LMI线性矩阵不等式
《鲁棒控制》-6-线性矩阵不等式
(≤ 0)
为线性矩阵不等式（LMI）。
当存在实向量 x ，使得 F ( x) < 0(≤ 0) ，则称 LMI F ( x) < 0(≤ 0) 可行或存在可
行解。
LMI 的可行解全体构成一凸集。
令 X 是一实对称矩阵，对于任意给定实数矩阵 A 和实对称矩阵 Q ，则矩阵
不等式
AT X + XA + Q < 0
⎢ ⎣
0
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢⎣
S11 S21
S12 S22
⎤ ⎥⎦
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤T ⎥ ⎦
0
⎤
S22
−
S21S1−11S12
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
S11
⎣
−
S12
S −1 22
S21
S21
0 ⎤⎡ I
S22
⎥ ⎦
⎢⎣−
S −1 22
S
21
0⎤
I
⎥ ⎦
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
假设 D + DT > 0 。 令
H (s) = C (sI − )A −1 B + D
系统无源（passive）: 当 x (0) = 0 时，
∫T 0
uT
(t
)y
(t
)
dt
≥
0
● 系统无源 iff
ALQ
⎤ ⎥
⎥
0 ⎥<0
#
⎥ ⎥
线性矩阵不等式
则应用引理 2.1.2，可以将矩阵不等式（2.1.6）的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等 式
AT P PA Q PB
BT P
R0
（2.1.7）
的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。
2.3一些标准的线性矩阵不等式问题
例2.1.1 稳定性问题 考虑线性自治系统
x(t) Ax(t)
setlmis([]) X=lmivar(1,[61]) S=lmivar(1,[20;21]) ﹪lst LMI lmiterm([111x],1,A,’s’) lmiterm([111s],c’,c) lmiterm([112x],1,B) lmiterm([122s],-1,1) ﹪2nd LMI lmiterm([-211X],1,1) ﹪3rd LMI lmiterm([-311s],1,1) lmiterm([3110],1) lmisys=getlmis
m 是一组给定的实对称矩阵，（2.1.1）中的不等号“＜”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有
非零的向量 v Rm , vT F (x)v0 或者 F(x)的最大特征值小于零。
在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov 矩阵 不等式：
F ( X ) AT X XA Q0
lmivar 函数lmivar用来描述出现在线性矩阵不等式系
统中的矩阵变量，每一次只能描述一个矩阵变 量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。 该函数的一般表达是：
X=lmivar(type,struct) 这一函数定义了一个新的矩阵变量X。函数中
的第一个输入量type确定了矩阵变量X的类型， 第二个输入量struct进一步根据变量X的类型给 出该变量的结构。变量的类型分成三类：
Matlab工具箱解LMI 线性矩阵不等式详解
• mincx求解器
• 第一步：建立矩阵不等式，变量命名为X，不 等式组命名为LMIs。
• 第二步：将目标函数Trace(X)写成cTX形式。用 函数mat2dec建立c。
• Mat2dec的调用格式：定义与X同阶的矩阵W， mat2dec(LMIs, W)返回的是W与X对应元素乘 积的和。（延申，257页，defcx等）
提取结果和验证结果：evallmi和 showlmi
• 用法： • EVALSYS = evallmi(LMISYS,DECVARS)：计算出矩阵
不等式中所有决策变量项的值（矩阵形式？）； • [LHS,RHS]=showlmi(LMISYS,N)：给出第N个线性矩
阵不等式的左边和右边的矩阵值。
• lmiterm([-1 1 1 0],0); • lmiterm([-1 2 1 0],B'*P1); • lmiterm([-1 2 2 0],P3*B+B'*P2);
• lmis=getlmis;
• 四、观察所建立的矩阵不等式的信息
• 使用函数lmiinfo(lmisys)，lmibr(lmisys)， matnbr(lmisys)可以提取所建立的不等式 lmisys的信息。
其它命令
• 1、用于求个数的命令： • lminbr(lmisys)：给出系统中线性矩阵不等式的个数；
matnbr(lmisys)：给出系统中矩阵变量的个数； decnbr(lmisys)：给出系统中决策变量的个数。 • 2、用于查看相关信息的命令： • lmiinfo(LMISYS)：给出线性矩阵不等式系统的信息； DECX = decinfo(LMISYS,XID) ：给出决策变量和矩阵变 量之间关系的一些详细信息。
LMI(线性矩阵不等式)工具箱介绍学习
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）： feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。
例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。
要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。
对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。
左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。
左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。
每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。
解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。
2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。
线性矩阵不等式
7.4.2线性矩阵不等式的确定
LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性 矩阵不等式。 NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M 其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量， 左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩 阵，左、右内因子L（﹒）和R（﹒）是具有相 同块结构的对称块矩阵。 注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是 指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式 X>0，X称为是不等式的右边，0称为是不等式 的左边，常表示成0< X。
I F T ( x) F ( x) F ( x) I 0 0 F ( x) I
T 2
因此，可以通过求解：
min x,
(7.3.2)
I F T ( x) s.t 0 F ( x) I
来得到所求问题的解。显然，问题（7.3.2）是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数 的最优化问题。
定的常数矩阵。由于
DED 1 1 D T E T D T DED 1 1
E T DT DE DT D
ET XE X 0
1 T 其中 X D D0 。因此，使得 DED 1 成立的对角矩阵 D 的存在性问题等价
于线性矩阵不等式 E XE X 0 的可行性问题。
要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步： 给出每个矩阵变量X1，…，XK的维数和结构； 描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。 这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部 表示，它以一个单一向量的形式储存在计算机内，通 常用一个名字，例如lmisys来表示。该内部表示lmisys 可以在后面处理这个线性矩阵不等式时调用。 下面将通过LMI工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不 等式系统的确定。运行lmidem可以看到这个例子的完 整描述。
LMI线性矩阵不等式
线性矩阵不等式
Linear matrix inequality(LMI): 矩阵变量集合中线性（或仿
射）的矩阵不等式.
1.1: LMI的 基 本 性 质
1
Q正定：如果 xT Qx > 0, ∀x ̸= 0 Q半正定：如果 xT Qx ≥ 0, ∀x ̸= 0 P 负定（半负定）：如果Q = −P 正定（半正定）。
9
%可行 ( 是稳定的A) tmin
当且仅当 tmin <0
运行结果：
Lyap =
1
S o l v e r f o r LMI f e a s i b i l i t y problems L ( x ) < R( x )
10
T h i s s o l v e r minimizes
t
subject to
只需要写出对角线上面，或下面的项。
% AP+PA’ <0 % 0 % P>0
l m i t e r m ( [ Lyap 1 1 P ] , 1 , A , ’ s ’ ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 1 2 0 ] , 0 ) ; l m i t e r m ( [ Lyap 2 2 P] ,1 , − 1) ; LMIsys= g e t l m i s ; [ tmin , x f e a s ] = feasp ( LMIsys ) ;
L ( x ) < R( x ) + t ∗ I
The b e s t v a l u e o f t should be n e g a t i v e f o r f e a s i b i l i t y
Matlab工具箱解LMI-线性矩阵不等式详解
8
• 例如
2021/4/8
9
将下面描述的线性矩阵不等式还原
• setlmis([]); • X=lmivar(2,[2,3]); • lmiterm([1 1 1 X],P2,eye(3),'s'); • lmiterm([1 1 1 0],-eye(3)); • lmiterm([1 2 1 X],P4,1); • lmiterm([1 2 2 0],-1);
• lmiterm([-1 1 1 0],0); • lmiterm([-1 2 1 0],B'*P1); • lmiterm([-1 2 2 0],P3*B+B'*P2);
• lmis=getlmis;
2021/4/8
10
• 四、观察所建立的矩阵不等式的信息
• 使用函数lmiinfo(lmisys)，lmibr(lmisys)， matnbr(lmisys)可以提取所建立的不等式 lmisys的信息。
2021/4/8
13
2021/4/8
14
2021/4/8
15
• Dec2mat可以把指定LMI不等式组的可行解中的指定变量转 化成矩阵格式。调用格式：
• 第一个参数是所在不等式名，第二个参数是返回的可行解 （包含很多变量），第三个参数是指定变量。
2021/4/8
16
• mincx求解器
2021/4/8
• [LHS,RHS]=showlmi(LMISYS,N)：给出第N个线性矩 阵不等式的左边和右边的矩阵值。
2021/4/8
24
其它命令
• 1、用于求个数的命令： • lminbr(lmisys)：给出系统中线性矩阵不等式的个数；
线性矩阵不等式的LMI工具箱求解
一、线性矩阵不等式的LMI 工具箱求解 （一）可行性问题（LMIP ）1、可行性问题描述系统状态方程：[]1122331000210-414x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P ，使得：TA P +P A =Q -成立，其中Q 为正定矩阵。
那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题：TA P +P A <0这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB 的LMI 工具箱进行判断。
2、仿真所需要用到的命令setlmis([]) ：开始一个线性矩阵不等式系统的描述； X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量；lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式的一个项的内容； LMISYS = getlmis ：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的内部表示向量LMISYS ；X = dec2mat(LMISYS,DECV ARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。
[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)：可行性问题的求解器函数，tmin 大于0时，表明LMI 系统不可行，P 阵无解，系统不稳定，tmin 小于0时，便可以用dec2mat 函数求解出P矩阵。
3、仿真结果可以看到，仿真结果tmin＜0，因此P阵存在，系统是稳定的。
进一步用dec2mat函数求解出P矩阵。
得：（二）特征值问题(EVP)1、EVP 问题描述该问题对应矩阵工具箱中的LMI 约束的线性目标函数最小化优化问题。
一般采用mincx 求解器求解。
考虑这样一个优化问题：m in ().. 0TTT ra c e X s t A X X A X B B X Q +++<其中：5342154067; 3; 562.78314228A B Q -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、仿真用到的命令DECV ARS = mat2dec(LMISYS,X1,X2,X3,...) ：由给定的矩阵变量得到相应的决策变量值；[copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)：用于给定的特征值问题求解，copt 返回全局最优的决策变量,xopt 返回决策变量的最优解。
LMI(线性矩阵不等式)工具箱介绍学习
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）： feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。
例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。
要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。
对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。
左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。
左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。
每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。
解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。
2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。
LMI工具箱介绍——俞立
LMI 工具箱介绍线性矩阵不等式（LMI ）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。
由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。
一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。
LMI 工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于：z 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式； z 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息； z 修改现有的线性矩阵不等式系统； z 求解三个一般的线性矩阵不等式问题； z 验证结果。
本附录将详细介绍LMI 工具箱提供的用于解决以上各个问题的相关函数和命令。
A.1 线性矩阵不等式及相关术语一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的一个矩阵不等式：0<+++=N N x x L L L x L "110)( (1)其中：是给定的对称常数矩阵，是未知变量，称为决策变量，N L L L ,,,10"N x x ,,1"∈=T 1],,[N x x "x N R 是由决策变量构成的向量，称为决策向量。
尽管表达式（1）是线性矩阵不等式的一个一般表示式，但在大多数实际应用中，线性矩阵不等式常常不是以一般表示式（1）的形式出现，而是具有以下形式：),,(),,(11n n X X R X X L ""<其中的和是矩阵变量的仿射函数，通过适当的代数运算，上式可以写成线性矩阵不等式的一般表示式（1）的形式。
例如，在系统稳定性问题中经常遇到的Lyapunov 矩阵不等式)(⋅L )(⋅R n X X ,,1"0<+XA X A T (2)也是一个线性矩阵不等式，其中的是一个矩阵变量。
我们以一个二阶矩阵为例，将矩阵不等式（2）写成一般表示式（1）的形式。
针对二阶矩阵不X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=2021A等式（2），对应的矩阵变量是一个二阶的对称矩阵，，不等式（2）中的决策变量是矩阵中的独立元。
LMI线性矩阵不等式工具箱
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）：feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。
例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。
要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。
对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。
左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。
左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。
每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。
解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。
2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。
LMI线性矩阵不等式培训讲学
(5)
其中，Xi
∈
Rqi×pi
是一个矩阵，而∑n i=1
qi
×
pi
=
m，所有矩
阵变量的列堆叠起来，形成单个向量变量x。
于是我们考虑下面常用形式的函数：
F (X1, X2, · · · , Xn) = F0 + G1X1H1 + G2X2H2 + · · · + GnXnHn
4
∑n
= F0 + GiXiHi
7
找P > 0，使得
AT P + P A > 0
(14)
这是一个关于变量P > 0的LMI可行性问题，然而，给定满
足该问题的任意的P > 0，明显地集合
P
=
{
βP
:
标量β
>
}
0
(15)
中任意矩阵都满足上述问题。
P > 0和(14)所描述的LMI约束，可以等价地组成一个LMI：
AT P + P A 0 < 0
9
%可行 ( 是稳定的A) 当且仅当 tmin<0
tmin
运行结果：
Lyap = 1
Solver for LMI f e a s i b i l i t y problems L ( x ) < R( x ) 10
This solver minimizes t subject to L( x ) < R( x ) + t∗I
The best value o f t should be negative for f e a s i b i l i t y
Iteration :
线性矩阵不等式的LMI工具箱求解
一、线性矩阵不等式的LMI 工具箱求解 （一）可行性问题（LMIP ）1、可行性问题描述系统状态方程：[]11223301000210-414x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&& 在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P ，使得：T A P+PA=Q -成立，其中Q 为正定矩阵。
那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题：T A P+PA<0这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB 的LMI 工具箱进行判断。
2、仿真所需要用到的命令setlmis([]) ：开始一个线性矩阵不等式系统的描述； X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量；lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式的一个项的内容； LMISYS = getlmis ：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的内部表示向量LMISYS ；X = dec2mat(LMISYS,DECVARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。
[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)：可行性问题的求解器函数，tmin大于0时，表明LMI系统不可行，P阵无解，系统不稳定，tmin小于0时，便可以用dec2mat 函数求解出P矩阵。
3、仿真结果可以看到，仿真结果tmin＜0，因此P阵存在，系统是稳定的。
进一步用dec2mat 函数求解出P 矩阵。
得：（二）特征值问题(EVP)1、EVP 问题描述该问题对应矩阵工具箱中的LMI 约束的线性目标函数最小化优化问题。
一般采用mincx 求解器求解。
考虑这样一个优化问题：min ().. 0TTTrace X s t A X XA XBB X Q +++<其中：5342154067; 3; 562.78314228A B Q -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、仿真用到的命令DECVARS = mat2dec(LMISYS,X1,X2,X3,...) ：由给定的矩阵变量得到相应的决策变量值；[copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)：用于给定的特征值问题求解，copt 返回全局最优的决策变量,xopt 返回决策变量的最优解。
LMI工具箱介绍
ω
可以证明：这样一个问题可以转化成一个线性矩阵不等式系统的可行性问题，即寻找 两个对称矩阵 X ∈ R 6×6 和 S = D T D ∈ R 4×4 ，使得
⎡ AT X + XA + C T SC
⎢ ⎣
BT X
AT X + XA < 0
(2)
也是一个线性矩阵不等式，其中的 X 是一个矩阵变量。我们以一个二阶矩阵
A
=
⎡− 1
⎢ ⎣
0
2⎤ − 2⎥⎦
为例，将矩阵不等式（2）写成一般表示式（1）的形式。针对二阶矩阵不
等式（2），对应的矩阵变量
X
是一个二阶的对称矩阵，
X
=
⎡ x1
⎢ ⎣
x2
x2 x3
⎤ ⎥ ⎦
，不等式（2）中
系数和右系数； 3．外因子。 在描述一个具有多个块的线性矩阵不等式时，LMI 工具箱提供了这样的功能，即只需
要确定对角线上和对角线上方的项的内容，或者只描述对角线上和对角线下方的项的内 容，其他部分项的内容可以根据线性矩阵不等式的对称性得到。
用命令 lmiterm 每次可以确定线性矩阵不等式的一个项的内容。例如，对线性矩阵不 等式
注意在线性矩阵不等式的描述中，左边总是指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不
等式 X > 0 ， X 称为是不等式的右边，0 称为是不等式的左边，常表示成 0 < X 。 要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步： 1．给出每个矩阵变量 X1 , ", X K 的维数和结构； 2．描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。
线性矩阵不等式(LMI)的 MATLAB求解
线性矩阵不等式(LMI)的 MATLAB 求解©
作者：dynamic
Sky 时间：2008.12.10
版权：All Rights Reserved By
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
b 一、LMI 工具箱概述 ..................................................................................................................................................6 a 1.系统描述 ...........................................................................................................................................................6
对lmi变量的操作dec2matmat2dec将求解器的输出转化为矩阵变量值通过给定的矩阵变量值返回决策向量3lmifeaspmincxdefcxgevpevallmishowlmidellmidelmvarsetmvarma4lmi结果验证与修改5lmi系统信息的提取decinfodecnbrlmiinfolminbrmntnbr以决策变量的形式表示每个输入的矩阵变量得到决策变量的个数查询现存lmi系统的信息得到问题中lmi的个数得到问题中矩阵变量的个数tlab验证lmi的可行性lmi限制下线性目标的极小值在mincx命令中第一ctx目标lmi限制下的广义特征值最小化由决策变量的给定值来验证所有的变量项返回一个已经评估的lmi的左右边从系统中删除一个lmi从问题中移除一个矩阵变量将一个矩阵变量赋予指定值ky三lmi工具箱函数详解1
lmi的matlab程序
lmi的matlab程序LMI的Matlab程序LMI（线性矩阵不等式）是一种常用的工具，用于解决线性系统控制问题。
Matlab是一种流行的数值计算软件，它提供了丰富的工具箱和函数库，可以帮助工程师和科学家解决各种数学和工程问题。
在本文中，我们将探讨如何使用Matlab编写和求解LMI的程序。
让我们简要介绍一下LMI。
LMI是一种特殊的线性不等式，其形式为AX + XB < C，其中A、B和C是已知的矩阵，X是待求解的变量矩阵。
LMI在控制理论和优化领域中有广泛的应用，例如线性系统稳定性分析、鲁棒控制设计和最优控制问题等。
在Matlab中，我们可以使用控制系统工具箱来编写和求解LMI。
首先，我们需要定义已知的矩阵A、B和C。
然后，我们可以使用lmi函数来创建LMI对象。
例如，我们可以使用以下代码创建一个LMI对象：```matlabA = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = [9 10; 11 12];LMI = lmi(A, B, C);```创建LMI对象后，我们可以使用lmiinfo函数来获取LMI的信息，例如LMI的维度和约束条件的数量。
例如，我们可以使用以下代码获取LMI的信息：```matlabinfo = lmiinfo(LMI);```接下来，我们可以使用lmiterm函数来添加约束条件。
约束条件可以是线性约束、二次约束或多项式约束。
例如，我们可以使用以下代码添加一个线性约束条件：```matlablmiterm([1 1 1 X], A', 1, 's');```在这个约束条件中，[1 1 1 X]表示约束项的位置和变量，A'表示已知矩阵A的转置，1表示约束项的系数，'s'表示约束的类型为小于等于。
添加约束条件后，我们可以使用lmisolve函数来求解LMI。
lmisolve函数将返回LMI的最优解，并将其存储在变量x中。
lmi仿真例题
lmi仿真例题LMI（线性矩阵不等式）是一种用于描述和分析线性时不变系统的强大工具，特别是在控制系统领域。
以下是一个LMI的简单仿真例子，使用了MATLAB进行仿真。
假设我们有一个线性时不变系统，其状态空间表示为：dx/dt = Ax + Buy = Cx其中，x是状态向量，u是输入向量，y是输出向量，A、B、C是系统矩阵。
现在，我们想要设计一个状态反馈控制器，使得系统的某种性能（如状态范数）在某种程度上得到优化。
这可以通过求解一个LMI问题来实现。
1. 定义系统参数：```matlabn = 2; % 状态向量的维数A = [0 1; -2 -3]; % 状态矩阵B = [0; 1]; % 输入矩阵C = [1 0]; % 输出矩阵```2. 定义性能指标权重：```matlabQ = eye(n); % 状态代价函数的权重矩阵R = eye(1); % 输入代价函数的权重矩阵```3. 使用MATLAB的LMI工具箱求解LMI问题：```matlab[K, S, e] = lmisys(A, B, Q, R); % 求解LMI问题，得到状态反馈增益K ```4. 仿真系统响应：```matlabt = 0::10; % 时间向量u = sin(t); % 输入信号x0 = [0; 0]; % 初始状态向量[x, t] = lmisysplot(A, B, K, x0, u, t); % 仿真系统的状态响应和输入信号```5. 绘制仿真结果：```matlabfigure;subplot(2,1,1); plot(t, x(:,1)); ylabel('State 1'); grid on;subplot(2,1,2); plot(t, x(:,2)); ylabel('State 2'); grid on;```以上就是一个简单的LMI仿真例子，通过求解LMI问题，我们可以得到一个状态反馈控制器，使得系统的状态在某种程度上得到优化。