最新全国数学建模赛题讲评

对流扩散模型

把地形梯度作为流场
考虑瞬时单项流场的 二维扩散问题模型

c q 0 t q kh c
c kh c kc 2 h t c( x, y,t 0 ) c0 ( x, y )
问题四(略) 论文评阅中发现的问题 1 问题理解不透彻，背景了解不够； 2 模型化、定量化不够 3 传播机理没有理解 4 硬套MATLAB 软件, 不理解MATLAB函数 的适应对象 5 论文写作混乱，结果表述能力较差，逻辑 性差 6 本题需要查阅大量文献资料，文献引用问 题突出.
二、数学建模与数学

正确理解数学建模
数学模型不是唯一的 所有数学模型都是错的，但绝大部分是有用的。 数学建模是功利性的，解决问题是其唯一的目的

正确理解数学
数学：描述对象的空间特性与数量特征
数量特征：确定性、不确定性、模糊
二、数学建模与数学

数学建模的地位 识文解字-------文化素养 算数-------------数学素养 ---------------二者构成人类的基本素养 数学是所有科学的基础与核心，数学方 法与计算机技术的有效结合构成了现代数 学技术，数学技术的成功运用已成为几乎 所有科学与工程技术的关键技术甚至为核 心技术。数学融入各学科已成为大势所趋 数学实验或计算机运用是利用数学建模 解决实际问题的助推器。
问题驱动的数学建模方法
前言


全国大学生数学建模竞赛：起始于1992年， 而今已达21年。其规模已发展为近2万个参 赛队，影响力与参赛规模是全国各类学科 之最。 数学建模教学推动了大学数学教学改革。 为什么要学习数学建模？ 数学建模就在你身边！
城市表层土壤重金属污染分析 2011CUMCM---A题
五、CUMCM论文评阅
正确性：不强调与“参考答案”的一 致性和结果的精度； 好方法的结果一般比较好；但不一 定是最好的 清晰性：摘要应理解为详细摘要，提 纲挈领 表达严谨、简捷，思路清新 格式符合规范，严禁暴露身份

五、竞赛论文评阅

评阅方法： 初评：随机、回避、多人、打分、差异修正 答辩：形式----视频或面试 专家组（2-3人），同时打分 目的：论文质量、答辩水平、有无抄袭 或指导教师参与的明显痕迹； 最终成绩：初评成绩与答辩成绩加权求和 获奖与答辩比例的确定：
问题分析-----问题一

空间分布： 即要回答平面上任一点 (x,y)处， 污染物浓度的估计值 c(x,y), 已知条件是给定空间部分观测点 (xi,yj) 的观测值 cij=c(xi,yj) 数据特点：空间散乱数据建模问题 建模方法启示: 空间散乱数据的二维插值;
结果最佳表现形式:二维等值线分布图或三维曲面图.

假设当浓度值大于背景值的上限时，即认 为被污染
重金属污染现状是长期累积形成的，非瞬 时污染所致. 污染源的位置位于浓度最高的点附近.


模型建立----问题一

空间分布：二维插值 难点：散乱数据(网格不完善), 需特别处理。 可选方法： 1、“反距离加权平均”方法，即所谓的 “Shepard”插值方法 ； 2、 Kriging 方法； 其他样条插值方法等
五、CUMCM论文评阅
------从论文评阅看学生参加竞赛中的问题

吃透题意方面不足，没有抓住和解决主要问题； 就事论事，形成数学模型的意识和能力欠缺； 对所用方法一知半解，不管具体条件，套用现成 的方法，导致错误； 对结果的分析不够，怎样符合实际考虑不周； 写作方面的问题(摘要、简明、优缺点、参考文 献);
六、竞赛论文写作

竞赛论文正文写作格式


参考文献不全，或引用他人结果不作交代; 参 考文献应在正文中引用
队员之间合作精神差，孤军奋战； 依赖心理重，甚至违纪（指导教师、 网络）
六、竞赛论文写作


竞赛论文写作格式要求 format2010.doc 论文写作注意事项 摘要写作： 独占一页；包含关键字。 内容：应叙述对问题做了哪些分析，基本假设， 采用了何种建模方法，给出模型及主要符号含义， 对模型采用了什么样的方法或软件求解，给出主 要结果或结论，同时对模型或结果做了何种假设 检验，结果如何？等等。
四、竞赛期间注意事项
拿到题目后,应独立进行思考,然后三个队友 交换意见,达成共识后确定参赛题目. 文献查阅要适度; 竞赛论文应尽早开始组织编写,以免因时间 限制,造成遗憾; 所有程序、计算结果、所编写的论文应注 意随时做好备份,以免丢失;

四、参加竞赛注意事项


组队：成功组队是参赛获奖的重要因素，知 识、能力要相对全面，每个人既要独当一面， 又要互为补充。 题意理解：正确理解题意是建模的关键 1 细心-----注意把握关键词，不放过可能引 导建模方向与问题目的的一切词汇。 2 确定目标要求--------细化与目标相关的有 关因素，分析各因素之间的关联关系，建立 相关模型 3 分清建模的基本要求、难点或关键点 难点和关键点的解决--------创新亮点

思考

该题目建模思想并不复杂，难度在于针对问题一的 分配问题给出通用求解程序(关键) 大部分同学模型形成能力差，不能根据需要建立恰 当的模型 前期数据处理是模型求解的基础，大部分同学未给 出数学描述，数学翻译能力欠缺 求解结果要满足实际问题，全局优化不符合实际 结果表述混乱，反映了参赛同学的科研素养不足
要求：浓度等值线图应包含功能区和地形 高度信息。

Pb
As
模型建立---问题二




数据分析：分功能区对8种元素作多元相关 分析，找出相关性强的因素组合 调查各类污染源的特征污染物 根据相关性判断污染是否来自同一源
结合地形图，和各功能区主要超标位置确 认污染源的性质，判断源、汇？
【污染程度评价】-----分区域评价 评价因子：8个重金属 评价标准：土壤背景值 (区间)， 可用上限值作为阈值 单因素评价方法：单因子指数法 综合评价： 每个点（多个因素）综合评价； 区域所有点综合评价； 评价方法：内梅罗指数，地质累计指数法 (Muller), 污染负荷指数法，模糊综合评价方 法等 污染程度评价：污染等级划分，评价，排序
二、数学建模与数学
为什么要学习数学建模？ 有助于理解数学 有助于推动创新型、交叉型、研究应用型人才的 培养 有助于补充与完善现有大学数学教学体系 有助于引导数学实验能力与自主学习能力 如何学习数学建模： 必要的培训，自主研学、训练 “等奶吃的孩子长不大，找奶吃的孩子长得壮” 养成好的学习习惯，有助于培养创新型人才的脱 颖而出：批判式、主动式。
问题分析---问题三


【传播机理观察】 首先观察污染物空间分布图，并对照地形地貌图，结 合污染物迁移转化基本机理，可以认为研究区的重金 属传播符合对流—扩散特征，即由地形位势差引起的 对流迁移和浓度梯度差引起的扩散迁移。 【建模启示】 耦合插值方法，分别建立基于观测浓度和地形数 据的插值曲面函数，找出传播的特征线，通过求导或 局部加密计算，即可求出污染源所在点的坐标值及海 拔高度。 通过建立对流-弥撒模型，得到了对流为主的正态 分布模型与扩散为主的均匀分布模型，利用插值数据 对模型参数进行最小二乘拟合识别，最终得到污染源 位置
【研究背景】城市发展, 人口增加, 环境恶化； 【研究对象】城市土壤表层土, 8种重金属元素； 【研究目的】应用获得的海量数据资料, 开展城市环境质量评价, 研究人类 活动影响下城市地质环境的演变模式； 【数据条件】 特定城市(青岛)的城区, 分为 5个功能区：生活区(1类区)、工业区(2类区)、山区(3类 区)、 主干道路区(4类区)及公园绿地区(5类区) 项目：采样点的位置、海拔高度及其所属功能区, 每个样本所含的8种重金属元素的浓度, 背景值 采样方式：城区：划分为间距1公里左右的网格子区域, 按照每平方公里1个采样点,GPS定位； 背景值：远离城区的自然区，2㎞间距取样
【建模要求】 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布， 并分析该城区内不同区域重金属的污染程度. 通过数据分析，说明 重金属污染的主要原因 分析重金属污染物的 传播特征, 由此建立模型， 确定 污染源的 位置 分析你所建立模型的优缺点, 为更好地研究城 市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？ 有了这些信息，如何建立模型解决问题？
问题分析----问题四

本问题只给出一个时间点上的数据，信息量 明显不足，需要补充更多的信息。 重金属污染是长期沉积的结果，应根据局部 对流扩散的机理，考虑长期数据观测，多年、 多点的采样信息，从而修正模型参数，进而 给出更精确的传播机理模型

问题假设

各个采样点属于单一功能区
各区域土壤中重金属的背景值相同，不考 虑区域功能差异和地形差异

三、竞赛前期准备
1、选修或自学数学建模课+暑期建模培训 2、熟练掌握常用数学软件的基本用法 （Matlab , Lingo, SAs,Excel） 3、了解竞赛规则: 竞赛章程，论文写作规范。 4、尽量多地模拟近十年数学建模竞赛题，以 了解所涉及的建模方法，竞赛技巧等。 5、成功组队是竞赛成功的基础，队员在知识、 技能方面尽可能全面。 6、既要分工，又要合作。
四、竞赛期间注意事项

建模方向把握： 数学结构 -----建模思路的顺畅展开 不断选择 、不断论证、不断完善 关键点的逐步清晰化 现实与理想之间的平衡，简单与复杂之 间的博弈
四、竞赛期间注意事项


竞赛节奏把握： 注重轻重缓急，分清主次，逐次进行 先宏观、再微观：先主体，后细节 注重效率： 确立分时段的进展目标，合理分工 提倡讨论，提高讨论的有效率， 避免无意义争论，导致前功尽弃；
模型建立---问题三
【传播特征的确定】 污染物扩散的基本特征是对流扩散 首先确定各污染物高浓度大概位置(图形观察) 其次观察高浓度位置周围等值线分布特征 以及地形地貌特征，判断流场( 高度梯度场) 判断对流、对流扩散、扩散为主 确定模型（对流扩散方程） 模型求解：无法直接求解，可利用解析解形式，再利 用插值数据拟合参数，最终确定源位置坐标； 或者利用等高线分布，确定特征线，沿特征线反距离 加权


污染程度评价: 1 数据特点：5个不同区域、8种元素、319个监测点------综 合评价 2 评价标准确定、评价方法 3 污染程度等级划分, 建模启示：综合评价问题.
问题分析---问题二



【污染原因】确定各功能区的主要污染是哪类 污染造成的：生活、交通、工业, 污染方式是点源、面源、线源？ 【数据分析】：结合地形地貌、主要污染分布 空间分布 调查数据：各类污染源的主要特征污染物 【建模方法】分区域对8类进行相关性分析或 聚类分析, 找出相关性强的污染物, 结合污染 源特征污染物判断是哪类污染, 再结合地形地 貌特征、功能区地理位置特征判断造成污染的 途径, 以及高浓度区域的源、汇特征.
四、竞赛期间注意事项
端正态度 正确对待，平和心态，锻炼为主 追求卓越, 锲而不舍 冷静思考，关注细节 亮点与创新点 亮点可体现在建模各个环节中 好的idea是产生亮点的基础 从实际出发是亮点的源泉

五、CUMCM论文评阅



评阅标准： 假设的合理性，建模的创造性， 结果的正确性，表述的清晰性 合理性： 关键假设-----不欣赏罗列大量无关紧要的假 设; 要对假设的合理性进行解释或论证，假设是 建模的基础，正文中要引用 创造性：特别欣赏独树一帜、标新立异，但 要合理



顺利编程求解是本题的关键，计算机能力明显训练 不足.
二、数学建模与数学


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数学不是无源之水，绝大部分数学理论的诞生都 是在具体的科学与工程实践中产生的。数学建模 是数学学科诞生、发展的源泉 典型事例： 牛顿定律：导数与微积分的发现； 七孔桥问题：图论； 数学不是简单的符号与数字游戏，任何数学理论 都有其研究对象与研究目的，本质上也是数学建 模，数学建模是理解数学的一扇窗口 数学建模是数学与实际问题解决的桥梁