第五章 目标规划

第五章目标规划

第五章目标规划

（Goal Programming，简称GP）

要求： 1、理解有关概念； 2、学会图解法； 3、学会单纯形解法；

4、学会建模；

5、举一反三，学会应用。

§1目标规划的数学模型

前面我们介绍的线性规划是单目标决策方法，也就是说，只用一个性能指标的大小来衡量方案的好坏。但在实际生活中，确定一个方案的好坏，往往要考虑多个目标。比如，在制定生产计划时，既要求产量高，又要求质量好，还期望成本低。又如，在选择一个新工厂的厂址时，要考虑的问题有生产成本、运输费用、基建投资费用，环境污染等多种因素。而且有些指标之间往往不是那么协调，甚至相互矛盾，使得决策人难以确定最优方案。

目标规划是在线性规划的基础上，为适应企业经营管理中多个目标决策的需要而逐步发展起来的。目标规划是一种多目标决策方法，它是在决策者所规定的若干目标值和要求实现这些目标值的先后顺序，以及在给定有限资源条件下，寻求总的偏离目标值最小的方案，这种方案称为满意方案。

目标规划的有关概念和数学模型是在1961年由美国学者查恩斯(A.Charnes)和库伯

(W.W.Cooper)首次在《管理模型及线性规划的工业应用》一书中提出，当时是作为解一个没有可行解的线性规划而引入的一种方法。这种方法把规划问题表达为尽可能地接近预期的目标。

1965年，尤吉·艾吉里(Yuji · Ijiri )在处理多目标问题，分析各类目标的重要性时，引入

了赋予各目标一个优先因子及加权系数的概念；并进一步完善了目标规划的数学模型。表达和

求解目标规划问题的方法是由杰斯基莱恩(Jashekilaineu )和桑·李(Sang #Li)给出并加以改进

的。

下面我们用例子来介绍目标规划的数学模型和有关概念。

例1 某厂生产I 、II 两种产品，有关数据见表。试求获利最大的

生产方案。

这是一个单目标线性规划问题，设x 1、x 2分别为生产产品I 、II

的数量，可得如下线性规划模型：

0,10

2112.

.108max

21212121≥≤+≤++=x x x x x x t s x x z

由图解法可求得最优生产方案是：x 1*= 4，x 2*= 3，Z *= 62 千元。

但实际上，工厂作决策时，不仅要考虑利润，而且要考虑市场等一系列

因素，如：

（1）根据市场信息，产品I 的销售量有下降的趋势，为此，希望产

品I 的产量不超过产品II 的产量；

（2）超计划使用原材料要高价采购，会使成本增加。为此不希望超

用；

（3）应尽可能充分利用设备台时数，但不希望加班；

（4）应尽可能达到或超过计划利润指标56千元。

这样在考虑产品决策时，需要考虑四个目标要求，这就是多目标决策问题。目标规划就是解决这种多目标决策问题的方法。下面我们用上例来说明目标规划的有关概念。

1．偏差变量：

目标规划中引入了正、负偏差变量d+、d-（d+、d-≥0）。正偏差变量d+表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d-表示决策值未达到目标值的部分。因为正、负偏差不会同时出现，即d+、d-至少有一个为零，因此恒有d+ * d- = 0 .

2. 系统（绝对）约束和目标约束

系统约束是指必须严格满足的等式或不等式，如线性规划问题中的所有约束条件都是系统约束，不满足这种约束条件的解就不是可行解，所以它们是硬性约束。目标约束是目标规划特有的等式约束，相对硬性约束来说，它是一种软性约束。当某些约束条件不是必须严格满足时，可用目标约束来表示。比如，希望利润不低于56千元，这个要求并不是必须严格大于等于56千元（即8x1+10x2≥56），而是可以有一定的正、负偏差，为此，我们可引入正、负偏差变量d+、d-，将其写成8x1+10x2-d+ + d-=56，并用min(d-)表示希望利润尽量不低于56千元。又如，希望尽量不超时使用设备，这个要求并不是必须严格小于等于10（即x1+2x2≤10），而是可以有一定的正、负偏差，为此，我们可引入正、负偏差变量d+、d-，将其写成x1+2x2-d+ + d-=10，并用min(d+)

表示希望不超时使用设备。这种等式约束就是目标约束。它把约束条件右端项看作是要追求的目标值，但在实现此目标值的过程中允许发生正偏差或负偏差，为此，在这种约束中引入了正、负偏差变量。线性规划的目标函数，在给定目标函数值时，可转化为目标约束。另外，根据问题的需要，系统约束也可转化为目标约束。

3. 目标的优先级与权系数

一个规划问题常常有若干个目标。但决策者在要求实现这些目标时，是有主次或轻重缓急的。凡要求第一位要实现的目标，就赋予优先因子P1；第二位要实现的目标赋予优先因子P2，┄，并规定 P k>> P k+1，k =1，2，┄，K ，表示 P k比 P k+1有更大的优先权。即首先保证P1级目标的实现，这时可以不考虑其他目标；而 P2级目标是在实现 P1级目标的前提下考虑的；以此类推。若要区别具有相同优先级的两个目标的差别，这时可分别赋予它们不同的权系数 w j，这些都由决策者按照具体情况确定。

4. 目标规划的目标函数

目标规划的目标函数（又称准则函数）是由各目标约束中的正、负偏差变量和决策者规定的优先因子而构成的。当每一目标值确定后，决策者总是希望实现值尽可能接近目标值，也就是希望有关偏差尽量小。因此，目标规划的目标函数都是求极小值的。其基本形式有以下三种：（1）若目标要求尽量等于目标值时，这就是希望正、负偏差都尽量小，它可表示为：

min Z = f（d+ + d-）

（2）若目标要求尽量不超过目标值，而允许达不到目标值时，这

就是希望正偏差尽量小。它可表示为：

min Z = f （d +）

（3）若目标要求尽量不低于目标值，而允许超过目标值时，这就是

希望负偏差尽量小。它可表示为:

min Z = f (d -)

对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求和赋予各级目标的优

先因子来构造目标函数，下面用例子来说明。

例2 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上还要考虑；

P1：希望产品I 的产量不高于产品II 的产量；

P2：希望充分利用设备的有效台时数，但不希望加班；

P3：希望利润不低于 56千元。

求决策方案。

解：按决策者的要求，这三个目标的规划问题的数学模型为：

,,,,,,,56

1081020

11

2)(min 33221121332122211121213322211≥=+-+=+-+=+--≤++++=-+-+-+-+-+-+-

+-+d d d d d d x x d d x x d d x x d d x x x x d P d d P d P z

式中：

P1是希望21x x ≤，但不是必须严格小于，可以有偏差，于是引入

-+11d d 和，把21x x ≤改写为01121=+---+d d x x ，并用 )(min 1+d 表示希望21x x ≤。