大学电路第五版知识总结第七章

L 过阻尼， 非振荡放电 小结 R 2 C pt p t
uC A1e A2e
1
2
可推 广应 用于 一般 二阶 电路
L R2 临界阻尼， 非振荡放电 C t t
uC A1e
A2te
L R2 欠阻尼， 振荡放电 C
uC Ae
t
sin(t )
uC ( 0 ) 定常数 由初始条件 duC (0 ) dt
1 2
+
C 2 tm uL t
1
iC
tm
L R
di U0 pt pt uL L ( p1e p2e ) dt ( p2 p1 ) t 0, uL U 0 t ∞ , uL 0
2
0< t < tm
t > t i 减小 , u <0 i 增加 , u >0 ， m L ， L
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①电容电压 设 |p2|>|p1|
U0
O
U0 uC ( p2e p t p1e p t ) p2 p1
1 2
uC
p2U 0 p1 t e p2 p1
p1U 0 p t e p2 p1
2
t
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②电容和电感电流 U0
O
uC iC tm
U0 pt pt uC ( p2e p1e ) p2 p1
uC A1e A2 e
p1t
p2 t
uC (0 ) U 0 A1 A2 U 0 A1
duC dt
p1 A1 p2 A2 0
( 0 )
A p1 U 2 0 p2 p1
p2 U0 p2 p1
U0 uC ( p2 e p1t p1e p2t ) p2 p1
1
O
∞
(t) f(0)
f( t) t
同理

∞
f (t )δ(t t0 )dt f (t0 )
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2. 一阶电路的冲激响应
激励为单位冲激函数时，电路中产 生的零状态响应。 例8-1 求单位冲激电流激励下的RC电路的零状态响应。
冲激响应
解
分两个时间段考虑冲激响应 (t) (1) t 在 0－ — 0+间 电容充电，方程为
2 m
由 duL/dt 可确定 uL 为极小时的 t 。
p2 ln( ) p1 tm p1 p2
( p1 e
2 p1t
p2 e ) 0
t 2tm
2 p2t
p2 2ln( ) p1 t p1 p2
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L (2) R 2 C
R R 2 1 p1, 2 ( ) 2L 2L LC
p2 4
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iL 1 A1 e A2 e
代初始条件
t
4t
iL (0 ) iL (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 ) 0
1 A1 A2 0 A1 4 A2 0
4 A1 3
1 A2 3
4 t 1 4 t 阶跃响应 iL (t ) s(t ) 1 e e ε(t )A 3 3
微分方程所描述的电路。 2. 二阶电路的性质取决于特征根，特征根取决 于电路结构和参数，与激励和初值无关。
p
2
2 0
1 2
pt pt u A e A e 0 过阻尼， 非振荡放电 C 1 2
0 临界阻尼， 非振荡放电 uC A1e t A2te t
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t=2 tm时 uL 最大
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di U0 pt pt uL L ( p1e p2e ) dt ( p2 p1 )
1 2
iC=i 为极值时，即 uL=0 时的 tm 计算如下:
( p1e p2e ) 0
p1t p2 t
p2 e pt p1 e
p1t m
t
uC A1e
A2te
t
相等负实根
u ( 0 C ) U 0 A1 U 0 由初始条件duC (0 ) 0 A1 ( ) A2 0 dt
A1 U 0 A2 U 0
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uC A1e
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1 uC e C

t RC
ε(t )
t 1 RC iC δ(t ) e ε (t ) RC
iC 1 t
1


1/
p ( t)
lim p ( t ) δ ( t ) 0
- / 2 O / 2
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t
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单位冲激函数的延迟
δ(t t0 ) 0 (t t0 ) ∞ δ(t t0 )dt 1 ∞
单位冲激函数Biblioteka Baidu性质
( t - t 0)
2
特解:
US uC
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uC解答形式为
uC US A1e A2e ( p1 p2 ) t t uC US A1e A2te ( p1 p2 ) t uC US Ae sin(t ) ( p1、 j ) 2
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7-7 二阶电路的阶跃响应
1. 单位阶跃函数
定义
0 (t 0) ε(t ) 1 (t 0)
( t)
1
O
t
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2. 一阶电路的阶跃响应
阶跃响应
激励为单位阶跃函数时，电路 中产生的零状态响应。
t RC
uC (t ) (1 e
1 i(t ) e R
A1 U 0
t
A2te
t
t uC U 0e (1 t ) duC U 0 t iC C te 非振荡放电 dt L di t uL L U 0e (1 t ) dt
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A2 U 0
iR 0.2 iC 2F iL 0.25H 0.5iC
iS= ε(t )A
解
对电路应用KCL列结点电流方程有
iR iC iL 0.5iC iS
iR 0.5iC iL ε(t )
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代入已知参数并整理得： d i 5 d iL 4i 4ε (t ) L 这是一个关于的二阶线性非齐次方程，其解为
电路的动态过程是过阻尼性质的。
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7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应
1. 单位冲激函数 δ ( t ) 0 ( t 0 ) 定义
1
O
(t) t
单位脉冲函 数的极限
∞
∞
δ(t )dt 1
p(t ) [ε(t ) ε(t )] 2 2
0 1 ∞
以电容电压为变量时的初始条件：
uC(0+)=U0 i(0+)=0 uC(0+)=U0 di uC (0 ) uL (0 ) L U0 dt t 0

以电感电流为变量时的初始条件：
duC dt
0
t 0
i(0+)=0
di U0 dt t 0 L

2 d u d u C 电路方程： LC RC C uC 0 dt dt 2 特征方程： LCp RCp 1 0
t
0 U 0e t
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特例：R=0 时
1 π 0 ， 0 ， 2 LC

uC U 0 sin(t 90 ) u L U0 i sin(t ) L
+ C -
等幅振荡
L
O
t
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L (3) R 2 C
R p1 p2 2L
共轭复根 (谐振角频率)
R 1 令： (衰减系数), 0 2L LC
02 2 (固有振荡角频率)
p j
j t
uC 的解答形式：
uC A1e A2e
p1t
p2t
e ( A1e
t
t
A2e
j t
)
经常写为：
uC Ae
sin(t )
注意
t RC
)ε (t )
ε (t )
i
R C + uC –
ε(t )
uC (0－)=0
t RC
ie

t RC
ε (t ) 和 i e
t 0 的区别。
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2. 二阶电路的阶跃响应 例7-7 已知图示电路中uC(0-)=0, iL(0-)=0，求单位
阶跃响应 iL(t)。
0 欠阻尼， 振荡放电
uC Ae t sin(t )
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3. 求二阶电路全响应的步骤 ①列写t >0+电路的微分方程。 ②求通解。 ③求特解。 ④全响应=强制分量+自由分量。 ⑤由初始值 df 。 定常数 (0 ) dt
f (0 )
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2 R R 2 1 R R 4L / C 特征根： p ( ) 2L 2L LC 2L
2. 零状态响应的三种情况
L R2 C
L R2 C
二个不等负实根 过阻尼
二个相等负实根 临界阻尼
L R2 C
二个共轭复根
欠阻尼
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L (1) R 2 C
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0 uC 是振幅以 U 0为包络线依指数衰减的正弦函数。 t=0 时 uC=U0 uC =0：t = －，2－ ... n－ uC 0 t U0 U 0e
O
0 t uC U 0e sin(t )
－ 2－ 2
1 2
t
duC U0 pt p t iC C (e e ) dt L( p2 p1 )
1 2
t=0+ iC=0 , t= iC=0 iC>0 t = tm 时iC 最大
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③电感电压
U0
O
uC
U0 pt pt uC ( p2e p1e ) p2 p1
R
iC + uC C -
duC uC C δ(t ) dt R
uC(0－)=0
注意 uC不是冲激函数 , 否则KCL不成立。
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0
0
0 u 0 duC C C dt 0 dt 0 δ(t )dt 1 dt R



0
C[uC (0 ) uC (0 )] 1
p1t p2 t
du (0 ) 由初值 uC( 0 ), 确定两个常数 dt
US uC
O
t
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2. 二阶电路的全响应 例6-2 已知：iL(0-)=2A uC(0-)=0 求：iL, iR。
50
R iR iL 50 V 0.5H iC + 100F
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小结 1. 二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常
结论 电容中的冲激电流使电容电压发生跃变。
(2) t > 0 为零输入响应（RC放电）
1 uC (0 ) uC (0 ) C

1 uC e t 0 C t uC 1 iC e RC R RC

t RC
R
iC + C uC
－
t 0
1 uC (0 ) C

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（1）
O
t0
t
①冲激函数对时间的积分等于阶跃函数
0 ∞δ(t )dt 1
t
t0 t 0
ε (t )
dε (t ) δ(t ) dt
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②冲激函数的“筛分性”

∞
∞
f (t )δ(t )dt f (0) δ (t )dt f (0)
∞
∞
f(0)(t)
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7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应 uC(0－)=0 , iL(0－)=0 +
微分方程为
L
US R
d uC duC LC RC uC U S dt dt
2
-
iL + uC
- C
uC uC uC
特解 通解
特征方程为
LCp RCp 1 0
uR L d iL iR R R dt
d uC d 2 iL iC C LC 2 dt dt
dt
2 L 2
dt
iL i i
p1t p2 t i A1 e A2 e i 1 2 特征方程 p 5p 4 0
特解
通解
解得特征根
p1 1