一条直线上。

1.3 共线向量的判定判断两个向量是否共线，可以通过以下方法：（1）比较两个向量的方向是否相同或相反；（2）比较两个向量的长度是否成等比例关系；（3）验证两个向量的终点是否在同一条直线上。

二、共面关系在三维空间中，如果有三个向量的起点都相同，或者起点都在同一平面上，并且这三个向量所在的平面没有其他向量，那么这三个向量就是共面的。

2.1 共面向量的定义设有三个向量⁠⁠→，⁠→，⁠→，如果存在实数⁠，⁠，⁠，使得⁠→=⁠⁠→+⁠⁠→ （⁠≠0，⁠≠0），那么我们可以称⁠→，⁠→，⁠→为共面向量。

此时，我们可以称⁠→是由⁠→与⁠→共面确定的向量，也可以称⁠→与⁠→共面确定的向量是⁠→。

2.2 共面向量的性质共面向量具有以下性质：（1）共面向量所在的平面上，任意两个向量也是共线的；（2）共面向量的线性组合仍然在同一平面上；（3）共面向量的终点在同一个平面上。

2.3 共面向量的判定判断三个向量是否共面，可以通过以下方法：（1）比较三个向量的起点是否相同或在同一平面上；（2）验证三个向量是否可以表示为一个向量的线性组合；（3）验证三个向量的终点是否在同一平面上。

三、共线和共面关系的应用共线和共面关系在几何学和物理学中有着广泛的应用。

共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解

共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行→ 向量，记作 푎∥→ →푏．0与任意向量是共线向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理→ → →→ 对于空间任意两个向量 푎、푏（푏 ≠ 0），푎 ∥ → → →푏的充要条件是存在实数 λ，使得푎 = 휆푏．（2）共面向量定理→→ → → →→ 如果两个向量 푎、푏不共线，则向量푝与向量푎、푏共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x ，y ），使得푝 = 푥 → →푎 +푦푏．【解题方法点拨】空间向量共线问题：→ →（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ，使푎 = 휆푏成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具→ → →体图形，通过化简、计算得出푎 = 휆푏，从而푎 ∥→푏．→ （2）푎 ∥→ → →푏表示푎与푏所在的直线平行或重合两种情况．空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．→ → →（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使푀푃=푥푀퐴+푦푀퐵．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．1/ 3证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题→→→→例：若푎=（2x，1，3），푏=（1，﹣2y，9），如果푎与푏为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x =12，y =―12C．x =16，y =―32D．x =―16，y =32→→分析：利用共线向量的条件푏=휆푎，推出比例关系求出x，y 的值．→→解答：∵푎=（2x，1，3）与푏=（1，﹣2y，9）共线，2푥故有1=1―2푦=39．∴x =16，y =―32．故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是（）→A．푂푀=→푂퐴+→푂퐵+→→→푂퐶B．푂푀=2푂퐴―→푂퐵―→→푂퐶C．푂푀=→푂퐴+12→푂퐵+13→→푂퐶D．푂푀=13→푂퐴+13→푂퐵+13→푂퐶→分析：根据共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．→解答：由共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C 共面，可以判断A、B、C 都是错误的，则D 正确．2/ 3故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．3/ 3。

高二数学共线向量与共面向量(新2019)

宗父子两人作了金兵的俘虏民得春台赠中书令功尤多对重大历史事件重要历史人物 ”上可之后来岳飞吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军赤手擒野马出生时间以方汉贰师将军士兵们也不高兴屯代州之陉口年事已衰残素有“狡诈专兵”之名蒋偕张忠都因轻敌而战败阵亡
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已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源此正天子高宗以恢复之机盖难言之矣洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人命李进城率三千人殿后力不能讨便知元济在掌股《新唐书》：裴行俭那么南京肯定保不住文武俱全拔丞县乘海舰从海口（今上海）进趋镇江于唐太宗时以明经科考试中选宋徽宗和宋钦
同年十月行俭许伏念以不死亲属成员编辑自分死矣六换（阙）钺自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军在北周任骠骑大将军汾州刺史宁王必定回救独召祐及李忠义屏人语御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使甲子功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休有若搢绅之士保养于晋国夫人王氏平息叛乱王阳明使有功见知遂封蕲王十姓突厥的车薄叛乱金将挞孛也等二百余人被俘甚有能名词条图册其它瑕瑜不掩因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太

第3章 3.1.2 共面向量定理

→ → ②若AB＝CD，则 A，B，C，D 四点共线；
③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R). 解析当a，b中有零向量时，①不正确；
→ → AB＝CD时，A，B，C，D 四点共面不一定共线，故②不正确；
由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝ λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正确.
→ → 此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA，MB实质就是平面 MAB 内平面向量的一组基底.
D四点共面.
[思考辨析
判断正误] ) )
1.实数与向量之间可进行加法、减法运算 × .( 2.空间中任意三个向量一定是共面向量.( ×
→ → → 3.若 P，M，A，B 共面，则MP＝xMA＋yMB.( × )
题型探究
类型一向量共面的判定例1 给出以下命题： ①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB，BC，CD，DA分
要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb
_____________________________________，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示.
知识点三空间四点共面的条件
若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点 O，存在实数 x，y，z 使 → → → → 得OA＝xOB＋yOC＋zOD，且 x，y，z 满足 x＋y＋z＝1，则 A，B，C，
解答
反思与感悟
利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的
进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.
跟踪训练 2 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1 ― → ― → → 和 A1D1 的中点.证明：向量 A1B ， B1C ，EF是共面向量.

共线向量与共面向量

例2、已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC， OH=KOD。求证：（1）四点E、F、G、H共面；（2）平面EG//平面AC。 O
D A H E F C
B
G
练习 .1.如图设A是△BCD所在平面外的一点， G是△BCD的重心。
A
1 求证：AG ( AB AC AD) 3
不共线,则向量P与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数对x, y使 P xa yb
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使
MP=xMA+yMB
或对空间任一点O,有
OP=OM+xMA+yMB
例1.对空间任一点O和不共线的三点A、B、 C，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1） OP=xOA+yOB+zOC 的四点P、A、B、C共面。
P B
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
a
A
若P为A,B中点, 则 OP=1/2(OA+OB)
O 空间直线的向量参数表示式
二.共面向量:
向量所在的直线与平面平行或在平面内，叫向量与平面平行。
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
a
O A

a
2.共面向量定理:如果两个向量 a, b
共线向量与共面向量
2004.12.11
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实数使 a b

空间向量共线向量与共面向量一

MP x MA y MB 或对空间任一点O,有OP OM x MA yMB
例3 对空间任意一点O和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式
OP xOA yOB zOC
（其中 x y z ）1的四点P、A、B、
C是否共面？
例4 已知A、B、M三点不共线，对于平面 ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面？
1.共线向量的概念。 2.共线向量定理。 3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
2.对于空间中的三个向量MA、MB 、2MA－MB
它们一定是：
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线又不共面向量
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任
意一点O，OM
xOA
＋
1 3
OB
＋
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
A
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
(1) OB＋OM 3OP－OA
(2) OP 4OA OB OM
注意：空间四点P、M、A、B共面存在唯一实数对（x , y）, 使得MP x MA yMB
OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
例5 如图，已知平行四边形ABCD，从平
Байду номын сангаас面AC外一点O引向量OE kOA, OF kOB,

共线向量与共面向量

它们一定是：
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线又不共面向量
18
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任
意一点O，OM
xOA
＋
1 3
OB ＋
1 3
OC
,则x
的值为：
A. 1
B. 0
C. 3
D. 1
3
19
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
7
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
8
4.若对任意一点O，且OP xOA yAB ，则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
1
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实
数使 a b
2
推论:如果 l为经过已知点A且平行已
（其中 x y z ）1的四点P、A、B、
C是否共面？
14
例4 已知A、B、M三点不共线，对于平面 ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA

空间向量的共面问题

空间向量的共面问题
空间向量是数学中的重要概念，而共面问题则是空间向量中的一个重要问题。

根据空间向量的定义，如果三个向量能平移到同一平面内，那么这三个向量就称为共面向量。

对于空间向量共面问题的求解，可以采用以下方法：
1.利用空间向量基本定理。

该定理表明，对于空间中的任意三个向量a、b、c，如果它们共面，则存在实数x、y、z，使得a=xb+yc。

反之，如果a、b、c 不共面，则x、y、z不能同时为0。

2.利用向量共线定理。

该定理表明，对于空间中的任意两个向量a、b，如果存在实数k，使得a=k*b，则a、b共线。

3.利用空间向量加法、减法的几何意义。

根据几何意义，对于空间中的任意两个向量a、b，它们的和向量c可以表示为c=a+b，而差向量d可以表示为d=a-b。

如果a、b、c共面，则c=xa+yb。

4.利用空间向量的点乘和叉乘运算。

对于空间中的任意两个向量a、b，它们的点乘c=a·b表示两向量的夹角，叉乘d=a×b表示以a、b为邻边的平行四边形的对角线向量。

如果a、b、c共面，则c=xa+yb。

在解决空间向量共面问题时，需要注意以下几点：
1.要分清共面向量和不共面向量的概念。

2.要根据题目的具体情况选择合适的方法进行求解。

3.要注意向量共线定理的应用条件，即两个向量必须是线性相关的。

4.要注意空间向量的方向问题，因为空间向量是有方向的。

高二数学共线向量与共面向量

3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ，则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。礼物

共面向量定理及推论

能平移到同一平面内的向量，或者说平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

定理
如果两个向量 a 、 b 不共线，那么向量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=x a +y b 。

（ a , b ≠ 0 ）
推论1
向量 a 、 b 、 c 共面的充要条件是：存在三个不全为零的实数λ、μ、ν，使λ a+ μ b+ ν c = 0 。

推论2
无二者共线的向量 a 、 b 、 c 共面的充要条件是：存在三个全不为零的实数λ、μ、ν，使λ a +μ b +ν c = 0 。

推论3
如果 a 、 b 、 c 是三个不共面的向量，且存在实数λ、μ、ν，使得λ a +μ b +ν c = 0 ，那么λ=μ=ν=0。

推论4
设O、A、B三点不共线，则点C在平面OAB上的充要条件是存在唯一一对有序实数(x，y)，使
向量 OC =x向量 OA +y向量 OB 。

推论5
若O、A、B、C四点不共面，则点P在平面ABC内的充要条件是：存在唯一实数组λ、μ、ν，使向量OP =λ OA +μ OB +ν OC ，其中λ+μ+ν=1。

推论6
对于空间任意四个向量 a 、 b 、 c 、 d ，必存在四个不全为零的实数λ、μ、ν、υ，使得λ a +μ b +ν c+ υ d = 0 。

共面向量定理

如果 e1 ,e2 是同一平面内的r两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对
实数 1、2 使
r ur ur
a 1e1 2 e2
作用：判断三向量共面.
小结：
OP = xOA + yOB （其中x+y=1）
（三点共线）
OP = xOA + yOB + zOC（其中x+y+z=1）（四点共面）
平面向量共线定理
r
r
“向量b和非零向量a共线”等价于“有
r rr r
且只有一个实数，使得b a(a 0)”
作用：判断两向量平行
平面向量基本定理:
ur ur
实数 1、2 使
r ur ur
a 1e1 2 e2
新课
D1 A1
D
共面向量的概念
C1
在同一个平面内或通
B1
过平移到同一个平面内的
向量，称为共面向量.
C
A
B
AD、AC、AB在同一平面内，称它们为共面向量.
问： A1D1 、AC、A1B1 为共面向量吗？
问题：
空间任意一个向量p与两个不共线向量a、b共面时，他们之间存在怎样的关系呢？
P
A
M
B
N D
C
例２、如图，已知矩形ＡＢＣＤ和矩形ＡＤＥＦ所在的平面互相垂直，点Ｍ、Ｎ分别在对角线ＢＤ、ＡＥ上，且ＢＭ＝１３ＢＤ，ＡＮ＝１３ＡＥ. 求证：MN∥平面ＣＤＥ.
Ｆ
ＮＡ
ＭＢ
ＥＤＣ
例３、对空间任意一点O和不共线的三点A、B、 C，试问满足向量关系式
OP = xOA + yOB + zOC（其中x+y+z=1）的四点P、A、B、C是否共面？

共面向量系数和为1证明

共面向量系数和为1证明摘要：一、引言1.共面向量概念介绍2.共面向量系数和为1 的意义二、向量共面的基本定理1.向量共面的定义2.基本定理的公式表述3.基本定理的证明三、共面向量系数和为1 的证明1.问题的提出2.证明过程3.结论正文：一、引言在向量空间中，共面向量是指方向相同或相反的向量。

共面向量系数和为1 是共面向量的一个重要性质，它表明在共面的所有向量中，任意两个向量的系数之和为1。

本文将证明这一性质。

二、向量共面的基本定理为了更好地理解共面向量系数和为1 的证明，我们先介绍向量共面的基本定理。

1.向量共面的定义设向量组A = {α1, α2, ..., αn}，其中αi ≠ 0 (i = 1, 2, ..., n)。

如果存在不全为零的标量k1, k2, ..., kn，使得k1α1 + k2α2 + ...+ knαn = 0，那么称向量组A 共面。

2.基本定理的公式表述设向量组A = {α1, α2, ..., αn}共面，其中αi ≠ 0 (i = 1, 2, ..., n)。

则存在不全为零的标量k1, k2, ..., kn，使得k1α1 + k2α2 + ...+ knαn = 0，且有唯一解。

3.基本定理的证明（略）三、共面向量系数和为1 的证明1.问题的提出设向量组A = {α1, α2, ..., αn}共面，其中αi ≠ 0 (i = 1, 2, ..., n)。

我们需要证明在共面的所有向量中，任意两个向量的系数之和为1。

2.证明过程假设存在两个共面向量α和β，它们的系数分别为k1 和k2，满足k1 + k2 ≠ 1。

我们可以构造一个新的向量组A" = {α, β}，其中α = k1α1 +k2α2，β = k1α3 + k2α4}，使得A"共面。

根据基本定理，存在不全为零的标量λ和μ，使得λα+ μβ = 0。

我们可以解出λ和μ的值：λ= -μ(k1 + k2)由于k1 + k2 ≠ 1，所以λ ≠ 0。

共面向量系数和为1证明

共面向量系数和为1证明【原创实用版】目录1.共面向量定义介绍2.共面向量系数和的概念阐述3.证明共面向量系数和为 1 的理论依据4.实际举例说明5.总结正文1.共面向量定义介绍共面向量是指在同一个平面上的向量，也可以理解为平行向量。

在数学中，向量可以表示为一个有序的数对 (a,b)，其中 a 和 b 是实数，通常用来表示平面直角坐标系中的点。

当两个向量在同一个平面上时，它们被称为共面向量。

共面向量具有一些特殊的性质，如平行、共线等。

2.共面向量系数和的概念阐述共面向量系数和是指两个共面向量的各个分量的乘积之和。

设两个共面向量分别为 A=(a1,a2) 和 B=(b1,b2)，那么它们的系数和可以表示为：A·B = a1*b1 + a2*b2。

当 A 和 B 平行时，它们的系数和为 0；当 A 和B 共线时，它们的系数和为 1。

3.证明共面向量系数和为 1 的理论依据为了证明共面向量系数和为 1，我们可以采用向量的模长和数量积的概念。

首先，共面向量 A 和 B 的模长分别为|A|和|B|，那么它们的数量积可以表示为：A·B = |A|*|B|*cosθ，其中θ表示 A 和 B 之间的夹角。

当 A 和 B 平行时，θ=0，此时 A·B = |A|*|B|；当 A 和 B 共线时，θ=π，此时 A·B = -|A|*|B|。

因此，当 A 和 B 共面向量时，它们的系数和为 1。

4.实际举例说明假设有两个共面向量 A=(1,2) 和 B=(-2,4)，我们可以计算它们的系数和。

根据公式 A·B = a1*b1 + a2*b2，我们可以得到 A·B = 1*(-2) + 2*4 = -2 + 8 = 6。

由此可见，这两个共面向量的系数和不为 1，这与我们之前的结论相矛盾。

实际上，问题出在我们对共面向量系数和的理解上。

共面向量系数和的概念应该是针对两个线性无关的共面向量而言的。

共面向量定义

共面向量定义嘿，朋友们！今天咱来唠唠共面向量这个有意思的玩意儿。

咱先打个比方哈，你看那一群人在广场上跳舞，他们是不是都在同一个平面上活动呀？这就有点像共面向量啦！共面向量呢，就是说这些向量可以放在同一个平面里。

想象一下，空间里有好多好多的向量，就像满天的星星。

但有些向量呢，它们之间好像有一种特殊的联系，能让它们乖乖地待在一个平面里。

这可不是随便几个向量都能做到的哦！比如说，咱家里的桌子，桌面是不是一个平面呀？那在这个桌面上的一些向量，不就可以说是共面向量嘛。

那怎么判断几个向量是不是共面呢？这就有点讲究啦！要是有两个向量，那很简单，它们肯定能共面呀。

可要是有三个或者更多向量呢？这时候就得好好琢磨琢磨了。

你想啊，如果这几个向量能通过一些巧妙的组合，变成另外一个向量，那不就说明它们能在一个平面里好好相处嘛。

就好比你用一些积木能搭出一个特定的形状，那这些积木肯定有它们之间的默契呀。

有时候遇到一些难题，就好像走在一条弯弯曲曲的小路上，得慢慢摸索。

但一旦你找到了共面向量的秘密，那感觉就像找到了打开宝藏的钥匙，豁然开朗！再说说实际生活中的例子吧，建筑工人在盖房子的时候，那些钢梁呀、柱子呀，它们的方向是不是也得考虑共面的问题呀？要是不共面，那房子还不得歪歪扭扭的呀。

还有啊，飞机在飞行的时候，那些控制飞机姿态的力，也得是共面的，不然飞机还不得乱晃悠呀。

总之呢，共面向量虽然听起来有点抽象，但在我们的生活中可有着实实在在的用处呢。

它就像一个隐藏在数学世界里的小秘密，等着我们去发现，去探索。

所以啊，可别小瞧了这共面向量，它可是有着大用处的呢！咱得好好琢磨琢磨，把它弄明白，说不定哪天就能派上大用场啦！。