病态矩阵的例子
研究生数值分析(9)矩阵的条件数与病态线性方程组
X A 1 b 即 X A b 于是有
③
另一方面，由①得
b A X
且 X 0
故
A 1 X b
④
由③与④有
X
X
A
1
A
b
b
⑤
表明解的相对误差不超过右端向量b
的相对误差的 A1 A 倍。
（2）仅有小扰动δ A（设 A+ δ A 仍可逆） ~ 的解为 X X X 设方程组 ( A A) X b 即
1 1 A 1 1.0001
10001 10000 A 10000 10000
1
及其逆矩阵
在行模意义下的条件数
Cond ( A) A1
A 20001 2.0001 40004
因此称方程组 x1 x2 2 x1 1.0001x2 2 为病态方程组。
x1 0.9999 x2 1.9999
②
的解为
x1 1; x2 1
它们的解变化很大，这样的方程组称为“病态”
方程组。 下面，我们给出方程组“病态”，“良态”
概念及其衡量标准，并介绍判断近似解可靠性方
法。
1 矩阵的条件数与线性方程组的性态 由于方程组AX=b系数矩阵A与右端向量b 的初始数据微小变化引起解的很大变化，这样
§3 矩阵的条件数与病态线性方程组
判断计算方法的好坏，可用算法是否稳定、 解的精确程度以及计算量、存储量的大小来衡量。 然而，同一方法用于不同问题，效果却可以相差 很远。 例如 方程组
x1 x2 2 x1 1.0001x2 2
x1 2; x2 0
①
解为
病态矩阵
病态矩阵
病态矩阵的最根本的特征：病态矩阵的条件数（||A||*||A^(-1)||定义为A 的条件数，||A||为A的范数，MATLAB中范数的求法c = cond(A,p)，p为几范数，默认情况下为二范数）很大（可以用机器精度的一半来衡量,比如双精度浮点数的精度大约是10^(-16)，那么条件数大于10^8就算比较坏了.），即最大特征值与最小特征值的比值很大。
病态矩阵对扰动特别敏感。
病态矩阵矩阵不能求逆。
例如，有一个变量是其他三个变量之和，这个变量也存在于模型中，这个矩阵就是病态矩阵。
解决方法：
1.利用正则化方法可以解决这一问题
最经典的正则化方法就是Tikhonov正则化，另外一种方法就是Total Variation
2.奇异值分解
将病态矩阵分解为A=SVD
3.模拟退火算法
/view/3a75ad82bceb19e8b8f6baad.html#opennewwindow
4./link?url=ripw0P7tMkcEl2x5zmkOJ-_iDFdfOLQ0Ox9ao cKY3sAJMFXEBQa__Yq6OVb3R41__nvgiWEQhA0bxXWzZzpQiFH7_IlNWlvqyrkKjLqvQ qC。
矿区坐标转换中病态矩阵与坐标粗差的处理算法
矿区坐标转换中病态矩阵与坐标粗差的处理算法矿区坐标转换是在矿区测量和地图制图过程中常见的一项工作。
它的目的是将矿区内的局部坐标系转换为全球坐标系（如UTM坐标系），以便将测量数据与地理信息系统（GIS）数据进行集成和分析。
在实际中，由于各种误差和扰动的存在，矿区坐标转换可能会产生病态矩阵问题，导致转换结果与真实坐标之间存在较大的差异。
解决病态矩阵问题以及处理坐标粗差是矿区坐标转换中必不可少的一项工作。
病态矩阵是指在矩阵计算中，由于矩阵的条件数较大，导致计算结果对输入误差高度敏感的情况。
在矿区坐标转换中，病态矩阵通常是由于矿区局部坐标系与全球坐标系之间的转换关系非常复杂造成的。
为了解决病态矩阵问题，可以采用以下方法：1. 数据预处理：在进行坐标转换之前，对采集到的局部坐标数据进行预处理。
包括数据的滤波、平差和精度分析等步骤，以提高数据的质量和可靠性。
2. 改进模型：病态矩阵问题通常是由于模型中存在的不稳定性引起的。
可以通过改进模型，如引入更多的控制点、加入附加方程等方法，来提高模型的稳定性和鲁棒性。
3. 数据加权：在进行坐标转换时，可以对数据进行加权处理。
通过为不同的数据点分配不同的权重，可以降低数据中误差较大的点对结果的影响，从而减小病态矩阵的影响。
坐标粗差是指由于错误的测量或错误的数据处理产生的偏离真实值较大的坐标点。
坐标粗差是矿区坐标转换中常见的问题，导致转换结果与真实坐标之间存在较大的差异。
为了处理坐标粗差，可以采用以下方法：2. 多样性数据分析：通过对不同类型的数据进行分析和比较，可以识别出可能存在的坐标粗差点。
使用不同的测量方法、不同的设备或多次测量等方式来获得更多的数据，以便对比和验证数据的一致性。
3. 自动检测和修复算法：可以使用自动检测和修复算法来处理坐标粗差问题。
这些算法可以根据一定的规则或经验知识，自动识别和修复异常点，以提高数据的精度和可靠性。
矿区坐标转换中的病态矩阵和坐标粗差问题是影响坐标转换结果准确性和可靠性的关键因素。
Hilbert矩阵
希尔伯特矩阵的注记（2009-11-21）一、希尔伯特矩阵的来源及矩阵的正定性设f (x )∈C [0，1]，求n 次多项式P (x ) = a 0 + a 1x + a 2 x 2 + …… + a n x n使得⎰-=12)]()([dx x f x P L取最小值。
其中，P (x )称为函数f (x )的最佳平方逼近多项式。
由极值必要条件，对⎰∑=-=1210])([),,,(dx x f x aa a a L nj j jn中的变量求导数，得⎰∑⎰⎰∑=+=-=-=∂∂1110)(22])([2nj iji j n j jj iidx x f x dx xa dx x f xa x a L令其为零，得方程组∑⎰===++n j ij n i dxx f x a j i 01),,1,0()(11令⎰=1)(dx x f x b ii ，将方程组写为矩阵形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++n n b b b a a a n n n n n1010)12/(1)2/(1)1/(1)2/(13/12/1)1/(12/11 方程组的系数矩阵就是著名的Hilbert 矩阵。
多项式可表示为内积形式⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x xa a a x P 1][)(1所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n nn n a a a x x x x a a a x P 10102]1[1][)]([积分，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=⎰n n a a a n n n n n a a a dx x P101012)12/(1)2/(1)1/(1)2/(13/12/1)1/(12/11][)]([由此可知，希尔伯特矩阵是对称正定矩阵。
二、希尔伯特矩阵的病态性希尔伯特矩阵是著名的病态矩阵。
n 阶Hilbert 矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++=)12/(1)1/(1/1)1/(13/12/1/12/11n n nn nH n随着的增大，矩阵条件数迅速增加。
测量数据处理中病态矩阵和部分有偏估计方法
文章编号:0494 0911(2010)09 0009 03中图分类号:P207 文献标识码:B测量数据处理中病态矩阵和部分有偏估计方法吴 杰,苗恒严(宿迁学院,江苏宿迁223800)Ill posed M atrix and Parti al B iased E stimati on M ethod i nM easure m ent Data Processi ngW U J i e ,M IAO H engyan摘要:从扰动角度、空间几何角度、超椭球的角度对病态方程进行研究,加深对病态方程的认识,并给出部分有偏估计方法。
数值试验结果表明,该方法效果较好,可以作为相关计算的参照。
关键词:测量平差;病态性;条件数;空间几何分析;复共线性;部分有偏估计方法收稿日期:2010 02 02基金项目:宿迁学院科研基金资助项目(2010KY14)作者简介:吴 杰(1975 ),男,江苏宿迁人,硕士,讲师,现主要从事工程测量及数据处理方面的研究。
一、引 言在测量数据处理中,最小二乘法是被广泛采用的估计方法,但是当模型存在病态时,观测数据的微小扰动常常会造成估值与其真值存在很大偏差,估值表现不稳定。
病态问题危害非常严重,且存在于变形观测数据处理、大地测量、GPS 数据处理等许多领域。
目前处理病态方程效果较好的方法有有偏估计中的岭估计和截断奇异值分解方法,但都存在不同程度的缺点。
本文拟从不同角度去认识病态方程的本质,同时探讨用部分有偏估计方法对病态方程进行解算,并给出符合相应精度要求的解。
二、病态方程的本质1.最小二乘原理[1]Guass M ar kov 模型为L n 1=A m n X n 1+ n 1E ( )=0,D ( )= 20P-1(1)用误差方程表示V =A X ^-L(2)按最小二乘原理V TPV =m i n ,求得法方程N X ^=W(3)其中,N =A T PA,W =A TPL 。
最小二乘解为X ^=(A T PA )-1A T PL =N -1W (4)2.从扰动的角度认识病态性在式(3)中,当N 、W 有微小扰动时,参数估值X ^也有扰动(N + N )(X ^+ X ^)=W + W (5)化简得X ^=-N -1 N (X ^+ X ^)+N -1W (6)将上式两端取范数,并应用向量范数的三角不等式及矩阵和向量范数相容条件有! X ^!∀!N -1!! N !(!X ^!+! X ^!)+!N-1!! W !(7)整理得1-K! N !!N !! X ^!!X ^!∀K ! N !!N !+! W !!W !(8)其中,K =!N !!N -1!,当N 的扰动 N 很小时,使!N-1!! N !<1,有! X ^!!X ^!∀K 1-K! N !!N !! N !!N !+! W !!W !(9)条件数K 度量了法方程的病态程度,一般认为条件数小于100时为良态,条件数在100~1000时为中等程度的病态;条件数超过1000时存在严重病态。
三维重建面试3：旋转矩阵-病态矩阵、欧拉角-万向锁、四元数
三维重建⾯试3：旋转矩阵-病态矩阵、欧拉⾓-万向锁、四元数摘抄部分有意思的链接，如有不适，请移步原⽂。
参考知乎上的⽂章链接：四元数由汉密尔顿发明，这⼀发明起源于⼗九世纪的某⼀天。
在这⼀天早上，汉密尔顿下楼吃早饭。
这时他的⼉⼦问他，“爸爸，我们能够对三元数组（triplet，可以理解为三维向量）做乘法运算么？”汉密尔顿说“不⾏，我只能加减它们。
”这时来⾃21世纪的旁⽩旁先⽣说，“⼤家快来看⼗九世纪的数学家有多⼆，连内积和外积都不是知道。
”⼗九世纪的汉密尔顿也许确实不知道内积和外积，但是他知道，他想要的三维向量乘法要⽐内积和外积运算“⾼⼤上”很多。
这⼀乘法运算要满⾜下列四条性质：1.运算产⽣的结果也要是三维向量2.存在⼀个元运算，任何三维向量进⾏元运算的结果就是其本⾝3.对于任何⼀个运算，都存在⼀个逆运算，这两个运算的积是元运算4.运算满⾜结合律换⽽⾔之，汉密尔顿想定义的不是⼀个简单的映射关系，⽽是⼀个群！（后来我们知道四元数所在群为S3，⽽四元数所代表的三维旋转是SO(3)，前者是后者的两倍覆盖）内积连性质1都不满⾜，外积不满⾜性质3。
汉密尔顿先⽣就这么被⾃⼰⼉⼦提出的问题难倒了。
经历了⽆数个⽇⽇夜夜，他绞尽脑汁也没想明⽩这个问题。
终于有⼀天（1843年的⼀天），汉密尔顿先⽣终于意识到了，⾃⼰所需要的运算在三维空间中是不可能实现的，但在四维空间中是可以的，他是如此的兴奋，以⾄于把四元数的公式刻在了爱尔兰的⼀座桥上。
旁⽩：“WTF，我让你讲三维物体的旋转，你给我扯到四维空间上去。
”（不加说明，以下所说四元数全为单位四元数）其实，四元数有四个变量，完全可以被看作⼀个四维向量。
单位四元数（norm=1）则存在于四维空间的⼀个球⾯上。
，四元数乘以四元数其实看作（1）对进⾏左旋转，或者（2）对进⾏右旋转。
所以从始⾄终，四元数定义的都是四维旋转，⽽不是三维旋转！任意的四维旋转都可以唯⼀的拆分为⼀个左旋转和⼀个右旋转，表达出来就是。
病态矩阵 预处理 matlab
病态矩阵在数学和计算机科学中是一个重要的概念，它在多种领域都有着广泛的应用。
本文将结合 matlab 中的预处理方法，对病态矩阵进行深入探讨和分析，希望能够为相关领域的研究和实践提供一定的参考价值。
一、病态矩阵的定义和特性1. 病态矩阵的定义病态矩阵是指条件数(矩阵的最大奇异值与最小奇异值的比值)非常大的矩阵，这意味着它对输入数据的微小扰动非常敏感。
具体来说，当一个矩阵的条件数远大于1时，就可以认为它是病态矩阵。
2. 病态矩阵的特性病态矩阵在数学和计算机科学中有着重要的地位，它的特性主要包括：（1）对输入数据敏感：病态矩阵对输入数据的微小扰动非常敏感，可能导致计算结果的误差被放大。
（2）计算困难：病态矩阵在求逆、求解线性方程组等计算过程中可能会出现数值不稳定的情况，导致计算困难和误差的积累。
二、病态矩阵的预处理方法1. 规范化规范化是一种常用的病态矩阵预处理方法，它通过将矩阵的每一行除以该行的范数，使得矩阵的每一行都具有单位范数。
这样可以有效地减小矩阵的条件数，提高计算的稳定性和准确性。
2. 正交化正交化是另一种常用的病态矩阵预处理方法，它通过将矩阵进行正交变换，使得矩阵的列向量之间相互正交。
这样可以提高矩阵的条件数，改善计算的稳定性和精度。
3. 奇异值分解奇异值分解是一种更为复杂但有效的病态矩阵预处理方法，它通过将矩阵分解为奇异值矩阵、左奇异向量和右奇异向量，从而减小矩阵的条件数，提高计算的准确性。
三、matlab 中的病态矩阵预处理实现matlab 是一种强大的科学计算软件，它提供了丰富的病态矩阵预处理工具和函数，可以方便地进行病态矩阵的处理和分析。
下面我们主要介绍 matlab 中常用的病态矩阵预处理函数和实现方法。
1. cond 函数matlab 中的 cond 函数可以用来计算矩阵的条件数，从而帮助用户评估矩阵的病态程度。
通过 cond 函数，用户可以及时发现矩阵的病态特性，为后续的预处理和计算提供参考。
几何的角度解释矩阵出现病态
矩阵的范数范数的定义若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足：1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；2. 正齐次性：║AB║│≤│A║B║；3. 次可加性(三角不等式)：║A+B║≤║A║+║B║ 。
那么║·║称为X上的一个范数。
（注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。
）在AX=B式中，当A、B有微小扰动时，参数估值Ｘ也有扰动：（A＋ΔA）（Ｘ＋ΔＸ）＝B＋ΔB （1）AΔＸ＝ΔA（Ｘ＋ΔＸ）+ΔBΔＸ＝－A-1ΔA（Ｘ＋ΔＸ）＋A－１ΔB将上式两端取范数，并应用向量范数的三角不等式║AB║│≤│A║B║；║A+B║≤║A║+║B║ 。
||ΔＸ||≤||A-1||||ΔA||（||Ｘ|| ＋||ΔＸ||）＋||A-1| ||ΔB|| 把含有ΔＸ的项移到式子的左边有：(1-||A-1||||ΔA||)||ΔＸ||≤||A-1||||ΔA|| ||Ｘ||+||A-1| ||ΔB||由于有1/||Ｘ||≤||A||/||B||将上式两端同时乘以1/||Ｘ||得：(1-||A-1||||ΔA||)||ΔＸ||/||X||≤||A-1||||ΔA|| +||A-1||||ΔB||A||/||B||;设K=||A||||A-||将上式整理的：（1-K||ΔA||/||A||）||ΔＸ||/||X||≤K(||ΔA||/||A||+||ΔB||/||B||);即有：||ΔＸ||/||X||≤k/（1-K||ΔA||/||A||）(||ΔA||/||A||+||ΔB||/||B||);问题与实验1:试从几何的角度解释矩阵出现病态的原因，并用‘有说服力’的例子来支持你的观点；线性方程组解的敏感性的几何解释(2x2矩阵)线性方程组求解：两直线求交点下面两图分别反映了良态问题和病态问题两种情况。
《病态矩阵的例子》课件
了解病态矩阵的定义、性质以及其在各个领域中的应用。探索病态矩阵会导 致问题的原因，并探讨解决方法和数值稳定性。
什么是病态矩阵
病态矩阵是指在运算过程中非常敏感而导致精度损失的矩阵。了解病态矩阵的定义和基本特征。
矩阵的定义和性质
探索矩阵的基本定义和性质，包括矩阵的形式、操作和运算规则。理解矩阵在数学中的重要性。
病态矩阵的特点
了解病态矩阵的特点，例如条件数的增加，偏差的敏感性以及导致数值不稳定的原因。
为什么病态矩阵会导致问题
探讨病态矩阵会导致计算问矩阵的计算方法
介绍解决病态矩阵问题的计算方法，包括预处理技术和数值稳定的算法。
病态矩阵的影响因素
探讨病态矩阵的影响因素，包括矩阵的条件数、数据误差以及算法选择。
病态矩阵的应用领域
探索病态矩阵在物理学、经济学、生物学、工程学和机器学习等领域中的具 体应用案例。
Hilbert矩阵病态性分析
Hilbert矩阵病态性分析一、问题叙述Hilbert矩阵是著名的病态矩阵，用迭代法解矩阵方程时，如果系数矩阵是Hilbert矩阵，则求解结果误差较大。
本文就研究Hilbert矩阵的病态性，和Hilbert 矩阵的阶数与迭代求解误差大小的关系。
二、问题分析MATLAB中有专门的Hilbert矩阵及其准确逆矩阵的生成函数，从而可以通过MATLAB求解出系数矩阵是Hilbert矩阵的矩阵方程比较准确的解，再根据条件数估计求解误差的大小。
三、实验程序及注释m=input('input m:='); %输入矩阵的阶数N=[m];for k=1:length(N)n=N(k); %矩阵的阶H=hilb(n); %产生n阶Hilbert矩阵disp(H) %输出n阶Hilbert矩阵Hi=invhilb(n); %产生完全准确的n阶逆Hilbert矩阵b=ones(n,1); %生成n阶全1向量x_approx=H\b; %利用左除H求近似解x_exact=Hi*b; %利用准确逆Hilbert矩阵求准确解ndb=norm(H*x_approx-b);nb=norm(b);ndx=norm(x_approx - x_exact);nx=norm(x_approx);er_actual(k)=ndx/nx; %实际相对误差K=cond(H); %计算Hilbert矩阵的条件数er_approx(k)=K*eps; %最大可能的近似相对误差er_max(k)=K*ndb/nb; %最大可能的相对误差enddisp('Hilbert矩阵阶数'),disp(N)format short edisp('实际误差 er_actual'),disp(er_actual),disp('')disp('近似的最大可能差 er_approx'),disp(er_approx),disp('') disp('最大可能误差 er_max'),disp(er_max),disp('')四、实验数据结果及分析程序运行后，输入矩阵阶数4时的输出为：input m:=41.0000 0.5000 0.3333 0.25000.5000 0.3333 0.2500 0.20000.3333 0.2500 0.2000 0.16670.2500 0.2000 0.1667 0.1429Hilbert矩阵阶数4实际误差er_actual1.0284e-013近似的最大可能误差er_approx3.4447e-012最大可能误差er_max4.7732e-011当输入不同的矩阵阶数时，误差大小如表1所示。
(完整word版)几何角度解释矩阵出现病态
矩阵的范数范数的定义若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足：1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；2. 正齐次性：║AB║│≤│A║B║；3. 次可加性(三角不等式)：║A+B║≤║A║+║B║ 。
那么║·║称为X上的一个范数。
（注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。
）在AX=B式中，当A、B有微小扰动时，参数估值Ｘ也有扰动：（A＋ΔA）（Ｘ＋ΔＸ）＝B＋ΔB （1）AΔＸ＝ΔA（Ｘ＋ΔＸ）+ΔBΔＸ＝－A-1ΔA（Ｘ＋ΔＸ）＋A－１ΔB将上式两端取范数，并应用向量范数的三角不等式║AB║│≤│A║B║；║A+B║≤║A║+║B║ 。
||ΔＸ||≤||A-1||||ΔA||（||Ｘ|| ＋||ΔＸ||）＋||A-1| ||ΔB|| 把含有ΔＸ的项移到式子的左边有：(1-||A-1||||ΔA||)||ΔＸ||≤||A-1||||ΔA|| ||Ｘ||+||A-1| ||ΔB||由于有1/||Ｘ||≤||A||/||B||将上式两端同时乘以1/||Ｘ||得：(1-||A-1||||ΔA||)||ΔＸ||/||X||≤||A-1||||ΔA|| +||A-1||||ΔB||A||/||B||;设K=||A||||A-||将上式整理的：（1-K||ΔA||/||A||）||ΔＸ||/||X||≤K(||ΔA||/||A||+||ΔB||/||B||);即有：||ΔＸ||/||X||≤k/（1-K||ΔA||/||A||）(||ΔA||/||A||+||ΔB||/||B||); 问题与实验1:试从几何的角度解释矩阵出现病态的原因，并用‘有说服力’的例子来支持你的观点；线性方程组解的敏感性的几何解释(2x2矩阵)线性方程组求解：两直线求交点下面两图分别反映了良态问题和病态问题两种情况。
希尔伯特矩阵的病态性问题
希尔伯特矩阵的病态性问题（学号：200921100102 姓 名：陈丹丹 ）一、问题叙述希尔伯特矩阵是著名的病态矩阵。
n 阶Hilbert 矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−++=)12/(1)1/(1/1)1/(13/12/1/12/11n n n n n H n L L L L L L L 其条件数 Cond(H n ) 如下表所示n2 3 4 5 6 Cond(H n )1.9281e+001 5.2406e+002 1.5514e+004 4.7661e+005 1.4951e+007随着n 的增大，矩阵条件数迅速增加。
猜测：希尔伯特矩阵条件数以指数规律增长。
即，设矩阵阶数为n ，有Cond(H n ) ≈ exp( a n + b )对表中的条件数做对数变换，问题转化为线性拟合问题ln[Cond(H n )] = a n + b ，( n = 2，3，4，5，6)线性函数的两个系数分别为a = 3.3935，b = – 3.8811故指数拟合函数为：Cond(H n ) ≈ exp(3.3935 n –3.8811 )拟合函数的残差向量为r 2 r 3 r 4 r 5 r 69.9860e-001 -2.0231e+001 -6.8994e+002 -5.7825e+003 5.9012e+005 我们讨论以下三个问题：（1）由于线性拟合所得残差向量较大，下面用实验确定：选择用几次多项式拟合较好（2）设D 是由H n 的对角线元素开方构成的对角矩阵，令11ˆ−−=D H D H nn ，不难看出该矩阵仍然是对称正定矩阵，而且其对角元素全为1。
将H n 变换为n H ˆ的技术称为预处理（Preconditioning ）。
试分析函数)](/)ˆ(ln[nn H Cond H Cond 随n 变化的规律，绘制该函数的曲线。
（3）如果只用左预处理，即D 取希尔伯特矩阵对角元构成对角矩阵，用D 的逆阵左乘H 后条件数如何。
病态矩阵的特征值
病态矩阵的特征值嘿，朋友们！今天咱来聊聊病态矩阵的特征值这个神奇的玩意儿。
你说这病态矩阵啊，就好像是一个有点“脾气古怪”的家伙。
咱正常的矩阵就像是个乖巧听话的孩子，啥都好商量，可病态矩阵呢，就有那么些让人捉摸不透的地方。
咱想想啊，特征值这东西就像是矩阵的“性格特点”。
对于一般的矩阵，它的特征值都挺正常，能让咱清楚地了解它。
可病态矩阵的特征值啊，就有点像那调皮捣蛋的小孩子，时不时就给你闹出点幺蛾子来。
比如说吧，正常矩阵的特征值计算起来顺顺利利的，结果也很明确。
但病态矩阵的特征值呢，可能就会变得特别奇怪，让你算半天都摸不着头脑。
这就好比你要找个东西，在正常地方一下子就找到了，可在病态矩阵这里啊，就好像那东西藏得特别深，让你一顿好找。
你说这病态矩阵的特征值为啥就这么特殊呢？这就好像有些人的性格就是很特别一样，没办法呀！它就是这么与众不同。
有时候你想用常规方法去理解它，嘿，它还就不按套路出牌。
咱再打个比方，正常矩阵就像是一条笔直的大路，你顺着走就行。
可病态矩阵呢，就像是一条弯弯曲曲的小道，你得小心翼翼地走，不然一不小心就会迷路。
那遇到病态矩阵的特征值咱咋办呢？这可得有点耐心和技巧了。
不能着急，得慢慢琢磨，就像解开一个复杂的谜题一样。
而且啊，还得多尝试几种方法，可不能在一棵树上吊死。
你想想看，如果一直被病态矩阵的特征值给难住了，那多憋屈啊！咱可不能轻易被它打败，得想办法搞定它。
这就跟咱生活中遇到困难一样，不能退缩，得迎头而上。
反正啊，病态矩阵的特征值虽然有点麻烦，但咱也不能怕它。
咱要勇敢地去面对，去探索，去找到解决问题的办法。
咱可不能被它这点小古怪给吓住了，对吧？总之，病态矩阵的特征值虽然有点让人头疼，但也是个很有意思的东西。
它让我们知道，数学的世界里可不是只有那些规规矩矩的东西，还有很多奇怪又有趣的现象等着我们去发现呢！所以，大胆地去和病态矩阵的特征值过过招吧！。
病态矩阵的例子
>> norm(x'-ones(8,1))
ans =
9.3866e-007
>> norm(A*x'-b)
ans =
7.0278e-008
1.0000
1.0000
就是说，对于系数矩阵为 8 阶的 Hilbert 矩阵，用 Matlab 中 的”inv”语句，大致能达到 6-7 位有效数字，这时条件数为 10 的 10 次方量级。
Results may be inaccurate. RCOND = 2.632091e-017. >> rank(A) ans =
11
>> A=hilb(100); >> rank(A) ans =
18 >> A=hilb(1000); >> rank(A) ans =
24
>> rank(hilb(2000)) ans =
病态矩阵的例子
>> Eigenvalue=eig(A) Eigenvalue =
0.0000 0.0003 0.0114 0.2085 1.5671 >> cond(A) ans = 4.7661t;> x=inv(A)*b; >> x solution =x
0.0000
0.0000
0.0000
0.0262 0.2981 1.6959
>> cond(A)
ans =
1.5258e+010
0.0001
0.0015
>> b=A*ones(8,1);
>> x=(inv(A)*b)'
矿区坐标转换中病态矩阵与坐标粗差的处理算法
矿区坐标转换中病态矩阵与坐标粗差的处理算法矿区坐标转换是指将采矿现场的实际坐标转换成地理坐标的过程。
在矿区坐标转换过程中，由于各种原因，可能会出现病态矩阵和坐标粗差的情况。
本文将介绍病态矩阵和坐标粗差的处理算法。
1. 病态矩阵的处理算法病态矩阵是指矩阵的条件数非常大，即矩阵的行列式很接近于零的情况。
在矿区坐标转换过程中，病态矩阵的存在会导致计算结果非常不稳定，甚至可能无法得到准确的解。
病态矩阵的处理算法一般有以下几种方法：（1）数据平差法：利用最小二乘法对数据进行平差处理，通过求解最优解来降低矩阵的条件数。
（2）奇异值分解法：将矩阵分解为奇异值矩阵的乘积形式，通过对奇异值进行处理来减小矩阵的条件数。
（3）正则化方法：在目标函数中引入正则化项，通过调整正则化参数来平衡模型的复杂度和数据的拟合程度，从而降低矩阵的条件数。
2. 坐标粗差的处理算法坐标粗差是指由于观测误差或其他原因导致的坐标值明显偏离真实值的情况。
在矿区坐标转换过程中，坐标粗差的存在会对计算结果产生较大的影响，因此需要采取适当的处理方法。
（1）3σ原则：根据正态分布的性质，坐标观测值的误差在三个标准差范围内的概率约为99.7%，所以可以将超出三个标准差范围的观测值认为是坐标粗差，并进行剔除或修正。
（2）最小二乘法：通过采用最小二乘法进行平差处理，可以将坐标粗差的影响最小化，并得到尽可能准确的结果。
（3）加权最小二乘法：根据坐标观测值的精度估计，为每个观测值赋予不同的权重，通过加权最小二乘法进行计算，可以有效降低坐标粗差的影响。
病态矩阵和坐标粗差是矿区坐标转换中常见的问题，需要通过合适的处理算法来解决。
根据具体情况选择适用的方法，可以提高坐标转换的准确性和稳定性。
几何的角度解释矩阵出现病态
矩阵的范数范数的定义若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足：1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；2. 正齐次性：║AB║│≤│A║B║；3. 次可加性(三角不等式)：║A+B║≤║A║+║B║ 。
那么║·║称为X上的一个范数。
（注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。
）在AX=B式中，当A、B有微小扰动时，参数估值Ｘ也有扰动：（A＋ΔA）（Ｘ＋ΔＸ）＝B＋ΔB （1）AΔＸ＝ΔA（Ｘ＋ΔＸ）+ΔBΔＸ＝－A-1ΔA（Ｘ＋ΔＸ）＋A－１ΔB将上式两端取范数，并应用向量范数的三角不等式║AB║│≤│A║B║；║A+B║≤║A║+║B║ 。
||ΔＸ||≤||A-1||||ΔA||（||Ｘ|| ＋||ΔＸ||）＋||A-1| ||ΔB|| 把含有ΔＸ的项移到式子的左边有：(1-||A-1||||ΔA||)||ΔＸ||≤||A-1||||ΔA|| ||Ｘ||+||A-1| ||ΔB||由于有1/||Ｘ||≤||A||/||B||将上式两端同时乘以1/||Ｘ||得：(1-||A-1||||ΔA||)||ΔＸ||/||X||≤||A-1||||ΔA|| +||A-1||||ΔB||A||/||B||;设K=||A||||A-||将上式整理的：（1-K||ΔA||/||A||）||ΔＸ||/||X||≤K(||ΔA||/||A||+||ΔB||/||B||);即有：||ΔＸ||/||X||≤k/（1-K||ΔA||/||A||）(||ΔA||/||A||+||ΔB||/||B||);问题与实验1:试从几何的角度解释矩阵出现病态的原因，并用‘有说服力’的例子来支持你的观点；线性方程组解的敏感性的几何解释(2x2矩阵)线性方程组求解：两直线求交点下面两图分别反映了良态问题和病态问题两种情况。
《病态矩阵的例子》课件
03
CHAPTER
病态矩阵的影响
对计算结果的影响
不正确的解
病态矩阵可能导致数值计算的解完全 错误，即使算法本身是正确的。
解的不稳定性
即使使用相同的算法和相同的数据， 由于舍入误差，不同的计算可能会得 到不同的解。
对算法稳定性的影响
病态矩阵可能导致算法不稳定
在迭代算法中，病态矩阵可能导致算法发散或收敛到错误的 解。
21, 22, 23, 24, 25]
数值例子
``` 计算其条件数为inf，说明这是一个病态矩阵。
数值例子2：给定一个3x3的矩阵B，其元素如下
数值例子
``` [1000, 0.0001, 0.000001; 0.0001, 1000, 0.0001;
数值例子
• 0.000001, 0.0001, 1000]
迭代收敛性检查
在迭代过程中，检查算法 的收敛性，如果发现不收 敛的情况，则采取相应的 措施进行修正。
误差估计
在迭代过程中，估计误差 的大小，并根据误差的大 小调整算法的参数，以提 高数值精度。
病态矩阵的避免方法
避免零元素的出现
在构建矩阵时，尽量避免出现零元素，因为零元素可能会导致算 法的不稳定。
选择合适的数值方法
病态矩阵的识别
高条件数
可以通过计算矩阵的条件数来判断一个矩阵是否为病态矩 阵。如果条件数很大，则该矩阵可能是病态的。
接近奇异或退化
通过检查矩阵的特征值和奇异值，可以判断一个矩阵是否 接近奇异或退化。如果特征值或奇异值很小，则该矩阵可 能是病态的。
元素变化对结果影响
可以通过比较不同初始条件下计算结果的差异来判断一个 矩阵是否为病态矩阵。如果不同初始条件下的结果差异很 大，则该矩阵可能是病态的。
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>> norm(x'-ones(8,1))
ans =
9.3866e-007
>> norm(A*x'-b)
ans =
7.0278e-008
1.0000
1.0000
就是说，对于系数矩阵为 8 阶的 Hilbert 矩阵，用 Matlab 中 的”inv”语句，大致能达到 6-7 位有效数字，这时条件数为 10 的 10 次方量级。
Results may be inaccurate. RCOND = 2.632091e-017. >> rank(A) ans =
11
>> A=hilb(100); >> rank(A) ans =
18 >> A=hilb(1000); >> rank(A) ans =
24
>> rank(hilb(2000)) ans =
0.0000
0.0000
0.0000
0.0262 0.2981 1.6959
>> cond(A)
ans =
1.5258e+010
0.0001
0.0015
>> b=A*ones(8,1);
>> x=(inv(A)*b)'
x=
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000 1.0000 1.0000
n=10; >> A=hilb(10); >> cond(A) ans =
1.6025e+013
> b=A*ones(10,1); >> solution=inv(A)*b; >> solution' ans =
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0003 0.9991 1.0007 0.9996 1.0001 >> norm(ones(10,1)-solution) ans =
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 >> norm(ones(5,1)-x) ans = 3.0055e-011 >> norm(b-A*x) ans = 6.9024e-012
n=8
>> A=hilb(8);
>> Eigenvalue=eig(A)'
Eigenvalue =
0.0012 >> norm(A*solution-b) ans =
7.6071e-005
0.9999
n=12; >> A=hilb(12); >> cond(A) ans =
1.7945e+016 >> x=inv(A)*(A*ones(12,1)); Warning: Matrix is close to singular or badly scalenvalue=eig(A) Eigenvalue =
0.0000 0.0003 0.0114 0.2085 1.5671 >> cond(A) ans = 4.7661e+005 >> b=A*ones(5,1);
>> x=inv(A)*b; >> x solution =x
25 将系数矩阵作微调为 Hilbert(2000)+7*10(-7)* I 2000
>> A=hilb(2000)+0.00000007*eye(2000); >> rank(A) ans =
2000