人教中考数学与旋转有关的压轴题及答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝

∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE．

(1)在图1中证明小胖的发现；

借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：

(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；

(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =1

2 m°.

【解析】

分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；

（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明

△ABD≌△CBE即可解决问题；

（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到

M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=1

2 m°.

详（1）证明：如图1中，

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中，

AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩

＝＝＝，

∴△DAB ≌△EAC ，

∴BD=EC ．

（2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ．

∵DB=DE ，∠BDC=60°，

∴△BDE 是等边三角形，

∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠ABD=∠CBE ，

∵AB=BC ，

∴△ABD ≌△CBE ，

∴AD=EC ，

∴BD=DE=DC+CE=DC+AD ．

∴AD+CD=BD ．

（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．

由（1）可知△EAB ≌△GAC ，

∴∠1=∠2，BE=CG ，

∵BD=DC ，∠BDE=∠CDM ，DE=DM ，

∴△EDB ≌△MDC ，

∴EM=CM=CG ，∠EBC=∠MCD ，

∵∠EBC=∠ACF，

∴∠MCD=∠ACF，

∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，

∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，

∴△CFG≌△CFM，

∴FG=FM，

∵ED=DM，DF⊥EM，

∴FE=FM=FG，

∵AE=AG，AF=AF，

∴△AFE≌△AFG，

∴∠EAF=∠FAG=1

2 m°．

点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．

2．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF.

(1)求证：四边形ABEF是菱形；

(2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示).

【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°)

【解析】

【分析】

(1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得

∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论；

(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到

∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.

【详解】

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠FAE=∠BEA，

由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF，

∴∠BAE=∠FEA，

∴AB∥FE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

又BE=EF，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.

∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B

∴∠1＝∠2

又AM＝NM，AB＝MG

∴△ABM≌△MGN

∴∠B＝∠3，NG＝BM

∵MG＝AB＝BE

∴EG＝AB＝NG

∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－

又在菱形ABEF中，AB∥EF

∴∠FEC＝∠B=

∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90°

②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN.

同理可得：∠FEN ＝∠FEC －∠4=－ (90°－

)＝－90°

综上所述，∠FEN ＝－90° ∴当点M 在BC 上运动时，点N 在射线EH 上运动(如图3)

当FN ⊥EH 时，FN 最小，其最小值为FE·sin(－90°)

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN 的最小值.

3．（探索发现）

如图，ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形. 小明是这样想的：

（1）请参考小明的思路写出证明过程；

（2）直接写出线段CD ，CF ，AC 之间的数量关系：______________；

（理解运用）

如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D .将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延长FE 与BC ，交于点G .

（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由；