第五讲 连续变量的参数检验方差分析报告
方差分析报告
方差分析报告引言方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个样本均值的统计方法。
通过方差分析，我们可以确定不同组别之间是否存在显著差异，以及这种差异是否是由随机因素引起的。
本文将对方差分析的原理、应用场景以及实施过程进行详细介绍，并通过一个案例来展示如何进行方差分析并解读结果。
原理方差分析基于总体均值和个体观测值的关系进行推断，其基本思想是将总体方差分解为组内方差（Within-group Variance）和组间方差（Between-group Variance），然后通过比较这两部分方差的大小来判断是否存在组别间的显著差异。
方差分析的假设： - 原假设（H₀）：各组别样本均值没有显著差异。
- 备择假设（H₁）：各组别样本均值存在显著差异。
应用场景方差分析常用于以下场景： - 不同治疗方法的疗效比较 - 不同教育水平对工资的影响分析 - 不同广告投放策略的销售效果比较实施步骤进行方差分析的基本步骤如下：1.收集数据：根据实际需求，收集符合要求的样本数据。
2.建立假设：明确原假设和备择假设。
3.计算总体均值：计算每个组别的样本均值和总体均值。
4.计算组间方差：计算组间平方和、组间均方和和组间自由度。
5.计算组内方差：计算组内平方和、组内均方和和组内自由度。
6.计算F值：根据组间均方和和组内均方和计算F值。
7.判断显著性：根据F值和显著性水平对结果进行判断。
8.结果解读：根据显著性水平，判断组别间的差异是否显著。
案例分析我们以某个电商平台的不同广告投放策略的销售额数据为例，进行方差分析。
首先，我们从该电商平台收集到了三个组别的销售额数据，分别为A组、B组和C组。
我们的目标是比较这三个组别的销售额是否存在显著差异。
数据组别销售额（万元）A组15.6A组13.2A组16.5B组12.3B组11.8B组10.9C组14.6C组16.2C组15.8首先，我们要计算每个组别的样本均值和总体均值。
方差分析的实验报告
方差分析的实验报告方差分析的实验报告引言：方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组之间的均值差异是否显著。
在本次实验中，我们将运用方差分析来研究三种不同肥料对植物生长的影响。
通过对不同处理组的生长情况进行观察和数据分析，我们旨在探究不同肥料对植物生长的影响是否存在显著差异。
实验设计与方法：本实验采用了完全随机设计，共设置了四个处理组，分别为对照组和三个不同肥料处理组。
每个处理组设置了十个重复样本。
实验的主要步骤如下：1. 准备工作：选取相同品种的植物作为实验材料，并确保它们具有相似的生长状态和健康状况。
同时，为了消除外界因素的干扰，我们将植物放置在相同的环境条件下。
2. 分组处理：将植物随机分为四组，其中一组作为对照组，不施加任何肥料，另外三组分别施加三种不同的肥料。
3. 数据收集：在实验开始后的每个固定时间点，我们测量每个植物的生长指标，如株高、叶片数、根长等，并记录下来。
这些数据将用于后续的方差分析。
数据分析与结果：在实验结束后，我们对收集到的数据进行了方差分析。
通过计算各组的平均值、方差和标准差，我们得到了以下结果：1. 株高：对照组的平均株高为30cm，标准差为2cm；肥料A组的平均株高为35cm，标准差为3cm；肥料B组的平均株高为32cm，标准差为2.5cm；肥料C组的平均株高为33cm，标准差为2.8cm。
方差分析结果显示，不同处理组之间的株高差异是显著的（F=4.56, p<0.05）。
2. 叶片数：对照组的平均叶片数为15片，标准差为2片；肥料A组的平均叶片数为18片，标准差为3片；肥料B组的平均叶片数为16片，标准差为2.5片；肥料C组的平均叶片数为17片，标准差为2.8片。
方差分析结果显示，不同处理组之间的叶片数差异是显著的（F=3.21, p<0.05）。
3. 根长：对照组的平均根长为25cm，标准差为2cm；肥料A组的平均根长为28cm，标准差为3cm；肥料B组的平均根长为26cm，标准差为2.5cm；肥料C组的平均根长为27cm，标准差为2.8cm。
连续变量的假设检验检验方差分析
P值
Sig:significance
结论:因为t=1、330,P＝0、199>0、05,所以尚不能认为难 产男婴出生体重均数与正常男婴不同。
一、t检验
(二)完全随机设计(成组设计)得两样本均数比较
(两独立样本t检验)
例2 某医师测得12名正常人和13名病毒性肝炎 患者血清转铁蛋白含量(g/L),结果如下(见数据文 件p193、sav)。问病毒性肝炎患者和正常人血 清转铁蛋白含量有无差异？
一、t检验
(三)配对设计得两样本均数比较
例3 为比较某新药与常规药降血脂得效果,将性别相同、 血清总胆固醇水平相近得高血脂患者配成对子。每对中 随机抽取一人服用新药,另一人服用常规药。服用一段 时间后,测得血清总胆固醇含量(mmol/L)如下(见数据文 件p196、sav)。问新药与常规药降血清总胆固醇效果 就是否相同？
均数比较 单因素方差分析
因变量
因素 进行两两 选项 比较 （方差齐性检验）
Post Hoc对话框:
假定方 差齐性
假定方 差不齐
Options对话框:
方差齐性检验
方差齐性检验
F值 SS
P值 MS
组间 组内 总
F值
P值
结论:经Levene方差齐性检验,P>0、1,因此各组方差齐性。采
用完全随机设计得单因素方差分析,F=5、854,P=0、008<0、
组间 组内
总
F值 P值
SS（III型） df
MS
二、 方差分析
(二)随机区组设计(配伍设计)得两因素ANOVA
(一个研究因素(a个水平),一个配伍因素(b个水平))
例5 三批甘蓝叶样本分别在甲、乙、丙、丁四 种条件下测量核黄素浓度,试验结果如下(见数 据文件p205、sav)。问四种条件下测量得结 果就是否具有差异？
连续变量的统计推断《单因素方差分析》
单因素方差分析表
(基本结构)
方差来源
组间(因素影响) 组内(误差) 总和
平方和SS
SSB SSW SST
自由度
df k-1 n-k n-1
均方
MS
F值
MSB MSB
MSW MSW
单因素方差分析实质上采用了统计推断的方法， 由于方差分析有一个比较严格的前提条件，即不 同水平下，各总体均值服从方差相同的正态分布， 因此方差分析问题就转换成研究不同水平下各个 总体的均值是否有显著差异的问题。
有系统误差，组间平方和SSB除以自由度后的均方与组内 平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大；如果
组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间 的差异不仅有随机误差，还有系统误差
3. 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比
较组间方差与组内方差之间差异的大小
4. 为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量
提出假设
1. 一般提法
§ H0: m1 = m2 =…= mk (因素有k个水平） § H1: m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
2. 对前面的例子 § H0: m1 = m2 = m3 = m4 • 颜色对销售量没有影响 § H0: m1 ，m2 ，m3， m4不全相等 • 颜色对销售量有影响
构造检验的统计量
3. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在
着显著差异
方差分析中的基本假定
方差分析中的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布
§ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分
布总体的简单随机样本
§ 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布
方差分析结果报告
方差分析结果报告1. 引言方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组之间的差异是否显著。
本报告旨在提供一份关于方差分析结果的详细分析和解释。
2. 数据收集与描述首先，我们需要收集与分析相关的数据。
在这次研究中，我们选择了三个组进行比较：组A，组B和组C。
每个组中有50个样本。
我们收集了每个样本的某种测量指标，并将其记录下来。
接下来，我们对数据进行描述统计分析。
对于每个组，我们计算了样本均值、标准差和样本容量。
这些统计量将帮助我们对数据的分布和变异程度有更清晰的认识。
3. 假设检验在进行方差分析之前，我们需要确立适当的假设。
在这个例子中，我们的原假设（H0）是所有组的平均值相等，即μA = μB = μC。
备择假设（H1）是至少有一个组的平均值与其他组不相等。
为了进行假设检验，我们使用方差分析（ANOVA）方法。
ANOVA的核心思想是通过比较组内变异与组间变异的大小来判断差异是否显著。
4. 方差分析结果经过方差分析，我们得到了以下结果：•组间方差（Between-group variance）：X•组内方差（Within-group variance）：Y•F统计量：Z•P值：W其中组间方差表示不同组之间的变异，组内方差表示同一组内的变异。
F统计量是通过组间方差与组内方差的比值计算得到的，用于判断差异是否显著。
P值是指在原假设成立的情况下，观察到当前统计量及更极端统计量的概率。
5. 结果解释与推论根据方差分析的结果，我们得出以下结论：•F统计量为Z，P值为W。
根据显著性水平的设定，我们可以根据P 值来判断差异是否显著。
如果P值小于设定的显著性水平（例如0.05），则拒绝原假设，认为至少有一个组的平均值与其他组不相等。
•如果拒绝原假设，我们可以进行事后多重比较（post hoc multiple comparisons）来确定具体的差异在哪些组之间存在。
需要注意的是，方差分析只能告诉我们是否有显著差异存在，但不能提供关于差异的具体原因。
方差与方差分析实验报告
方差与方差分析实验报告方差与方差分析实验报告引言方差是统计学中常用的一个概念，用来衡量数据集中的离散程度。
方差分析是一种用于比较多个样本之间差异的方法。
本实验旨在通过方差和方差分析的应用，探索不同因素对实验结果的影响。
实验设计我们设计了一个实验，研究不同肥料对植物生长的影响。
为了排除其他因素对结果的干扰，我们选择了相同品种、相同生长环境的植物，并将其随机分为三组，分别施加不同肥料。
每组实验重复10次，以减少随机误差的影响。
实验步骤1. 准备工作：选择适当的植物品种、土壤和肥料，并确保生长条件的一致性。
2. 分组：将植物随机分为三组，每组10个样本。
3. 施肥：分别给每组植物施加不同肥料，确保施肥方法的一致性。
4. 观察记录：在一定时间内，每天记录植物的生长情况，包括高度、叶片数量等指标。
5. 数据整理：将每组植物的生长数据整理成表格，以便后续分析。
数据分析我们使用方差分析来比较不同肥料对植物生长的影响。
首先，我们计算每组植物的平均生长值，并计算出总体的平均值。
然后，我们计算组内差异的平方和，即各组数据与组内均值之差的平方之和。
最后，我们计算组间差异的平方和，即各组均值与总体均值之差的平方之和。
通过计算方差和协方差，我们可以得到组内方差和组间方差的估计值。
方差反映了每组数据与该组均值之间的离散程度，而组间方差则反映了不同组之间的差异程度。
通过比较这两个方差的大小，我们可以判断不同肥料对植物生长的影响是否显著。
结果与讨论经过方差分析，我们得到了组内方差和组间方差的估计值。
通过计算F值，我们可以判断组间方差是否显著大于组内方差。
如果F值大于临界值，就可以认为不同肥料对植物生长的影响是显著的。
在我们的实验中，我们发现组间方差明显大于组内方差，且F值远远超过了临界值。
这表明不同肥料对植物生长的影响是显著的。
进一步的分析显示，第一组施加的肥料对植物生长的促进效果最好，第二组次之，第三组最差。
结论通过方差分析，我们证明了不同肥料对植物生长的影响是显著的。
连续性变量的描述
Horsepower、Time to Accelerate from 0 to 60 mph (accel) 三个变量的变化情况。
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SPSS12.0统计软件
垂线图
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半对数线图
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统计图的种类
➢ 单变量图：连续性变量：直方图（茎叶图）、箱图 分类变量：简单条图、饼图
➢ 双变量图：连续因变量：线图、散点图 分类因变量：复式条图
➢ 多变量图：散点图矩阵等
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统计图的基本要求
➢ 应按照资料的性质与分析目的恰当地选用图形； ➢ 标题位于图形正下方； ➢ 统计图的高：宽接近5：7为宜； ➢ 图中不同的事物用不同的图案或颜色区别，并附图例； ➢ 涉及到坐标轴的图形注意标目、尺度和单位等；
误差线图
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练习
练习二：某地调查居民心理问题的存在现状，资料如下表所示，试绘制 合适的统计图比较不同性别和年龄组的居民心理问题检出情况。
某地男女性年龄别心理问题检出率比较
年龄分组
心理问题检出率（%）
男性
女性
15-
10.57
19.73
25-
11.57
11.98
35-
9.57
15.5
Model Year (modu lo 100)
列变量
St ati s t i cs
行变量
Number o f Cy linders
Tot al
方差分析报告
方差分析报告1. 引言方差分析是统计学中常用的一种假设检验方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
本报告旨在对某个实验数据集进行方差分析，并分析各组之间的差异。
2. 数据集描述本次实验收集了X个样本，每个样本包含了Y个观测值。
在进行方差分析之前，我们首先对数据集进行了基本统计分析，包括均值、标准差等指标。
3. 假设检验我们的研究问题是比较不同组之间的均值是否存在显著差异。
针对这个问题，我们建立了以下假设： - 原假设（H0）：不同组之间的均值没有显著差异。
- 备择假设（H1）：不同组之间的均值存在显著差异。
我们采用方差分析方法来检验上述假设。
4. 方差分析方法方差分析是一种基于方差的假设检验方法，通过比较组内变异与组间变异的大小，来判断组间均值是否存在显著差异。
在本次实验中，我们采用一元方差分析方法。
4.1 方差分析假设条件在应用方差分析之前，我们需要先检验一些假设条件的满足情况： 1. 独立性假设：各组别观测值之间应独立，即组内观测值间相互独立，组间观测值也相互独立。
2. 正态性假设：各组别的观测值应当服从正态分布。
3. 方差齐性假设：各组别的观测值方差应当相等。
4.2 方差分析模型方差分析模型可以表示为以下方程：Yij = μ + αi + εij其中，Yij代表第i组的第j个观测值，μ代表总体均值，αi代表第i组的均值偏差（组效应），εij代表误差项。
4.3 汇总平方和与均方值方差分析中，我们通过计算不同来源的平方和来评估组间和组内的变异程度。
•总平方和（SST）：反映了所有观测值与总体均值之间的差异总和。
•组间平方和（SSA）：反映了不同组均值与总体均值之间的差异总和。
•组内平方和（SSE）：反映了同一组别内观测值与该组均值之间的差异总和。
通过计算平方和，我们可以得到均方值（MS）： - 组间均方值（MSA）：SSA除以自由度（组别数-1）。
- 组内均方值（MSE）：SSE除以自由度（总观测数-组别数）。
连续型变量的推断性分析——方差分析(1)
t检验可以解决连续变量单样本、两样本时的均数比较问题，但如果大于两个样本，那么再使用t检验就不妥，因为t检验主要是两两比较，再大于两样本情况下，再使用两两比较会增大犯I类错误的概率，且这种概率呈指数增长，例如三个样本两两比较，犯I类错误的概率不是a而是1-(1-a)3，是非常大的，因此，在多样本均值差异性分析时，通常采用方差分析。
方差分析(ANOVA)又称变异数分析，由Fisher提出，方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量，它基于差异分解是思想进行：将总差异分解为由研究因素所造成的差异和随机误差所造成的差异两部分，通过构造F统计量，借助F分布做出统计推断，由于随机误差是永远存在的，因此我们只要证明由研究因素造成的差异不等于0就等于证明了研究因素确实存在影响。
总差异(SST)：全部观测值之间的总差异，包含随机因素造成的和研究因素造成的，用各观测值Xij和总均值的差的平方和计算组间差异(SSB)：它是各组间均值的差异，由随机因素造成的差异和可能存在的处理因素所造成的差异组成，用变量在各组的均值与总均值之差的平方和计算组内差异(SSW)：它是各组内自身的差异，只由随机因素组成，用各组的变量值与该组内均值之差的平方和计算用等式表示为：总差异（SST）=组内差异（SSW）+组间差异（SSB）具体推导为：其中总差异分解为组间差异和组内差异，那么相应的自由度也要分解总自由度(dft)=组间自由度(dfw)+组内自由度(dfb)由于组间差异和组内差异均和自由度有关，因此二者不能直接比较，需要各自除以相应的自由度，得到均方差MS(mean suqare)组内SSW、组间SSB除以各自的自由度(组内dfw =n-m，组间dfb=m-1，其中n 为样本总数，m为组数)，得到其均方MSW和MSB。
构造的F统计量为：F=MSB/MSW=（随机因素造成的差异+处理因素造成的差异）/随机因素造成的差异由此可见，如果处理因素没有造成差异，那么组间差异应该接近组内差异，F值应该无限接近1，如果处理因素有造成差异，F值将大于1，且差异性越强，F 值越大。
连续变量的单因素方差分析
误的概率。 （2）EERC：实验误差率，即完成全部比较犯一类错
误的概率。 （3）MEER：最大实验误差率，即完成全部比较犯
一类错误的最大概率。
两两比较中检验水准的校正方法：
（1）对CER不进行校正，即CER = a。这是最简单 的方法，但是我们已经知道多重比较中犯错误的 概率大于一次比较中犯错误的概率，很有可能犯 一类错误的概率很大，因此，这是很冒险的方法。
MSW
SSW N- k
SSW 自由度
方差分析表
方差分析表
方差来源 离差平方和 自由度
组间变异 SSB
组内变异
SSW
总变异
SST
k -1 N- k
N- 1
均方
MSB MSW
表中的数量关系：
（1） 平方和间的关系： SST SSB + SSW
（2） 自由度间的关系：df T df A + df E 即
输出方差相等 性的检验结果
输出各水平下均值的折线图。
剔除所有含有缺失值的观测
计算中涉及的变 量含有缺失值时 暂时剔除观测
检验统计量=1.929相伴P值=0.123 > 0.05，故可 以认为4种水平下各总体的方差无显著差异，满 足单因素方差分析中的方差相等性要求。
图中第1列为方差分析中变异的来源，第2、3、4 列分别为离均差平方和、自由度、均方，检验统计量 F = 16.252，显著性（sig.）P = 0.000 < 0.05。由 此，认为拒绝原假设。
应用条件不满足时的影响
1. 独立性。独立性对结果的影响较大，尽量避免主 观失误。
2. 正态性。方差分析对于资料的正态性有一定的耐 受能力。
连续型变量的推断性分析——方差分析(2)
前面我们介绍了差异分解的方差分析思路，这是最初始的方差分析思想，随着线性模型的发展，人们又将线性模型的思想引入了方差分析，大大提升了这一分析方法的发展空间，下面我们来介绍一下线性模型在方差分析中的体现。
任何一次实验结果都可以表示成如下形式:Y i=μ+εi其中Y i是第i次实验的实际结果，μ是该结果的最佳估计值，其实就是总体均值，εi是均值和实际结果的偏差也就是随机误差，为了方便推导，我们假定εi服从均值为0，标准差为某个定值的正态分布，这也是前面讲到的方差分析的适用条件之一。
我们把以上形式按照方差分析进行推广，假设我们要研究几种水平之间的差异，每种水平抽取一定样本并收集相关数据，那么模型公式可以表示为：Y ij=μi+εij其中Y ij是第i组水平的第j个样本的实际结果，μi是第i组的均值，εij是第i组第j个样本相对于实际结果的偏差。
我们同样假定εi服从均值为0，标准差为某个定值的正态分布，如果这i组水平没有差异，则Y ij应等于总体均值加上随机误差项。
为了方便统计推断，我们又把模型公式改为如下形式：Y ij=μ+αi+εij其中μ表示不考虑分组时的总体均值，αi表示第i组的附加效应，即在第i组时的均值改变情况，例如αi=10，表示第i组的均值要比总体均值多10，如果这i组均值并无差异，那么α1=α2=α3=.....=αi，反正则不等，据此我们可以建立假设：H0：i取任意值时，αi=0H1：i取任意值时，至少有一个αi<>0结合差异分解的方差分析思路，我们发现αi实际上就是处理因素导致的差异。
在多因素方差分析中，我们不但要考虑某个因素的影响，还要考虑多个因素之间的交互作用，因此模型公式还需要扩展，以两因素方差为例，模型公式为：Y ij=μ+αi+βj+γij+εijk其中μ表示不考虑分组时的总体均值，αi表示第i组的附加效应βj表示第j组的附加效应γij表示两个因素的交互作用产生的效应如果我们要分析αi对均值有无影响，需要以αi建立假设，即H0：i取任意值时，αi=0H1：i取任意值时，至少有一个αi≠0如果我们要分析βj对均值有无影响，需要以βj建立假设，即H0：i取任意值时，βj=0H1：i取任意值时，至少有一个βj≠0【线性模型的计算方法和差异分解的计算方法是一样的。
方差分析实验报告
方差分析实验报告一、实验目的：1.学习和掌握方差分析的基本原理和方法。
2.通过实验数据的处理，在不同的水龄条件下，比较水体COD浓度之间的差异，从而分析水龄对COD浓度的影响。
二、实验原理：1.方差分析是一种用来比较不同处理组之间差异性的统计方法。
它可以将总体方差分解为由不同因素引起的组内变异和组间变异，从而确定组间差异是否显著。
2.实验中所用的单因素方差分析是一种简单的方差分析方法，用于比较各组间的均值差异。
三、实验方法：1.实验设计：选取三个不同的水龄条件（10天、20天、30天）进行实验。
2.实验过程：分别采集三个水龄条件下的水样，进行COD浓度的测定。
每组实验重复三次，共计九次测定。
四、实验数据：1.实验数据见附表一2.通过对实验数据的处理，得到各组的均值和方差。
五、数据处理：1.计算总平均数：将所有测定值相加，然后除以测定的总次数。
2.计算组间平均数：将每组测定值相加，然后除以每组测定的次数。
3.计算组内平均数：将每个水龄条件下的测定值相加，然后除以该水龄条件下的测定次数。
4.计算组间平方和和组内平方和。
5.计算组间均方和和组内均方和。
6.计算F值。
7.查找F分布表，确定显著性水平α下的F(α)值。
8.判断各组均值之间的差异是否显著。
六、结果分析：1.通过计算可得，总平均数为X，组间平均数为X1、X2、X3，组内平均数为X1、X2、X32.计算得到组间平方和为SSB，组内平方和为SSW，组间均方和为MSB，组内均方和为MSW。
3.计算得到F值为F=MSB/MSW。
4.查找F分布表，确定显著性水平α下的F(α)值。
若F>F(α)，则拒绝原假设，即各组之间的均值差异显著。
5.若各组均值差异显著，则可以进一步比较各组均值之间的差异。
七、实验结论：1.经过方差分析得知，在水龄条件下，水体COD浓度之间存在显著差异。
2.进一步比较各组均值之间的差异，可以得到水龄越长，水体COD浓度越高的结论。
方差分析的实验报告
方差分析的实验报告方差分析的实验报告引言：方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。
它可以帮助我们确定某个因素对于观测值的影响是否显著。
本实验旨在通过方差分析方法，探究不同肥料对植物生长的影响。
实验设计：本次实验选取了20个植物作为样本，将它们随机分成四组，每组5个植物。
接下来，每组植物分别施用不同种类的肥料：A、B、C和D。
在施肥后的一段时间内，记录植物的生长情况，包括高度、叶片数和根系长度。
通过方差分析，我们可以比较不同肥料对植物生长的影响是否显著。
结果分析：在进行方差分析之前，我们首先需要检验数据的正态性和方差齐性。
通过对数据进行正态性检验，我们发现所有的变量都满足正态分布的假设，因此我们可以继续进行方差分析。
而方差齐性检验结果显示，高度和叶片数的方差齐性假设成立，但根系长度的方差齐性假设不成立。
因此，在进行方差分析时，我们需要注意根系长度的结果。
接下来，我们进行方差分析。
对于高度和叶片数这两个变量，我们使用单因素方差分析；对于根系长度这个变量，由于方差齐性假设不成立，我们使用Welch的方差分析方法。
对于高度和叶片数，我们发现不同肥料对植物的生长有显著影响（F(3, 16) =5.67, p < 0.05）。
通过进一步的事后比较，我们发现使用肥料A和B的植物的生长显著高于使用肥料C和D的植物。
对于根系长度，我们同样发现不同肥料对植物的生长有显著影响（F(3, 7.38) = 3.42, p < 0.05）。
通过事后比较，我们发现使用肥料A的植物的根系长度显著高于使用肥料C和D的植物，而使用肥料B的植物的根系长度也显著高于使用肥料D的植物。
讨论：通过本次实验，我们可以得出结论：不同肥料对植物的生长有显著影响。
肥料A和B对植物的生长效果最好，而肥料C和D的效果相对较差。
这可能是因为肥料A和B中含有更多的营养物质，能够更好地满足植物的生长需求。
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二、单因素方差分析的基本步骤
三、单因素方差分析的SPSS实现
? 例：某企业在制订某商品的广告策略时，对不 同广告形式在不同地区的广告效果（销售额） 进行了评估。这里以商品销售额为观测变量， 广告形式和地区为控制变量，通过单因素方差 分析方法分别对广告形式、地区对销售额的影 响进行方差分析。
? 文件名：广告地区与销售额.sav
三、方差分析的适用条件
? 1、样本来自的总体服从正态分布。 ? 2、样本方差必须是齐次的。 ? 3、各样本之间相互独立。
? 方差分析的类型
第二节 单因素方差分析
一、单因素方差分析的原理
? 于是有：
yij ? ? ? ? i ? ?ij
? 提出原假设，H0： ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? k ? 0
? 备择假设， H1：至少有一个 ? i ? 0
? 单因素方差分析
将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离 差平方和两部分，分别表示为：
SST ? SSA? SSE
其中，SST为观测变量的总离差平方和； SSA为组间离差 平方和，是由控制变量不同水平造成的观测变量的变差； SSE 为组内平方和，是由抽样误差（随机变量）引起的观测变量 的变差。
? 将观测变量选择到 Dependent List 框。
? 将控制变量选择到 Factor框。控制变量有几个不同的取值表示 控制变量有几个水平。
? 至此，SPSS便自动分解观测变量的方差，计算组间方差、组 内方差、 F统计量以及对应的概率 p值，完成单因素方差分析的 相关计算，并将结果显示到输出窗口中。
SPSS单因素方差分析中，方差齐性检验采 用了方差同质性（Homogeneity of Variance）的 检验方法，其零假设是各水平下观测变量总体方 差无显著性差异，实现思路同SPSS两独立样本t 检验中的方差齐性检验。
2、多量是否对观测变量产 生了显著影响。如果控制变量确实对观测变量产生了显 著影响，进一步还应确定，控制变量的不同水平对观测 变量的影响程度如何，其中哪个水平的作用明显大于其 它水平，哪些水平的作用是不显著的。例如已经确定不 同施肥量会对农作物的产量产生显著影响，便希望进一 步了解究竟是10公斤、20公斤还是30公斤施肥量最有利 于提高产量，哪种施肥量对农作物产量没有显著影响。 掌握了这些信息，我们就能够制定合理的施肥方案。
这里我们用F统计量来表示这种比例关系，如果控制变量的不同水平对 观测变量造成了显著影响，那么观测变量总变差中控制变量所占的比例较 大，则F值就比较大；
反之，如果控制变量的不同水平对观测变量没有造成显著影响，那么 观测变量总变差中控制变量所占的比例较小，则 F值就比较小。
F ? SSA/(k ? 1) ? MSA~ F (k ? 1, n ? k) SSE/(n ? k) MSE
如果不考虑喂养前体重的影响，则：
二、方差分析的基本概念
? 1、影响因素的分类： 控制因素和随机因素
? 控制因素或控制变量：是人为可以控制的因素，如种子品种的选 定，施肥量的多少；
? 随机因素或随机变量：另一类因素是认为很难控制的因素，如气 候和地域等影响因素。在很多情况下随机因素指的是实验过程中的 抽样误差。
分析结果表明：F统计量的观测值为4.062，对应的概率P值近似为0， 小于给定的显著性水平0.05。
因此，应该拒绝原假设，认为不同地区对销售额产生了显著影响。
四、单因素方差分析的进一步分析
1、方差齐性检验
由于方差分析的前提是各水平下的总体服从 正态分布并且方差相等，因此有必要对方差齐性 进行检验，即对控制变量不同水平下各观测变量 不同总体方差是否相等进行分析。
其中：
k ni
?? SST?
(xij ? x)2
i?1 j?1
k ni
k
? ? ? SSA?
(xi ? x)2 ? ni (xi ? x)2
i?1 j?1
i ?1
k ni
?? SSE ?
( xij ? xi ) 2
i?1 j?1
在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则 说明观测变量的变动主要是由于控制变量引起的，可以主要由控制变量来 解释，即控制变量给观测变量带来了显著影响。
? 2、控制变量的不同水平 ：控制变量的不同取值或水平，称为控制 变量的不同水平。如甲品种、乙品种； 10公斤化肥、 20公斤化肥、 30公斤化肥等。
? 3、观测变量：受控制变量和随机变量影响的变量称为观测变量， 如农作物的产量等。
? 4、方差分析：方差分析就是从观测变量的方差入手，研究诸多控 制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量以及对观测变 量有显著影响的各个控制变量其不同水平以及各水平的交互搭配 是如何影响观测变量的一种分析方法
第五讲 方差分析
本章内容
? 第一节 方差分析概述 ? 第二节 单因素方差分析 ? 第三节 多因素方差分析 ? 第四节 协方差分析
第一节 方差分析概述
? 一、方差分析的含义和作用
? 方差分析（Analysis of Variance，ANOVA） 是研究分类变量（定类和定序变量）对数值型 因变量影响时所使用的统计分析方法。
? 在利用SPSS进行单因素方差分析时，应注意 数据的组织形式。SPSS要求定义两个变量分 别存放观测变量值和控制变量的水平值。
? 本例中：
X1：广告形式 X2：地区，18个地区 X3：销售额
? 1、选择菜单Analyze －Compare means － One-Way ANOVA ，出现窗口
? 方差分析是R.A.Fister发明的，广泛应用于心 理学、生物学、管理学、工程和医药领域的实 验数据分析。
? 方差分析：是检验多个样本平均数间差异是否 有统计意义的一种方法。
? 例：土壤、日照、施肥等对农作物产量的影响
? 例：方差分析：分析分类型自变量对数值型因 变量的影响。
三种饲料的效果相同吗：
? SPSS输出结果：
广告形式对销售额的单因素方差分析表
分析结果表明：F统计量的观测值为13.483，对应的概率P值近似为0， 小于给定的显著性水平 0.05。
因此，应该拒绝原假设，认为不同广告形式对销售额产生了显著影响。
? 类似上面的步骤，可以进行地区对销售额的影 响：
地区对销售额的单因素方差分析结果