第六届时代学习报数学文化节(八年级第一轮试题及答案)

第六届时代学习报数学文化节
八年级第一轮活动书面解答题(2010年12月13日15：00～16：30)
(时间：90分钟．总分：l50分，第13，14，18题每题10分，其余各题，每题8分)
数学之史
1．贾宪三角 完全平方式2
2
2
2)(b ab a b a ++=+中，右式各
项系数依次为l ，2，1．那么，.)(,,)(,)(43n b a b a b a +++ 展开后的各项系数有什么规律呢?1 1世纪中叶，我国数学家贾宪给出了直到6)(b a +的系数表(如图1)．贾宪三角中有很多规律．请写出
两条：
(1) ； (2) ．
2．无字证明 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理．勾股定理的证明方法很多，图2是古印度的一种证明方法：过正方形ADEC 的中心0，作两条互相垂直的直线，将它分成4份．如果这两条直线作得恰当，所分成的四部分和小正方形恰好能拼成大正方形．这种方法，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，堪称“无字的证明”!若BC =6，AC =8，则EF = ．
数学之美
3．拼拼凑凑 规律排列的图形，往往给人以美感．如图3的桌布，可以看作相同的平面花瓶(如图中粗线所示)铺砌而成．如果圆的直径为10厘米，那么一个花瓶的面积是 平方厘米．
4．月牙奥秘 如图4，三个半圆形成两个月牙形，古希腊几何学
家希波克拉蒂发现了计算其面积的简便方法．相信你也能发现其中的奥秘．如果AC=6，BC=8，那么图中阴影部分的面积是 ．
5．数字宝塔 在此数字宝塔中，从上往下数，2010在第 层等式的 边(填“左”或“右”)．
主办单位： 江苏教育出版社时代学习报
江苏省教育学会中学数学教学专业委员会
数学之思
6．位置确定 平面是二维的，因此，确定平面上一个点的位置，需要两个数据．如图5，小明依次用(0，0)，(3，0)，(1，2)表示0，A ，曰三点的位置．根据他的想法，点c 可表示为 ．
7．等宽三角形 圆在任何方向上的宽度都相同(如图6①)．我们把保持多个方向等宽的 曲线称为等宽曲线．等宽曲线还有很多，图6②的莱洛三角形就是其中的一个，它由三条相同的圆弧围成．如：弧BC 的圆心为A ，∠BAC =60°．若AB =1厘米，则莱洛三角形的周长是 ，面积是 ．
8．变中不变 将2 011个边长都为1厘米的正方形按图7摆放，点201121,,,A A A 分别为正方形的中心，则2 01 1个这样的正方形重叠后，阴影部分的面积为 平方
厘米(同一正方形中的两个阴影部分互相不重叠)．
9．转移直角 如图8，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 垂直相交于0，MN 是梯形ABCD 的中位线，若MN c 24
，则∠DBC = 度．
10．乱中取胜 图9是边长为l 厘米的正方形拼成的边长为2厘米的正方形，共有9个交点．则满足(1)以其中3个交点为顶点；(2)面积是1平方厘米的直角三角形有 个．
11．边的集结 如图10，等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，在斜边AB 上取两点M ，N ，使∠MCN =45°，设MN =x ，BN =n ，AM =m ，则x ，m ，n 为边的三角形的形状为( )．
(A)锐角三角形 (B )直角三角形
(C)钝角三角形 (D)随x ，m ，n 的值而定
数学之用
12．长宽之比 打印用纸有很多规格，下面是A 系列几种打印纸的规格．A4纸：21x29．7 (表示长29．7厘米，宽21厘米，下同)，A5纸：14．8x21，A6纸：10．5x14．8．这表明，A4纸对折得到A5纸，A5纸对折得到A6纸，而且它们形状相同．根据这些规律，不难发现，它们的长与宽的比近似于一个无理数，这个无理数是 ．
13．蔡勒公式 2010年8月19日第26届国际数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖．该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖． 2010年8月19日是星期几?可用蔡勒(德国数学家)公式：
1]10
)
1(26[]4[2]4[-+++++-=d m y y c c W 计算．
其中：W ——所求的日期的星期数(如大于7，就需减去7的整数倍)，C ——所求年份的前两位，y ——所求年份的后两位，m ——月份数(若是l 月或2月，应视为上一年的13月或l4月，即3≤m ≤14)，d ——日期数，[a]——表示取数a 的整数部分． (1)利用蔡勒公式得出2010年8月19日是星期 ； (2)利用蔡勒公式推得2011年8月有 个星期二．
14．阶梯电价 根据2010年10月国家发改委《关于居民生活用电实行阶梯电价的指导意见(征求意见稿)》，阶梯电价被分成三档：基本生活用电、正常生活用电、较高生活质量用电．为此设计了两个电量(x 度)划分及调价方案(原电价为0.53元/度)．
方案一 x ≤110时，价格保持不变；110<x <210时，超出ll0度的部分每度涨价5分；x >210 时，超出210度的部分每度涨价0.2元．
方案二 x ≤140时，每度涨价l 分；l40< x <270时，超出l40度的部分每度涨价5分；x >270时，超出270度的部分每度涨价0.2元．
(1)当用电量x >210度时，用x 表示出以方案一的计价方式结算出的电费y= (元)； (2)某用户某月用电量是230度，实行阶梯电价后，
①若以方案一的计价方式，该用户相对于原计价方式要多交 元电费； ②若以方案二的计价方式，该用户相对于原计价方式要多交 元电费．
15．打开数学之门 《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》第10题的大意是：如图ll ，假设推开双门(AD 和BC)，门边缘点D ，C 距门槛AB 为1尺，且双门间隙CD 为2寸，则门宽AB 是 ．(1尺=10寸，l 丈=10尺)
16．线路最短 如图12，A ，B ，C 是3个村镇，之间有公路相连．P ，Q 是两个加工厂，也有公路相连现欲在公路AB ，AC 上分别建一个公交站R ，S ，并使封闭环线四边形PRSQ 周长最短，请画出R ，S 的位置．(保留作图痕迹，不必说明理由)
17．城市之间某地图出版社在绘制地图前，对某省A，B，C，D四个城市之间的直线里程进行了测算，得到里程表表l．根据表l，可推算出B城与D城之间的直线里程为千米．(A，B，C，D视作在同一平面内)
数学之语(题中方格不够300个，请接着写下去)
18．美的欣赏请以《轴对称展示自身的美》为题，写一篇短文，字数在300字左右，体裁不限．
时代学习报第六届数学文化节
八年级第一轮活动书面解答题参考答案和评分标准
1．答案不唯一，表达正确即可，如图1中三角形左右两条边上的数都为l ，自第二层起，各层上一个数都等于其肩上两数之和；三角形每一行的数字都是左右对称的……
2．7． 3．100．4．24．
5．到第n 层，共有3+5+…+(2n+1)=n(n+2)个数，当n=44时，n(n+2)=44×46=2 024． n=43时，n(n+2)=43×45=1 935． 所以2010在第44层，2010>1935+44． 所以在44层等式的右边． 6．(3，2)．
7．周长是π厘米，面积是)2
3
(-π平方厘米．
8．502.5．每个小正方形中阴影部分面积都等于1个小正方形面积的
41。

即4
1，则2 011个这样的小正方形有2010个重叠部分，
故阴影部分的面积和为=⨯20104
1
5.502(平方厘米)． 9．45．提示：如图2，过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E
10．24．提示：以直角顶点分类(分别以A ，
B ，E 为直角顶点)并考虑其轴对称性．
..11B .2.12 13．(1)四；(2)5．
14．(1)210,3773.0>-=x x y ；(4分)
(2)①9；(3／3)②5.9．(3／3) 15．1丈1寸或l01寸．如图3，设AD 为x 寸，作DF ⊥AB 于F ，则AF 为(x 一l)寸，DF=10寸，由题意知.5.50,)1(102
2
==-+x x x
则门宽AB 为101寸，即1丈1寸．
16．如图4，分别作P 关于AB 的对称点P ’，Q 关于Ac 的对称点Q ’，连接P ’Q ’分别交AB 于R ，交A C 于S ．则四边形PRSQ 的周长最短．
17．75．由原题中表l 知：AB=100，AC=80，AD=125，BC=60，CD=45
且推得
222BC AC AB +=，故∠ACB=90°．由
AC=80，CD=45，AD=125知，A ，C ，D 必在同一直线上，且相互位置关系如图5．故∠BCD=90°，在Rt △BCD 中，BC=60，CD=45，则BD=75(千米)．。