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国家开放大学电大考试计算机专业历年《离散数学》试题解析

计算机科学与技术专业级第二学期离散数学试题一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．C 2．C 3．B 4．A 5．D1．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．10 B．100 C．1024 D．12．设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>, <a，1>}，R2={<a，1>, <a，2>, <b，1>}，R3={<a，1>, <b，2>}，则（）是从A到B的函数．A．R1和R2B．R2C．R3D．R1和R33．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为( )．A．8、2、8、2 B．无、2、无、2C．6、2、6、2 D．8、1、6、14．若完全图G中有n个结点(n≥2)，m条边，则当（）时，图G中存在欧拉回路．A．n为奇数B．n为偶数C．m为奇数D．m为偶数5．已知图G的邻接矩阵为则G有（）．A．6点，8边B．6点，6边C．5点，8边D．5点，6边二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A＝{a}，那么集合A的幂集是{,{a}} ．7．若R1和R2是A上的对称关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2，R2-R1中对称关系有 4 个．8．设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去 1 条边后使之变成树．9．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为 3 ．10．设个体域D＝{a, b}，则谓词公式( x)(A(x)∧B（x））消去量词后的等值式为(A (a)∧B (b))∧(A（a）∧B（b））．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“今天有联欢活动，明天有文艺晚会．”翻译成命题公式．设P：今天有联欢活动，Q：明天有文艺晚会，（2分）P∧Q．（6分）12．将语句“如果小王来，则小李去．”翻译成命题公式．设P：小王来，Q：小李去（2分）P → Q ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图一所示，则集合A 的最大元为a ，极小元不存在．错误．（3分）对于集合A 的任意元素x ，均有<x , a >R （或xRa ），所以a 是集合A 中的最大元．（5分）但按照极小元的定义，在集合A 中b ,c ,d 均是极小元．（7分）14．┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为永假式．错误．（3分）┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）与P 组成的析取式，如果P 的值为真，则┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真，（5分）如果P 的值为假，则┐P 与P →┐Q 为真，即┐P ∧（P →┐Q ）为真，也即┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真，所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真式．（7分）另种说明：┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）与P 组成的析取式，只要其中一项为真，则整个公式为真．（5分）可以看到，不论P 的值为真或为假，┐P ∧（P →┐Q ）与P 总有一个为真，所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真式．（7分）或用等价演算┐P ∧（P →┐Q ）∨P ⇔T 五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设集合A ={1，2，3，4}，R ={<x , y >|x , y ∈A ；|x y |=1或x y =0}，试（1）写出R 的有序对表示；（2）画出R 的关系图；（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．15．（1）R ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>} （3分）（2）关系图如图二：图二（6分）（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R ，即A 的每个元素构成的有序对均在R 中，故R 在A 上是自反的．（9分）因有<2,3>与<3,4>属于R ，但<2,4>不属于R ，所以R 在A 上不是传递的．（12分） abcd 图一16．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试(1) 画出G 的图形表示；(2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数；(4) 画出图G 的补图的图形． 16．（1）关系图如图三：（3分）（2）邻接矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110010010100010100100110 （6分）（3）deg(v 1)=2deg(v 2)=2deg(v 3)=2deg(v 4)=2deg(v 5)=2 （9分）（4）补图如图四（12分）17．求P →Q ∧R 的合取范式与主析取范式．P →（R ∧Q ）⇔┐P ∨(R ∧Q ) （4分）⇔ （┐P ∨Q ）∧（┐P ∨R ）（合取范式）（6分）P →（R ∧Q ）⇔┐P ∨(R ∧Q )⇔(┐P ∧(┐Q ∨Q) )∨(R ∧Q ) （7分）⇔(┐P ∧┐Q )∨(┐P ∧Q)∨(R ∧Q ) （8分）⇔((┐P ∧┐Q )∧ (┐R ∨R ))∨(┐P ∧Q )∨(R ∧Q ) （9分）⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q )∨(R ∧Q ) （10分）⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨((┐P ∧Q )∧(┐R ∨R ))∨(R ∧Q )⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨(R ∧Q )⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨(┐P ∧Q ∧R )∨((┐P ∨P )∧(R ∧Q ))⇔(┐P ∧┐Q ∧┐R )∨(┐P ∧┐Q ∧R )∨(┐P ∧Q ∧┐R )∨ v 1 v 2 v 3 v 4 图三 v 5 v 1 v 2 v 3 v 4 图四 v 5(┐P ∧Q ∧R )∨ (P ∧R ∧Q ) （主析取范式）（12分）说明：此题解法步骤多样，若能按正确步骤求得结果，均可给分．六、证明题（本题共8分）18．设连通无向图G 有14条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其它顶点的度数均小于3，试说明G 中可能有的顶点数．证明：可利用数列可图化及握手定理解答顶点度数和为214=28，（2分）28-（34+43）=4，则知其他顶点度数和为4，（4分）对于有限图，若无零度顶点，则除4度及3度顶点外，可能的顶点情况有：2个2度点；1个2度点和2个1度点；4个1度点，（6分）即对应图的顶点数分别至少为9、10、11．（8分）2011年 7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A 2．C 3．C 4．D 5．B1．若集合A ={1，{1}，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A ．{2}AB ．{1，2}AC ．1AD ． 2 A2．设G 为无向图，则下列结论成立的是 ( ) ．A ．无向图G 的结点的度数等于边数的两倍．B ．无向图G 的结点的度数等于边数．C ．无向图G 的结点的度数之和等于边数的两倍．D ．无向图G 的结点的度数之和等于边数．3．图G 如图一所示，以下说法正确的是( ) ． A ．{(a ，b )}是边割集B ．{ a ，c }是点割集C ．{d }是点割集D ．{ (c ，d )}是边割集图一4．设集合A ={1}，则A 的幂集为( )．A ．{{1}}B ．{1，{1}}C ．{，1}D ．{，{1}}5．设A (x )：x 是人，B (x )：x 犯错误，则命题“没有不犯错误的人”可符号化为（）．A ．┐(∃x )( A (x ) → ┐B(x))B ．┐(∃x )( A (x )∧┐B (x ))C ．┐(∃x )( A (x )∧B (x ))D ．(∀x )( A (x )∧B (x ))二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．命题公式P P ⌝∨的真值是真（或T ，或1）．7．若无向图T 是连通的，则T 的结点数v 与边数e 满足关系v= e +1 时，T 是树．8．无向图G 是欧拉图的充分必要条件是 G 是连通的且结点度数都是偶数．9．设集合A ={1，2}上的关系R ＝{<2,2>,<1,2>}，则在R 中仅需加入一个元素 <1, 1> ， a b c de f就可使新得到的关系为自反的．10．( x )(P (x )→R (y )∨S (z )) 中的约束变元有 x ．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“雪是黑色的．”翻译成命题公式．设P ：雪是黑色的，（2分）则命题公式为：P ．（6分）12．将语句“如果明天下雨，则我们就在室内上体育课．”翻译成命题公式．设 P ：如果明天下雨， Q ：我们在室内上体育课，（2分）则命题公式为：P Q ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．设集合A ={1，2}，B ={3，4}，从A 到B 的关系为f ={<1, 3>，<1, 4>}，则f 是A 到B 的函数．错误．（3分）因为A 中元素1有B 中两个不同的元素与之对应，故f 不是A 到B 的函数．（7分）14．设G 是一个连通平面图，有5个结点9条边，则G 有6个面．正确．（3分）因G 是一个连通平面图，满足欧拉定理，有v -e +r =2，所以r =2-（v -e ）=2-（5-9）=6 （7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．试求出P →（R ∧Q ）的合取范式．P →（R ∧Q ）┐P ∨（R ∧Q ）（6分）(┐P ∨R ) ∧（┐P ∨Q ）（合取范式）（12分）16．设A ={{1}, {1, 2}，1}，B ={ 1, 2, {2}}，试计算（1）（A ∩B ）（2）（A ∪B ）（3）（A ∩B ）A ．（1）（A ∩B ）={1} （4分）（2）（A ∪B ）={1, 2, {1}, {2}, {1, 2}} （8分）（3）（A ∩B ）A = （12分）17．试画一棵带权为2, 3, 3, 4, 5,的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权．最优二叉树如图二所示．（10分）图二权为23+33+32+42+52=39 （12分）六、证明题（本题共8分）18．试证明：若R 与S 是集合A 上的对称关系，则R ∩S 也是集合A 上的对称关系．证明：设x ，y A ，因为R 对称，所以若<x , y >R ，则<y , x >R ．（2分）因为S 对称，所以若<x , y >S ，则<y , x >S ．（4分）于是若<x , y >R ∩S 则<x , y >R 且<x , y >S2 3 3 4 5 5 10 7 17即 <y , x >R 且<y , x >S （6分）也即<y , x > R ∩S ，故R ∩S 是对称的．（8分）中央广播电视大学2010—2011学年度第一学期“开放本科”期末考试离散数学（本）试题2011年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C1．若集合A ＝{ a ，{1}}，则下列表述正确的是( )．A ．{1}∈AB ．{1}⊆AC ．{a }∈AD ．∅∈A2．设图G ＝<V , E >，v ∈V ，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(v )=2EB ．deg(v )=EC ．E v V v =∑∈)deg( D ．E v Vv 2)deg(=∑∈ 3．如图一所示，以下说法正确的是 ( )． A ．(e , c )是割边 B ．(d, e )是割边 C ．(b , a )是割边 D ．(b, c )是割边4．命题公式（P ∨Q ）的合取范式是 ( ) ．A ．PB ．（P ∧Q ）C ．（P ∨P ）D ．（P ∨Q ）5．下列等价公式成立的为( )．A ．P ∧Q P ∨QB ．Q →P P →QC ．⌝P ∧P ⌝Q ∧QD ．⌝P ∨P Q二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A ={0, 1, 2}，B ={1,2, 3, 4,}，R 是A 到B 的二元关系，},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且则R 的有序对集合为 {<1, 1>，<1, 2>，<2, 1>，<2, 2>} ．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 v -e +r =2 ．8．设G ＝<V , E >是有20个结点，25条边的连通图，则从G 中删去 6 条边，可以确定图G 的一棵生成树．9．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 所有结点的度数全为偶数且连通．10．设个体域D ＝{1,2}，则谓词公式)(x xA ∀消去量词后的等值式为 A (1) ∧A (2) ．a b c d 图一 e三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩．”翻译成命题公式．12．将语句“小张学习努力，小王取得好成绩．”翻译成命题公式．11．设P ：小李学习努力，Q ：小李会取得好成绩，（2分） P Q ．（6分）12．设P ：小张学习努力，Q ：小王取得好成绩，（2分） P Q ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1R 2是自反的． 14．如图二所示的图中存在一条欧拉回路．13．正确．（3分）R 1和R 2是自反的，x ∈A ，<x , x > ∈ R 1，<x , x > ∈R 2，则<x , x > ∈ R 1R 2，所以R 1R 2是自反的．（7分）14．正确．（3分）因为图G 为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设A ={{2},1,2}，B ={1,{1,2}}，试计算（1）（A B ）；（2）（A ∩B ）；（3）A ×B ．16．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)}，试（1）给出G 的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．17．设谓词公式),()),,(),((z y yC z y x zB y x A x ∀∧∀∧∃，试（1）写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．15．（1）A B ={2,{2}} （4分）（2）A ∩B ={1} （8分）（3）A ×B={<{2},1>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2, {1,2}>} （12分）16．（1）G 的图形表示如图三：图二v 1 v 2 v 3 v 4 图三 v 5（3分）（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0010000110110110110000100 （6分）（3）v 1，v 2，v 3，v 4，v 5结点的度数依次为1，2，4，2，1 （9分）（4）补图如图四：（12分）17．（1）x 量词的辖域为)),,(),((z y x zB y x A ∀∧，（2分） z 量词的辖域为),,(z y x B , （4分）y 量词的辖域为),(z y C ．（6分）（2）自由变元为)),,(),((z y x zB y x A ∀∧中的y ，以及),(z y C 中的z （9分）约束变元为)),,(),((z y x zB y x A ∀∧中的x 与(,,)B x y z 中的z ，以及(,)C y z 中的y ．（12分）六、证明题（本题共8分）18．试证明集合等式A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ．18．证明：设S = A ⋃ (B ⋂C )，T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，若x ∈S ，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ，（1分）即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．（2分）也即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，（3分）即 x ∈T ，所以S ⊆T ．（4分）反之，若x ∈T ，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，（5分）即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，（6分）也即x ∈A 或x ∈B ⋂C ，即x ∈S ，所以T ⊆S ．（7分）因此T =S ．（8分）2011年1月v 1 v 2 v 3 v 4图四 v 5一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．D 2．B 3．C 4．A 5．B1．若集合A ={a ，b }，B ={ a ，{ a ，b }}，则（）．A ．A ∉B B ．A BC ．A BD ．A B2．集合A ={x |x 为小于10的自然数}，集合A 上的关系R ={<x ，y >|x +y =10且x , y ∈A }，则R 的性质为（）．A ．自反的B ．对称的C ．传递且对称的D ．反自反且传递的3．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图一所示，则下列结论成立的是 ( )．图一A ．（a ）仅为弱连通的B ．（b ）仅为弱连通的C ．（c ）仅为弱连通的D ．（d ）仅为弱连通的4．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110 则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 5．下列公式 ( )为永真式．A ．⌝P ∧⌝QP ∨Q B ．(P →(Q →P ))(⌝P →(P →Q )) C ．(Q →(P ∨Q )) (⌝Q ∧(P ∨Q )) D ．(⌝P ∨(P ∧Q )) Q 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A ＝{1，2，3}，那么集合A 的幂集是 {,{1},{2 },{3 },{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ． 7．设A ={a ，b }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为 4 ．8．若A ={1,2}，R ={<x , y >|x A , y A , x +y <4}，则R 的自反闭包为 {<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>} ．9．无向连通图在结点数v 与边数e 满足 e=v -1 关系时是树．10．(∀x )(A (x )→B (x ))∨C (x ，y )中的自由变元为 C (x ，y )中的x 与y ．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“他们去旅游，仅当明天天晴．”翻译成命题公式．12．将语句“今天没有下雪．”翻译成命题公式．11．设P ：他们去旅游，Q ：明天天晴，（2分）P →Q ．（6分）12．设P ：今天下雪，（2分）P ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．汉密尔顿图一定是欧拉图．错误．（3分）存在汉密尔顿图不是欧拉图．（5分）反例见图二．（7分）14．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （x ）（F （x ）→G （y ））前提引入(2) F （y ）→G （y ） ES （1）．1、错误．（3分）（2）应为F （a ）→G （y ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设A ={0，1，2，3，4，5，6}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <1}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R •S ，R -1，S -1，r (R )．R ={<0,0>} （2分）S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} （4分）R S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>} （6分）R -1={<0,0>} （8分）S -1= S （10分）r (R )=I A ．（12分）16．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 6的最优二叉树,计算它们的权．最优二叉树如图四：图四（10分）权为：13+23+23+33+61=30 （12分）注: 其他正确的最优二叉树参照给分．17．求（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的析取范式，合取范式．（P ∨Q ）→（R ∨Q ） 1 2 2 3 3 6 8 5 14图二（P ∨Q ）∨（R ∨Q ）（4分） (P ∧Q )∨（R ∨Q ） (P ∨R ∨Q )∧(Q ∨R ∨Q ) (P ∨R ∨Q ) 析取、合取范式（12分）注: 其他正确答案参照给分．六、证明题（本题共8分）18．试证明集合等式A ⋂ (B ⋃C )=(A ⋂B ) ⋃ (A ⋂C )．证明：设S =A ∩(B ∪C )，T =(A ∩B )∪(A ∩C )，若x ∈S ，则x ∈A 且x ∈B ∪C ，即 x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C ，也即x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，即 x ∈T ，所以S ⊆T ．（4分）反之，若x ∈T ，则x ∈A ∩B 或 x ∈A ∩C ，即x ∈A 且x ∈B 或 x ∈A 且x ∈C也即x ∈A 且x ∈B ∪C ，即x ∈S ，所以T ⊆S ．因此T =S ．（8分）2010年 7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．B 2．D 3．B 4．C 5．B1．若集合A ={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A ．2AB ．{1}AC ．1AD ． 2 A2．已知一棵无向树T 中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T 的树叶数为( )．A ．6B ．4C ．3D ．5 3．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101110011000011100111110, 则G 的边数为( )． A ．1 B ．7 C ．6 D ．144．设集合A ={a }，则A 的幂集为( )．A ．{{a }}B ．{a ，{a }}C ．{，{a }}D ．{，a }5．下列公式中 ( )为永真式．A ．⌝A ∧⌝ B⌝A ∨⌝B B ．⌝A ∧⌝ B ⌝(A ∨B ) C ．⌝A ∧⌝ BA ∨B D ．⌝A ∧⌝ B ⌝(A ∧B ) 二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．命题公式P P ⌝∧的真值是假（或F ，或0）．7．若无向树T 有5个结点，则T 的边数为 4 ．8．设正则m 叉树的树叶数为t ，分支数为i ，则(m -1)i = t -1 ．9．设集合A ={1，2}上的关系R ＝{<1, 1>,<1, 2>}，则在R 中仅需加一个元素 <2, 1> ，就可使新得到的关系为对称的．10．( x )(A (x )→B (x ，z )∨C (y ))中的自由变元有 z ，y ．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“今天上课．”翻译成命题公式．设P ：今天上课，（2分）则命题公式为：P ．（6分）12．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．设 P ：他去操场锻炼，Q ：他有时间，（2分）则命题公式为：P Q ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．设集合A ={1，2}，B ={3，4}，从A 到B 的关系为f ={<1, 3>}，则f 是A 到B 的函数．14．设G 是一个有4个结点10条边的连通图，则G 为平面图．13．错误．（3分）因为A 中元素2没有B 中元素与之对应，故f 不是A 到B 的函数．（7分）14．错误．（3分）不满足“设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v -6．”（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．试求出（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的析取范式．（P ∨Q ）→（R ∨Q ） ┐(P ∨Q )∨（R ∨Q ）（4分）(┐P ∧┐Q )∨（R ∨Q ）（8分）(┐P ∧┐Q )∨R ∨Q （析取范式）（12分）16．设A ={{1}, 1, 2}，B ={ 1, {2}}，试计算（1）A ∩B （2）A ∪B （3）A （A ∩B ）．（1）A ∩B ={1} （4分）（2）A ∪B ={1, 2, {1}, {2}} （8分）（3） A （A ∩B ）={{1}, 2} （12分）17．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d }，E ={ (a , b ), (a , c ) , (a , d ), (b , c ), (b , d ), (c , d )}，对应边的权值依次为1、2、3、1、4及5，试（1）画出G 的图形；（2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值．（1）G 的图形表示如图一所示：图一a b c d 112 4 5 3（3分）（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111101111011110 （6分）（3）最小的生成树如图二中的粗线所示：（10分）权为：1+1+3=5 （12分）六、证明题（本题共8分）18．试证明：若R 与S 是集合A 上的自反关系，则R ∩S 也是集合A 上的自反关系．证明：设x A ，因为R 自反，所以x R x ，即< x , x >R ；又因为S 自反，所以x R x ，即< x , x >S ．（4分）即< x , x >R ∩S （6分）故R ∩S 自反．（8分）2010年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A 2．C 3．B 4．B5．D 1．若集合A ＝{ a ，{a }}，则下列表述正确的是( )．A ．{a }⊆AB ．{{{a }}}⊆AC ．{a ，{a }}∈AD ．∅∈A2．命题公式（P ∨Q ）的合取范式是 ( )A ．（P ∧Q ）B ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）C ．（P ∨Q ）D ．（P ∧Q ）3．无向树T 有8个结点，则T 的边数为( )．A ．6B ．7C ．8D ．94．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( )．A ．a 是割点B ．{b, c }是点割集C ．{b , d }是点割集D ．{c }是点割集图一5．下列公式成立的为( )．A ．⌝P ∧⌝Q P ∨QB ．P →Q ⌝P →Q 图二ab c d 1 1 2 453C ．Q →P PD ．⌝P ∧(P ∨Q )Q二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A ={2, 3, 4}，B ={1, 2, 3, 4}，R 是A 到B 的二元关系，},{y x B y A x y x R ≤∈∈><=且且则R 的有序对集合为 {<2, 2>，<2, 3>，<2, 4>，<3, 3>}，<3, 4>，<4, 4>} ．7．如果R 是非空集合A 上的等价关系，a ∈A ，b ∈A ，则可推知R 中至少包含<a , a >，< b , b > 等元素．8．设G ＝<V , E >是有4个结点，8条边的无向连通图，则从G 中删去 5 条边，可以确定图G 的一棵生成树．9．设G 是具有n 个结点m 条边k 个面的连通平面图，则m 等于 n +k 2 ．10．设个体域D ＝{1, 2}，A (x )为“x 大于1”，则谓词公式()()x A x ∃的真值为真（或T ，或1）．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“今天考试，明天放假．”翻译成命题公式．设P ：今天考试，Q ：明天放假．（2分）则命题公式为：P ∧Q ．（6分）12．将语句“我去旅游，仅当我有时间．”翻译成命题公式．设P ：我去旅游，Q ：我有时间，（2分）则命题公式为：P Q ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 是欧拉图．错误．（3分）当图G 不连通时图G 不为欧拉图．（7分）14．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元是f ．图二错误．（3分）集合A 的最大元与最小元不存在，a 是极大元，f 是极小元，．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设谓词公式)),,()(),()((z x y B z y x A x ∀→∃，试（1）写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．（1）x 量词的辖域为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→，（3分）z 量词的辖域为),,(z x y B , （6分）（2）自由变元为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→中的y ，（9分）约束变元为x 与z ．（12分）16．设集合A ={{1},1,2}，B ={1,{1,2}}，试计算（1）（A B ）；（2）（A ∩B ）；（3）A ×B ．（1）A B ={{1},2} （4分）（2）A ∩B ={1} （8分）（3）A ×B={<{1},1>，<{1},{1,2}>，<1,1>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2, {1,2}>} （12分）17．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4 }，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4) }，试（1）给出G 的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．（1）G 的图形表示为(如图三)：（3分）图三（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110101111000100 （6分）（3）v 1，v 2，v 3，v 4结点的度数依次为1，2，3，2 （9分）（4）补图如图四所示：（12分）图四六、证明题（本题共8分）18．设A ，B 是任意集合，试证明：若A A=B B ，则A=B ．证明：设x A ，则<x ，x >A A ，（1分）因为A A=B B ，故<x ，x >B B ，则有x B ，（3分）所以A B．（5分）设x B，则<x，x>B B，（6分）因为A A=B B，故<x，x>A A，则有x A，所以B A．（7分）故得A=B．（8分）2009年10月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．D 2．C 3．B 4．C 5．A1．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．A．平面图B．对偶图C．欧拉图D．连通图2．集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x=y且x, y∈A}，则R的性质为（）．A．不是自反的B．不是对称的C．传递的D．反自反3．设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．A．最大元B．极大元C．最小元D．极小元4．图G如图一所示，以下说法正确的是( ) ．A．{(a, d)}是割边B．{(a, d)}是边割集C．{(a, d) ,(b, d)}是边割集D．{(b, d)}是边割集图一5．设A（x）：x是人，B（x）：x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（）．A．(∃x)(A(x)∧B(x)) B．(∀x)(A(x)∧B(x))C．┐(∀x)(A(x) →B(x)) D．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．若集合A={1，3，5，7}，B={2，4，6，8}，则A∩B=空集（或）．7．设集合A={1，2，3}上的函数分别为：f={<1,2>,<2,1>,<3,3>,}，g={<1,3>,<2,2>,<3,2>,}，则复合函数g f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 2>,} ．8．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数之和为2|E|（或“边数的两倍”）．9．无向连通图G的结点数为v，边数为e，则G当v与e满足e=v-1 关系时是树．10．设个体域D＝{1, 2, 3}，P(x)为“x小于2”，则谓词公式(∀x)P(x) 的真值为假（或F，或0）．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“他是学生．”翻译成命题公式．设P：他是学生，（2分）则命题公式为：P．（6分）12．将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游．”翻译成命题公式．设P ：明天下雨，Q ：我们就去郊游，（2分）则命题公式为： P Q ．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （x ）F （x ）→G （x ）前提引入(2) F （y ）→G （y ） US （1）．错误．（3分）（2）应为F （y ）→G （x ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）14．如图二所示的图G 存在一条欧拉回路．图二错误．（3分）因为图G 为中包含度数为奇数的结点．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．求（P ∨Q ）→R 的析取范式与合取范式．（P ∨Q ）→R （P ∨Q ）∨R （4分）(P ∧Q )∨R （析取范式）（8分）(P ∨R )∧(Q ∨R) （合取范式）（12分）16．设A ={0，1，2，3}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤2}，试求R ，S ，R •S ，S -1，r (R )．R =, S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0>} （3分）R S =，（6分）S -1= S ，（9分）r (R )=I A ={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}．（12分）17．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．最优二叉树如图三所示（10分）图三权为13+23+22+32+42=27 （12分）1 22 3 3 4 7 5 12六、证明题（本题共8分）18．试证明集合等式A⋃ (B⋂C)=(A⋃B) ⋂ (A⋃C) ．证明：设S= A⋃ (B⋂C)，T=(A⋃B) ⋂ (A⋃C)，若x∈S，则x∈A或x∈B⋂C，即x∈A或x∈B且x∈A 或x∈C．也即x∈A⋃B且x∈A⋃C，即x∈T，所以S⊆T．（4分）反之，若x∈T，则x∈A⋃B且x∈A⋃C，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，也即x∈A或x∈B⋂C，即x∈S，所以T⊆S．因此T=S．2009年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．A 2．B 3．B 4．D 5．C1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）．A．A B，且A B B．A B，但A BC．A B，但A∉B D．A B，且A∉B2．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, y∈A}，则R的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的3．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A．0 B．2 C．1 D．34．如图一所示，以下说法正确的是( ) ．A．{(a, e)}是割边B．{(a, e)}是边割集C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集D．{(d, e)}是边割集图一5．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(∀x)(A(x)∧B(x)) B．┐(∃x)(A(x)∧B(x))C．┐(∀x)(A(x) →B(x)) D．┐(∃x)(A(x)∧┐B(x))二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为1024 ．7．设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为8 ．8．若A={1,2}，R={<x, y>|x A, y A, x+y=10}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>} ．9．结点数v与边数e满足e=v-1 关系的无向连通图就是树．10．设个体域D＝{a, b, c}，则谓词公式(∀x)A(x)消去量词后的等值式为A (a) ∧A (b)∧A（c）．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好．”翻译成命题公式．设P：他接受了这个任务，Q：他完成好了这个任务，（2分）P Q ．（6分）12．将语句“今天没有下雨．”翻译成命题公式．设P ：今天下雨，（2分）P ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （x ）F （x ）→G （x ）前提引入(2) F （y ）→G （y ） US （1）．错误．（3分）（2）应为F （y ）→G （x ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）14．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元不存在．图二错误．（3分）集合A 的最大元不存在，a 是极大元．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．求（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的合取范式．（P ∨Q ）→（R ∨Q ）（P ∨Q ）∨（R ∨Q ）（4分）(P ∧Q )∨（R ∨Q ）(P ∨R ∨Q )∧(Q ∨R ∨Q ) (P ∨R ∨Q ) ∧R 合取范式（12分）16．设A ={0，1，2，3，4}，R ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y <0}，S ={<x ，y >|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤3}，试求R ，S ，R •S ，R -1，S -1，r (R )．R =, （2分）S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} （4分）R S =，（6分）R -1=，（8分）S -1= S ，（10分）r (R )=I A ．（12分）17．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．1 2 2 3 3 4 7 5 12权为13+23+22+32+42=27 （12分）六、证明题（本题共8分）18．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明G与G中的奇数度顶点个数相等(G 是G的补图)．证明：因为n是奇数，所以n阶完全图每个顶点度数为偶数，（3分）因此，若G中顶点v的度数为奇数，则在G中v的度数一定也是奇数，（6分）所以G与G中的奇数度顶点个数相等．（8分）2008年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．B 2．B 3．A 4．C 5．D1．设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>, <b，2>}，R2={<a，1>, <a，2>, <b，1>}，R3={<a，1>, <b，2>}，则（）不是从A到B的函数．A．R1和R2B．R2C．R3D．R1和R32．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为( )．A．8、2、8、2 B．无、2、无、2C．6、2、6、2 D．8、1、6、13．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．1024 B．10 C．100 D．14．设完全图Kn 有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，Kn中存在欧拉回路．A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数5．已知图G的邻接矩阵为，则G有（）．A．5点，8边B．6点，7边C．6点，8边D．5点，7边二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．设集合A＝{a，b}，那么集合A的幂集是{,{a,b},{a},{b }} ．7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．8．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 4 条边后使之变成树．9．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为 3 ．10．设个体域D＝{a, b}，则谓词公式(∀x)A(x)∧（∃x）B（x）消去量词后的等值式为(A (a)∧A (b))∧(B（a）∨B（b）) ．三、逻辑公式翻译（每小题4分，本题共12分）11．将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消．”翻译成命题公式．设P：所有人今天都去参加活动，Q：明天的会议取消，（1分）P Q．（4分）12．将语句“今天没有人来．”翻译成命题公式．设P：今天有人来，（1分）P．（4分）13．将语句“有人去上课．”翻译成谓词公式．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，（1分）(x)(P(x)Q(x))．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．14．┐P∧（P→┐Q）∨P为永真式．15．若偏序集<A，R>的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．图一14．正确．（3分）┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，如果P的值为真，则┐P∧（P→┐Q）∨P为真，（5分）如果P的值为假，则┐P与P→┐Q为真，即┐P∧（P→┐Q）为真，也即┐P∧（P→┐Q）∨P为真，所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）另种说明：┐P∧（P→┐Q）∨P是由┐P∧（P→┐Q）与P组成的析取式，只要其中一项为真，则整个公式为真．（5分）可以看到，不论P的值为真或为假，┐P∧（P→┐Q）与P总有一个为真，所以┐P∧（P→┐Q）∨P是永真式．（7分）或用等价演算┐P∧（P→┐Q）∨P⇔T15．正确．（3分）对于集合A的任意元素x，均有<x, a>R（或xRa），所以a是集合A中的最大元．（5分）按照最小元的定义，在集合A中不存在最小元．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）16．设集合A={1，2，3，4}，R={<x, y>|x, y∈A；|x y|=1或x y=0}，试（1）写出R 的有序对表示；（2）画出R 的关系图；（3）说明R 满足自反性，不满足传递性．（1）R ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>} （3分）（2）关系图为（6分）（3）因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R ，即A 的每个元素构成的有序对均在R 中，故R 在A 上是自反的。

国家开放大学《离散数学》综合练习题参考答案

国家开放大学《离散数学》综合练习题参考答案一、单项选择题1．若集合A ＝{ a ，{a }，{1，2}}，则下列表述正确的是()。

A ．{a ，{a }}∈AB ．{1，2}∉AC ．{a }⊆AD ．∅∈A2．若集合A ={1，2}，B ={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是()。

A ．A ⊂B ，且A ∈B B ．B ⊂A ，且A ∈BC ．A ⊂B ，且A ∉BD ．A ⊄B ，且A ∈B3.若集合A ＝{ a ，{1}}，则下列表述正确的是( )。

A ．{1}∈AB ．{1}⊆AC ．{a }∈AD ．∅∈A4.设集合A = {1, a }，则P (A ) = ()。

A ．{{1}, {a }}B ．{,{1}, {a }}C ．{,{1}, {a }, {1, a }}D ．{{1}, {a }, {1, a }}5.若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）。

A ．10B ．100C ．1024D ．16.集合A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R ={<x ，y >|x +y =10且x , y A }，则R 的性∅∅∈质为（）。

A ．自反的B ．对称的C ．传递且对称的D ．反自反且传递的7．设集合A ={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = { 1 , 1， 2 , 2， 2 , 3， 4 , 4}，S = { 1 , 1， 2 , 2， 2 , 3， 3 , 2， 4 , 4}，则S 是R 的（）闭包。

A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对8.设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ()A ．8、2、8、2B ．8、1、6、1C ．6、2、6、2D ．无、2、无、29.设A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={<a ，2>, <b ，2>}，R 2={<a ，1>, <a ，2>, <b ，1>}，R 3={<a ，1>, <b ，2>}，则（）不是从A到B 的函数。

离散数学样卷十二套(含答案)

一、证明下列各题1、（10分）证明蕴涵式：()P P Q Q ∧→⇒2、（10分）证明：,1111f g f g -⇒-I 为函数为函数。

5、 3、（10分）给定代数结构,N ⨯和{}0,1,⨯，其中N 是自然数集合，⨯是数的乘法。

设{}:0,1f N →，定义为：12,,()0k n n k N f n ⎧=∈=⎨⎩否则试证}01N ⨯≅⨯，，，。

4、（10分）给定代数结构,R *，其中R 是实数集合，对R 中任意元a 和b ，*定义如下：a b a b a b *=++⨯ 试证明：,R *是独异点。

二、求下列各题的解：1、试求下列公式的主析取范式和主合取范式（15分）：()()P Q P Q ⌝∨⌝→⌝€2、（15分）{}010*********R =设，，，，，，，，，，，，试求（1）、R R *，（2）、{}1R ↑，（3）、{}11R -↑，（4）、{}1R ⎡⎤⎣⎦，（5）、{}11R -⎡⎤⎣⎦3、（15分给定无向图,G V E =，如图，试求： F E DCA B（1）从A 到D 的所有基本链；（2）从A 到D 的所有简单链；（3）长度分别是最小和最大的简单圈；（4）长度分别是最小和最大的基本圈；（5）从A 到D 的距离。

4、（15分）给定二部图12,,G E V =，如图 9v 8v 7v 6v 1V1v 2v 3v 4v 5v 2V 试求1V 到2V 的最大匹配一、证明下列各题1、（10分）证明蕴涵式：()P Q P P Q →⇒→∧2、（10分）证明：()()()A B C A B A C ⨯-=⨯-⨯3、（10分）给定群,G ，则,G 为Abel 群⇔222()()(,())∀∀∈→=a b a b G a b a b4、（10分）给定代数结构,S *，其中S 中元为实数有序对，*定义为 ,,,2a b c d a c b d bd *=+++，试证,S *是可交换独异点。

国家开放大学电大《离散数学》期末题库及答案

最新国家开放大学电大《离散数学》期末题库及答案《离散数学》题库及答案一一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.若集合A = （l,2,3,4）,则下列表述不正确的是（）•A.16AB. {1,2,3}CAC. （1.2.3J6AD. 0UA2.若R和R?是A上的对称关系，则中对称关系有（〉个・A. 1B. 2C. 3D. 43.设G为连通无向图，则］）时,G中存在欧拉回路・A. G不存在奇数度数的结点B. G存在偶数度数的结点C. G存在一个奇数度数的结点D. G存在两个奇数度数的结点4.无向图G是棵树，边数是10,则G的结点度数之和是（）.A.20B. 9C. 10D. 115.设个体域为整数集，则公式V z3y（x+y = 0）的解释可为（）.A-存在一整数z有整数丁满足x+y = 0B.对任意整数z存在整数財满足x+y = 0C.存在一整数z对任意整数'满足工+y・0D.任意整数工对任意整数，满足x+y=0得分评卷人--------------- 二、填空題（毎小通3分，本題共15分）6.设集合A = {1.2,3),B = (2,3,4}.C=(3.4.5，则A (J (C - B )等于7-设 A = （2,3},B-{l,2}.C-{3,4}.从 A 到 B 的函ft/-{<2,2>,<3,1>}.从 B 到C 的函数R = <V1.3>,V2.4>）,则Dom（g"）等于.8.已知图G中共有】个2度结点,2个3度结点,3个4度结点，则G的边数是・9.设G是连通平面分别衰示G的結点数.边数和面数，u值为5/值为4,则r的值为・-10-设个体域D = （1.2.3,4hA（x）为七大于5”，则调词公式（Vz）AGr）的真值为11. 将语句“学生的主要任务是学习”翻译成命题公式. 12.将语句“今天天暗，昨天下雨.”翻译成命题公式.四、判斷说明題（判断各题正误，并说明理由.每小题7分，本题共1413. 空集的圳:集是空集. 14.完全图K,不是平面图.15.设集合A = <1,2,3,4｝上的关系：R-«1.2>.<2.3>.<3,4>}.S = (<1.1>,<2,2>,<3,3>), 试计算(DR • S t (2)7? (3)r(J?nS).16.图 G=<V,E>.其中 V=S ，6,c,d}.E=((a,6),S,c),(a,d),(5,c),0,d),(c,d)},对应边的权值依次为2、3、4、5、6及7,试（1）画出G 的图形, （2）写岀G 的邻接矩阵;（3）求出G 权最小的生成树及其权值. 17.求PTQPR ）的析取范式与主合取范式.18.试证明：r -1 (P-*Q) An R A(QfR)=>i P.试题答案及评分标准仅供參考一、单项选择题（毎小题3分,本题共15分）l.C2.D3. A4. A5. B2OZZ«r-2O23^ttM三、逻辑公式翻译（毎小題6分，本题共】2分）分）五、计鼻16（每小JS 12分，本贓共36分）六、证明85（本楚共8分）2022集・2U23年股*二、壊空題（每小题3分，本题共15分）6. {1,2,3,5)7. {2,3}(或 A)8.109.110. 假（或F,或0）三、逻辑公式B!译（毎小题6分，本題共12分）11.设P ：学生的主要任务是学习. 则命题公式为:P.12.设今天夭晴，Q ：昨天下雨. 则命题公式为:PAQ.四、判断说明題（每小題7分，本题共14分）13.借误.空集的專集不为空集，为{0}. 14. 错误.完全图K,是平面图，如K,可以如下图示嵌入平面.五、计算题（每小题12分，本題共36分）15. 解：(!)/? • S = (V1,2>,V2,3>* (2)J?-* = «2,1>,<3,2>,<4,3>}» (3)r(RnS)={Vl,l>,V2,2>,V3,3>,V4,4>} 16. 解.（DG 的图形表示为:《7分）（2）邻接矩阵:（3分）（6分）（2分）（6分）（2分）（6分）（3分）（4分）（8分）2022 集-2U23 年股*(3)粗线与结点表示的是最小生成树,(10 分)权值为9 (12分)17.解:P-(QAR)PV(QAR) 析取范式(2分)PVQ)A(q PVR) (5 分)g PVQ〉V(RA")A("VR) (7 分)PVQ)V(R A-i R)A(i PVR)V(QAr Q) (9 分)«(n PVQVR) A("VQV")A(i P VRVQ)A("VRVr Q)⑴分)PVQVR) A(i PVQV-i R) A(n P Vn QVR) 主合取范式 (12 分)六、证明JH(本■共8分)18.证明：(1)n □ (P-*Q) P(1 分)(2)P-*Q T(1)E (3 分)(3)(Q々) P(4 分)(On R P(5 分)(5>-| Q T(3)(4)7 (6 分)(6)n P T(2)(5)r (8 分)说明：(1)因证明过程中，公式引用的次序可以不同，一般引用前提正确得1分，利用两个公式得.出有效结论得1或2分，最后得岀靖论得2或1分.(2)另，可以用真值表验证.《陽散数学〉题库及答案二的关系R = {<=，3>M£A，3£B,且工+ » = 5}.则R=( ).A・(V1,2>,V1,3>,V2,3>} B. (VI,4>,V2,3>,V3,2>}C. (<1,1>,<2,2>,<3,2>}D. (<3.2>,<2,4>,<3,4»2.若集合A = {a,6,c,d},则下列表述正确的是( )•B. (a}£AD・("匕A2DZZ 邮-2023 邮3.设个体域为整数集期公式（七）（功）（工一，・2）的解释可为（）•A.存在一整数1有整数，満足工一》=2R存在一整散工对任意整數：，満足工一>・2G对任一整数工存在整数:y满足上一y=2D.任一整数］对任意幣数》满足x-y-24.”阶无向完全图K.的边數及每个结点的度数分别是（）・A. n（n —1）与mB. n（n —1）与C.n — 1 与nD. n（n —1）/2 与“一】5.设G为连通无向ffl.MC 〉时,G中存在欧拉回路•A.G不存在奇数度数的靖点B・G存在一个奇数度數的靖点C.G存在两个奇数度数的结点D.G存在偶数度数的结点得分|评卷人二、壊空順（毎小H 3分.本顕共15分）6.设集合A = {x|x是小于4的正整数）.用集合的列挙法A=・7.设 A = U,2）,B-{a.6}.C-{l,2）.从 A 到 B 的函»/= {<1 .a>.<2,6>）.从 B 到C的函数g-«a.2>,<6,l>）,则复合函数g./- ・8.设G = <V,E>是一个图，结点度数之和为30,MG的边数为・9.设G是具有r,个結点责条边4个面的连通平面图.JRn+4-2-・10.设个体域D-（2,3.4},A（x ）为—小于3■，则调词公式< Vx）A（x>的真值为得分评卷人三、遂梅公式翻译（毎小題6分，本■共12分）11-将语句•如果今天下頂•那么明天的比賽就要延期译成命，公式.12.将语句•地球是圆的，太阳也是圆的.”翻洋成命題公式.得分呼卷人----- 四、判断说明題（判斷各IH正讓•井说明理由.毎小願7分.本■共 14 分）13.设A = {a,6.c.</}.R-«a.6>,<6,a>,<a ,a>,<b,b> ,<（.€>}.则R是等价关系.2OZZ«r-2O23^ttM14.<Vz)(P(x)AQ(y»-R(x)中量伺V 的辖域为(PGr〉AQ(y)).得分评卷人-------------- 五、计算题(每小題12分，本題共36分)15.设集合A^{a,b,c}t B^{b t c,d}t试计算(DAUB; (2) A-Bi(3MXB.16.设G = VV,E>,V= {vi. v a. vj»v4).E =* ((vi»)» (vi»v s)» (t>i»v4). (v,,v>)»(V1 ,。

离散数学试题与参考答案

离散数学试题与参考答案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《离散数学》试题及答案一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式2．设P 表示“天下大雨”， Q 表示“他在室内运动”，则命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”符号化为（）。

(A)． P Q →； (B)．P Q ∧； (C)．P Q ⌝→⌝； (D)．P Q ⌝∨．3.设集合A ={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是( ) (A) 1A (B) {1,2, 3}A (C) {{4,5}}A (D) A4. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >} (C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>} 5. 设G 如右图：那么G 不是( ). (A)哈密顿图； (B)完全图；(C)欧拉图； (D) 平面图.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填在对应题号后的横线上。

6. 设集合A ={,{a }}，则A 的幂集P (A )=7. 设集合A ={1,2,3,4 }, B ={6,8,12}, A 到B 的关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><, 那么R －1＝8. 在“同学，老乡，亲戚，朋友”四个关系中_______是等价关系. 9. 写出一个不含“→”的逻辑联结词的完备集 . 10.设X ＝{a ,b ,c }，R 是X 上的二元关系，其关系矩阵为M R ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001001101，那么R 的关系图为三、证明题（共30分）11. （10分）已知A 、B 、C 是三个集合，证明A ∩(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C) 12. （10分）构造证明：(P (Q S))∧(R ∨P)∧Q R S13.（10分）证明（0,1）与[0,1)，[0,1)与[0,1]等势。

国家开放大学电大本科《离散数学》2022-2023期末试题及答案(试卷号：1009)

国家开放大学电大本科《离散数学> 2022-2023期末试题及答案（试卷号：1009）一、单项选择题(每小题3分，本息共16分)1, 若集合A = <1,2,3},则下列表述正确的是〈 )•A. {1,2,3}€AB. AC(1,2}C. U,2,3}gAD. {1,2}£A2. 设 A = {1,2,3},B = (1,2,3,4},人到 B 的关系 R = {O ,>> |工 £ A ,了 £ B },则 R =().A. {<1,2>,V2,3>}B. {V1,1>,V1,2>,V1,3>,V1,4>，V1,5>}C. «1,1>,<2,1>)D. {<2,】>,V3,】>,V3,2>}3. 无向图G 的边数是10,则图G 的结点度数之和为(A. 10B. 20C. 30D. 54. 如图一所示，以下说法正确的是〈 )•A. e 是割点B. {a,e}是点割集C. (b.e}是点割集D. {d}是点割集5-设个体域为整数集，则公式Vx3y （x+y = 2）的解释可为（）.A. 任意整数工，对任意整数y 满足工+了 = 2B. 对任意整数工，存在整数y 满足工+了 = 2C. 存在一整数z,对任意整数y 满足工+了 = 2D. 存在一整数工，有整数了满足x+jr = 2则人 CHBUC ）等于 _____ .7. 设 A = {1,2},B = <2,3},C=（3,4},从 A 到 B 的函数/= （VI,2>,V2,3>},从 B到 C 的函数 g = （V2,3>,V3,4>},则 Ran （g 0/）等于 ______ .8. 设G 是汉密尔顿图，S 是其结点集的一个子集，若S 的元素个数为6,则在G-S 中的连通分支数不超过 ________ .二、填空霆（每小题3分，本题共15分）9.设G是有8个结点的连通图，结点的度数之和为24,则可从G中删去 ________ 条边后使之变成树.10.设个体域D = {1,2, 3, 4},则谓词公式（VQ A S）消去量词后的等值式为H.将语句“昨夭下雨，今天仍然下雨.”翻译成命题公式.12. 将i 吾句“我们下午2点或者去礼堂看电彩或者去教室看书.”翻译成命飓公式. 得分评卷人13. 不存在集合A 与B,使得AEB 与AQB 同时成立.14. 如图二所示的图G 存在一条欧拉回路.15. 设 A = ｛l,2,3｝,R = （<x,y>l=£A<yCA 且 1+»=4｝击=｛〈工，3>0£人，36人且工=）｝，试求 R,S,R" ,r （S ）.16. 设图 G = <VtE>»V=（v! 试（1）画出G 的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出图G 的补图的图形•17. 求-I （PVQ ）VR 的析取范式与主合取范式•18. 试证明门 PVQ»P -*(i (n PVn Q)〉.（仅一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.C2. D3. B二、填空题（每小题3分，本题共15分）6. {b t c)7. {3,4）（或 C ） 8.6 9.5评卷人三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）四、判断说明题（判断各题正误，并说明理由.每小题7分，本题共14 分）评卷人五、计算题（每小题12分，本题共36分）评卷人六、证明题（本题共8分）10.A（1）AA（2） AA（3） AA（4）三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11.设P：昨天下雨,Q：今天下雨. （2分）则命题公式为:PAQ. （6分）12.设P：我们下午2点去礼堂看电影，Q：我们下午2点去教室看书. （2分）则命题公式为门（P-Q）. （6分）注:或者（1 PAQ）V（PAi Q）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13.错误•（3分）例:设A = {a},B^{a,{a}}（5 分）则有AEB且AWB. （7分）说明:举出符合条件的反例均给分.14.正确. （3分）因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数均为偶数. （7分）如果具体指出一条欧拉回路也同样给分.五、计算题（每小题12分，本题共36分）15.解：R = {V1,3>,V2,2>,V3,1>} （3分）S = {<1,1>,<2,2>,<3,3>} （6分）7?~* = （<3,1>,<2,2>,<1,3>} （9分）r（S） = （<l,l>,<2,2>,<3,3>} （12分）说明：对于每一个求解项，如果部分正确，可以给对应1分・16.解：（1）（2）邻接矩阵10 0.(3)deg(pi) = 2deg(v2)=2deg(v3)=Odcg(vj = 2 (9 分)(4)补图(12 分)17.解门(PVQ)VR«=>(-, PA-i Q)VR 析取范式(5分)PVR)A(n QVR) (7分)«((n PVK)V(QA-i Q))A(-| QVR) (9分) E((I P VK) V(QA-i Q))A((n QV^>V(P An P)) (10分)«(-i PVR VQ) A(" VR Vi Q) A(i QVk VP)A(i QVRV") ⑴分) «(PV-i QVR)A(i PVQVR)A(rPVi QVR) 主合取范式(12 分)六、证明题(本题共8分)18.证明：(Di PVQ P(1 分)<2)P P(附加前提) (3分)(3)Q T(l)(2)/ (5 分)(4)PAQ T(2)(3)/ (6 分)(5)n(i PV-i Q) T(4)E (7 分)(6)P^n (n PV-i Q) CP 规则(8 分)说明：(D因证明过程中，公式引用的次序可以不同，一般引用前提正确得1分，利用两个公式得出有效结论得1或2分，最后得出结论得2或1分.(2)可以用真值表验证.采用反证法可参照给分.。

国开(中央电大)本科《离散数学(本)》网上形考(任务一至三)试题及答案

国开(中央电大)本科《离散数学(本)》网上形考(任务一至三)试题及答案国开(中央电大)本科《离散数学(本)》网上形考(任务一至三)试题及答案说明：适用于计算机科学与技术本科国开平台网上形考。

形考任务一试题及答案题目为随机，用查找功能(Ctrl＋F)搜索题目[题目]若集合A＝{a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是（）．[答案]{a}A[题目]若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是()．[答案]AB，且AB[题目]若集合A＝{2，a，{a}，4}，则下列表述正确的是()．[答案]{a}A[题目]设集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，C={5,6,7}，则A∪B–C=()．[答案]{1,2,3,4}[题目]设集合A={a}，则A的幂集为()．[答案]{，{a}}[题目]设集合A={1,a}，则P(A)=()．[答案]{,{1},{a},{1,a}}[题目]若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．[答案]1024[题目]设A、B是两个任意集合，则A-B=()．[答案]AB[题目]设集合A={2,4,6,8}，B={1,3,5,7｝，A到B 的关系R={<x,y>|y=x+1｝，则R=()．[答案]{<2,3>,<4,5>,<6,7>}[题目]集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x,yA}，则R 的性质为（）．[答案]对称的[题目]集合A={1,2,3,4}上的关系R={<x，y>|x=y且x,yA}，则R的性质为（）．[答案]传递的[题目]如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．[答案]2[题目]设集合A={1,2,3,4}上的二元关系R={<1,1>，<2,2>，<2,3>，<4,4>}，S={<1,1>，<2,2>，<2,3>，<3,2>，<4,4>}，则S是R的（）闭包．[答案]对称[题目]设A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，B={2,4,6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为()．[答案]无、2、无、2[题目]设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．[答案]极大元[题目]设集合A={1,2,3,4,5}上的偏序关系的哈斯图如图所示，若A的子集B={3,4,5}，则元素3为B的（）．[答案]最小上界[题目]设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为（）．[答案]8[题目]设A={a，b}，B={1，2}，C={4，5}，从A到B的函数f={<a，1>,<b，2>}，从B到C的函数g={<1，5>,<2，4>}，则下列表述正确的是（）．[答案]g°f={<a，5>,<b，4>}[题目]设集合A={1,2,3}上的函数分别为：f={<1,2>，<2,1>，<3,3>}，g={<1,3>，<2,2>，<3,2>}，h={<1,3>，<2,1>，<3,1>}，则h=（）．[答案]f◦g[题目]设函数f：N→N，f(n)=n+1，下列表述正确的是（）．[答案]f是单射函数判断题[题目]设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A∩(C-B)={1,2,3,5}．（）[答案]错[题目]设集合A={1,2,3}，B={1,2}，则P(A)-P(B)={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}．（）[答案]对[题目]空集的幂集是空集．（）[答案]错[题目]设集合A={1,2,3}，B={1,2}，则A×B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}．（）[答案]对[题目]设A={1，2}，B={a,b,c}，则A×B的元素个数为8．（）[答案]错[题目]设集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5}，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为{<2,2>，<2,3>，<3,2>，<3,3>}．（）[答案]对[题目]设集合A={1,2,3,4}，B={6,8,12}，A到B的二元关系R＝那么R－1＝{<6,3>，<8,4>}．（）[答案]对[题目]设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，则R具有反自反性质．（）[答案]对[题目]设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a,a>,<b,b>,<b,c>,<c,d>}，若在R中再增加两个元素<c,b>，<d,c>，则新得到的关系就具有反自反性质．（）[答案]错[题目]若集合A={1，2，3}上的二元关系R={<1,1>，<1,2>，<3,3>}，则R是对称的关系．（）[答案]错[题目]若集合A={1，2，3}上的二元关系R={<1,1>，<2,2>，<1,2>}，则R是自反的关系．（）[答案]错[题目]设A={1,2}上的二元关系为R={<x,y>|xA，yA,x+y=10}，则R的自反闭包为{<1,1>,<2,2>}．（）[答案]对[题目]设R是集合A上的等价关系，且1,2,3是A中的元素，则R中至少包含<1,1>，<2,2>，<3,3>等元素．（）[答案]对[题目]设A={1，2，3}，R={<1，1>,<1，2>，<2，1>,<3，3>}，则R是等价关系．（）[答案]错[题目]如果R1和R2是A上的自反关系，则、R1∪R2、R1∩R2是自反的．（）[答案]对[题目]若偏序集<A，R>的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，极小元不存在．（）[答案]错[题目]设集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，下列关系f={<1,4>,<2,2,>,<4,6>,<1,8>}可以构成函数f：．（）[答案]错[题目]设集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，下列关系f={<1,8>,<2,6>,<3,4>,<4,2,>}可以构成函数f：．（）[答案]对[题目]设A={a,b}，B={1,2}，C={a,b}，从A到B的函数f={<a,1>,<b,2>}，从B到C的函数g={<1,b>,<2,a>}，则g°f={<1，2>,<2，1>}．（）[答案]错[题目]设A={2,3}，B={1,2}，C={3,4}，从A到B的函数f={<2,2>,<3,1>}，从B到C的函数g={<1，3>,<2，4>}，则Dom(g°f)={2，3}．（）[答案]对形考任务二试题及答案题目为随机，用查找功能(Ctrl＋F)搜索题目单选题[题目]设图G＝<V,E>，v∈V，则下列结论成立的是()．[答案][题目]设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为()．[答案]5[题目]设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为()．[答案]7[题目]已知无向图G的邻接矩阵为，则G有（）．[答案]5点，7边[题目]如图一所示，以下说法正确的是()．[答案]{(d,e)}是边割集[题目]如图二所示，以下说法正确的是()．[答案]e是割点[题目]图G如图三所示，以下说法正确的是()．[答案]{b,c}是点割集[题目]图G如图四所示，以下说法正确的是()．[答案]{(a,d),(b,d)}是边割集[题目]设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是()．[答案]（a）是强连通的[题目]设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图六所示，则下列结论成立的是()．[答案]（d）只是弱连通的[题目]无向图G存在欧拉回路，当且仅当（）．[答案]G连通且所有结点的度数全为偶数[题目]无向完全图K4是（）．[答案]汉密尔顿图[题目]若G是一个汉密尔顿图，则G一定是()．[答案]连通图[题目]若G是一个欧拉图，则G一定是()．[答案]连通图[题目]G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=()．[答案]e－v＋2[题目]无向树T有8个结点，则T的边数为()．[答案]7[题目]无向简单图G是棵树，当且仅当()．[答案]G连通且边数比结点数少1[题目]已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为()．[答案]5[题目]设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的()条边，才能确定G的一棵生成树．[答案]m-n+1[题目]以下结论正确的是()．[答案]树的每条边都是割边判断题[题目]已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15．()[答案]对[题目]设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则．()[答案]对[题目]设图G如图七所示，则图G的点割集是{f}．()[答案]错[题目]若图G=<V,E>，其中V={a,b,c,d}，E={(a,b),(a,d),(b,c),(b,d)}，则该图中的割边为(b,c)．()[答案]对[题目]无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且结点度数都是偶数．()[答案]对[题目]如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．()[答案]错[题目]如图八所示的图G存在一条欧拉回路．()[答案]错[题目]设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当n为奇数时，Kn中存在欧拉回路．()[答案]对[题目]汉密尔顿图一定是欧拉图．()[答案]错[题目]设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和小于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路．()[答案]错[题目]若图G=<V,E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为W|S|．()[答案]对[题目]如图九所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．()[答案]对[题目]设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．()[答案]错[题目]设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．()[答案]对[题目]设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为4．()[答案]错[题目]结点数v与边数e满足e=v的无向连通图就是树．()[答案]错[题目]设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去4条边后使之变成树．()[答案]对[题目]无向图G的结点数比边数多1，则G是树．()[答案]错[题目]设图G是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G中删去6条边后使之变成树．()[答案]错[题目]两个图同构的必要条件是结点数相等；边数相等；度数相同的结点数相等．()[答案]对形考任务三试题及答案题目为随机，用查找功能(Ctrl＋F)搜索题目选择题[题目]设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为()．[答案]P→Q[题目]设命题公式G：G:┐p→(Q∧R)，则使公式G取真值为1的P，Q，R赋值分别是()．[答案]1,0,0[题目]命题公式(P∨Q)→R的析取范式是()．[答案](┐P∧┐Q)∨R[题目]命题公式(P∨Q)的合取范式是()．[答案](P∨Q)[题目]命题公式┐(p→Q)的主析取范式是()．[答案]P∧┐Q[题目]命题公式P→Q的主合取范式是()．[答案]┐P∨Q[题目]下列等价公式成立的为()．[答案]P→(┐Q→P)＜＝＞┐P→(P→Q)[题目]下列等价公式成立的为()．[答案]┐P∧P＜＝＞┐Q∧Q[题目]下列公式成立的为()．[答案]┐P∧(P∨Q)＝＞Q[题目]下列公式中()为永真式．[答案]┐A∧┐B↔┐(A∨B)[题目]下列公式()为重言式．[答案]Q→(P∨(P∧Q))↔Q→P[题目]命题公式(P∨Q)→Q为()[答案]可满足式[题目]设A（x）：x是书，B（x）：x是数学书，则命题“不是所有书都是数学书”可符号化为（）．[答案][题目]设A（x）：x是人，B（x）：x是教师，则命题“有人是教师”可符号化为（）．[答案][题目]设个体域为整数集，则公式的解释可为()．[答案]对任一整数x存在整数y满足x+y=0[题目]表达式中的辖域是()．[答案][题目]谓词公式(∀x)(A(x)→B(x)∨C(x，y))中的（）。

(本科)中央电大离散数学考试试题

(本科)中央电大离散数学考试试题中央电大离散数学（本科)考试试题一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1。

若集合A1，2，B1,2，1，2,则下列表述正确的是 a。

A.AB,且AB B。

BA，且ABC。

AB，且AB D。

AB，且AB2。

设有向图(a）、（b)、(c）与（d）如图一所示，则下列结论成立的是d .图一A。

(a)是强连通的B。

（b)是强连通的C。

（c)是强连通的D。

（d)是强连通的3。

设图G的邻接矩阵为则G的边数为 b 。

A。

6 B。

5C。

4 D.34。

无向简单图G是棵树，当且仅当 a .A。

G连通且边数比结点数少1B.G连通且结点数比边数少1C。

G的边数比结点数少1 D。

G中没有回路.5。

下列公式 c 为重言式.A。

PQPQ B.QPQ QPQC.PQPPPQD。

PPQ Q1。

若集合Aa,b，B a，b， a，b ，则（ a ）。

A。

AB，且AB B。

AB，但AB C。

AB，但AB D。

AB，且AB2。

集合A1, 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8上的关系Rx,y｜x+y10且x, yA，则R的性质为( b ）。

A.自反的B。

对称的 C。

传递且对称的D。

反自反且传递的3。

如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（ b ）个。

A.0 B。

2C。

1D。

34。

如图一所示,以下说法正确的是 d .A。

a， e是割边 B.a， e是边割集C.a, e ，b， c是边割集D。

d, e是边割集图一5.设A（x）:x是人,B（x）:x是学生，则命题“不是所有人都是学生"可符号化为（ c ).A.xAx∧Bx B。

┐xAx∧BxC。

┐xAx →Bx D。

┐xAx∧┐Bx1。

设Aa, b，B1， 2，R1，R2，R3是A到B的二元关系,且R1a，2, b，2，R2a，1， a，2, b，1，R3a，1， b,2，则（ b ）不是从A到B的函数。

电大《离散数学》2022-2023期末试题及答案

电大《离散数学》2022-2023期末试题及答案
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1．若集合A＝{ a，{a}}，则下列表述正确的是( )．
A．{a}⊆A B．{{{a}}}⊆A
C．{a，{a}}∈A D．∅∈A
2．命题公式（P∨Q）的合取范式是( )
A．（P∧Q）B．（P∧Q）∨（P∨Q）
C．（P∨Q）D．⌝（⌝P∧⌝Q）
3．无向树T有8个结点，则T的边数为( )．
A．6 B．7
C．8 D．9
4．图G如图一所示，以下说法正确的是( )．
A．a是割点B．{b,c}是点割集
C．{b, d}是点割集D．{c}是点割集
图一
5．下列公式成立的为( )．
A．⌝P∧⌝Q ⇔P∨Q B．P→⌝Q⇔⌝P→Q
C．Q→P⇒ P D．⌝P∧(P∨Q)⇒Q
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6．设集合A={2, 3, 4}，B={1, 2, 3, 4}，R是A到B的二元关系，
∈
∈
R≤
>
且
x
=且
<
,
x
{y
y
B
}
x
A
y
则R的有序对集合为．
7．如果R是非空集合A上的等价关系，a ∈A，b∈A，则可推知R中至少包含
等元素．
8．设G＝<V, E>是有4个结点，8条边的无向连通图，则从G中删去条边，可以确定图G的一棵生成树．
9．设G是具有n个结点m条边k个面的连通平面图，则m等于
1。

大学试卷《离散数学》及答案.docx

离散数学一、填空题(本大题共48分，共16小题，每小题3分)1.--公式为之充分必要条件是其合取范式之每一合取项中均必同时包含一命题变元及其否定2.无向图G具有是生成树，当且仅当的，若G为(n,m)连通图，要确定G的一棵生成树必删掉G的条边。

3.一个无向图的欧拉回路要求经过图中一次且仅一次，汉密顿图要求经过图中一次且仅一次。

4.设P：我生病，Q：我去学校(1)命题“我虽然生病但我仍去学校”符号化为o (2)命题“只有生病的时候，我才不去学校”符号化为o (3)命题"如果我生病，那么我不去学校”符号化为o5.设有33盏灯，拟公用一个电源，则至少需要5个插头的接线板数6.若HlAH2A-AHn是 ,则称Hl, H2, -Hn是相容的，若HlAH2A-AHn是 ,则称H1.H2, -Hn是不相容的7.设f,g,h 是N 到N上的函数(N 为自然数集合),f(n)=n+l;g(n)=2n;h(n)=0；贝lj(fdg)oh=8.K5的点连通度为 ,边连通度为o9.A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 24, 36}, R 是A 上的整除关系。

子B={1, 2, 3, 4},那么B的上界是； B的下界是；：6的上确界是; B的下确界为10.命题公式P-*QAR的对偶式为11.设入={1, {2}, <t>},则A的幕集有元素个。

12.设A={0, 1,2, 3}, B={4,6, 7}, C={8, 9, 12, 14}, R1 是由A 到B 的关系,R2 是由B到C原关系，分别定义为Rl={<2, 6>, <3, 4>, <0, 7>} ;R2={<4, 8>, <4, 12>, <6, 12>,〈7, 14〉},则复合关系RloR2 为：13.设A= {<i)}, B={<t>, (<!>}},贝i]P(A) nP(B)= 。

离散数学考试题详细答案【范本模板】

离散数学考试题（后附详细答案）一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报"，命题符号化为：（⌝P⇄Q)∧(P⇄R∨S）b)我今天进城,除非下雨。

设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”,命题符号化为:⌝Q→P或⌝P→Qc)仅当你走，我将留下.设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为: Q→P2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数设R（x）表示“x是实数”,Q（x）表示“x是有理数”,命题符号化为:∃x(R（x) ∧⌝Q(x））或⌝∀x（R(x) →Q（x））b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

设R(x）表示“x是实数”，E(x，y)表示“x=y”,f（x,y）=xy，命题符号化为：∀x（R(x) ∧⌝E（x,0）→∃y(R(y) ∧E（f（x，y)，1）））)c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f（a)=b.设F(f)表示“f是从A到B的函数”，A(x)表示“x∈A”, B(x）表示“x∈B"，E(x，y）表示“x=y”，命题符号化为:F(f）⇄∀a(A（a）→∃b（B（b） ∧ E(f(a),b) ∧ c(S(c） ∧ E(f(a),c) →E(a,b))））二、简答题(共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R））↔(R→(Q→P)）的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋值。

(5分）（P→(Q→R)）↔(R→(Q→P）)⇔（⌝P∨⌝Q∨R）↔(P∨⌝Q∨⌝R）⇔(（⌝P∨⌝Q∨R）→（P∨⌝Q∨⌝R）) ∧ ((P∨⌝Q∨⌝R) →(⌝P∨⌝Q∨R）)。

⇔(（P∧Q∧⌝R）∨（P∨⌝Q∨⌝R）) ∧（(⌝P∧Q∧R）∨（⌝P∨⌝Q∨R））⇔（P∨⌝Q∨⌝R) ∧（⌝P∨⌝Q∨R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100，101，111，故主析取范式为（⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨（⌝P∧Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧R)∨（P∧Q∧R)2.设个体域为｛1，2，3}，求下列命题的真值（4分）a)∀x∃y(x+y=4)b)∃y∀x (x+y=4)a) T b) F3.求∀x(F（x）→G（x))→(∃xF（x）→∃xG(x））的前束范式.（4分）∀x（F(x）→G(x））→(∃xF(x）→∃xG（x)）⇔∀x(F（x)→G（x))→（∃yF（y)→∃zG（z））⇔∀x（F（x）→G(x））→∀y∃z(F(y)→G(z)）⇔∃x∀y∃z（(F(x）→G(x）)→（F（y)→G(z)))4.判断下面命题的真假，并说明原因。

离散证明题

离散数学证明题专项训练——09软件2班金信冬1. 设<G ，*>是群，具有幺元e ，如果对G 的任意元素a ，都有 a²=e, 则<G ，*>是交换群证明：由条件e a =2，所以1-=a a ，则对任意的a ，b ，11-*-=*b a b a另外，由e b a =*2)(，得e b a b a b a =***=*)()(2)(，两边同时左乘以1-a ，右乘以1-b ，利用结合律，得11-*-=*b a a b 所以a b b a *=*，<G ，*>是交换群2．试证明：R S Q P S R Q P →⇒∧∨⌝∧→→)())(( 证明(1) SCP 规则 (2) ⌝S ∨PP(3) P(1),(2)析取三段论(4) P →(Q →R) P (5)Q →R (3),(4)假言推理 (6)QP(7)R(5),(6)假言推理3.设 A,B 为两个集合，证明 A —B=A 当且仅当A ∩B= ø证明：A —B=AA ∩~B=A =>A ∩~B ∩B=A ∩B=>A∩B= øA∩B= ø=>(A∩B)∪~B=~B=>A∪~B=~B=>A∩(A∪~B)=A∩~B=>A∪(A∩~B)=A-B=>A=A-B4. 设R,S都是非空集合A上的二元关系，且他们是对称的，证明：RoS具有对称性当且仅当 RoS=SoR.证明：1）必要性对于任意<x,y>∈RoS<=><y.x>RoS<=>存在z(<y,z>∈S ∧<z,x>∈R)<=>存在z(<z,y>∈S ∧<x,z>∈R)<=><x,y>∈SoR所以RoS=SoR.2)充分性对于任意<x,y>∈RoS<=> <x,y>∈SoR<=>存在z(<x,z>∈R ∧<z,y>∈S)<=>存在z(<y,z>∈S ∧<z,x>∈R)<=><y,x>∈RoS所以：RoS具有对称性。

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号：1009)

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号：1009)一、单项选择题(每小题3分，本题共16分)若集合A = {1,2,3,4},则下列表述不正确的是( ).A.{2,3)€AB.AU{1,2,3,4}C. <1,2,3,4)QAD. 16A2.若无向图G的结点度数之和为20,则G的边数为( ).A.10B. 20C. 30D. 53.无向图G是棵树，结点数为10,则G的边数为( ).A. 5B. 10C.9D. 114.设A(x)：x是人,B(x)：x是学生，则命题“有的人是学生”可符号化为( )•A.Vx)(A(x)-*B(x»B.(3x)(A(x)AB(x))C.(Vx)(A(x)AB(x»D.-«(3x)(A(x)A -B(x»5.下面的推理正确的是( ).A.(l)(Vx)F(x)->G(x) 前提引入(2)F(>-)-*G(y) US(1).B.(1)( 3 x)F(x)-*G(x) 前提引入(2)F(y)-*G(y) US(1),C.(l)(3x)(F(x)->G(x»前提引入(2)F(y)-*G(x) ES(1).D.(l)(3x)(F(x)-*G(x)) 前提引入(2)F(y)-*G(y) ESQ).二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.设A = {1,2),H = {1,2,3},则A到B上不同的函数个数为________________ .7.有&个结点的无向完全图的边数为 ____________ .8.若无向图G中存在欧拉路但不存在欧拉回路，则G的奇数度数的结点有________ 个.9.设G是有10个结点的无向连通图，结点的度数之和为30,则从G中删去条边后使之变成树.10.设个体域£> = {1,2,3,4},则谓词公式(*)人(了)消去量词后的等值式为三、逻辑公式翻译(每小题6分，本息共12分)11.将语句“昨天下甬“翻译成命题公式.12.将语句“小王今天上午或者去看电彩或者去打球”翻译成命JS公式.四、判断说明题(判断各题正误，并说明理由.每小题7分，本黑共14分)13.存在集合A与B,使得A6B与AUB同时成立.14.完全图K<是平面图.五、计算题(每小题12分，本题共36分)15.设偏序集VA,R>的哈斯图如下,B为A的子集，其中B = 试(1)写出R的关系表达式；(2)画出关系R的关系图；(3)求出B的最大元、极大元、上界.16.设图G — <V,E>,V={vj f v it v t,Vi»v s)»(v2, v3)»(v3»vs)}»试(1)画出G的图形表示；(2)写出其邻接矩阵；(3)求出每个结点的度数；(4)画出图G的补图的图形，17.求P TQ代R)的合取范式与主合取范式.六、证明题(本题共8分)18.设A.B是任意集合，试证明：若AXA=BXB,^ A = B.M答杖松标准(仅辩者)一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1. A2. A3. C4.B5. D二、填空题(每小题3分，本题共］5分)6.97.”3 — 1)/2(或庆)8.210. A(l) VA(2) V A(3) V A(4)三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共】2分）H,设P ：昨天下雨. 则命题公式为:P ，12. 设P ：小王今天上午去看电影 Q ：小王今天上午去打球则命题公式为：r （PiQ ）. 或者（rPAQ ）V 〈PA rQ ）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13. 正确.例：设 A = {a} t H — {a,{a}）则有且ACI3.说明：举出符合条件的例均给分. 14. 正确.完全图K 〈是平面图，如K,可以如下图示嵌入平面.（7分）五、计算题（每小题12分，本题共36分）15. （l ）R = {Va ，a>,Vb,Q>,Vc,c>,Vd,d>・Va0>・Va ・c>，V&，d>，VQ,d >}. （4 分）（2）关系图(8分)（3）集合B 无最大元，极大元为6与c.无上界. 16, 解: （1）关系图（2分）（6分）（2分）（6分）（3分）（517. P TQAR) 5PV(QAR) 0(rPVQ 〉A(rPVR)合取范式<=>(-PVQ)V(K A rR)A(rPVR) 0("VQ)V(& A rR)A(" VR)V(QA -Q)D(rPVQVR)A(rPVQVA("VR VQ) A(-、PVR V -Q) c=>(-PVQV7?)A(-'PVQV-R)A(-PV-QVR) 主合取范式六、证明题（本意共8分）18. 证明：V2（2）邻接矩阵bioir 101001001 1 00 0（6分）(3) deg(vi)=,3deg(v t )—2 <ieg(v 3)~2 deg顷)=1 deg(v s )=2 (4) 补图（9分）（】2分）（2分）（5分）（7分〉设x€A,则Vx,x>€AXA,（1 分）因AXA = BXB,故V X,X>€BXB,则有xGB, （3 分）因此AGB. （5分）设xQB,则Vx,x>€BXB,（6 分）因AXA-BXB,故Vx,x>eAXA,则有因此BWA. （7 分）故得A=B. （8分）。

《离散数学》复习练习题带答案(六)

离散数学试题带答案四、证明题1. 设<G ，*>是群，具有幺元e ，如果对G 的任意元素a ，都有 a²=e, 则<G ，*>是交换群2. 形式证明q s p r s r q p ⇒∧⌝→∨→,,3. 证明：P →(Q →R)⇔P ∧Q →R.4．试证明：R S Q P S R Q P →⇒∧∨⌝∧→→)())(( 5．试证明：Q R R Q Q P ⌝⇒⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝)()( 6. 证明：)()(x xB x xA ∀→∃⇒))()((x B x A x →∀7．设G 是图，无回路，但若外加任意一条边于G 后，就形成一回路. 试证明G 必为树. 8. 设B 是任意集合，试验证(P(B),⊕)是群. P(B)是集合B 的幂集，⊕是集合的对称差运算， 9．给定代数系统(G,+,*), 二元运算见表一，表二.表一表二证明(G ,+,*)是域.10. 证明如果非空集合A 上的二元关系R 和S 是偏序关系，则S R ⋂也是A 上的偏序关系． 11．试证A －(B －C)＝(A －B)⋃(A ⋂C)12．设非空集合A ，验证(A A P ,~,,,),(∅⋂⋃)是布尔代数，13. 试证明属于关系不满足传递性，即对于任意的集合A,B,C 若A ∈B 且B ∈C 不一定有 A ∈C14．设 A,B 为两个集合，证明 A —B=A 当且仅当A ∩B= ø15. 设R,S 都是非空集合A 上的二元关系，且他们是对称的，证明：RoS 具有对称性当且仅当 RoS=SoR.16. 已知g ：A->B,f ：B->C1）已知fog 是单射的且g 是满射的，证明f 是单射的 2）已知fog 是满射的且f 是单射的，证明g 是满射的 17．设A 是传递集，证明A+也是传递集。

18．设G 是n 阶无向简单图，其直径为d(G)=2, ο(G)=n-2，证明G 的边数m ≥2n-4 19．V=<S,*>是可交换半群,若a,b ∈S 是V 中得幂等元，证明a*b 也是V 中的幂等元20．设 L 是格，证明对于任意a,b,c,d ∈L 有：( a ∧b)∨(c ∧d)≤(a ∨c)∧(b ∨d)五、计算题1. 无向树T 有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，其他的都是树叶，问T 中有多少片树叶？2. 设公式()()x Q x P → ，其中P(x)：x>2，Q(x)：x=0，F 是永假式，个体域是{1，2}，求公式A(x)的真值 3. 设集合X={1，2，3, 4}，X 中的关系为F={<1，1>，<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，2>，<3，3>，<4，1>，<4，4>} 写出F 的关系矩阵及其关系图，F 有哪些性质？4. (1) n(n ≥1)阶无向完全图与有向完全图各有多少条边?为什么？ (2)完全二部图K m n ,中共有多少条边?为什么？(3) 每个顶点的度都为k 的无向图称为k 正则图，问：n 阶k 正则图中共有多少条边?为什么？5. 设集合L={a ，b}，在L 中规定 + 和·如下：a+a=a ，a+b=b+a=b ，b+b=b a ·a=a ，a ·b=b ·a=a ，b ·b=b问<L ，+，·>能构成代数系统吗？若可以，写出该代数系统的运算表。

电大离散数学证明题题参考

五、证明题1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于3的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k 条边才能使其成为欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数．又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加2k 条边到图G 才能使其成为欧拉图．五、证明题1．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．证：若x ∈A ⋃ (B ⋂C )，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ，即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，即 x ∈T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，所以A ⋃ (B ⋂C )⊆ (A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．反之，若x ∈(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，即x ∈A 或x ∈B ⋂C ，即x ∈A ⋃ (B ⋂C )，所以(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )⊆ A ⋃ (B ⋂C )．因此．A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．2．对任意三个集合A , B 和C ，试证明：若A ⨯B = A ⨯C ，且A ≠∅，则B = C ．证明：设x ∈A ，y ∈B ，则<x ，y >∈A ⨯B ，因为A ⨯B = A ⨯C ，故<x ，y >∈ A ⨯C ，则有y ∈C ，所以B ⊆ C ．设x ∈A ，z ∈C ，则<x ，z >∈ A ⨯C ，因为A ⨯B = A ⨯C ，故<x ，z >∈A ⨯B ，则有z ∈B ，所以C ⊆B ．故得B = C ．3、设A ，B 是任意集合，试证明：若A ⨯A=B ⨯B ，则A=B ．许多同学不会做，是不应该的．我们看一看证明：设x ∈A ，则<x ，x >∈A ⨯A ，因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈B ⨯B ，则有x ∈B ，所以A ⊆B ．设x ∈B ，则<x ，x >∈B ⨯B ，因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈A ⨯A ，则有x ∈A ，所以B ⊆A ．故得A=B ．1．试证明命题公式(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝（P∨⌝Q）等价．证：(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔((⌝P∨Q∨⌝R)∧⌝P)∧Q⇔⌝P∧Q（吸收律）⇔⌝(P∨⌝Q) （摩根律）2．试证明(∃x)(P(x)∧R(x))⇒(∃x)P(x)∧(∃x)R(x)．分析：前提：(∃x)(P(x)∧R(x))，结论：(∃x)P(x)∧(∃x)R(x) ．证明(1) (∃x)(P(x)∧R(x)) P(2) P(a)∧R(a) ES(1) (存在指定规则)(3) P(a) T(2) （化简）(4) (∃x)P(x) EG(3) (存在推广规则)(5) R(a) T(2) （化简）(6) (∃x)R(x) EG(5) (存在推广规则)(7) (∃x)P(x)∧(∃x)R(x) T(4)(6) （合取引入）2．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f：A→B是否构成函数，并说明理由．(1) f ={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}；(2) f ={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；(3) f ={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．解：(1) f不能构成函数．因为A中的元素3在f中没有出现．(2) f不能构成函数．因为A中的元素4在f中没有出现．(3) f可以构成函数．因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．解：设P：今天是天晴；则命题公式为：P．问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：P∧Q．注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“∧”．3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：P→Q．注意：命题公式的翻译还要注意“不可兼或”的表示．例如，教材第164页的例6 “T2次列车5点或6点钟开．”怎么翻译成命题公式？这里的“或”为不可兼或．4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．谓词公式为：(∀x)(P(x)→ Q(x))．。

2022年电大离散数学模拟试题及答案

电大离散考试模拟试题及答案一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) -ρ(B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B旳所有映射是_______________________________________, 其中双射旳是__________________________.4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G旳主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G旳总度数为__________，分枝点数为________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝_________________________; A⋃B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上旳等价关系，则R所具有旳关系旳三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真旳解释有__________________________，_____________________________, __________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上旳关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 = ________________________,R2•R1 =____________________________,R12 =________________________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = _____________________________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上旳整除，则R以集合形式(列举法)记为__________________________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G旳前束范式是__________________________ _____.15.设G是具有8个顶点旳树，则G中增长_________条边才干把G变成完全图。

离散数学历年考试证明题

离散数学历年考试证明题第一篇：离散数学历年考试证明题1、试证明集合等式A⋂(B⋃C)=(A⋂B)⋃(A⋂C)．证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)，若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即x∈A且x∈B 或x∈A且x∈C，也即x∈A∩B 或x∈A∩C，即x∈T，所以S⊆T．反之，若x∈T，则x∈A∩B 或x∈A∩C，即x∈A且x∈B 或x∈A 且x∈C，也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以T⊆S．因此T=S．2、试证明集合等式A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C)．证明：设S= A⋃(B⋂C)，T=(A⋃B)⋂(A⋃C)，若x∈S，则x∈A或x∈B⋂C，即x∈A或x∈B 且x∈A或x∈C．也即x∈A⋃B 且x∈A⋃C，即x∈T，所以S⊆T．反之，若x∈T，则x∈A⋃B 且x∈A⋃C，即x∈A或x∈B 且x∈A 或x∈C，也即x∈A或x∈B⋂C，即x∈S，所以T⊆S．因此T=S．3、试证明（∃x）（P（x）∧R（x））⇒（∃x）P（x）∧（∃x）R （x）．证明：（1）（∃x）（P（x）∧R（x））P（2）P（a）∧R（a）ES(1)（3）P（a）T(2)I（4）（∃x）P（x）EG(3)（5）R（a）T(2)I（6）（∃x）R（x）EG(5)（7）（∃x）P（x）∧（∃x）R（x）T(5)(6)I4、设A，B是任意集合，试证明：若A⨯A=B⨯B，则A=B．证明：设x∈A，则∈A⨯A，因为A⨯A=B⨯B，故∈B⨯B，则有x∈B，所以A⊆B．设x∈B，则∈B⨯B，因为A⨯A=B⨯B，故∈A⨯A，则有x∈A，所以B⊆A．故得A=B．5、设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明G 与G中的奇数度顶点个数相等(G是G的补图)．证明：因为n是奇数，所以n阶完全图每个顶点度数为偶数，因此，若G中顶点v的度数为奇数，则在G中v的度数一定也是奇数，所以G与G中的奇数度顶点个数相等．6．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加k条边才能使其成为2k条边到图G才能使其成为欧拉图． 27．设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a∈A，存在b∈A，使得∈R，则R是等价关系．证明：已知R是对称关系和传递关系，只需证明R是自反关系．∀a∈A，∃b∈A，使得∈R，因为R是对称的，故∈R；又R是传递的，即当∈R，∈R ⇒∈R；由元素a的任意性，知R是自反的．所以，R是等价关系．8．若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：R⋂S 也是A上的偏序关系．证明：.① ∀x∈A,<x,x>∈R,<x,x>∈S⇒<x,x>∈R⋂S，所以R⋂S有自反性；②∀x,y∈A,因为R，S是反对称的，<x,y>R⋂S∧<y,x>R⋂S⇔(<x,y>∈R∧<x,y>∈S)∧(<y,x>∈R∧<y,x>∈S)⇔(<x ,y>∈R∧<y,x>∈R)∧(<x,y>∈S∧<y,x>∈S)⇔x=y∧y=x⇔x=y 所以，R⋂S有反对称性．③∀x,y,z∈A，因为R，S是传递的，<x,y>∈R⋂S∧<y,z>∈R⋂S⇔<x,y>∈R∧<x,y>∈S∧<y,z>∈R∧<y,z>∈S⇔<x,y>∈R∧<y,z>∈R∧<x,y>∈S∧<y,z>∈S⇒<x,z>∈R∧<x,z>∈S⇔<x,z>∈R⋂S所以，R⋂S有传递性．总之，R是偏序关系．9．试证明命题公式(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝（P∨⌝Q）等价．证明：(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨Q∨⌝R)∧⌝P∧Q⇔(⌝P∧⌝P∧Q)∨(Q∧⌝P∧Q)∨(⌝R∧⌝P∧Q)⇔(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q∧⌝R)⇔⌝P∧Q（吸收律）⇔⌝(P∨⌝Q)（摩根律）10．试证明（∃x）（P（x）∧R（x））⇒（∃x）P（x）∧（∃x）R（x）．证明：（1）（∃x）（P（x）∧R（x））P（2）P（a）∧R（a）ES(1)（3）P（a）T(2)I（4）（∃x）P（x）EG(3)（5）R（a）T(2)I（6）（∃x）R（x）EG(5)（7）（∃x）P（x）∧（∃x）R（x）T(5)(6)I11．若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．证明：用反证法．设G中的两个奇数度结点分别为u和v．假设u 和v不连通，即它们之间无任何通路，则G至少有两个连通分支G1，G2，且u和v分别属于G1和G2，于是G1和G2各含有一个奇数度结点．这与定理3.1.2的推论矛盾．因而u和v一定是连通的．12．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．证明：设G=<V,E>，=<V,E'>．则E'是由n阶无向完全图Kn的边删去E所得到的．所以对于任意结点u∈V，u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数．由于n是大于等于2的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的（n-1(≥2)度），于是若u∈V在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点．故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等．13．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加欧拉图． k条边才能使其成为2证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加k条边到图G才能使其成为欧拉图． 2第二篇：离散数学证明题证明题1.用等值演算法证明下列等值式：（1）┐(P↔Q)⇔(P∨Q)∧┐(P∧Q)（2）(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)⇔(P∨Q)∧┐(P∧Q)证明：（1）┐(P↔Q)⇔┐((P→Q)∧(Q→P))⇔┐((┐P∨Q)∧(┐Q∨P))⇔(P∧┐Q)∨(Q∧┐P)⇔(P∨Q)∧(P∨┐P)∧(┐Q∨Q)∧(┐P∨┐Q)⇔(P∨Q)∧┐(P∧Q)（2）(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)⇔(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(┐Q∨┐P)∧(┐Q∨Q)⇔(P∨Q)∧┐(P∧Q)2．构造下列推理的证明：（1）前提：⌝(P→Q)→⌝(R∨S)，(Q→P)∨⌝R，R前提：P Q。

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五、证明题
1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任
意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于3的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．
2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加
2
k 条边才能使其成为欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数．
又根据定理，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加2
k 条边到图G 才能使其成为欧拉图．五、证明题
1．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．
证：若x ∈A ⋃ (B ⋂C )，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ，
即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．
即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，
即 x ∈T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，
所以A ⋃ (B ⋂C )⊆ (A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．
反之，若x ∈(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，
即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，
即x ∈A 或x ∈B ⋂C ，
即x ∈A ⋃ (B ⋂C )，
所以(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )⊆ A ⋃ (B ⋂C )．
因此．A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C )．
2．对任意三个集合A , B 和C ，试证明：若A ⨯B = A ⨯C ，且A ≠∅，则B = C ．
证明：设x ∈A ，y ∈B ，则<x ，y >∈A ⨯B ，
因为A ⨯B = A ⨯C ，故<x ，y >∈ A ⨯C ，则有y ∈C ，
所以B ⊆ C ．
设x ∈A ，z ∈C ，则<x ，z >∈ A ⨯C ，
因为A ⨯B = A ⨯C ，故<x ，z >∈A ⨯B ，则有z ∈B ，所以C ⊆B ．
故得B = C ．
3、设A ，B 是任意集合，试证明：若A ⨯A=B ⨯B ，则A=B ．
许多同学不会做，是不应该的．我们看一看
证明：设x ∈A ，则<x ，x >∈A ⨯A ，
因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈B ⨯B ，则有x ∈B ，所以A ⊆B ．
设x ∈B ，则<x ，x >∈B ⨯B ，
因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈A ⨯A ，则有x ∈A ，所以B ⊆A ．
故得A=B ．
1．试证明命题公式(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝（P∨⌝Q）等价．
证：(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q
⇔((⌝P∨Q∨⌝R)∧⌝P)∧Q
⇔⌝P∧Q（吸收律）
⇔⌝(P∨⌝Q) （摩根律）
2．试证明(∃x)(P(x)∧R(x))⇒(∃x)P(x)∧(∃x)R(x)．
分析：前提：(∃x)(P(x)∧R(x))，
结论：(∃x)P(x)∧(∃x)R(x) ．
证明(1) (∃x)(P(x)∧R(x)) P
(2) P(a)∧R(a) ES(1) (存在指定规则)
(3) P(a) T(2) （化简）
(4) (∃x)P(x) EG(3) (存在推广规则)
(5) R(a) T(2) （化简）
(6) (∃x)R(x) EG(5) (存在推广规则)
(7) (∃x)P(x)∧(∃x)R(x) T(4)(6) （合取引入）
2．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f：A→B是否构成函数，并说明理由．
(1) f ={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}；(2) f ={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}；
(3) f ={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．
解：(1) f不能构成函数．
因为A中的元素3在f中没有出现．
(2) f不能构成函数．
因为A中的元素4在f中没有出现．
(3) f可以构成函数．
因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．三、公式翻译题
1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．
解：设P：今天是天晴；
则命题公式为：P．
问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？
2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，
则命题公式为：P∧Q．
注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“∧”．
3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
解：设P：他去旅游，Q：他有时间，
则命题公式为：P→Q．
注意：命题公式的翻译还要注意“不可兼或”的表示．
例如，教材第164页的例6 “T2次列车5点或6点钟开．”怎么翻译成命题公式？这里的“或”为不可兼或．
4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．
解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．
谓词公式为：(∀x)(P(x)→ Q(x))．。